2023-2024学年广西来宾市忻城高级中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广西来宾市忻城高级中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.复数z=3−2i(i为虚数单位)的虚部为( )
A. 2B. −2C. 2iD. −2i
2.已知向量a=(t,1),b=(t+2,1)，若a⊥b，则实数t=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2 2,b=2,A=π4，则B=( )
A. π6B. π3C. 5π6D. π6或5π6
4.向量a=(6,2)在向量b=(2,−1)上的投影向量为( )
A. (2,−1)B. (1,−12)C. (4,−2)D. (3,1)
5.在正方体中，E，F，G，H分别是该点所在棱的中点，则下列图形中E，F，G，H四点共面的是( )
A. B.
C. D.
6.侧面积为2π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为( )
A. 2 155B. 155C. 2D. 1
7.如图，在△ABC中，设AB=a，AC=b，BD=2DC，AE=4ED，则BE=( )
A. 1115a−815b
B. 23a−815b
C. −1115a+815b
D. −23a+815b
8.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2B+sin2C−sin2A=sinBsinC，且bcsC+ccsB=2，则△ABC的面积的最大值为( )
A. 1B. 3C. 2D. 2 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a=(5,2),b=(1,m)，则以下说法正确的是( )
A. 若|b|>|a|，则m>2 7
B. 若b⊥a，则m=−52
C. 若b/​/a，则m=25
D. 若b与a夹角为锐角，则m的取值范围为(−52,+∞)
10.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A. 若m⊥α，n⊥α，则m/​/n
B. 若m/​/n，m/​/α，则n/​/α
C. 若m⊂α，n⊂β，则m，n是异面直线
D. 若α/​/β，m⊂α，n⊂β，则m/​/n或m，n是异面直线
11.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若A=π6，a=5，则△ABC外接圆半径为10
C. 若a=2bcsC，则△ABC为等腰三角形
D. 若b=6，a=2c，B=π3，则三角形面积S△ABC=6 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数zi=3+i(i为虚数单位)，且z的共轭复数为z−，则|z−|= ______．
13.如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是______．
14.《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”. 现有如图所示的“堑堵”ABC−A1B1C1，其中AC⊥BC，AA1=AC=1，当“阳马”四棱锥B−A1ACC1的体积为13时，则“堑堵”即三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量|a|=2,|b|=1，且(2a+b)⋅(a−b)=6．
(1)求向量a，b的夹角；
(2)求|a+4b|的值．
16.(本小题15分)
如图所示，在正六棱锥S−ABCDEF中，O为底面中心，SO=8，OB=4．
(1)求该正六棱锥的体积和侧面积；
(2)若该正六棱锥的顶点都在球M的表面上，求球M的表面积和体积．
17.(本小题15分)
某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.A处有一栋大楼，某学生选B，C两处作为测量点，测得BC的距离为50m，∠ABC=45°，∠BCA=105°，在C处测得大楼楼顶D的仰角α为75°．
(1)求A，C两点间的距离；
(2)求大楼的高度．
18.(本小题17分)
如图所示，在正方形ABCD中，|AB|=4，AE=14AB，CF=14CB，AF与DE交于点G，线BG的延长线交AD于点H．
(1)求AF⋅DE的值；
(2)若BG=μBH，求实数μ的值．
19.(本小题17分)
