福建省泉州市实验中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（满分：150分；考试时间：120分钟）
一．选择题（共10小题，每题4分，共40分）
1. 分式和的最简公分母是（ ）
A. xyB. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简公分母的确定方法解答即可．
【详解】解：分式和的最简公分母是，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了最简公分母的确定方法，确定最简公分母的一般方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
2. 下列各式中，①；②；③；④．计算正确的有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了负指数幂、零指数幂、同底数幂的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．根据负指数幂、零指数幂、同底数幂的乘方运算法则进行逐一判断即可．
【详解】解：①，故①错误；
②，故②错误；
③，故③正确；
④，故④正确；
综上分析可知，正确的有2个．
故选：C．
3. 若点与点关于y轴对称，则点所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”，求出a、b的值，即可确定点M的坐标，进而得到结论．
【详解】解：点与点关于y轴对称，
∴，，
∴在第一象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征，判断点所在的象限，关于y轴对称的点的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数．
4. 已知，，是反比例函数的图像上的三个点，且，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图像所在的象限，再根据，，则，，的大小关系即可．
【详解】∵反比例函数中，
∴函数图像在二、四象限，
∴在每一个象限内随的增大而增大，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A
【点睛】本题考查的是反比例函数图像上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图像在二、四象限是解答此题的关键．
5. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天：若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列列出的分式方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意先求得快马的速度和慢马的速度，根据快马的速度是慢马的2倍列分式方程即可．
【详解】解：设规定时间为x天，
根据题意得慢马的速度为，快马的速度为，
∵快马的速度是慢马的2倍，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程是解题的关键．
6. 已知，函数与在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数图象所经过的象限来判定k的符号；然后由k的符号来确定反比例函数图象所经过的象限．
【详解】解：A、因为函数的图象经过，故A不符合题意；
B、因为函数的图象经过，故B不符合题意；
C、由一次函数的图象可知，由反比例函数的图象可知，两结论矛盾，故C不符合题意；
D、由一次函数的图象可知，由反比例函数的图象可知，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是一次函数和反比例函数的图象的性质，掌握一次函数和反比例函数的图象的性质是解题的关键．
7. 若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的方程的解，解出分式方程，根据解是非负数判断范围是解题的关键，别忘记分式的分母不为零．解出分式方程，根据解是非负数求出m的取值范围，再根据时分式方程的增根，求出此时m的值，即可得到答案．
详解】解：去分母得，，
解得，，
∵分式方程的解为非负数，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴m的取值范围是且，
故选：D．
8. 已知关于的一次函数为，下列说法中错误的是（ ）
A. 函数图像与轴交于点
B 若，则函数图像经过第一、三、四象限
C. 若函数图像经过原点，则
D. 无论为何实数，函数图像总经过
【答案】A
【解析】
【分析】令，即可求得函数图象与轴交于点，即可判断，根据二次函数的性质即可判断B；把代入即可判断C；把代入解析式求得，即可判断D．
【详解】解：A．当时，，
函数图象与轴交于点，故说法错误，符合题意；
B．，，
函数图象经过第一、三、四象限，故说法正确，不符合题意；
C．函数图象经过原点，，
，故说法正确，不符合题意；
D．，时，，
函数的图象总经过，故说法正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数图象上点的坐标特征；熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
9. 如图，四边形中，，，，，．是的中点，则的长为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线等知识；正确作出辅助线是解题关键．
延长到点E，使，过点E作于点F，利用平行线的性质求得四边形是矩形，于是可得和，由的长进而可得，在中利用勾股定理求得后，根据三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半即可
