2023年广东省广州113中中考数学三模试卷（含解析）

这是一份2023年广东省广州113中中考数学三模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省广州113中中考数学三模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  要使在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知点在第一象限，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 3.  下列运算中，正确的是(    )A.  B.
C.  D. 4.  下列说法中，正确的是(    )A. 为了解长沙市中学生的睡眠情况实行全面调查
B. 一组数据，，，，，，的众数是
C. 明天的降水概率为，则明天下雨是必然事件
D. 若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更稳定5.  如图，是的直径，点、在上，，，则的长度是(    )A.
B.
C.
D. 6.  将等腰直角三角形纸片和长方形纸片按如图方式叠放，若，则的度数为(    )
 A.  B.  C.  D. 7.  如图，在中，，点和点分别是和上的点，已知，，，，则的长为(    )A.
B.
C.
D. 8.  已知，如图，点是以为直径的半圆上一点，过点作的切线，于点，若，则的度数是(    )A.
B.
C.
D. 9.  如图，在矩形中，，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线分别交，于点，，则的长为(    )A.
B.
C.
D. 10.  如图，直角三角形顶点在矩形的对角线上运动，连接，，，则的最小值为(    )
A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.  某种芯片每个探针单元的面积为，用科学记数法可表示为______．12.  分解因式： ______ ．13.  已知一个多边形的每个外角都是，这个多边形是______边形．14.  某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥．他们制作的圆锥，母线长为，底面圆的半径为，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是          ．15.  已知，是方程的两个实数根，则的值是______ ．16.  如图，，点是线段上的一点，分别以、为边在的同侧作等边三角形和等边三角形，、相交于点，则点从点运动到点时，点的运动路径长含与点、重合为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
18.  本小题分
已知：如图，为上一点，，，．
求证：．
19.  本小题分先化简，再求值：，其中． 20.  本小题分
某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团．学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：

求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；
若全校共有学生人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；
甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．21.  本小题分
五一节前，某商店拟用元的总价购进、两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进台已知购进台种品牌电风扇所需费用与购进台种品牌电风扇所需费用相同，购进台种品牌电风扇与台种品牌电风扇共需费用元．
求、两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？
销售时，该商店将种品牌电风扇定价为元台，种品牌电风扇定价为元台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？22.  本小题分
如图，为的直径，点是弧的中点，交于点，，．
求证：∽；
求的值．
23.  本小题分
如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点、若，．
求一次函数和反比例函数的表达式；
求的面积．
 
 
 24.  本小题分
如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接点从点出发，沿方向匀速运动、速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为交于点，连接，，设运动时间为解答下列问题：
当时，求的值；
设四边形的面积为，求与之间的函数关系式；
是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

 25.  本小题分
已知抛物线过点，交轴于，两点点在点左侧，交轴于点，且对于任意实数，恒有成立．
求抛物线的解析式；
在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
若，，三点都在抛物线上且总有，请直接写出的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：在实数范围内有意义，
，
．
故选：．
根据二次根式中的被开方数是非负数，列出不等式，解之即可得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出被开方数的取值范围是解题关键．
 2.【答案】 【解析】解：点在第一象限，

解得：．
故选：．
根据点在第一象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是正数求解即可．
本题考查解一元一次不等式组，掌握坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，每个象限内的点的坐标符号的特点是解题的关键．
 3.【答案】 【解析】【分析】
根据同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式，逐项分析计算即可求解．
本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式，熟练掌握运算运算法则是解题的关键． 
【解答】
解：，故选项A正确，符合题意；
，故选项B不正确，不符合题意；
 ，故选项C不正确，不符合题意；
，故选项D不正确，不符合题意；
故选：．  4.【答案】 【解析】解：为了解长沙市中学生的睡眠情况实行抽样调查，故此选项不符合题意；
B.一组数据，，，，，，的众数是和，故此选项不符合题意；
C.明天的降水概率为，则明天不一定会下雨，原说法错误，故此选项不符合题意；
D.若平均数相同的甲、乙两组数据，，，，则乙组数据更稳定，原说法正确，故此选项符合题意．
故选：．
依据全面调查、抽样调查、众数、概率以及方差的概念进行判断，即可得出结论．
本题主要考查了全面调查、抽样调查、众数、概率以及方差的概念．方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则各数据与平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 5.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
在中，，
即，
，
故选：．
先根据圆周角定理求得，然后解直角三角形即可．
本题主要考查了圆周角定义及其推论，以及解直角三角形，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，直径所对的圆周角为直角，以及解直角三角形的方法和步骤是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：如图，

