2024年中考数学模拟检测卷02（全国通用）-备战2024年中考数学真题题源解密（全国通用）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.）
1．（3分）根据以下程序，当输入x＝7时，输出的y值为（ ）
A．B．C．﹣2D．5
解：根据题意知：x＝7＞1，则将x＝7代入y＝中得：
y＝，
故选：B．
2．（3分）函数y＝+（x﹣1）﹣1，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1B．x≥﹣1C．x＞﹣1且x≠1D．x≥﹣1且x≠1
解：根据题意得：x+1≥0且x﹣1≠0，
解得：x≥﹣1且x≠1．
故选：D．
3．（3分）已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长的平方为（ ）
A．16B．34C．16或34D．4
解：当第三边是斜边时，则有第三边的平方＝9+25＝34；
当第三边是直角边时，则有第三边的平方＝25﹣9＝16．
则第三边长的平方为16或34．
故选：C．
4．（3分）某校九年级学生篮球赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场．若参赛的班级共有x个，共比赛了15场，则x满足的方程是（ ）
A．B．x（x﹣1）＝15
C．x（x+1）＝15D．
解：设共有x个班参赛，
根据题意得：，
故答案为：D．
5．（3分）下列说法错误的有（ ）
（1）两个会重合的三角形一定成中心对称；
（2）成轴对称的两个图形中，对称点的连线段互相平行；
（3）线段的垂直平分线是线段的对称轴；
（4）由平移得到的图形一定可由翻折得到；
（5）旋转对称图形不一定是中心对称图形，但中心对称图形一定是旋转对称图形．
A．1B．2C．3D．4
解：（1）两个会重合的三角形不一定成中心对称，本说法错误；
（2）成轴对称的两个图形中，对称点的连线段互相平行或在同一条直线上，本说法错误；
（3）线段的垂直平分线是线段的对称轴，本说法正确；
（4）由平移得到的图形不一定可由翻折得到，本说法错误；
（5）旋转对称图形不一定是中心对称图形，但中心对称图形一定是旋转对称图形，本说法正确；
故选：C．
6．（3分）在方程2x+3y＝6中，用含x的代数式表示y的形式，则正确的是（ ）
A．y＝B．x＝C．y＝6﹣2xD．x＝6﹣3y
解：方程2x+3y＝6，
解得：y＝，
故选：A．
7．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a4+a2＝a6B．a5•a2＝a7
C．（ab5）2＝ab10D．a10÷a2＝a5
解：A、a4+a2，无法计算，故此选项错误；
B、a5•a2＝a7，正确；
C、（ab5）2＝a2b10，故此选项错误；
D、a10÷a2＝a7，故此选项错误；
故选：B．
8．（3分）直线y＝2（x﹣1）向下平移3个单位长度得到的直线是（ ）
A．y＝2（x﹣3）B．y＝3x﹣3C．y＝2x﹣5D．y＝2x﹣2
解：将线y＝2（x﹣1）向下平移3个单位长度后得到的直线解析式为y＝2（x﹣1）﹣3，
即y＝2x﹣5．
故选：C．
9．（3分）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，则∠C的度数是（ ）
A．55°B．45°C．42°D．40°
解：∵△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，
∴∠AOD＝∠BOC＝40°，OA＝OD，∠B＝∠C，
∴∠A＝70°，
∵∠AOC＝105°，
∴∠AOB＝65°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠AOB＝180°70°﹣65°＝45°，
∴∠C＝45°，
故选：B．
10．（3分）如图△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝x，∠BAC＝α，O为AB中点，若点D为直线BC下方一点，且△BCD与△ABC相似，则下列结论：
①若α＝45°，BC与OD相交于E，则点E不一定是△ABD的重心；
②若α＝60°，则AD的最大值为；
③若α＝60°，△ABC∽△CBD，则OD的长为；
④若△ABC∽△BCD，则当x＝2时，AC+CD取得最大值．
其中正确的为（ ）
A．①④B．②③C．①②④D．①③④
解：①有3种情况，如图1，BC和OD都是中线，点E是重心；
如图2，四边形ABDC是平行四边形，F是AD中点，点E是重心；