【详解】如下图，延长到点E，使，过点E作于点F，
∵，，
，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
，
中由勾股定理可得，
∵M是的中点，C是的中点，
∴是的中位线，
，
故选∶C．
10. 如图，反比例函数（，）的图象经过矩形对角线交点，分别与、相交于点、，若四边形的面积为12，则的值是（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】分别找出△OCE、△OAD、□OABC的面积与|k|的关系，列出等式求出k值．
【详解】解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE=|k|，S△OAD=|k|，
过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S矩形ONMG=|k|，
又∵M为矩形ABCO对角线的交点，则S矩形ABCO=4S矩形ONMG=4|k|，
由于函数图象在第一象限，
∴k＞0，则++12=4k，
∴k=4．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．
二．填空题（共6小题，每题4分，共24分）
11. 新冠病毒的直径大约是米长，用科学记数法表示为__________．
【答案】
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了用科学记数法表示较小的数，解题的关键是：一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12. 函数中，自变量x的取值范围是__________．
【答案】x≥-2且x≠1
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出结论．
【详解】解：由题意可得
解得x≥-2且x≠1
故答案为：x≥-2且x≠1．
【点睛】此题考查的是求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解决此题的关键．
13. 如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P(m，3)．则关于x的不等式x+2≥ax+c的不等式的解为_____．
【答案】x≥1
【解析】
【分析】将点P的坐标代入直线y＝x+2，解出m的值，即得出点P的坐标，数形结合，将不等式x+2≥ax+c的解集转化为直线y＝x+2与直线y＝ax+c的交点以及直线y＝x+2图像在直线y＝ax+c图像上方部分x的范围即可．
【详解】把P（m，3）代入y＝x+2得：m+2＝3，
解得：m＝1，
∴P（1，3），
∵x≥1时，x+2≥ax+c，
∴关于x的不等式x+2≥ax+c的不等式的解为x≥1．
故答案为：x≥1．
【点睛】本题主要考查一次函数与不等式的关系，将不等式的解集转化为一次函数的图像问题是解题关键．
14. 小颖在解分式方程时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解．请你帮小颖猜测一下△处的数应是_____．
【答案】1
【解析】
【分析】先解分式方程得到，由分式方程无解，得到，即，把代入计算即可求出所求．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：
∵分式方程无解，即此时方程有增根，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了分式方程无解的问题，正确解分式方程得到进而确定方程有增根是解题的关键．
15. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，若菱形的面积为12，则的长为________．

【答案】
【解析】
【分析】在中先求得的长，根据菱形面积公式求得长，再根据勾股定理求得长，即可得到．
【详解】解：，
，
四边形是菱形，
，，，
（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），
，，
由得，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，解题的关键是先求得的长．
16. 如图①，已知点，，的边与轴交于点，且为的中点，双曲线经过两点．点在双曲线上，点在轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为______．
【答案】；；
【解析】
【分析】先求出反比例函数解析式，分类讨论，①当为边时：第一种情况：如图所示，若为平行四边形，过点作轴于点；第二种情况：如图2所示，若为平行四边形；②当为对角线时：如图3所示；根据平行四边形性质，全等三角形的性质等知识即可求解．
【详解】解：∵，，
∵为中点，且点横坐标为，设点的横坐标为，
∴，
∴，设，
又∵四边形是平行四边形，且，
如图所示，过点作轴于点，过点作于点，

∴轴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵点，都在双曲线的图像上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在双曲线上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∵点在双曲线上，点在轴上，，，
∴设，，
①当为边时：
第一种情况：如图所示，若为平行四边形，过点作轴于点，

∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴点的横坐标为，
∴，，
∴；
第二种情况：如图所示，若为平行四边形，

∵点在轴上，且，
∴轴，
∴点的横坐标相同，即，
此时，
∴，
∵，
∴；
②当为对角线时：如图所示，

∵，且，
