2023-2024学年江西省南昌市南昌县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省南昌市南昌县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. 12B. 10C. 8D. 12
2.下列运算正确的是( )
A. 2+ 3=2 3B. 5− 2= 3C. 3×1 3=1D. 2+ 3= 5
3.下列各组数据中的三个数，分别作为三角形的三边长，能构成直角三角形的是( )
A. 1，2，3B. 2， 2， 3C. 8，24，25D. 9，12，15
4.如图，在数轴上点B，点C表示的数分别为4，1，AC⊥BC，AC=1，以B点为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点D，则D点表示的数是．( )
A. 4− 10B. 10C. 10−4D. 4− 5
5.若直角三角形的两边长分别是5和4，则它的斜边长是( )
A. 5B. 41C. 3或 41D. 5或 41
6.在平行四边形ABCD中，∠B−∠A=20°，则∠D的度数是( )
A. 80°B. 90°C. 100°D. 110°
7.下列命题是真命题的是( )
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相平分且相等的是菱形
C. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D. 对角线互相垂直且平分的四边形是矩形
8.如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AB=13，AC=10，则该菱形的面积为( )
A. 65B. 120C. 130D. 240
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.当x 时，二次根式 x+1在实数范围内有意义．
10.若实数x、y满足：y= x−4+ 4−x+12，则xy= ______．
11.如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFC为直角，若DF=2cm.BC=16cm，则AC的长为______cm．
12.如图，长方形ABCD纸片的边CD上有一点E，将长方形ABCD纸片沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，若AB=3，AD=5，则CE=______．
13.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB=6，AD=10，则BD的长为______．
14.在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交直线AD于点E，AB=4，DE=1，则平行四边形ABCD的周长为______．
三、解答题：本题共8小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题6分)
计算：
(1) 4−(π− 3)0+|1− 2|；
(2) 6× 2+ 24÷ 3− 48．
16.(本小题6分)
如图，四边形ABCD为正方形，点E在BC边上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．
(1)在图1中，在AB上找一点F，使CF=AE；
(2)在图2中，在AD上找一点G，使CG//AE．
17.(本小题6分)
已知a= 7+2，b= 7−2，求ab2+ba2的值．
18.(本小题6分)
如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是AD和BC上的点，且AM=CN.求证：四边形MBND是平行四边形．
19.(本小题8分)
“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节.某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.7米．
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想要风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF/​/BC交BE的延长线于点F，连接．
(1)求证：四边形ADCF是菱形；
(2)若AB=6cm，△ACF的面积为12cm2，求AD的长．
21.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，点G在BC的延长线上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，过点D作DE⊥CE于点E，DF⊥CF于点F．
(1)求证：四边形DECF是矩形；
(2)添加一个条件______，使四边形DECF是正方形(不用证明)
22.(本小题10分)
阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如2 3+1一样的式子，可以将其进一步化简：
2 3+1=2( 3−1)( 3+1)( 3−1)=2( 3−1)( 3)2−1=2( 3−1)2= 3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．
(1)计算：1 3+1+1 5+ 3+1 7+ 5+⋯+1 2019+ 2017；
(2)已知m是正整数，a= m+1− m m+1+ m，b= m+1+ m m+1− m，a+b+2ab=2024，求m．
(3)已知 15+x2− 26−x2=1，求 15+x2+ 26−x2的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：(A)原式=2 3，故A不选；
(C)原式=2 2，故C不选；
(D)原式= 22，故D不选；
故选：B．
根据最简二次根式的定义即可求就出答案．
本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