如图3，点F不是AD中点，所以点E不是重心；
故①正确；

②当a＝60°，如图，AD取得最大值，AB＝4，
∴AC＝BE＝2，BC＝AE＝2，BD＝BC＝6，
∴DE＝8，
∴AD＝2≠2，
∴②错误．
③如图，若a＝60°，△ABC∽△CBD，
∴∠BCD＝60°，∠CDB＝90°，AB＝4，AC＝2，BC＝2，OE＝，CE＝1，
∴CD＝，GE＝DF＝，CF＝，
∴EF＝DG＝，OG＝，
∴OD＝，
∴③错误．
④如图，△ABC∽△BCD，
∴＝，
即CD＝，
在Rt△ABC中，BC2＝16﹣x2，
∴CD＝（16﹣x2）＝﹣x2+4，
∴AC+CD＝x﹣x2+4＝﹣（x﹣2）2+5，
当x＝2时，AC+CD最大为5，
故④正确．
故选：A．
第Ⅱ卷
二、填空题：（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.）
11．（3分）据《经济日报》2020年12月2日报道：“1﹣10月份，中国进出口总额达25950000000000元，同比增长1.1%，连续5个月实现正增长”．将数据25950000000000用科学记数法表示为 2.595×1013 ．
解：25950000000000＝2.595×1013．
故答案为：2.595×1013．
12．（3分）若三棱柱的高为6cm，底面边长都为5cm，则三棱柱的侧面展开图的周长为 42 cm，面积为 90 cm2．
解：三棱柱的侧面展开图是3个长为6，宽为5的长方形，也可看作是一个长为18，宽为5的长方形，
所以三棱柱的侧面展开图的周长为：（18+5）×2＝46（cm）；
面积为18×5＝90（cm2）．
故答案为：42，90．
13．（3分）在函数y＝x+4中，自变量x的取值范围是 全体实数 ．
解：在函数y＝x+4中，自变量x的取值范围是全体实数，
故答案为：全体实数．
14．（3分）a与2b互为相反数，则a2+4ab+4b2＝ 0 ．
解：由a与2b互为相反数，得到a+2b＝0，
则原式＝（a+2b）2＝0．
故答案为：0．
15．（3分）已知a2﹣a﹣1＝0，且，则x＝ 4 ．
解：∵＝﹣，
∴6a4﹣9xa2+6＝﹣2a3﹣4xa2+2a，
整理得：x＝，
∵a2﹣a﹣1＝0，
∴a2＝a+1，
则x＝
＝
＝
＝
＝4．
故答案为：4．
16．（3分）写出一个反比例函数，使它的图象在第二、四象限，这个函数的解析式是 y＝﹣ ．
解：当k＜0时，图象在二、四象限，如y＝﹣．
故答案为：y＝﹣．
17．（3分）对于抛物线y＝﹣4x+x2﹣7，有下列说法，①抛物线的开口向上，②对称轴为x＝2，③顶点坐标为（2，﹣3），④点（﹣，﹣9）在抛物线上，⑤抛物线与x轴有两个交点．其中正确的有 ①②⑤ ．
解：①∵y＝﹣4x+x2﹣7中，二次项系数1＞0，
∴抛物线开口向上，故本选项正确；
②∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣7，
∴对称轴为x＝﹣＝2，故本选项正确；
③将x＝2代入解析式得，y＝﹣8+4﹣7＝﹣11，
则顶点坐标为（2，﹣11）；故本选项错误；
④将x＝﹣代入解析式得y＝﹣4×（﹣）+（﹣）2﹣7＝﹣．
则函数顶点坐标为（﹣，﹣），故本选项错误；
⑤∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣7，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣7）＝44＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点，故本选项正确．
故答案为①②⑤．
18．（3分）如图1的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的．它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形．我们在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若S1＝S2，则的值为 ．
解：设图2中AB＝x，则CD＝AB＝x，
∴S△ACD＝＝，
∴S2＝4S△ACD＝2x2，
∵S1＝S2，S1+S2＝m2，
∴4x2＝m2，
∴m＝2x，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，
∴x2+（x+n）2＝m2，
