北京市第二十五中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

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1. （ ）
A. 6B. 12C. 8D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】根据组合数与排列数运算即可得答案.
【详解】∵，，
∴.
故选：C.
2. 下列结论中正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若且，则
C. 设是等差数列，若，则
D. 若，则
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的性质判断A，利用特殊值判断B，根据等差数列的性质及基本不等式判断C，构造函数，利用导数判断D.
【详解】选项A，由，可得，则，
又，所以，则，故A正确.
选项B，取，则，
则不等式不成立，故B不正确.
选项C，由题意得且，
所以，故C不正确.
选项D，设，则，
当时，，则单调递减，，
即，故D不正确.
故选：A.
3. 函数的导数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复合函数的求导公式求解即可.
【详解】解：由已知可得，
故选：B.
4. 在等差数列中，若，，则（ ）
A. 6B. 8C. 16D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出公差，再利用等差数列的通项公式可得答案.
【详解】因为等差数列中，，，
所以公差，，
则，
故选：B
5. 已知等比数列各项均为正数，且，则=（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用等比数列的通项公式即可求解.
【详解】由可得：，即，
因，，所以，
解得：或（舍），
故选：D.
6. 已知等差数列{an}，则“a2＞a1”是“数列{an}为单调递增数列”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
解：在等差数列{an}中，若a2＞a1，则d＞0，即数列{an}为单调递增数列，
若数列{an}为单调递增数列，则a2＞a1，成立，
即“a2＞a1”是“数列{an}为单调递增数列”充分必要条件，
故选C．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
7. 某质点沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为（ ）
A. 8B. 12C. 18D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数的物理意义，即可求解.
【详解】，当时，，所以质点在时的瞬时速度为.
故选：B
8. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.
【详解】求导函数，
当时，，
∴曲线在点处的切线方程为：，
即.
故选：A.
9. 如图，从甲地到乙地有条路，从乙地到丁地有条路；从甲地到丙地有条路，从丙地到丁地有条路.从甲地到丁地的不同路线共有（ ）
A. 条B. 条
C. 条D. 条
【答案】C
【解析】
【分析】分甲乙丁与甲丙丁两种情况分类,再根据乘法原理分别求解再求和即可.
【详解】若线路为甲乙丁则有,路线为甲丙丁则有.故共有.
故选：C
【点睛】本题主要考查了分步与分类计数的方法,属于基础题.
10. 由1，2，3，4，5组成的无重复数字的3位数有（ ）
A. 48个B. 60个C. 96个D. 120个
【答案】B
【解析】
【分析】根据排列数的意义求解即可.
【详解】根据题意，由1，2，3，4，5组成的无重复数字的3位数有：.
故选：B.
11. 函数的单调增区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求导函数，令，解不等式即可得函数单调增区间.
【详解】，定义域为
则，
令，解得，
故函数的单调增区间为.
故选：A.
12. 函数的极值情况是（ ）
A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值
C. 既无极大值也无极小值D. 既有极大值又有极小值
【答案】D
【解析】
【分析】对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值.
【详解】∵，∴，
由，得或，
时，；时，；时，，
∴函数的递减区间是，；递增区间是，
∴当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，
∴函数既有极大值又有极小值.
故选：D.
13. 已知函数的图象如图所示，那么下列结论正确的是（ ）
A. B. 没有极大值
C. 时，有极大值D. 时，有极小值
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的图象可知，有极大值，的值无法确定，再根据的图象确定的单调性，从而可说明不是函数的极值点，是函数的极小值点.
【详解】解：如图所示，设函数的图象在原点与之间的交点为．
由图象可知：.
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增．
可得：是函数的极小值点，是函数的极大值点，是函数的极小值点．
不是函数的极值点，不一定成立．且由图知，有极大值.
故选：D．
14. 设，若函数，，有大于零的极值点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】题意即有大于0的实根,数形结合令,则两曲线交点在第一象限,结合图像易得,选A.
15. 对于R上可导的任意函数，若满足则必有
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由题意得到函数的单调性,然后跟根据单调性进行判断可得结论.
【详解】
若，则为常数函数,;
若不恒成立,
当时, ,递增，当时,,递减.
.
故选:C.
【点睛】本题考查函数最值和单调性的关系,考查对基本概念的理解,解题时可根据导函数的符号得到函数的单调性,进而得到函数的最值情况,属于中档题.
二、填空题（请把答案写在答题纸相应位置，每空2分，合计22分）
16. 在等比数列中，，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式进行求解即可.
【详解】设该等比数列的公比为，因为，所以，
因此，
故答案为：
17. 已知函数，则__________.
【答案】6
【解析】
【分析】利用求导公式对进行求导，根据导数的定义即可求值.
【详解】解：∵，
∴，∴，
则.
故答案为：6.
18. 已知函数，则___
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得.
【详解】解：∵，∴，∴；
故答案为：
19. 函数在上的最大值为__________.
【答案】10
【解析】
【分析】对二次函数配方后，根据二次函数的性质可求得其最大值.
【详解】解：根据题意，函数，
当时，，当时，，
故函数在上的最大值为10.
故答案：10.
20. 已知二项式的展开式中各项二项式系数和是16，则n＝_____，展开式中的常数项是____．
【答案】 ①. 4 ②. 24
【解析】
【分析】由二项式的和有求n值，写出二项式展开式通项，进而求常数项.
【详解】由题意，则，故二项式展开式的通项为，
令，得，故展开式中的常数项为24.
故答案为：4，24
21. 数列中，若，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据数列的递推关系式结合累乘法即可得.
【详解】由题意，，可得，所以，
所以.
故答案为：.
