四川省成都市四川天府新区综合高级中学2024届高三下学期模拟测试（二）文科数学试题

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一、单选题
1．在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．设集合，，若，则（ ）
A．B．2C．D．1
3．若为偶函数，则（ ）
A．1B．C．0D．
4．已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A．B．C． D．
5．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是 （ ）
A．各月的平均最低气温都在0℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．平均最高气温高于20℃的月份有5个 D．三月和十一月的平均最高气温基本相同
6．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（ ）
A．B．
C．D．
9．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．16
10．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）
A．该圆锥的侧面积为 B．该圆锥的体积为2
C．的面积为 D．
11．在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，，
，则该球体积V的最大值是（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数，则（ ）
A．在（0，2）单调递增B．在（0，2）单调递减
C．的图像关于直线x=1对称D．的图像关于点（1，0）对称
三、填空题
13．若x，y满足约束条件则的最大值是 ．
14．已知，tanα=2，则cs(α−π4)= ．
15．已知为偶函数，当 时，，则曲线在点处的切线方程是 ．
16．设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则三角形的面积为 ．
四、解答题
17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A； （2）若，证明：△ABC是直角三角形．
18．如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点．
（1）证明平面；
（2）求四面体的体积．
19．已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
（1）求的通项公式； （2）证明：当时，．
20．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：）．检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
经计算得，，
，其中为抽取的第个零件的尺寸，．
（1）求的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（ⅱ）在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到）附：样本的相关系数
，．
21．设函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明当时，；
（3）设，证明当时，.
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为．
（1）若，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求．抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
零件尺寸
9．95
10．12
9．96
9．96
10．01
9．92
9．98
10．04
抽取次序
9
10
11
12
13
14
15
16
零件尺寸
10．26
9．91
10．13
10．02
9．22
10．04
10．05
9．95