∴x2+（x+n）2＝4x2，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题：（本大题共10个小题，共96分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤。
19．（8分）（1）解方程：x2+x﹣1＝0；
（2）解不等式组．
解：（1）a＝1，b＝1，b＝﹣1，
∵△＝1+4＝5＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）由①得：x≥﹣3，
由②得：x＜2，
∴不等式组的解集为：﹣3≤x＜2．
20．（8分）（1）计算：sin45°﹣（π﹣4）0+2﹣1；
（2）化简：（1+a）（1﹣a）+a（a﹣2）．
解：（1）原式＝﹣1+
＝﹣
＝；
（2）原式＝1﹣a2+a2﹣2a
＝1﹣2a．
21．（8分）如图，在△ABC中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF到点E，使DF＝EF，连接BE．
求证：（1）△ADF≌△BEF；
（2）四边形BCDE是平行四边形．
证明：（1）∵F是AB的中点，
∴AF＝BF，
在△ADF和△BEF中，
，
∴△ADF≌△BEF（SAS）；
（2）∵点D，F分别为边AC，AB的中点，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∵EF＝DF，
∴EF＝DE，
∴DF+EF＝DE＝BC，
∴四边形BCDE是平行四边形．
22．（8分）为了解学生对校园安全知识的掌握情况，现随机选取甲，乙两个班，从中各随机抽取20名同学组织一次测试，并对在本次测试成绩（满分为100分）进行统计学处理，过程如下：
【收集数据】
甲班20名同学的成绩统计数据：（单位：分）
87 90 60 77 92 83 56 76 85 71
95 95 90 68 78 80 68 95 85 81
乙班20名同学中成绩在70≤x＜80分之间数据：（满分为100分）（单位：分）
70 72 75 76 76 78 78 78 79
【整理数据】（成绩得分用x表示）
（1）完成下表
甲班成绩得分扇形统计图（x表示分数）
【分析数据】请回答下列问题：
（2）填空：
（3）在甲班成绩得分的扇形统计图中，成绩在70≤x＜80的扇形所对的圆心角为 72 度．
（4）若成绩不低于80分为优秀，请以甲班、乙班共40人为样本估计全年级1600人中优秀人数为多少？
解：（1）由题意可知，乙班在70≤x＜80的数据有9个，在80≤x＜90的有20﹣1﹣1﹣9﹣4＝5个，
故答案为：9，5；
（2）甲班20人中得分出现次数最多的是95分，共出现3次，因此甲班学生成绩的众数a＝95，
将乙班20名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝78.5，因此中位数b＝78.5，
故答案为：95，78.5；
（3）360°×＝72°，
故答案为：72；
（4）1600×＝840（人），
答：甲班、乙班共40人为样本估计全年级1600人中优秀人数约为840人．
23．（8分）如图所示，AB是⊙O的直径，AB＝10，CD、EF是⊙O的两条弦，CD⊥AB于点M，EF⊥AB于点N，CD＝8，EF＝6．
（1）求MN的长；
（2）若点P为AB上的动点，请确定点P的位置，使得PC+PE的值最小，并求出最小值．
解：（1）连接AC，BC，AE，BE，如图1所示：
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点M，CD＝8，
∴CM＝DM＝4，弧AC＝弧AD，
∴∠ACM＝∠CBM，
又∵∠AMC＝∠CMB＝90°，
△ACM∽△CBM，
∴CM：BM＝AM：CM，
∴CM2＝AM•BM，
∵AB＝10，则BM＝AB﹣AM＝10﹣AM，
∴42＝AM（10﹣AM），
整理得：AM2﹣10•AM＝16＝0，
解得：AM＝2，或AM＝8，
如图所示，AM＝8不合题意，舍去；
∴AM＝2，
同理：BN＝1，
∴MN＝AB﹣AM﹣BN＝10﹣2﹣1＝7．
（2）连接CF交AB于点P，则点P为所求的点，
此时PC+PE的值为最小，理由如下：
∵AB是⊙O的直径，EF⊥AB，
∴AB平分EF，
∴点E，F关于直线AB对称，
根据轴对称图形可知：PC+PE＝CF，此时PC+PE的值为最小．
过点E作EH⊥CD于H，过点F作FT⊥CD于T，连接PE，如图2所示：
∴AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CM＝DM＝4，
∴点C，D关于直线AB对称，
