四川省成都市天府新区实外高级中学2024届高三上学期期中数学（理）试题（解析版）

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1．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；
2．答题时，必须使用黑色签字笔，将答案规范、整地书写在答题卡规定的位置上；
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答无效；
4．考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若集合，，则集合的真子集的个数为
A. 7B. 8C. 15D. 16
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：若集合，，则集合，故其真子集的个数为个，故选A.
考点：1、集合的基本运算；2、集合的基本关系.
2. 已知点，，若向量与的方向相反，则（ ）
A. 1B. -2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量共线的坐标表示以及向量方向反向求出，再由向量模的坐标表示即可求解.
【详解】，向量与的方向相反，
则，解得或-2，
和反向，则符合，此时.
故选：C更多课件教案等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 3. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的定义可求得,结合正切的二倍角公式即可求得的值.
【详解】因为角的终边经过点
由三角函数定义可得
根据正切的二倍角
代入可得
故选:D
【点睛】本题考查了三角函数的定义,正切二倍角公式的应用,属于基础题.
4. 如图，在中，点为线段中点，点是线段上靠近的三等分点，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将用、表示，然后利用平面向量的减法可得出关于、的表达式.
【详解】因为为线段的中点，则
，
因为点是线段上靠近的三等分点，则，
因此，.
故选：A.
5. 若的展开式中的系数为20，则实数（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】将展开，求出给定式子展开式中项，再列式计算作答.
【详解】因，则的展开式中项为：，
依题意，，解得，
所以实数.
故选：B
6. 下列说法中正确的是
A. “”是“”成立的充分不必要条件
B. 命题，则
C. 为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，用系统抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，则分组的组距为40
D. 已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为，则回归直线方程为.
【答案】D
【解析】
【详解】对于A，取，时，不能推出，故错误；对于B，命题的否定为，故错误；对于C，为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，用系统抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，则分组的组距为，故错误；对于D，因为回归直线的斜率的估计值为1.23，所以回归直线方程可写成，根据回归直线方程过样本点的中心，则，所以回归直线方程为，故正确.
故选D.
7. 已知定义域为的偶函数，其导函数为，对任意正实数满足，若，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求导，可得当时, ，可得在单调递增，又可得为偶函数，，即，可得解
【详解】由于，
对任意正实数满足，
故时， ，故在单调递增；
由于为偶函数，故
故也为偶函数
故在单调递减
故 ，且
故选：D
【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性在解不等式中的应用，考查了利用导数研究函数单调性的方法，考查了学生转化化归，数学运算能力，属于中档题
8. 中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）
A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种
【答案】C
【解析】
【分析】
根据“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻有3类排法，再考虑两者的顺序，有种，剩余的3门全排列，即可求解.
【详解】由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有种，
剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有种，
所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有种不同的排法.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，先排列有限制条件的元素是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
9. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则
A. 图象关于直线对称B. 图象关于点中心对称
C. 在区间单调递增D. 在区间上单调递减
【答案】C
【解析】
【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数单调性，以及它的图象的对称性，即可得出结论．
【详解】将函数的图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sin[2（x-）-]=sin（2x-）的图象，当x=时，求得g（x）=0，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x=对称，故排除A．
当x=时，g（x）= sin≠0，故g（x）的图象不关于点对称，故排除B；
在上，2x-∈，sin（2x-）单调递增，故g（x）单调递增，故C正确；
故选C．
【点睛】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数单调性，以及它的图象的对称性，属于基础题．
10. 在中，已知，，则周长的最大值为（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】根据余弦定理算出，再利用基本不等式即可得，从而可得到周长的最大值．
【详解】解：在中，，，
由余弦定理，得，
即，
由基本不等式有，所以，
（当且仅当时等号成立），
周长（当且仅当时等号成立），
即当且仅当时，周长的最大值为12，
故选：C．
【点睛】关键点点睛：先用余弦定理得，再结合基本不等式即可求的最大值，从而得周长的最大值.
11. 已知函数，若关于的方程有4个不同的实根、、、，且，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出图形，可得出直线与函数的图象交于、、、四点，由，去绝对值，结合对数的运算律，可得出的值，利用二次函数的对称性可得出的值，由此可得出的值.
【详解】作出函数和函数的图象如下图所示，则两个函数的图象共有个交点、、、，且横坐标分别为、、、，，
，由，得，
则有，所以，，
，化简得，，.