2.【答案】C
【解析】解：A、2与 3不能合并，故本选项计算错误，不符合题意；
B、 5与 2不能合并，故本选项计算错误，不符合题意；
C、原式=1，故本选项计算正确，符合题意；
D、 2与 3不能合并，故本选项计算错误，不符合题意．
故选：C．
根据二次根式的加法、减法、乘法法则判断即可．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、∵1+2=3，故不能组成三角形，不符合题意；
B、( 2)2+( 3)2≠22，故不是直角三角形，不符合题意；
C、82+242≠252，故不是直角三角形，不符合题意；
D、92+122=152，故是直角三角形，符合题意；
故选：D．
先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
4.【答案】A
【解析】解：点B，点C在数轴上表示的数分别为4，1，
∴BC=3，
∵AB= AC2+BC2= 12+32= 10，
∴CD=AB−BC= 10−3
∴D点表示的数为：1−( 10−3)=4− 10，
故选：A．
已知点B，点C在数轴上表示的数分别为4，1，得BC=3，利用勾股定理求得AB，即可求出CD，进而求得D点表示的数．
本题考查了实数与数轴，勾股定理，及利用勾股定理解直角三角形．
5.【答案】D
【解析】解：当5是斜边时，它的斜边长是5；
当5是直角边时，它的斜边长= 52+42= 41；
故它的斜边长是：5或 41．
故选：D．
本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即5是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意分类讨论．
6.【答案】C
【解析】解：∵在平行四边形ABCD中，∠B+∠A=180°，∠B−∠A=20°，
∴2∠B=200°，
∴∠B=100°．
又∵∠D=∠B，
∴∠D=100°．
故选：C．
根据平行四边形的基本性质可知，平行四边形的邻角互补，由已知可得，∠A、∠B是邻角，故∠B可求解；然后由“平行四边形的对角相等”的性质得到∠D=∠B．
本题考查了平行四边形的性质．掌握平行四边形的相邻内角互为补角，相对内角相等是解答本题的关键，属于基础题，比较简单．
7.【答案】C
【解析】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、对角线互相平分且垂直的是菱形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，本选项命题是真命题，符合题意；
D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
故选：C．
根据矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
8.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=12AC=5，OB=OD，AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∴OB= AB2−OA2= 132−52=12，
∴BD=2OB=24，
∴菱形ABCD的面积=12AC×BD=12×10×24=120；
故选：B．
由菱形的性质得出OA=OC=12AC=5，OB=OD，AC⊥BD，由勾股定理求出OB=12，得出BD=2OB=24，由菱形面积公式即可得出答案．
本题考查了菱形的性质，勾股定理；熟练掌握菱形的面积公式是本题的关键．
9.【答案】⩾−1
【解析】解：由题意，得x+1⩾0，则x⩾−1．
故答案是：⩾−1．
二次根式的被开方数是非负数．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
10.【答案】2
【解析】解：由题意得，x−4≥0，4−x≥0，
解得，x=4，
则y=12，
∴xy=4×12=2，
故答案为：2．
根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y，计算即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
11.【答案】12
【解析】解：∵DE为△ABC的中位线，
∴DE=12BC=8cm，
∵DF=2cm，
∴EF=DE−DF=6cm，
∵点E是AC的中点，∠AFC=90°，
∴AC=2EF=12cm，
故答案为：12．
根据三角形的中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查三角形中位线定理、解题的关键是出现中点想到三角形中位线定理，记住三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
12.【答案】43
【解析】解：由翻折可得AF=AD=5，DE=EF，
∵四边形ABCD为长方形，
∴AB=CD=3，AD=BC=5，∠B=∠C=90°，
在Rt△ABF中，由勾股定理得BF= AF2−AB2= 52−32=4，
∴CF=BC−BF=5−4=1，
设CE=x，则EF=DE=3−x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2+CF2=EF2，
即12+x2=(3−x)2，
解得x=43，
故答案为：43．
由翻折可得AF=AD=5，DE=EF，先通过勾股定理求出BF长度，再由勾股定理求出CE的值．
本题考查翻折问题，解题关键是熟练掌握矩形的性质及勾股定理．
13.【答案】4 13
【解析】解：∵平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB=6，AD=10，
∴AD=BC=10,AO=12AC，∠BAC=90°，
∴AC= BC2−AB2=8，
∴AO=12AC=4，
∴BO= AB2+AO2=2 13，
∴BD=4 13；
故答案为：4 13．
根据平行四边形的性质可得AD=BC,AO=12AC，勾股定理求出AC，即可得解．
