2024年广东省中考数学三模预测训练试卷解析

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），
请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．的相反数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据相反数的定义进行求解即可．
【详解】解：的相反数是，
故选A．
2．如图所示，水平放置的几何体的左视图是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用空间思维结合几何体左视图的看法找出正确答案即可.
【详解】该几何体从左面看可得到一个带有虚线的矩形.
故选：D.
据国家统计局2024年1月17日公布的数据，初步核算，
2023年我国国内生产总值约为1260000亿元．
将1260000亿元用科学记数法表示为 （ ）
A．亿元 B．亿元 C．亿元D．亿元
【答案】B
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：1260000亿元亿元，
故答案为：B.
某校即将举行田径运动会，小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，
随机选择一项参赛，则他选择“100米”项目的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了根据概率公式求概率，根据题意直接根据概率公式，即可求解．
【详解】解：四个项目中，随机选择一项参赛，则他选择“100米”项目的概率是,
故选：B．
5．下图是某平台销售的折叠椅子及其左视图，已知与地面平行，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行内错角相等的性质即可求出，根据邻补角的性质求出．
【详解】解：根据题意得： ，，
，
，
故选：D．
6．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对应的点在数轴上的位置，利用不等式的性质逐一判断即可．
【详解】解：由数轴得：，，
故选项A不符合题意；
∵，∴，故选项B不符合题意；
∵，，∴，故选项C不符合题意；
∵，，∴，故选项D符合题意；
故选：D．
7 .如图，小李利用镜面反射原理测树高，小李在点，镜子为点，表示树，
点，，在同一水平线上，小李身高米，米，米，则树高为（ ）

A．4米B．5米C．6米D．7米
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定；根据题意得出，代入数据，即可求解．
【详解】如图可知：，，
，，
，
，
∴，
米，米，米，
∴，
解得：，
答：树高为米．
故选：A．
如图所示，小亮设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：
在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，右侧用一个弹簧测力计向下拉，
改变弹簧测力计与支点O的距离，观察弹簧测力计的示数的变化情况．
实验数据记录如下表：

下列说法不正确的是（ ）
A．弹簧测力计的示数与支点O的距离之间关系的图像如图
B．y与x的函数关系式为
C．当弹簧测力计的示数为时，弹簧测力计与O点的距离是37.5
D．随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小
【答案】C
【分析】仔细观察表格，在坐标系中分别描出各点，并平滑曲线连接这些点，即可画出函数图像；观察所画图形，回想常见几种函数的图像特征，即可判断出函数类型，利用待定系数法求出函数关系式；把代入上面所得关系式求解，并根据函数的性质判断弹簧秤与O点的距离不断增大时的弹簧测力计示数变化情况．
【详解】解：由图像猜测y与x之间的函数关系为反比例函数．
所以设
把代入求得
∴
将其余各点代入验证均适合，
∴y与x的函数关系式为，
把代入得，
∴当弹簧测力计的示数为时，弹簧测力计与O点的距离是，
随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小．
故选：C．
如图（a），A，B是⊙O上两定点，，圆上一动点P从点B出发，
沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段AP的长度是．
图（b）是y随x变化的关系图象，其中图象与x轴交点的横坐标记为m，则m的值是（ ）
A．8B．6C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图形，合理分析动点的运动时间是解题关键．
根据最长时经过的路程所用的运动时间，求出总路程所用的时间是之前的三倍，即可解答．
【详解】解：如图，当点运动到过圆心，即为直径时，最长，
由图（b）得，最长时为6，此时，
，
，
此时点路程为90度的弧，
点从点运动到点的弧度为270度，
运动时间为，
故选：B．
如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，
点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，
已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，
则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）

A． B．C． D．
【答案】B
【分析】依次分析当、、三种情况下的三角形面积表达式，再根据其对应图像进行判断即可确定正确选项．
【详解】解：如图所示，分别过点D、点C向AB作垂线，垂足分别为点E、点F，
∵已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，
∴DE=CF=4，
∵点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，
∴PQ∥DE∥CF，
∵AD=5，
∴,
∴当时，P点在AE之间，此时，AP=t，
∵,
∴，
∴，
因此，当时，其对应的图像为，故排除C和D；
∵CD＝3，
∴EF=CD=3，
∴当时，P点位于EF上，此时，Q点位于DC上，
其位置如图中的P1Q1，则，
因此当时，对应图像为，即为一条线段；
∵∠ABC＝45°，
∴BF=CF=4，
∴AB=3+3+4=10，
∴当时，P点位于FB上，其位置如图中的P2Q2，此时，P2B=10-x，
同理可得，Q2P2=P2B=10-x，
，
因此当时，对应图像为，
其为开口向下的抛物线的的一段图像；
故选：B．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11. 因式分解：= ．
【答案】2（x+3）（x﹣3）
【分析】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可．
【详解】=2（x2-9）=2（x+3）（x-3）．
故答案为：2（x+3）（x﹣3）
已知点，在直线上，且，
则_______·（填“”“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据当时，y随x的增大而减小，即可求解．
【详解】解：∵，
∴y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故答案为：．
如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】延长FA交⊙A于G，如图所示：根据六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，利用外角和求得∠GAB=，再求出正六边形内角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°， 利用扇形面积公式代入数值计算即可．
【详解】解：延长FA交⊙A于G，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，
∴∠GAB=，
∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴，
故答案为．
14 .2023年元旦期间，小华和家人到广州景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：
2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．
则1艘大船可以满载游客的人数为 ．

