2024年黑龙江省哈尔滨市第六十九中学（哈西校区）中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 的倒数是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是一个数的倒数，根据两个数乘积为1，则这两个数互为倒数即可得到答案．
【详解】解：的倒数是，
故选：B．
2. 下列运算中，正确的是( )．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项、幂乘方、同底数幂的乘法、同底数幂除法法则，即可判断．
【详解】解：
A． ，故本题不合题意；
B． ，故本题符合题意；
C． 故本题不合题意；
D． ，故本题不合题意．
故选：B
【点睛】本题考查合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法，掌握相应的法则是解题的关键．
3. 下面的图案中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．
故选C．
4. 如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题解析：从正面看得到从左往右3列正方形的个数依次为1，1，2，
故选A.
考点：简单组合体的三视图．
5. 把抛物线y=﹣x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A. y=﹣（x+3）2+1B. y=﹣（x+1）2+3
C. y=﹣（x﹣1）2+4D. y=﹣（x+1）2+4
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【详解】解：抛物线y=﹣x2+1向左平移1个单位，得：y=﹣（x+1）2+1；
然后向上平移3个单位，得：y=﹣（x+1）2+1+3．
即y=﹣（x+1）2+4，
故选D．
6. 如图，在半径为1的中，延长直径AB至点C，使，是的切线，D为切点，则的长是（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，，根据切线的性质和已知条件得出，证明为等边三角形，得出，根据三角函数求出即可．
【详解】解：连接，，如图所示：
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，三角函数的应用，等边三角形的判定和性质，直径所对的圆周角为直角，解题的关键是作出辅助线，求出．
7. 分式方程解为（ ）．
A. B. C. 无解D.
【答案】A
【解析】
【分析】观察方程可得最简公分母是：，两边同时乘最简公分母可把分式方程化为整式方程来解答．
【详解】解：
方程两边同乘以得
，
解得．
经检验：是原方程的解．
故选：A
【点睛】本题考查了解分式方程，它的的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．
8. 如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’，若AC⊥A’B’，则∠BAC等于（ ）
A 50°B. 60°C. 70°D. 80°
【答案】A
【解析】
【分析】已知旋转角度，旋转方向，可求∠A′CA，根据互余关系求∠A′，根据对应角相等求∠BAC．
【详解】解：依题意旋转角∠A′CA=40°，
由于AC⊥A′B′，由互余关系得∠A′=90°-40°=50°，
由对应角相等，得∠BAC=∠A′=50°．
故选A．
9. 如图，菱形周长为，，垂足为，，则长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，勾股定理，根据题意得出，，勾股定理求得，进而可得，最后利用勾股定理，即可求解．
【详解】解：∵菱形周长为，
∴
∵，，
∴，则
∴
∴，
故选：B．
10. 如图，是的中位线，点F在线段上，，连接交于点E，下列说法不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】A．根据中位线性质得出，根据平行线分线段成比例定理，即可判断A正确；
B．根据中位线的性质得出，，根据，得出，即可判断B正确；
C．根据，，即可判断C错误；
D．根据，，即可判断D正确．
【详解】解：A．∵是的中位线，
∴，，，
∴，故A正确，不符合题意；
B．∵，
∴点E为的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
C．∵M为的中点，
∴，
∵，
∴，故C错误，符合题意；
D．∵，，
∴，故D正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了中位线的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11. 中国航母辽宁舰是中国人民解放军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为吨，将数据用科学记数法表示为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 函数中，自变量x的取值范围是_____．
【答案】x≠﹣1
【解析】
【详解】根据分式有意义的条件是分母不为0，可得x+1≠0，
解得x≠﹣1，
故答案为：x≠﹣1．
【点睛】考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．
13. 分解因式：______．
【答案】2a（a-2b）2
【解析】
【分析】首先提取公因式2a，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
=2a（a2-4ab+4b2）
=2a（a-2b）2．
故答案为：2a（a-2b）2．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
14. 不等式组的解集为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
故答案为：．
15. 如图，已知A为反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为B．若的面积为2，则k的值为__________________．
【答案】
【解析】
【分析】再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|=2，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【详解】解：∵AB⊥y轴，
∴S△OAB=|k|，
∴|k|=2，
∵k＜0，
∴k=-4．
故答案为：-4．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
16. 一个不透明的袋子中装有4个除颜色外其它都完全相同的小球，其中3个红色，1个白色，随机从袋中同时摸出两个球，则这两个球颜色相同的概率是________．
【答案】##05
【解析】