由题意可知，是等腰直角三角形，，
，
由题意可知，，，
，
．
故选：．
根据等腰直角三角形的性质可得，再根据平行线的性质可知，然后由即可求出答案．
本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行线的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：在中，，，
，即，
解得，
，
，
，
，
，即，
解得．
故选：．
先在中根据正弦的定义和勾股定理可得、，进而得到，最后根据运用正弦的定义即可解答．
本题主要考查了正弦的定义、勾股定理等知识点，灵活运用正弦的定义成为解答本题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：连接，如图，

是的切线，
，
．
，
，
，
．
故选：．
连接，利用圆的半径相等和切线的性质解答即可．
本题主要考查了圆周角定理，圆的有关性质，切线的性质定理，连接过切点的半径是常添加的辅助线．
 9.【答案】 【解析】解：设与的交点为，

四边形为矩形，
，，，
为直角三角形，
，，
，，
又由作图知为的垂直平分线，
，，
在中，，
，
，
．
故选：．
根据矩形可知为直角三角形，根据勾股定理可得的长度，在中得到，又由题知为的垂直平分线，于是，，于是在中，利用锐角三角函数即可求出的长．
本题主要考查矩形的性质，锐角三角函数，垂直平分线，勾股定理，掌握定理以及性质是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：过点作于点，连接，如图所示：
，
、、、四点共圆，
，
，，
，
，
定值，
点在射线上运动，
当时，的值最小，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
即，
，
在中，由勾股定理得：，
的最小值．
故选：．
过点作于点，连接，由，推出、、、四点共圆，再证定值，推出点在射线上运动，当时，的值最小，然后求出与，即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质、锐角三角函数的定义、勾股定理、四点共圆、圆周角定理、轨迹、三角形面积以及最小值问题等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质，利用垂线段最短解决最值问题是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：．
故答案为：．
绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 12.【答案】 【解析】解：

，
故答案为：．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 13.【答案】五 【解析】解：．
故这个多边形是五边形．
故答案为：五．
任何多边形的外角和是用外角和除以每个外角的度数即可得到边数．
此题主要考查了多边形的外角和，关键是掌握任何多边形的外角和都是．
 14.【答案】 【解析】解：设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是，
，
解得，
即这种圆锥的侧面展开图的圆心角是，
故答案为：．
根据题意可知，圆锥的底面圆的周长扇形的弧长，即可列出相应的方程，然后求解即可．
本题考查圆锥的计算，解答本题的关键是明确圆锥的底面圆的周长扇形的弧长．
 15.【答案】 【解析】解：，是方程的两个实数根，
，，，
故答案为：．
将代数式同时加上和减去，根据一元二次方程的解及根与系数的关系直接求解即可得到答案．
本题考查一元二次方程的解及根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握，．
 16.【答案】 【解析】解：如图，设交于．

，都是等边三角形，
，，，
，
≌，
，
，
，
定值，
点的运动轨迹是以为圆心为半径的弧，
在优弧收入取一点，连接，，
，
，
，
作，，
，，
，
的长．
点的运动轨迹的长为．
如图，设交于证明≌，推出，推出定值，可得点的运动轨迹是以为圆心为半径的弧，利用弧长公式计算即可．
本题考查轨迹，全等三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考常考题型．
 17.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
将不等式解集表示在数轴如下：

则不等式组的解集为． 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据解集在数轴上的表示即可确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 18.【答案】证明：，
，
在和中，

≌，
． 【解析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，涉及到平行线的性质知识点，比较简单．
由、平行，可知，再根据已知条件，即可得到≌，即得结论．
 19.【答案】解：原式

，
时，
原式． 【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 20.【答案】解：本次调查的学生人数为：人，
则科普类的学生人数为：人，
补全条形统计图如下：