【答案】人
【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为人，
故答案为：人．
15. 如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，
点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，
则这个反比例函数的表达式是__________．

【答案】
【解析】
【分析】设正方形的边长为m，根据，，得到，根据矩形对边相等得到，推出，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到，得到，推出．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
设正方形的边长为m，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设反比例函数的表达式为，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴这个反比例函数的表达式是，
故答案为：．
如图，在矩形中，E，F分别是边，上的动点，P是线段的中点，
，，G，H为垂足，连接．若，，，则的最小值是 ．

【答案】7
【分析】本题考查了矩形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质与判定，求出的最小值是解本题的关键．
连接，，，由勾股定理得，再根据直角三角形斜边上的中线性质得，然后证四边形是矩形，得，当，，三点共线时，最小，进而得解．
【详解】连接，，，如图所示，

四边形是矩形，，
，，
，
，
是线段的中点，，
，
，，
四边形是矩形，
，
当，，三点共线时，最小，
此时，，
的最小值是．
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算：．
【答案】2
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数函数值、零次幂、负整数次幂等知识，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键．
先根据特殊角的三角函数函数值、零次幂、负整数次幂化简，然后再计算即可．
【详解】解：
.
18. 如图，已知，平分，
求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查对全等三角形的判定，三角形的角平分线定义；根据角平分线的定义得出，根据即可证出答案．
【详解】证明：平分，
，
在和中
，
．
中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》
是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．
某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题
在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．

请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________部；
（2）扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为________度；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．
【答案】（1）1，2；（2）°；（3）见解析；（4）见解析，
【分析】（1）先根据调查的总人数，求得2部对应的人数，进而得到本次调查所得数据的众数以及中位数；
（2）根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°，即可得到“4部”所在扇形的圆心角；
（3）根据2部对应的人数，即可将条形统计图补充完整；
（4）根据列表所得的结果，可判断他们选中同一名著的概率．
【详解】解：（1）调查的总人数为：10÷25%=40，
∴2部对应的人数为40-2-14-10-8=6，
∴本次调查所得数据的众数是1部，
∵2+14+10=26＞21，2+14＜20，
∴中位数为2部．
故答案为：1，2
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：
故答案为：72°.
（3）2部对应的人数为：40-2-14-10-8=6人
补全统计图如图所示．
（4）将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D，
画树状图可得：
由图可知，共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，．
故答案为：．
20. 消防车是救援火灾的主要装备，图①是一辆登高云梯消防车的实物图，
图②是其工作示意图，起重臂（20米30米）是可伸缩的，
且起重臂可绕点A在一定范围内上下转动张角，
转动点A距离地面的高度为4米．

