云南省昆明市云南师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期4月教学测评期中数学试卷（原卷版+解析版）

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第I卷（选择题，共58分）
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A. 0.13B. 0.37C. 0.63D. 0.87
3. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二节气的日影长成等差数列，若前九个节气日影长之和为85.5尺，则雨水日影长为（ ）
A. 10.5尺B. 9.5尺C. 8.5尺D. 7.5尺
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 若的展开式中项的系数是，则实数的值为（ ）
A. 1或B. 1或C. 或D. 或
6. 从1，2，3，4，5，6中选出5个数字组成一个没有重复数字五位数，其中1，2两数只能放在个位或者万位，能组成多少个这样的五位数？（ ）
A. 144个B. 96个C. 72个D. 36个
7. 的内角的对边分别为若边上的高等于，且的面积为，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知分别为双曲线的左、右焦点，点为双曲线右支上一点且点在轴上的射影恰为该双曲线的右焦点交双曲线于另一点，满足，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知样本数据的平均数为，添加一个数据形成一组新的数据，下列说法正确的是（ ）
A. 新数据与原数据的极差可能相同B. 新数据与原数据的中位数不可能相同
C. 新数据与原数据的平均数可能相同D. 若，则新数据的方差大于原数据方差
10. 某设备生产的10件产品中有6件一等品，4件二等品，现从中任取4件，记随机变量为取出一等品的件数，随机变量为取出二等品的件数，若取出一件一等品得2分，取出一件二等品得分，随机变量为取出4件产品的总得分，则下列结论中正确的是（ ）
A. 服从超几何分布B. C. D.
11. 已知函数的定义域为，其导函数为的导函数为，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 若无解，则
C. 若有一个解，则D. 若有两个解，则
第II卷（非选择题，共92分）
注意事项：
第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 现有6名志愿者要去四个社区参加志愿活动，每名志愿者可自由选择其中的1个社区，记去社区的志愿者人数为，则______________．
13. 盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶．由于盒子上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”．某销售网点为了调查是否购买该款盲盒与性别的关系，得到如下列联表：
则认为是否购买该款盲盒与性别有关出错的可能性为______________．
附：
，其中．
14. 斐波那契数列(Fibnacci sequence)由数学家莱昂纳多-斐波那契(Lenard Fibnacci)以兔子繁殖为例子而引入，又称为“兔子数列”．斐波那契数列有如下递推公式：，通项公式为，故又称黄金分割数列．若且，则中所有元素之和为偶数的概率为______________．(结果用含的代数式表达)
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知函数在处取得极值0．
（1）求及的单调区间；
（2）直线与函数的图象相切于点，且与直线垂直，求点的坐标．
16. 大气污染物浓度超过一定的限度会影响人的健康，为了研究的浓度是否受到汽车流量的影响，某校数学建模社团选择了某市8个监测点，统计每个监测点内过往的汽车流量(单位：千辆)，同时在低空相同的高度测定每个监测点该时间段内的的平均浓度(单位：)，得到的数据如下表所示：
并计算得：．
（1）求变量y关于的线性回归方程；
（2）根据内浓度确定空气质量的等级标准，则浓度在为优良．建模社团计划从8个监测点中随机抽3个监测点再做一次数据统计，记抽到空气质量优良的监测点个数为，求的分布列与期望．
参考公式：线性回归方程为，其中以．
17. 如图所示，在三棱锥中，是边长为的等边三角形，分别为的中点．

（1）求证：；
（2）若二面角余弦值为，求：
①长；
②直线与平面所成角的正弦值．
18. 已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与椭圆相交于A，B两点，且．
（1）求粗圆的方程；
（2）为坐标原点，若直线与椭圆交于M，N两点，直线OM的斜率为，直线ON的斜率为，当时，面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
19. 贝叶斯公式中，称为先验概率，称为后验概率．先验概率表达了对事件的初始判断，当新的信息出现后，我们可以利用贝叶斯公式求出后验概率，以此修正自己的判断并校正决策．利用这种思想方法我们来解决如下一个实际问题．
某趣味抽奖活动准备了三个外观相同的不透明箱子，已知三个箱子中分别装有10个红球、5个红球5个白球、10个白球(球的大小、质地相同)．抽奖活动共设计了两个轮次：
第一轮规则：抽奖者从三个箱子中随机选择一个箱子，并从该箱子中取出两球（分两次取出，每次取一球，取出的球不放回)，若取出的两个球都是红球则可以进入第二轮，否则抽奖活动结束(无奖金)．
第二轮规则：进入第二轮的抽奖者可以选择三种抽奖方案．方案一：就此停止，并获得奖金300元；方案二：继续从第一轮抽取的箱子中再取一球，若为红球则可获得奖金400元，若为白球奖金变为0元；方案三：不再从第一轮抽取的箱子中取球，而是从另外两个箱子中随机选择一个箱子，并从中取出一球，若为红球则可获得奖金800元，若为白球奖金变为80元．
（1）求抽奖者在第一次取出红球的条件下，能进入第二轮的概率；
（2）在第二轮的三种抽奖方案中，从抽奖者获得奖金的数学期望的角度，找出三种抽奖方案的最佳方案．女生
男生
总计
购买
40
20
60
未购买
70
70
140
总计
110
90
200
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
监测点编号
1
2
3
4
5
6
7
8
千辆)
1300
1.444
0.786
1.652
1.756
1.754
1.200
0.908
66
76
21
170
156
120
72
129