2024年陕西省西安市曲江第一中学中考模拟数学试题（原卷版+解析版）

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1. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
2. “福禄寿喜”图是中华传统祥云图纹，以下四个图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图，直线，的顶点B在上，若，则为（ ）
A. B. C. D.
4. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在中，，，为边上一点，且，若，则的值为（ ）
A 2B. 3C. 4D. 5
6. 若一次函数的图象经过点A，且y随着x的增大而增大，则点A的坐标可以是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，是的内接三角形，，是直径，，则的长为（ ）
A. B. C. 5D.
8. 如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
9. 在实数，0，，，中，其中为无理数的是______．
10. 第五套人民币中5角硬币色泽为镍白色，正、反面的内周边缘均为正十一边形，则其内角和为______．
11. 《墨经》是中国古籍中最早讨论滑轮力学的著作．如图所示是书中记载的一个滑轮机械，称为“绳制”．若图中的定滑轮半径为，滑轮旋转了，则重物“甲”上升了_______（绳索粗细不计，且与滑轮之间无滑动，结果保留）．

12. 如图，在平面直角坐标系中有一个等边，边长为4，O为边的中点，点A在第二象限，边与x轴正半轴的夹角为，过点A的双曲线表达式为，则_________．
13. 如图，在中，，，点是中点，以为直角边向作等腰，连接，当取得最大值时，的面积为______．
三、解答题：本题共13小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
14. 计算：．
15. 解不等式组．
16. 化简：．
17. 如图，点在的边的延长线上，利用尺规作图法在的延长线上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹）

18. 如图，中，E、F是对角线B、D上两点，若，请说明与的关系．
19. 从一个底面半径是10cm的凉水杯中，向一个底面半径为5cm，高为8cm的空玻璃杯中倒水，当玻璃杯倒满水后，凉水杯的水面将下降多少？
20. 如图，可以自由转动的转盘被分成两个扇形区域甲、乙，其中甲区域的扇形圆心角为120°．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，记为一次有效转动（若指针指在分界线上，则需要重新转动转盘，直到完成一次有效转动为止）．
（1）乐乐完成一次有效转动后，指针指向扇形乙的概率为 ．
（2）欣欣和荣荣用转盘做游戏，每人有效转动转盘一次，若两次指针指向的区域恰好是一次甲区域，一次乙区域，则欣欣胜；否则荣荣胜．这个游戏公平吗？请画树状图或列表说明理由．
21. 年月日，云南人桂海潮乘坐神舟号飞船，成功遨游太空，圆了“飞天”梦想！云官中学为了给学生们搭建一个航天梦，计划购买火箭模型和空间站模型共个两种模型均需购买，要求购买火箭模型的个数不多于空间站模型个数的倍．通过市场调研，已知火箭模型每个元，空间站模型每个元．设购买火箭模型个，购买总费用为元．
（1）求与函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）请你用函数的相关知识说明如何采购能使总费用最低？并求出最低费用．
22. 师上学校初中部全体同学参加了希望工程捐款活动，随机抽取了部分同学捐款情况进行统计，并绘制了如下两幅不完整统计图．
（1）求本次共抽查学生的人数，并将条形统计图补充完整；
（2）捐款金额的众数是 ，中位数是 ；
（3）请你估算师上学校初中部1000名学生中捐款大于等于20元的学生人数．
23. 曲阜尼山圣境孔子像，背山面湖，面南而立，为世界最高最大的孔子像，成为儒客和游人朝拜、瞻仰必到之处．一游客想知道孔子像的高度．如图，与水平面垂直，在点D处测得顶部A的仰角是，向前走了24米至点E处，测得此时顶部A的仰角是，请聪明的你帮他求出孔子像的高度．（参考数据：）

24. 如图，是的直径，为圆上不与重合的一点，连接并延长与过点的切线相交于点，延长与交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数经过两点，并且与轴另一个交点为，已知直线表达式为，且．
（1）求这个二次函数解析式并求出该二次函数顶点的坐标；
（2）点是点关于该抛物线对称轴对称的点，平移该二次函数图象，使得平移后的图象经过点，并在图象上可以找到点，使得与全等，请写出平移过程并说明理由．
26. 问题提出：
（1）如图1，在矩形中，，，P是对角线上的一点，连接，将绕点P逆时针旋转得到，过点M作于N．请过点作于点，并求的长．
问题解决：
（2）某体育中考考点设计器材存放区域，在道路边固定柱子（点Q），道路边确定一点P，以为边，搭建正方形物品存放区域，内部道路上设点E作为专人看管处，、、、分别为不同的器材放置区域，设计图简化如图2所示，已知道路两边，道路宽为，Q为上一定点，P为上一动点，于E．请问是否存在符合设计要求且面积最小的？若存在，请求出面积最小值及此时的长；若不存在，请说明理由．