22. 已知数列的前项和，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据，求出通项，再验证也满足所求式子即可.
【详解】因为数列的前项和，
所以，
又也满足上式，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查由求数列的通项，属于基础题型.
23. 若曲线在点处的切线过点，则实数的值为_________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据导数的几何意义结合导数的运算即可确定切线方程，根据切线方程过点，列方程求解实数的值.
【详解】由，得，
∴，
又，
∴曲线在点处的切线方程为，
代入，得，
解得.
故答案为：.
24. 已知函数在上是减函数，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据导数与单调性的关系,对求导,并令,即可求得的取值范围.
【详解】因为函数
则
因为 在上是减函数
所以在上恒成立
即
则当时, 恒成立
当时, 在上恒成立,则
综上所述, 的取值范围是
【点睛】本题考查了导数在函数单调性中的应用,二次函数恒成立问题,属于基础题.
25. 法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下．如果函数满足如下条件：（1）在闭区间上是连续的；（2）在开区间上可导.则在开区间上至少存在一点，使得成立，此定理即“拉格朗日中值定理”，其中被称为“拉格朗日中值”．则在区间上的“拉格朗日中值”________．
【答案】
【解析】
【分析】先求，结合拉格朗日中值的定义，可得求得的值即可.
【详解】由可得，
所以，
由拉格朗日中值的定义可知，
即，
所以．
故答案为： .
三、解答题（本大题共5小题，合计68分.解答须写出文字说明证明过程和演算步骤）
26. 有2名男生、3名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(结果用数字回答)
（1）选4人排成一排;
（2）排成前后两排,前排1人，后排4人;
（3）全体排成一排,女生必须站在一起;
（4）全体排成一排,男生互不相邻;
（5）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边;
（6）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边;
（7）全体排成一排，甲在乙前，乙在丙前.
【答案】（1）120；（2）120；（3）36；（4）72；（5）72；（6）78；（7）20.
【解析】
【分析】（1）（2）直接利用排列求解；
（3）利用捆绑法求解；
（4）利用插空法求解；
（5）利用优先法求解；
（6）利用间接法求解；
（7）利用整体法求解.
【详解】（1）选4人排成一排，有种；
（2）排成前后两排,前排1人，后排4人，有种；
（3）全体排成一排,女生必须站在一起，有种；
（4）全体排成一排,男生互不相邻，有种；
（5）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边，有种；
（6）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，有种；
（7）全体排成一排，甲在乙前，乙在丙前，有种.
27. 已知数列满足，，等差数列满足，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】（1）依题意为等比数列，由等比数列的通项公式计算可得；由，，求出公差，进而得到；
（2）求得，利用分组求和法，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．
【详解】解：（1）由，，
可得；
设等差数列的公差为，
由，，
可得，
则；
（2），
可得数列的前项和为
．
28. 已知是等差数列，其前n项和为，再从条件①条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）数列的通项公式；
（2）的最小值，并求取得最小值时n的值．
条件①：；条件②：．
【答案】（1）条件①：；条件②：
（2）条件①：时，最小值为；条件②：或时，最小值为.
【解析】
【分析】（1）根据等差数列定义，设出公差利用所选条件分别解得和，即可写出数列的通项公式；（2）根据通项公式可得前n项和为的表达式，再根据二次函数性质即可求得最小值.
【小问1详解】
若选择条件①：
设等差数列的公差为，由可得；
又，得，即；
解得，
所以；
即数列的通项公式为.
若选择条件②：
设等差数列的公差为，由可得；
又，即，得；
解得；
所以；
即数列的通项公式为.
【小问2详解】
若选择条件①：
由可得，；
根据二次函数的性质可得当时，为最小；
即时，取最小值，且最小值为.
若选择条件②：
由可得，；
根据二次函数的性质可得当或时，为最小；
即或时，取最小值，且最小值为.
29. 已知曲线：.
（1）求的值；
（2）求曲线在点处的切线方程；
（3）求函数的极值.
【答案】（1）2 （2）
（3）极大值为，极小值为
【解析】
【分析】（1）根据题意，求导之后代入计算即可得到结果；
（2）根据题意，求导之后，由导数的几何意义即可得到结果；
（3）根据题意，求导之后，代入计算，即可得到极值.
【小问1详解】
已知，函数定义域为，可得，所以；
【小问2详解】
由（1）知，又，所以曲线在点处切线方程为，即；
【小问3详解】
由（1）知，
令，解得或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以在处取得极大值，在处取得极小值.
30. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处切线的倾斜角；
（2）当时，函数在区间上的最小值为，求的取值范围；
（3）若对任意、，，且恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的倾斜角；
（2）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，结合可得出实数的取值范围；
（3）设，分析可知，函数在上单调递增，对实数的取值进行分类讨论，结合对任意的恒成立，可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：当时，，，则，
所以曲线在点处切线的倾斜角为.
【小问2详解】
解：函数的定义域为，
当时，，
令，可得或.
①当时，即时，在上单调递增，
所以在上的最小值是；
②当，即时，
若，则，此时函数在上单调递减，
当时，即，此时函数在上单调递增，
所以，在上的最小值是，不合题意；
③当，即时，对任意的时，，
则在上单调递减，
所以在上的最小值是，不合题意.
综上可得，故的取值范围为.
【小问3详解】
解：设，则，
对任意、，，且恒成立，
等价于在上单调递增.
而，
①当时，，此时在单调递增；
②当时，只需在恒成立，
因为，只要，则需要，
二次函数的对称性为直线，
只需，即.
综上可得，
所以的取值范围为.
【点睛】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法：
（1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值；
（2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；
（3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.