【分析】列举出所有情况，让两个球颜色相同的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】解：画树状图如下：
从袋中任意地同时摸出两个球共12种情况，其中有6种情况是两个球颜色相同；
故其概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或B的概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17. 已知扇形的弧长为，直径为16，则此扇形的圆心角为______．
【答案】90°##90度
【解析】
【分析】利用扇形的弧长公式计算即可．
【详解】解：设扇形的圆心角为n°，
∵直径是16，
∴此圆的半径为8，
则，
解得，n=90，
故答案为：90°
【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中，，，若轴上有一点，使得的值最小，则点坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求，由于点的坐标易得，于是利用待定系数法可求出直线的解析式，再求出直线与x轴的交点即可．
【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求，连接，
∵被轴垂直平分，
∴，
∴，
∴此时的值最小．
∵，
∴，
∵，
设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为．
当时，则，解得：．
∴点的坐标为．
故答案为：．
19. 已知正方形边长为4，在直线上有一点E，且，过点A作的垂线交直线于点F，则的长为_____．
【答案】3或5##5或3
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，线段的和差等，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．根据题意画出图形，可分两种情况讨论：①当E在的延长线上时，根据证明，则，根据线段的差可得的长；②当E在边上时，同理可得：，根据线段的和可得的长．
【详解】解：根据题意分两种情况讨论：
如图1，当E在的延长线上时，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，

，
，
，
当E在边上时，如图2，
同理可得：，
，
，
综上所述，则的长为3或5；
故答案为：3或5．
20. 中，，，，若，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，过点作于点，得出，进而可得，求得，设，则，得出，进而得出，根据，设，则，得出，最后在中，根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵，，
又
∴
∵，，
∴
∴
∴
在中，，
设，则，
∴
解得：
∴，
在中，，
∴
∵
∴
∴，
设，则，
∴，
∵
∴，则
∴
在中，
∴
故答案为：．
三、解答题（其中21、22题各7分，23、24题各8分，25、26、27题各10分）
21. 先化简，再求值，其中x＝2sin60°－tan45°
【答案】,
【解析】
【分析】先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可.
【详解】原式

把代入，
考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键.
22. 已知：图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为，点、点在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画出平行四边形（点、在小正方形的顶点上），使平行四边形的面积为；
（2）在图2中画出（点在小正方形的顶点上），使是等腰三角形且，直接写出线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析,
【解析】
【分析】本题考查了正切的定义，等腰三角形，平行四边形的性质，勾股定理与网格作图；
（1）根据题意作出底边为，高为的平行四边形，由勾股定理可得，则作，即可求解；
（2）根据，结合网格的特点作等腰直角三角形，即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，四边形即为所求；
∵，
∴平行四边形的面积为；
【小问2详解】
解：如图所示，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，则．
23. 某社区为了调查居民对“物业管理”的满意度，随机抽取了部分居民作问卷调查：用“”表示“相当满意”，“”表示“满意”，“”表示“比较满意”，“”表示“不满意”，下图是工作人员根据问卷调查统计资料绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题：
（1）本次问卷调查，共调查了多少人？
（2）通过计算将图（2）中“”部分的图形补充完整．
（3）如果该社区有居民人，请你估计该社区居民对“物业管理”感到“不满意”的约有多少人？
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查条形图、扇形统计图、利用样本估计总体；
（1）用“”部分人数占比即可求解；
（2）先求得部分的人数，进而补全统计图，即可求解；
（3）根据样本估计总体，即可求解．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
部分的人数为：，
补充统计图如图所示，
【小问3详解】
解：依题意，估计该社区居民对“物业管理”感到“不满意”的约有（人）
答：估计该社区居民对“物业管理”感到“不满意”的约有．
24. 已知，中，，点，，分别是边，，的中点，连接与．
（1）如图1，求证：四边形是菱形；
（2）如图2，连接，若，，请直接写出图中所有长为的线段和四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）、、，
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，中位线的性质，勾股定理；
（1）利用已知条件和中位线性质，即可证明四边形DFBE是菱形；
（2）根据中点的性质以及中位线的性质得出,连接，根据三线合一可得，进而勾股定理求得的长，进而根据菱形的性质，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵点，，分别是边，，的中点，
∴，
∵
∴
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵，是边的中点，
∴
∵点，分别是边，的中点，
∴
连接，
∵
∴
在中，
∴菱形的面积为
25. 某中学为了鼓励学习进步的学生，准备在文具店购买、两种笔记本发给学生，已知种笔记本的单价比种笔记本的单价少元，已知用元购买种笔记本的数量与用元购买种笔记本的数量相等．
（1）求、两种笔记本的单价各为多少元?
