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北京市首都师范大学附属红螺寺中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题
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1. 已知集合，，则= （ ）
A. B. C. D.
2. 如图，函数图象在点处的切线是，方程为，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 某物体在运动过程中，其位移（单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系为．当时，该物体在时间段内的平均速度为（ ）
A m/sB. m/s
C. m/sD. m/s
4. 在的展开式中，的系数为 （ ）
A. B.
C. D.
5. 电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关，某品牌的电视机的显像管开关了次还能继续使用的概率是，开关了次后还能继续使用的概率是，则已经开关了次的电视机显像管还能继续使用到次的概率是（ ）
A. B. C. D.
6. 设函数则（ ）
A. B. C. D.
7. 在等比数列中，，公比.若，则m=
A. 9B. 10C. 11D. 12
8. 袋子里有个红球和个黄球，从袋子里有放回地随机抽取个球，用表示取到红球的个数，则（ ）
A. B. C. D.
9. 我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为的线段，第次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去．若经过次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于，则的最小值为（ ）
（参考数据：，）
A. B. C. D.
10. 已知数列满足，.给出下列四个结论：
①数列每一项都满足；
②数列的前n项和；
③数列每一项都满足成立；
④数列每一项都满足.
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①③B. ②④C. ①③④D. ①②④
二、填空题（本大题共5小题，共25分）
11. 若复数，则____．
12. 已知数列中，对成立，且，则该数列前5项的和__________．
13. 给出下列结论：
① ② ③
④（为自然对数的底数） ⑤ ⑥
其中，正确结论的序号是______________________
14. 已知数列各项均为正数，，为其前n项和.若是公差为等差数列，则______，______.
15. 已知，， ，且，记随机变量为中的最大值，则__________．
三、解答题（本大题共6小题，共85.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 已知数列是等差数列，是等比数列，，，，.
（1）求、的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
17. 已知等差数列的前项和为，且， ．
（1）求和的等差中项．
（2）等比数列的首项为1，公比为，在下列三个条件中选择一个，使得的每一项都是中的项．若，求．（用含的式子表示）
条件①：； 条件②：； 条件③：．
18. 甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，乙进行了7次测试.每次测试满分均为100分，达到85分及以上为优秀.两位同学的测试成绩如下表：
（1）从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的概率；
（2）从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，设X表示这4次测试成绩达到优秀的次数，求X的分布列及数学期望EX；
（3）从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，设Y表示这3次测试成绩达到优秀的次数，试判断数学期望EY与（2）中EX的大小.（结论不要求证明）
19. 已知函数
（1）求的导数；
（2）求曲线在点处的切线方程．
（3）求曲线过点的切线方程
20. 某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国周年”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表．
高二
规定成绩不低于90分为“优秀”．
（1）估计高一年级知识竞赛的优秀率；
（2）将成绩位于某区间的频率作为成绩位于该区间的概率．在高一、高二年级学生中各选出1名学生，记这2名学生中成绩优秀的人数为，求随机变量的分布列；
（3）在高一、高二年级各随机选取1名学生，用X，Y分别表示所选高一、高二年级学生成绩优秀的人数．写出方差的大小关系．只需写出结论
21. 设A是实数集非空子集，称集合且为集合A的生成集．
（1）当时，写出集合A的生成集B；
（2）若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；
（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由．次数
同学
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
甲
80
78
82
86
95
93
—
乙
76
81
80
85
89
96
94
成绩分组
频数
1. 已知集合，，则= （ ）
A. B. C. D.
2. 如图，函数图象在点处的切线是，方程为，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 某物体在运动过程中，其位移（单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系为．当时，该物体在时间段内的平均速度为（ ）
A m/sB. m/s
C. m/sD. m/s
4. 在的展开式中，的系数为 （ ）
A. B.
C. D.
5. 电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关，某品牌的电视机的显像管开关了次还能继续使用的概率是，开关了次后还能继续使用的概率是，则已经开关了次的电视机显像管还能继续使用到次的概率是（ ）
A. B. C. D.
6. 设函数则（ ）
A. B. C. D.
7. 在等比数列中，，公比.若，则m=
A. 9B. 10C. 11D. 12
8. 袋子里有个红球和个黄球，从袋子里有放回地随机抽取个球，用表示取到红球的个数，则（ ）
A. B. C. D.
9. 我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为的线段，第次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去．若经过次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于，则的最小值为（ ）
（参考数据：，）
A. B. C. D.
10. 已知数列满足，.给出下列四个结论：
①数列每一项都满足；
②数列的前n项和；
③数列每一项都满足成立；
④数列每一项都满足.
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①③B. ②④C. ①③④D. ①②④
二、填空题（本大题共5小题，共25分）
11. 若复数，则____．
12. 已知数列中，对成立，且，则该数列前5项的和__________．
13. 给出下列结论：
① ② ③
④（为自然对数的底数） ⑤ ⑥
其中，正确结论的序号是______________________
14. 已知数列各项均为正数，，为其前n项和.若是公差为等差数列，则______，______.
15. 已知，， ，且，记随机变量为中的最大值，则__________．
三、解答题（本大题共6小题，共85.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 已知数列是等差数列，是等比数列，，，，.
（1）求、的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
17. 已知等差数列的前项和为，且， ．
（1）求和的等差中项．
（2）等比数列的首项为1，公比为，在下列三个条件中选择一个，使得的每一项都是中的项．若，求．（用含的式子表示）
条件①：； 条件②：； 条件③：．
18. 甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，乙进行了7次测试.每次测试满分均为100分，达到85分及以上为优秀.两位同学的测试成绩如下表：
（1）从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的概率；
（2）从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，设X表示这4次测试成绩达到优秀的次数，求X的分布列及数学期望EX；
（3）从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，设Y表示这3次测试成绩达到优秀的次数，试判断数学期望EY与（2）中EX的大小.（结论不要求证明）
19. 已知函数
（1）求的导数；
（2）求曲线在点处的切线方程．
（3）求曲线过点的切线方程
20. 某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国周年”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表．
高二
规定成绩不低于90分为“优秀”．
（1）估计高一年级知识竞赛的优秀率；
（2）将成绩位于某区间的频率作为成绩位于该区间的概率．在高一、高二年级学生中各选出1名学生，记这2名学生中成绩优秀的人数为，求随机变量的分布列；
（3）在高一、高二年级各随机选取1名学生，用X，Y分别表示所选高一、高二年级学生成绩优秀的人数．写出方差的大小关系．只需写出结论
21. 设A是实数集非空子集，称集合且为集合A的生成集．
（1）当时，写出集合A的生成集B；
（2）若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；
（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由．次数
同学
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
甲
80
78
82
86
95
93
—
乙
76
81
80
85
89
96
94
成绩分组
频数
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