已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA(a2+b2−c2)=ab(2sinB−sinC)．
(1)求A；
(2)求sinB+sinC的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：复数z=3−2i(i为虚数单位)的虚部为−2．
故选：B．
利用复数的基本概念求解即可．
本题考查了复数的基本概念，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵a⊥b，
∴a⋅b=t(t+2)+1=0，解得t=−1．
故选：B．
根据a⊥b即可得出a⋅b=0，然后进行向量坐标的数量积运算即可求出t的值．
本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：∵a=2 2,b=2,A=π4，
∴由正弦定理可得：sinB=bsinAa=12，
∵b∴B∴B=π6．
故选：A．
由已知及正弦定理可求sinB，利用大边对大角可知B本题主要考查正弦定理，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：向量a=(6,2)，b=(2,−1)，
则a⋅b=6×2+2×(−1)=10，|b|= 22+(−1)2= 5，
故所求投影向量为：a⋅b|b|×b|b|=2b=(4,−2)．
故选：C．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平面的基本事实及推论的应用，四点共面的判断，解题的关键是由三点确定一个平面，再判断另一个点是否在平面内，属于较易题．
选项A，C，D中，由其中三个点确定一个平面，再判断第四个点是否在该平面内，选项B中通过证明两条直线平行，从而判断得到答案．
【解答】
解：对于选项A，点E，F，H确定一个平面，该平面与底面交于FM，
而点G不在直线FM上，
故E，F，G，H四点不共面；
对于选项B，连结底面对角线AC，
则由中位线定理可知，FG/​/AC，又EH/​/AC，
则EH/​/FG，
故E，F，G，H四点共面；
对于选项C，显然E，F，H所确定的平面为正方体的底面，
而点G不在该平面内，
故E，F，G，H四点不共面；
对于选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，可得一个正六边形，
即点E，G，H确定的平面，该平面与正方体正面的交线为PQ，
而点F不在直线PQ上，
故E，F，G，H四点不共面．
故选：B．
6.【答案】D
【解析】解：设圆锥的底面圆半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积为πrl=2π，
由侧面展开图是一个半圆，则2πr=πl，
解得l=2，r=1，
所以圆锥的底面半径为1．
故选：D．
设圆锥的底面圆半径为r，母线长为l，根据题意列方程组，即可求出r的值．
本题考查了圆锥的结构特征应用问题，是基础题．
7.【答案】C
【解析】解：因为BC=AC−AB=b−a，BD=2DC，
所以BD=23BC=23(b−a)，AD=AB+BD=23b+13a，
又因为AE=4ED，
所以DE=15DA=−15(23b+13a)=−215b−115a，
所以BE=BD+DE=23(b−a)−215b−115a=−1115a+815b．
故选：C．
利用向量加减法的运算和数乘运算得出所求解的向量与已知向量之间的关系，注意运算的准确性和向量倍数关系的正确转化．
本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：因为sin2B+sin2C−sin2A=sinBsinC，由正弦定理得b2+c2−a2=bc，
所以csA=b2+c2−a22bc=12，
又A∈(0,π)，
所以A=π3，
因为bcsC+ccsB=2，
所以ba2+b2−c22ab+ca2+c2−b22ac=2，
所以a=2，
由a2=b2+c2−2bccsA，得4=b2+c2−bc≥bc，
所以bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，
则S△ABC=12bcsinA= 34bc≤ 3，
所以△ABC的面积的最大值为 3．
故选：B．
根据sin2B+sin2C−sin2A=sinBsinC，利用正弦定理化角为边，结合余弦定理求得角A，再根据bcsC+ccsB=2，利用余弦定理化角为边求得边a，再利用余弦定理结合基本不等式求得bc的最大值，再根据三角形的面积公式即可得出答案．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：因为|b|>|a|，则m2+1>29,m2>28⇒m>2 7或m<−2 7，