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF，
∵EH⊥CD，FT⊥CD，
∴EH∥DF，
∴四边形EFTH为矩形，
∴HT＝EF＝6，EH＝FT＝MN＝7，
∴点H，T关于直线AB对称，
∴HM＝MT＝HT＝3，
∴CH＝DT＝1，
∴CT＝7，
在Rt△CTF中，由勾股定理得：CF＝＝7，
∴PC+PE的最小值为7．
24．（8分）现有三位“抗疫”英雄（依次标记为A，B，C）．为了让同学们了解他们的英雄事迹，张老师设计了如下活动：取三张完全相同的卡片，分别在正面写上A，B，C三个标号，然后背面朝上放置，搅匀后请一位同学从中随机抽取一张，记下标号后放回，要求大家依据抽到标号所对应的人物查找相应“抗疫”英雄资料．
（1）求班长在这三种卡片中随机抽到标号为C的概率；
（2）用树状图或列表法求小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率．
解：（1）∵共有三张卡片，分别是A，B，C三个标号，
∴班长在这三种卡片中随机抽到标号为C的概率为；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的结果有6种，
∴小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率为＝．
25．（10分）已知：如图，Rt△ABC，∠C＝90°．
（1）用直尺和圆规作一个圆，使圆心O在AC上，且与AB，BC相切；
（2）若BC＝8，AC＝6，求⊙O的半径．
解：（1）如图，⊙O即为所求；
作∠ABC的平分线，交AC于点O，
以点O为圆心，OC长为半径画圆，
∵∠ACB＝90°，
∴OC⊥BC，且OC＝r，
∴BC与⊙O相切，
过点O作OD⊥AB于点D，
∵OB平分∠ABC，且OC⊥BC，OD⊥AB，
∴OC＝OD＝r，且OD⊥AB，
∴AB与⊙O相切；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°．BC＝8，AC＝6，
∴AB＝＝10，
在△ADO和△ACB中，
∠A＝∠A，∠ADO＝∠ACB＝90°，
∴△ADO∽△ACB，
∴＝，
即＝，
解得r＝．
所以⊙O的半径为．
26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）若对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，求t的值；
（2）若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围．
解：（1）∵对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，
∴a+b+c＝4a+2b+c，
∴3a+b＝0，
∴＝﹣3．
∵对称轴为x＝﹣＝，
∴t＝．
（2）∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，
∴，x1＜x2，
∵y1＜y2，a＞0，
∴（x1，y1）离对称轴更近，x1＜x2，则（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴的右侧，
∴＞t，
即t≤．
27．（13分）（1）如图1，正方形ABCD中，点E为CD边上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE交AD边于点F，将△BCE沿直线BE折叠后，点C落在点C′处，连接BF，当点C′恰好落在BF上时，求的值；
（2）在（1）的条件下，如图2，若把正方形ABCD改成菱形ABCD，且∠D＝60°，∠BEF＝120°，其他条件不变，请求出的值．
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，
由折叠得BC′＝BC，∠BC′E＝∠C＝90°，∠BEC′＝∠BEC，
∵EF⊥BE，
∴∠BEF＝90°，
∴∠FEC′＝90°﹣∠BEC′＝90°﹣∠BEC＝∠FED，
∵∠EC′F＝∠D＝90°，EF＝EF，
∴△EC′F≌△EDF（AAS），
∴C′F＝DF，
设AB＝AD＝BC＝BC′＝DC＝x，C′F＝DF＝m，
∵AB2+AF2＝BF2，
∴x2+（x﹣m）2＝（x+m）2，
解关于x的方程得x1＝4m，x2＝0（不符合题意，舍去），
∴＝＝4，
∴的值是4．
（2）如图2，在DC上截取DH＝DF，连接FH，
∵四边形ABCD是菱形，∠D＝60°，