当起重臂的长度为24米，张角时，
云梯消防车最高点C距离地面的高度的长为__________米．
某日一栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为26米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？
请说明理由（参考数据：）
（提示：当起重臂伸到最长且张角最大时，云梯顶端C可以达到最大高度）
【答案】(1)16
(2)能
【分析】（1）过点作，在中求出的长度，然后计算即可；
（2）当起重臂最长，转动张角最大时，同样求出的长度，与26米比较即可.
【详解】（1）解：如图，过点作，
由题意的：，，
，
，
在中，
，
，
米．
故答案为：16；
（2）解：当起重臂最长，转动张角最大时，
即：米，，
，
，
米．
，
能实施有效救援．
21. 在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．
（1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？
（2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？
【答案】（1）购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为元
（2）购买吊兰的数量最多为17盆
【解析】
【分析】（1）设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为元，然后可得方程为，进而求解即可；
（2）设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为盆，然后可列不等式进行求解．
【小问1详解】
解：设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为元，由题意得：
，
解得：，
经检验：当时，则，
∴是原方程的解，
∴，
答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为元；
【小问2详解】
解：设购买吊兰数量为m盆，则购买绿萝的数量为盆，由（1）及题意得：
，
解得：，
∵m是整数，
∴m取最大值为17；
答：购买吊兰的数量最多为17盆．
如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，
反比例函数，在第一象限的图象经过正方形的顶点．
（1）求点的坐标和反比例函数的解析式：
（2）若点为直线上的一动点（不与点重合），在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点的坐标为；
（2）存在，或或
【解析】
【分析】（1）过点作轴于点，证明，根据全等三角形的性质分别求出、，求出点的坐标，进而求出反比例函数解析式；
（2）过点作轴于点，同（1）得出点的坐标，进而求得的解析式，设，，又，，根据分别为对角线，根据中点坐标公式即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，过点作轴于点，
则，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，，，
，
，，
，
点的坐标为，
将点的坐标为代入，
得，
∴反比例函数的关系式为；
【小问2详解】
解：如图所示，过点作轴于点，
同（1）可得，
∴
∴
设直线的解析式为，则
解得：，
∵点为直线上的一动点（不与点重合），点在轴
设，，又，
①当为对角线时，
解得：， 则
当对角线时，
解得：， 则
当为对角线时，
解得：，则
综上所述：以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，或或．
23. 如图，为经过圆心的一条线段，且与交于点．
过在的上方作的切线，切点为，过作，垂足为，与交于点．
请尺规作图，不用写作图的详细步骤．
(2)求证：平分；
(3)若，，求的半径．
【答案】(1)作图见解析；
(2)证明见解析；
(3)．
【分析】（）作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，为半径画圆，交于点，作射线，由直径所对的圆周角是直角可得，即为的切线，再根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出；
（）证明可得，又由，得到，进而得到，即可求证；
（）连接，证明，得到，由根据，得到，求出即可求解；
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：如图，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分
（3）解：连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∵是切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴的半径为．
如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
抛物线的对称轴l与x轴交于M点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求PA+PC长；
(3)已知点N（0，﹣1），在y轴上是否存在点Q，使以M、N、Q为顶点的三角形与△BCM相似？若存在；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3
(2)PA+PC的长为
(3)存在，点Q的坐标为或，理由见解析
【分析】（1）当x＝0时，y＝3，可得C（0，3）．再设设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），利用待定系数法，即可求解；
（2）连接PA、PB、PC，根据轴对称性可得PA＝PB．从而得到PA+PC＝PC+PB．进而得到当点P在线段BC上时，PC+AP有最小值．即可求解；
（3）先求出抛物线的对称轴，可得点，再由点N（0，﹣1），B（3，0），C（0，3）．可得，可得∠CBM=∠MNO，然后分三种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：把x＝0代入得：y＝3，
∴C（0，3）．
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），
将点C的坐标代入上式得：3＝﹣3a，解得：a＝﹣1．
∴抛物线的解析式为y＝-（x+1）（x-3）=﹣x2+2x+3．
（2）解：如图，连接PA、PB、PC，
∵点A与点B关于直线l对称，点P在直线l上，
∴PA＝PB．
∴PA+PC＝PC+PB．
∵两点之间线段最短，
∴当点P在线段BC上时，PC+AP有最小值．
∵OC＝3，OB＝3，
∴BC＝．
∴PA+PC的最小值＝．
（3）解：存在，理由：
抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1．
∵抛物线的对称轴l与x轴交于M点．
∴点，
∵点N（0，﹣1），B（3，0），C（0，3）．
∴OM=ON=1，OB=OC=3，
∴，
∴∠CBM=∠MNO，
当点Q在点N下方时，∠MNQ=135°，不符合题意，
∴点Q在点N上方，
设点Q的坐标为（0，n）．则QN=n+1，
∵以M、N、Q为顶点的三角形与△BCM相似，
∴∠QMN=∠CMB或∠MQN=∠CMB，
当时，，如图（2），
∴，
∴，解得：，
∴点；
当时，，如图（3），
∴，
∴，解得：，
∴点，
综上所述，点Q的坐标为或．
25 .（1）问题发现：如图1，在和中，，，，
连接交于点M，填空： ； ；
类比探究：如图2，在和中，，，
连接交的延长线于点M，请判断的值及的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将绕点O旋转至点C与点M重合，若， ，填空： ．
【答案】（1）1，；（2），，理由见解析；（3）或
【分析】（1）如图1中，设交于J．证明，推出，可得结论．
（2）设交于J．证明，推出，可得结论．
（3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得，则，，可得的长．
【详解】解：（1）如图1中，设交于J．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
故答案为：1，．
（2）如图2中，结论：，，
理由：在中，
∵，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
在中，
；
（3）拓展延伸
①点C与点M重合时，如图（3），同（2）得：，
∴，，
在中，
；
∵，，
∴，
∴，
设，则，
中，，
∴，
∴，
中，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
整理得：，
∴，
∴（舍去），
∴，
∴；
②点C与点M重合时，如图（4），同理得：，，
设，则，
在中，，
由勾股定理得：，
∴，
整理得，
∴，
∴（舍去），，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
故答案为：或
……
10
15
20
25
30
……
……
45
30
22.5
18
15
……