故选项A不正确；
由b⊥a，则b⋅a=0⇒5×1+2×m=0⇒m=−52，
故选项B正确；
由b/​/a，则5×m=2×1⇒m=25，
故选项C正确；
D：若b与a夹角θ为锐角，则a⋅b=|a|⋅|b|csθ>0且不共线，
所以5×1+2×m>0⇒m>−52且5×m≠2×1⇒m≠25，
m的取值范围为(−52,25)∪(25,+∞)，
故选项D不正确．
故选：BC．
选项A利用向量模的坐标表示出来，然后解不等式即可；选项B由向量垂直，找出等式解出即可；选项C利用向量共线性质即可；选项D由向量夹角及数量积关系即可解决问题．
本题主要考查向量垂直、平行的性质，属于中档题．
10.【答案】AD
【解析】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，得：
对于A，若m⊥α，n⊥α，则由线面垂直的性质定理得m/​/n，故A正确；
对于B，若m/​/n，m/​/α，则n/​/α或n⊂α，故B错误；
对于C，若m⊂α，n⊂β，则m，n相交、平行或异面，故C错误；
对于D，若α/​/β，m⊂α，n⊂β，则m/​/n或m，n是异面直线，故D正确．
故选：AD．
对于A，由线面垂直的性质定理得m/​/n；对于B，n/​/α或n⊂α；对于C，m，n相交、平行或异面；对于D，m/​/n或m，n是异面直线．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：因为A>B，所以a>b，由正弦定理asinA=bsinB=2R，可得2RsinA>2RsinB，即sinA>sinB，A正确；
由正弦定理asinA=2R可知2R=10，所以△ABC外接圆半径为5，B不正确；
因为a=2bcsC，所以sinA=2sinBcsC，即sin(B+C)=2sinBcsC，
整理可得sinBcsC−csBsinC=0，即sin(B−C)=0，
因为B，C为三角形的内角，所以B=C，即△ABC为等腰三角形，C正确；
因为b=6，a=2c，B=π3，由余弦定理b2=a2+c2−2accsB得36=4c2+c2−2c2，解得c2=12，所以S△ABC=12acsinB=12×2c×c× 32=6 3，D正确．
故选：ACD．
利用三角形性质和正弦定理可知A正确，利用正弦定理可知B，C的正误，利用余弦定理及三角形面积公式可知D正确．
本题主要考查了三角形大边对大角，正弦定理，和差角公式及三角形面积公式的应用，属于中档题．
12.【答案】 10
【解析】解：由zi=3+i得|zi|=|3+i|，
所以|z|⋅|i|=|3+i|，即|z|= 10，
所以|z−|=|z|= 10．
故答案为： 10．
根据复数模长的性质求解
本题主要考查复数模长的性质，属于基础题，
13.【答案】2+ 2
【解析】解：根据斜二侧画法可知，原图形为直角梯形，其中上底AD=1，高AB=2A′B′=2，下底为BC=1+ 2，
∴1+1+ 22×2=2+ 2．
故答案为：2+ 2．
原图为直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+ 2，利用梯形面积公式求解即可．也可利用原图和直观图的面积关系求解．
本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，比较基础．
14.【答案】 32π
【解析】【分析】
本题考查棱锥的体积，球的体积，球的切、接问题，属于中档题．
先根据棱锥的体积公式求出BC的长度，进而由勾股定理求出球的直径，再利用球的体积公式可得答案．
【解答】
解：由题意得BC⊥平面A1ACC1，
则四棱锥B−A1ACC1的体积为13×1×1×BC=13，
所以BC=1，
此时三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的直径A1B= 12+12+12= 3，
故三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的体积为43π×( 32)3= 32π．
故答案为： 32π．
15.【答案】解：(1)由|a|=2,|b|=1，(2a+b)⋅(a−b)=6，可得2a2−a⋅b−b2=2×4−a⋅b−1=6，解得a⋅b=1，
则cs〈a,b〉=a⋅b|a||b|=12，
又因为〈a,b〉∈[0,π]，所以〈a,b〉=π3．
(2)由|a|=2,|b|=1且a⋅b=1，