∴BC∥AD，△DFH是等边三角形，
∴∠C＝180°﹣∠D＝120°，∠DHF＝60°，HF＝DF＝DH，
∴∠EHF＝180°﹣∠DHF＝120°，
∴∠EHF＝∠C，
∵∠BEF＝120°，
∴∠HEF＝180°﹣∠BEF﹣∠BEC＝60°﹣∠BEC，
∵∠CBE＝180°﹣∠C﹣∠BEC＝60°﹣∠BEC，
∴∠HEF＝∠CBE，
∴△HEF∽△CBE，
∴∠EFH＝∠BEC，＝，
由折叠得∠BC′E＝∠C＝120°＝∠BEF，∠BEC′＝∠BEC，C′E＝CE，
∵∠EBC′＝∠FBE，
∴△EBC′∽△FBE，
∴∠BEC′＝∠BFE，
∴∠EFH＝∠BEC＝∠BEC′＝∠BFE，
在FB上截取FI＝FH，连接EI，
∵∠EFI＝∠EFH，EF＝EF，
∴△EFI≌△EFH（SAS），
∴∠EIF＝∠EHF＝120°，IE＝HE，
∵∠EC′I＝180°﹣∠BC′E＝60°，∠EIC′＝180°﹣∠EIF＝60°，
∴∠EC′I＝∠EIC′，
∴IE＝C′E，
∴HE＝CE，
∴＝，DC＝BC＝CE+HE+DH＝2CE+DF
∴CE2＝DF•DC，CE＝（DC﹣DF），
∴（DC﹣DF）2＝DF•DC，
设DC＝y，DF＝n，则（y﹣n）2＝ny，
解关于y的方程得y1＝3n+2n，y2＝3n﹣2n（不符合题意，舍去），
∴＝＝3+2，
∴的值是3+2．
28．（13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝x2上有两点A、B，其中点A的横坐标为﹣2，点B的横坐标为1，抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c过点A、B．过A作AC∥x轴交抛物线C1另一点为点C．以AC、AC长为边向上构造矩形ACDE．
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）将矩形ACDE向左平移m个单位，向下平移n个单位得到矩形A′C′D′E′，点C的对应点C′落在抛物线C1上．
①求n关于m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；
②直线A′E′交抛物线C1于点P，交抛物线C2于点Q．当点E′为线段PQ的中点时，求m的值；
③抛物线C2与边E′D′、A′C′分别相交于点M、N，点M、N在抛物线C2的对称轴同侧，当MN＝时，求点C′的坐标．
（1）根据题意，点A的横坐标为﹣2，点B的横坐标为1，代入抛物线C1：y＝x2，
∴当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2＝4，则A（﹣2，4），
当x＝1时，y＝1，则B（1，1），
将点A（﹣2，4），B（1，1）代入抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴抛物线C2的解析式为y＝﹣x2﹣2x+4．
（2）①∵AC∥x轴交抛物线另一点为C，
当y＝4时，x＝±2，
∴C（2，4），
∵矩形ACDE向左平移m个单位，向下平移n个单位得到矩形A′C′D′E′，点C的对应点C′落在抛物线C1上．
∴C′（2﹣m，4﹣n），（2﹣m）2＝4﹣n，
整理得n＝﹣m2+4m，
∵m＞0，n＞0，
∴0＜m＜4，
∴n＝﹣m2+4m（0＜m＜4）；
②如图，
∵A（﹣2，4），C（2，4），
∴AC＝4，
∵，
∴E（﹣2，6），
由①可得A′（﹣2﹣m，m2﹣4m+4），E′（﹣2﹣m，m2﹣4m+6），
∴P，Q的横坐标为﹣2﹣m，分别代入C1，C2，
∴P（﹣2﹣m，m2+4m+4），Q（﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+4），
∴，
∴PQ的中点坐标为（﹣2﹣m，m+4），
∵点E′为线段PQ的中点，
∴m2﹣4m+6＝m+4，
解得m＝或m＝（大于4，舍去）．
③如图，连接MN，过点N作NG⊥E′D′于点G，
则NG＝2，
∵，
∴，
设N（a，﹣a2﹣2a+4），则M（a﹣，﹣a2﹣2a+6），
将M点代入y＝﹣x2﹣2x+4，
得，
解得a＝，
当a＝，，
∴，
将y＝代入y＝x2，
解得（小于﹣1，舍去），
∴
分数/班级
0≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
甲班（人数）
1
3
4
6
6
乙班（人数）
1
1
9
5
4
平均分
中位数
众数
甲班
80.6
82
a＝ 95
乙班
80.35
b＝ 78.5
78