∴点的横坐标相同，即，
∴，
∴，
∵，
∴；
综上所述点Q的坐标为：；；．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形变换的综合，平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，掌握待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识是解题的关键．
三．解答题（共9小题，共86分）
17. （1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，解分式方程，解题的关键是熟练掌握运算法则准确计算．
（1）根据负整数指数幂，零指数幂运算法则，进行计算即可；
（2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
去分母得：，
解整式方程得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先按照分式混合运算的顺序和方法化简，再代入数值计算即可．
【详解】解：
=
=
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值和二次根式运算，解题关键是熟练掌握分式运算，准确进行二次根式计算．
19. 已知一次函数，
（1）若函数图象平行于直线，求的值；
（2）该函数图象不经过第二象限，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平行直线的解析式的k值相等列式计算即可得解；
（2）根据图象不在第二象限，，列出不等式组求解即可．
【小问1详解】
解：∵函数的图象平行于直线，
∴，
解得：；
【小问2详解】
解：∵函数的图象不过第二象限，
∴，
由①得：，
由②得，，
∴．
【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与k、b的符号有直接的关系；时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与y轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与y轴负半轴相交．
20. 近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小李开车从家到单位有两条路线可选择，路线为全程10千米的普通道路，路线包含快速通道，全程7千米，走路线比路线平均速度提高，时间节省10分钟，求走路线和路线的平均速度分别是多少？
【答案】走路线a的平均速度是30千米/时，走路线b的平均速度是42千米/时
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用．设走路线的平均速度是千米时，则走路线的平均速度是千米时，利用时间路程速度，结合走路线比路线节省10分钟，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出走路线的平均速度，再将其代入中，即可求出走路线的平均速度．
【详解】解：设走路线的平均速度是千米时，则走路线的平均速度是千米时，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（千米时）．
答：走路线的平均速度是30千米时，走路线的平均速度是42千米时．
21. 已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A（1，4）和点B
（，）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）观察图象，当>0时，直接写出>时自变量的取值范围；
（3）如果点C与点A关于轴对称，求△ABC的面积．
【答案】（1）反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为（2）0＜＜1；（3）12
【解析】
【分析】（1）根据点A的坐标求出反比例函数的解析式为，再求出B的坐标是（－2，－2），利用待定系数法求一次函数的解析式．
（2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，直线在双曲线的下方，直接根据图象写出当>0时，一次函数的值小于反比例函数的值x的取值范围或0＜x＜1．
（3）根据坐标与线段的转换可得出：AC、BD的长，然后根据三角形的面积公式即可求出答案．
【详解】解：（1）∵点A（1，4）在的图象上，∴＝1×4＝4．
∴反比例函数的表达式为
∵点B在的图象上，∴．∴点B（－2，－2）．
又∵点A、B在一次函数的图象上，
∴，解得．
∴一次函数的表达式为．
（2）由图象可知，当 0＜＜1时，＞成立
（3）∵点C与点A关于轴对称，∴C（1，－4）．
过点B作BD⊥AC，垂足为D，则D（1，－5）．
∴△ABC的高BD＝1＝3，底为AC＝4＝8．
∴S△ABC=AC·BD=×8×3=12．
22. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
23. 某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕，他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据绘制如下的函数图象，其中日销售量y(千克)与销售时间x(天)之间的函数关系如图(1)所示，销售单价p(元/千克)与销售时间x(天)之间的函数关系如图(2)所示．(销售额=销售单价×销售量)
(1)直接写出y与x之间的函数解析式；

(2)分别求第10天和第15天的销售额；
(3)若日销售量不低于24千克的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中，“最佳销售期”共有多少天?在此期间销售单价最高为多少元?