由于二次函数图象对称轴为直线，则点、两点关于直线对称，所以，.
因此，.
故选：D.
【点睛】本题考查函数零点和与积的运算，解题时要充分利用对数的运算性质和二次函数图象的对称性，考查数形结合思想与计算能力，属于中等题.
12. 设函数，直线是曲线的切线，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先设切点写出切线方程，再求的解析式，最后通过求导判断单调性求出最小值.
【详解】令的切点为，因为，
所以过切点的切线方程为，
即，所以，
所以，
令，则，
所以当时恒成立，此时单调递减，
当时恒成立，此时单调递增，
所以，所以，
故选：C
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 复数，则=___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再求模即可．
【详解】因为，
所以，
故答案为：.
14. 2018年春季，世界各地相继出现流感疫情，这已经成为全球性的公共卫生问题.为了考查某种流感疫苗的效果，某实验室随机抽取100只健康小鼠进行试验，得到如下列联表：
参照附表，在犯错误的概率最多不超过____的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系．
【参考公式：.】
【答案】0.05
【解析】
【详解】分析：直接利用独立性检验公式计算即得解.
详解：由题得,
所以犯错误的概率最多不超过0.05的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系．
故答案为0.05.
点睛：本题主要考查独立性检验和的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和解决实际问题的能力.
15. 已知向量，，且，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由，得到，然后由求解.
【详解】解：因为，
所以，
所以，
所以.
故答案为：
16. 当时，恒有成立，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数有意义可得在上恒成立.，进而可得：由可得，构造函数可得，进而可得，从而可得答案.
【详解】由题意，得.又恒成立，
所以在上恒成立，即在上恒成立.
令，则，
当时，，所以在上单调递增，
所以，所以①.
由，得，
即.
构造函数，则
因为在上是增函数，
所以，所以.
令，则.
构造函数,
时，递减：时，递增，
所以，即恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，
所以②.由①②知.
故答案为：.
【点睛】不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
三、解答题（共6小题，17-21每题12分，22题10分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
17. 学校为测评班级学生对任课教师的满意度，采用“100分制”打分的方式来计分，规定满意度不低于98分，则评价该教师为“优秀”，现从某班学生中随机抽取10名，以下茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）；
（1）指出这组数据的众数和中位数；
（2）求从这10人中随机选取3人，至多有1人评价该教师是“优秀”的概率；
（3）以这10人的样本数据来估计整个班级的总体数据，若从该班任选3人，记表示抽到评价该教师为“优秀”的人数，求的分布列及数学期望.
【答案】（1）众数：87；中位数：88.5；（2）；（3）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据茎叶图结合众数与中位数的定义求解；
（2）将所求事件分为所选3中无人获得“优秀”与有一个获得“优秀”两种事件，从而利用互斥事件的概率公式求解；
（3）首先求得的所有可能取值，然后分别求出相应概率，从而列出分布列，计算出数学期望．
【详解】（1）由茎叶图知众数为87；中位数为．
（2）设表示所取3人中有（）个人评价该教师为“优秀”，至多有1人评价该教师为“优秀”记为事件，则．
（3）由题意知，在样本中任选1人，此人评价该教师为“优秀”的概率为，由样本估计总体，在整个班级中任选1人，此人评价该教师为“优秀”的概率为，的可能取值为0，1，2，3，
；；
；；
分布列为
.
18. 已知，，且．
（1）求在上的值域；
（2）已知，，分别为的三个内角，，对应的边长，若，且，，求的面积．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】(1)根据已知条件结合向量数量积写出函数的表达式，再经三角恒等变换即可作答；
(2)由(1)的结论求出角A，再由余弦定理及三角形面积定理经计算即可得解.
【详解】（1），
因为，则，，
所以的值域为；
（2）因，即，，又，从而得，
中，由余弦定理得：，即，
即，又，于是得，
所以的面积为.
19. 如图，M是半圆弧上异于C、D的点，边长为4的正方形所在的平面与平面垂直；
（1）证明：平面平面；
（2）当三棱锥体积最大时，求平面与平面所成二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】(1)结合已知条件，利用面面垂直的性质可得到平面，再利用线面垂直性质证明，由圆的性质可知，然后由线面垂直判定和面面垂直判定即可证明；(2)结合已知条件，可知为弧的中点，然后通过建立空间直角坐标系分别求出平面与平面的法向量，最后利用二面角的向量公式即可求解.