愿意参加劳动社团的学生人数为：人；
把阅读、美术、劳动社团分别记为、、，
画出树状图如下：

共有种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选中同一社团的结果有种，
甲、乙两名同学恰好选中同一社团的概率为． 【解析】用愿意参加阅读类社团的学生人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生人数，即可解决问题；
用全校共有学生人数乘以愿意参加劳动社团的学生人数所占的比例即可；
画出树状图，共有种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选中同一社团的结果有种．再根据概率公式即可求解．
此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 21.【答案】解：设、两种品牌电风扇每台的进价分别是元、元，
，
解得，
答：、两种品牌电风扇每台的进价分别是元、元；
设购进种品牌的电风扇台，购进种品牌的电风扇台，利润为元，
，
某商店拟用元的总价购进、两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进台，
且，，
，
或或，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
由上可得，当，时，取得最大值，
答：为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用购进种品牌的电风扇台，购进种品牌的电风台． 【解析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以计算出、两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元；
根据题意和中的结果，可以写出利润与购进和两种品牌的电风扇数量的函数关系式，再根据某商店拟用元的总价购进、两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进台，可以写出相应的方案，再分别计算出各种方案下的利润，即可得到获得最大利润的方案．
本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用方程的知识解答．
 22.【答案】证明：如图，连接，
点是弧的中点，
，
又，
．
又，
∽；

解：，，
，
∽，为的直径，
，
∽，
，
，
，
在中，． 【解析】根据已知条件可以推出弧与弧相等，所以，结合图形，即可推出∽，
根据相似三角形的性质，就可推出的长度，根据锐角三角函数的定义即可求出的值．
本题主要考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、锐角三角函数的定义，关键在于找到相似三角形，根据相关的定理求出有关边的长度．
 23.【答案】解：在中，，
，
，，
，
，两点在直线上，
，，
直线的解析式为，
过点作于点，
，
，
，
∽
，
，，
，
，
反比例函数的解析式为；

由，解得或
，
过点作轴于点，



． 【解析】本题考查一次函数与反比例函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，属于中考常考题型．
求出，两点坐标，代入直线的解析式求出，，再求出点的坐标，求出即可；
构建方程组求出点的坐标，再利用割补法求出三角形面积．
 24.【答案】解：如图：

在中，，
将绕点按逆时针方向旋转得到，
，，，，
，
，
，
∽，
，即，
，
；
答：的值为；
过作于，过作于，如图：

将绕点按逆时针方向旋转得到，
，即，
，
，
，
∽，
，即，
，
，
，
，，
∽，
，即，
，
，


；
答：与之间的函数关系式是；
存在某一时刻，使，理由如下：
过作于，如图：

由知，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
解得，
答：存在，当时，． 【解析】由将绕点按逆时针方向旋转得到，知，，，，证明∽，有，可得，即得的值为；
过作于，过作于，证明∽，有，，即得，，由∽，可得，，从而；
过作于，证明∽，有，即可解得．
本题考查三角形综合应用，涉及旋转变换，相似三角形的判定与性质，三角形、四边形面积等，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
 25.【答案】解：对于任意实数，恒有成立，
顶点的纵坐标为，
即，
解得：舍去或，
故抛物线的表达式为：；

存在，理由：
对于，当时，，
令，则或，即点、的坐标分别为：、，
，则，
则点在的外接圆上，

作的中垂线交抛物线的对称轴于点，则点是的外接圆的圆心，
则点是、的中点，则点的坐标为，
则直线的表达式为：，
由抛物线的表达式知，其对称轴为，
当时，，则点，
设点，
则，
即，
解得：，
即点或；

由抛物线的图象知，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
根据函数的对称性，点不可能在对称轴上，
，
当在对称轴右侧时，
则在对称轴的右侧，必然在对称轴的左侧，
此时，、、离对称轴的距离依次减小，
即且，
解得：；
当在对称轴左侧时，
列出的表达式和在对称轴右侧完全一致，
故． 【解析】由成立，得到顶点的纵坐标为，即可求解；
由，得到点在的外接圆上，进而求解；
根据函数的对称性，点不可能在对称轴上，当在对称轴右侧时，则在对称轴的右侧，必然在对称轴的左侧，此时，、、离对称轴的距离依次减小，即可求解；当在对称轴左侧时，列出的表达式和在对称轴右侧完全一致，即可求解．
本题考查了二次函数综合运用，涉及到圆的基本知识、解不等式、一次函数的性质等，熟练运用二次函数的增减性是解题的关键．