（2）根据需要，学校准备购买、两种笔记本共本，学校购买两种笔记本的总费用不超过元，求学校购买种笔记本的数量至少有多少本?
【答案】（1）单价元，单价元
（2）至少本
【解析】
【分析】本题考查了分式方程、一元一次不等式的应用，
（1）设B种文具的单价为元，则A种文具的单价为元，根据题意列分式方程并求解，即可得到答案；
（2）设买A种a本，则购买B种文具数量为根据题意，列一元一次不等式并求解，即可得到答案．
【小问1详解】
解：设B种笔记本的单价为元，则A种笔记本的单价为元
根据题意，得：
解得：
经检验是原方程的解，
答：单价元，单价元
【小问2详解】
解：设买A种a本，则购买B种笔记本数量为
；
答：至少本.
26. 如图，是的弦，是的直径，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，上有一点，连接、，交于点，若，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，过作于，延长交于点，若，，求的半径长．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）连接，根据题意得出得出，，则垂直平分即可证明；
（2）连接，根据得出，进而根据同弧所对的圆周角相等可得，进而得出，根据三线合一可得，即可得证；
（3）连接交于点，连接并延长交于点，设，证明垂直平分，根据已知条件得出，进而得出，连接，则在中，，进而勾股定理，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴；
【小问2详解】
证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
则，
∵，则，即，
又∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图所示，连接交于点，连接并延长交于点，

∵，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴（三角形的三条高交于一点），
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
连接，设圆的半径为，
中，，
∴，
解得：，即圆的半径为．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，垂径定理，等腰三角形的性质与判定，弧与圆周角的关系，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键．
27. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，，且．
（1）如图1，求此抛物线的解析式；
（2）如图2，点是抛物线的顶点，点在第一象限对称轴右侧的抛物线上，的横坐标为，的面积为，求与的关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
（3）如图3，在（2）的条件下，点、在的延长线上，连接、、，，，且，求点坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意得出，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）先求得直线的解析式为，作轴交直线于点，则，，进而根据，即可求解．
（3）连接，过点作于点，延长使得，连接，
先证明是等腰直角三角形，进而根据已知条件得出四点共圆，则，，证明得出，设，又，在中，根据勾股定理可得得出，则，解得出的坐标，进而求得直线的解析式，联立抛物线解析式，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
代入得，
解得：
∴
【小问2详解】
∵
∴，
∵点在第一象限对称轴右侧的抛物线上，的横坐标为，
∴
设直线的解析式为，代入，，
得
解得：
∴直线的解析式为
作轴交直线于点
∴
∴
∴
∴
【小问3详解】
解：如图所示，连接，过点作于点，延长使得，连接
∵，，
∴，
∴
∴是等腰直角三角形，
∵
∴四点共圆，则，
∴，是等腰直角三角形，则
设
∴，
∴
∵，
∴
∴
在中，
∴
∴
∵，又
∴
∴
设，又
∴，，
在中，根据勾股定理可得
∴
∴
过点作于点，
∵
∴
∴
即
∵
设，则
∴
解得：（负值舍去）
∴
∴
设直线的解析式为
将，代入
∴
解得：
∴
联立
解得：（舍去）
∴
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，一次函数，熟练掌握勾股定理是解题的关键．