【小问1详解】
因为四边形为正方形，所以,
又因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
由平面，故，
因为M是半圆弧上异于C、D的点，所以，
又因为，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
【小问2详解】
结合已知条件易知，的面积为定值8，
故当三棱锥体积最大时，为弧的中点，
过作的垂线，垂足为，取的中点为，
以为坐标原点，以、和为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系如下：

由已知条件可知，，，，，，，
故，，
不妨设平面法向量为，
从而，即，不妨令，则，，
故可取，即，
又因为平面，所以为平面的一个法向量，
设平面与平面所成二面角为，
故，从而，
即平面与平面所成二面角的正弦值为.
20. 已知椭圆的中心在原点，其中一个焦点与抛物线的焦点重合，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左右焦点分别为，过的直线与椭圆相交于两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出的焦点坐标为，设椭圆的方程为通过，又点在椭圆上，列出方程组求解椭圆的方程；
（2）设直线的方程为，由得
由，设，利用韦达定理，弦长公式及点到直线的距离公式表示三角形的面积，求解，然后求解圆的方程．
【小问1详解】
由题意，的焦点坐标为，
故设椭圆的方程为且，
又点在椭圆上，于是，
∴椭圆的方程为；
小问2详解】
设直线的方程为，（斜率为0构不成三角形，不适合题意）
由得
由
设，其中就是上述方程的两个根，
所以
，点到直线的距离为
所以，解得
设所求圆的半径为，，
所以，此圆方程为.
21. 已知函数．
（1）若曲线过点，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值；
（3）若函数有两个不同的零点，，求证：．
【答案】（1）;（2）①当时，；②当时，
③当时，;（3）详见解析．
【解析】
【详解】试题分析：（1）因为点在曲线上，所以，解得，利用导数求得斜率为，故切线为；（2），将分成四类，讨论函数的单调区间进而求得最大值；（3）不妨设，因为，所以，，要证明，即证明，令，即证，令（），利用导数求得的最小值大于零即可.
试题解析：
（1）因为点在曲线上，所以，解得．
因为，所以切线的斜率为0，
所以切线方程为．
（2）因为，
①当时，，，
所以函数在上单调递增，则；
②当，即时，，，
所以函数在上单调递增，则；
③当，即时，
函数在上单调递增，在上单调递减，
则；
④当，即时，，，
函数上单调递减，则．
综上，当时，；
当时，；
当时，．
（3）不妨设，
因为，
所以，，
可得，，
要证明，即证明，也就是，
因为，
所以即证明，
即，
令，则，于是，
令（），
则，
故函数在上是增函数，
所以，即成立，所以原不等式成立．
考点：导数与切线、最值.
【方法点晴】本题主要考查导数与切线的问题，考查导数与极值、最值的问题，考查构造函数法证明不等式的方法.第一问涉及求函数的参数，只需代入点的坐标解方程即可，涉及切线问题利用导数和斜率的对应关系易得.第二问求函数在某个区间上的最大值，需要对进行分类讨论，分类的依据是导数的零点是否在定义域内.第三问要证明不等式，先将其转化为同一个参数，然后利用导数求其最小值来求.
22. 已知曲线的参数方程为 （为参数），以直角坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程.
（1）求、的直角坐标方程；
（2）若曲线与曲线、曲线分别交于A，B两点，点 ，求的面积.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）消去参数，得到曲线的直角坐标方程，结合直角坐标与极坐标的互化公式，求得曲线的直角坐标方程；
（2）利用极坐标公式，求得曲线的极坐标方程，利用极坐标方程求得点的坐标，结合，结合三角形的面积，即可求解.
【小问1详解】
解：由曲线的参数方程为 （为参数），可得 ，
两式相减，可得，
又，当且仅当，即时，等号成立，
所以的直角坐标方程为，
因为曲线的极坐标方程，可得，
由，代入可得，即曲线的直角坐标方程为.
【小问2详解】
解：由曲线的直角坐标方程为，
可得曲线的极坐标方程为，即，
又由，可得，解得，即，
由，可得，所以，
又由点，如图所示，
所以的面积为
,
感染
未感染
总计
注射
10
40
50
未注射
20
30
50
总计
30
70
100
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
0
1
2
3