【答案】（1）；（2）第10天和第15天的销售金额分别为200元，270元；（3）此次销售过程中“最佳销售期”共有5天，在此期间销售单价最高为9.6元
【解析】
【分析】（1）分两种情况进行讨论：①0≤x≤15；②15＜x≤20，针对每一种情况，都可以先设出函数的解析式，再将已知点的坐标代入，利用待定系数法求解：
（2）日销售金额=日销售单价×日销售量．由于第10天和第15天在第10天和第20天之间，当10≤x≤20时，设销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系式为p=mx+n，由点（10，10），（20，8）在p=mx+n的图象上，利用待定系数法求得p与x的函数解析式，继而求得10天与第15天的销售金额．
（3）日销售量不低于24千克，即y≥24．先解不等式2x≥24，得x≥12，再解不等式﹣6x+120≥24，得x≤16，则求出“最佳销售期”共有5天；然后根据（10≤x≤20），利用一次函数的性质，即可求出在此期间销售时单价的最高值．
【详解】(1)①当0≤x≤15时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k1x，
∵直线y=k1x过点（15，30），∴15k1=30，解得k1=2．
∴y=2x（0≤x≤15）；
②当15＜x≤20时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k2x+b，
∵点（15，30），（20，0）在y=k2x+b的图象上，
∴，解得：．
∴y=﹣6x+120（15＜x≤20）．
综上所述，可知y与x之间的函数关系式为：．
（2）∵第10天和第15天在第10天和第20天之间，
∴当10≤x≤20时，设销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数解析式为p=mx+n，
∵点（10，10），（20，8）在p=mx+n的图象上，
∴，解得：．
∴．
当x=10时，，y=2×10=20，销售金额为：10×20=200（元）；
当x=15时，，y=2×15=30，销售金额为：9×30=270（元）．
故第10天和第15天的销售金额分别为200元，270元．
（3）若日销售量不低于24千克，则y≥24．
当0≤x≤15时，y=2x，
解不等式2x≥24，得x≥12；
当15＜x≤20时，y=﹣6x+120，
解不等式﹣6x+120≥24，得x≤16．
∴12≤x≤16．
∴“最佳销售期”共有：16﹣12+1=5（天）．
∵（10≤x≤20）中＜0，∴p随x的增大而减小．
∴当12≤x≤16时，x取12时，p有最大值，此时=9.6（元/千克）．
故此次销售过程中“最佳销售期”共有5天，在此期间销售单价最高为9.6元
24. 如图1，直线交轴于，交轴于A．
（1）如图1，若，
①点A坐标为______，点坐标为______；
②若点为轴的负半轴上一点，，求点坐标．
（2）如图2，若直线交于点，点的纵坐标为，求的值．
【答案】（1）①；；②
（2）
【解析】
分析】（1）①将，，分别代入求解即可；
②过点作于点，由已知可得是等腰直角三角形，则，过点作轴于点，过点A作于点，设，，得到与的等量关系建立方程组，求得的坐标，再利用待定系数法求得直线的解析式，令即可求解；
（2）求得、坐标，过点作轴，交轴于点，交于点，即点的纵坐标与点相同，可求得的横坐标，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，通过证明，将转化成求解即可．
【小问1详解】
解：①当，时，则，
，
当，时，则，
解得：，
．
②过点作于点，过点作轴于点，过点A作于点，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，，
设，，
由（1）知当时，，，
，，
，，
，
解得：，
，
设直线解析式为，
，
解得：，
直线解析式为，
当时，解得，
；
【小问2详解】
解：如图，过点作轴，交轴于点，交于点；过点作轴于点，过点作轴于点，
，
令，
解得：，
，
点纵坐标为，且在直线上，
，
解得：，
，
当时，
解得：，
，
，，
垂直平分，
，
，
解得：，
，
，，
在与中，
，
，
，
，
，，，
，，
．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，两点间距离公式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，第（2）题中把要求线段的端点通过计算坐标发现其特殊性是解题的关键．
25. 正方形中，点为对角线上任意一点（不与重合），连接，过点作，交线段于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，，交线段于点，与相交于点，若点是的中点，求证：；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）4
【解析】
【分析】（1）过点E作于点P，交于点Q，通过证明四边形是矩形，利用矩形的性质，证明，即可得出结论；
（2）连接，，则，都是直角三角形斜边上的中线，证明后，利用勾股定理得，通过得出，进而得出结论；
（3）过点E作于点P，交于点Q，连接，根据，求出，得出，即可求出结果．
【小问1详解】
证明：如图1，过点E作于点P，交于点Q，则．
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴．
【小问2详解】
证明：如图2，连接，，
∵，
∴，
∵点H是的中点，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∴．
【小问3详解】
解：如图3，过点E作于点P，交于点Q，连接，
∵正方形的边长为6，
∴，
由（1），（2）得，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形．
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，负值舍去，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等，解题的关键是正确地作出辅助线，构造全等三角形和矩形．难度较大，属于考试压轴题．