则|a+4b|= a2+8a⋅b+16b2= 4+8+16=2 7．
【解析】(1)根据(2a+b)⋅(a−b)=6，求得a⋅b=1，利用夹角公式，即可求解；
(2)根据|a+4b|= a2+8a⋅b+16b2，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
16.【答案】解：(1)由条件可知正六边形ABCDEF的边长为4，
所以底面积为6×12×42sinπ3=24 3，
该正六棱锥的体积为13×8×24 3=64 3．
正六棱锥的侧棱长为 42+82=4 5，
侧面等腰三角形的面积为12×4× (4 5)2−22=4 19，
故该正六棱锥的侧面积为6×4 19=24 19．
(2)球心M一定在直线SO上，设球M的半径为R，
则R=MS=MB，
又MB2=OM2+OB2，
所以R2=(8−R)2+42，解得R=5．
所以球M的表面积为4πR2=100π，
体积为43πR3=5003π
【解析】(1)由正六棱锥的几何特征，再应用体积和侧面积公式求解即可；
(2)由正六棱锥的几何特征，根据球的表面积和体积求解即得．
本题主要考查球的表面积和体积，属于中档题．
17.【答案】解：(1)在△ABC中，∠BAC=180°−105°−45°=30°，
根据正弦定理可知：BCsin∠BAC=ACsin∠ABC，则50sin30∘=ACsin45∘，
所以AC=50 2m；
(2)tan75°=tan(45°+30°)=tan45°+tan30°1−tan45∘tan30∘=1+ 331− 33=2+ 3，
在△DCA中，因为DA⊥AC，则ADAC=tanα，
所以AD=ACtan75°=50 2tan75°
∴AD=50 2(2+ 3)=100 2+50 6m．
【解析】(1)直接根据正弦定理即可求AC；(2)大楼的高度AD=ACtan75°即可得．
本题考查正弦定理，考查三角函数在实际中应用．
18.【答案】解：(1)因为CF=14CB，所以BF=34BC，
所以AF=AB+BF=AB+34BC=AB+34AD，
AE=14AB，DE=AE−AD=14AB−AD，
因为|AD|=|AB|=4，AB⋅AD=0，
所以AF⋅DE=(AB+34AD)⋅(14AB−AD)=14AB2−1316AB⋅AD−34AD2=14×42−1316×0−34×42=−8；
(2)设AG=λAF，
因为BF=34BC，BC=AD，
所以AG=λAF=λAB+λBF=λAB+34λAD，
设EG=tED，又AE=14AB，
则AG=AE+EG=14AB+tED=14AB+t(AD−14AB)=(14−14t)AB+tAD，
所以λ=14−14t34λ=t，解得λ=419t=319，
所以AG=419AB+319AD，
所以BG=AG−AB=419AB+319AD−AB=−1519AB+319AD，
又BG=μBH，
所以BH=1μBG=−1519μAB+319μAD，
所以AH=AB+BH=(1−1519μ)AB+319μAD，
又A，H，D三点共线，即AH,AD共线，
所以1−1519μ=0，
所以μ=1519．
【解析】(1)利用基向量AB,AD表示AF,DE，再利用平面向量数量积的运算律和定义即可求AF⋅DE；
(2)设AG=λAF，EG=tED，根据平面向量的线性运算利用AE,AD表示AG，根据平面向量基本定理求λ，再表示BG,BH，根据A，H，D三点共线求μ．
本题考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理，平面向量的数量积，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由条件得2sinA⋅a2+b2−c22ab=2sinB−sinC，
由余弦定理得2sinAcsC=2sinB−sinC，
因为A+B+C=π，所以2sinAcsC=2sin(A+C)−sinC，
得2sinAcsC=2sinAcsC+2csAsinC−sinC，即sinC=2csAsinC，
因为sinC≠0，所以csA=12，
又0(2)sinB+sinC=sinB+sin(2π3−B)= 32csB+32sinB= 3sin(B+π6)．
因为△ABC为锐角三角形，
所以0<2π3−B<π2，且0所以 3sin(B+π6)∈(32, 3],
即sinB+sinC的取值范围是(32, 3]．
【解析】(1)利用余弦定理进行求解即可；
(2)利用两角差的正弦公式和辅助角公式，结合正弦函数的性质进行求解即可．
本题主要考查解三角形，正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．