本题考查平行四边形的性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的对边相等，对角线互相平分，是解题的关键．
14.【答案】14或18
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/BC，AB=DC，
∴∠AEB=∠CBE，①当∠ABC的平分线在AD上，如图1，
∵∠ABC的平分线交直线AD于点E，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB=4，
∵DE=1，
∴AD=5，
∴C平行四边形ABCD=4+4+5+5=18；
②当∠ABC的平分线在AD的延长线上，如图2，
∵AD/​/BC，
∴AE/​/BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵∠ABC的平分线交直线AD于点E，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB=4，
∵DE=1，
∴AD=3，
∴C平行四边形ABCD=4+4+3+3=14；
∴平行四边形ABCD的周长为：14或18．
故答案为：14或18．
根据平行四边形的性质，角平分线的性质，分类讨论：①当∠ABC的平分线在AD上，②当∠ABC的平分线在AD的延长线上，即可．
本题考查平行四边形和等腰三角形的知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质，等角对等边．
15.【答案】解：(1) 4−(π− 3)0+|1− 2|
=2−1+ 2−1
= 2；
(2)解： 6× 2+ 24÷ 3− 48
= 12+ 8−4 3
=2 3+2 2−4 3
=2 2−2 3．
【解析】(1)根据算术平方根、零次幂、绝对值的性质化简，再根据二次根式的加减运算法则计算即可；
(1)根据二次根式的乘法、除法法则以及的性质化简，再根据二次根式的加减运算法则计算即可．
此题主要考查了二次根式的混合运算以及实数运算，正确化简二次根式是解题关键．
16.【答案】解：(1)如图，连接BD交AE于点P，连接CP并延长交AB于F，点F即为所求；
(2)如图，连接AC，BD交于O，连接EO并延长交AD于G，连接CG，点G即为所求．

【解析】(1)根据正方形是轴对称图形作图；
(2)根据正方形和平行四边形的性质作图．
本题考查了复杂作图，掌握正方形和平行四边形性质是解题的关键．
17.【答案】解：∵a= 7+2，b= 7−2，
∴a+b= 7+2+ 7−2=2 7，ab=( 7+2)( 7−2)=3，
∴ab2+ba2
=ab(a+b)
=3×2 7
=6 7．
【解析】先求出a+b和ab的值，再分解因式，最后代入求出答案即可．
本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式、提公因式法分解因式、求代数式的值，能求出a+b和ab的值是解此题的关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/BC，AD=BC，
∵AM=CN，
∴AD−AM=BC−CN，
即DM=BN，
又DM/​/BN，
∴四边形MBND是平行四边形．
【解析】由平行四边形的性质得AD//BC，AD=BC，由AM=CN，易证DM=BN，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2=BC2−BD2=252−152=400，
∴CD=20(负值舍去)，
∴CE=CD+DE=20+1.7=21.7(米)，
答：风筝的高度CE为21.7米；
(2)由题意得，CM=12米，

∴DM=8米，
∴BM= DM2+BD2= 82+152=17(米)，
∴BC−BM=25−17=8(米)，
∴他应该往回收线8米．
【解析】(1)利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
(2)根据勾股定理即可得到结论．
本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，
∴AD=BD=CD，
∵点E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵AF/​/BC，
∴∠AFB=∠DBF，
在△AEF和△DEB中，
∠AFE=∠DBE∠AEF=∠DEBAE=DE，
∴△AEF≌△DEB(AAS)，
∴AF=BD，
又BD=CD，
∴AF=CD，
又∵AF/​/BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
又∵AD=CD，
∴四边形ADCF是菱形；
(2)解：∵四边形ADCF是菱形，
∴S△AFC=S△ADC，
∵BD=CD，
∴S△ABC=2S△ADC，
∴12×AB×AC=24，
∴AC=2×246=8(cm)，
∴BC= AC2+AB2= 36+64=10(cm)，
∴AD=12BC=5cm．
【解析】(1)由直角三角形的性质可得AD=BD=CD，由“AAS”可证△AEF≌△DEB可得AF=BD=CD，可证四边形ADCF是平行四边形，由菱形的判定可得结论；
(2)由面积关系可得S△ABC=2S△ADC，可求AC的长，由勾股定理可求BC的长，即可求AD的长．
本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
21.【答案】DE=CE(答案不唯一)
【解析】(1)证明：∵DE⊥CE，DF⊥CF，
∴∠DEC=∠DFC=90°，
∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，
∴∠DCE=12∠BCD，∠DCF=12∠DCG，
∴∠DCE+∠DCF=12(BCD+∠DCG)=90°，
即∠ECF=90°，
∴四边形DECF是矩形；
(2)解：添加条件：DE=CE，理由如下：
∵四边形DECF是矩形，DE=CE，
∴四边形DECF是正方形；
故答案为：DE=CE(答案不唯一)．
(1)由垂直的定义得出∠DEC=∠DFC=90°，由角平分线的定义和平角的定义证出∠DCE+∠DCF=12(BCD+∠DCG)=90°，即∠ECF=90°，即可得出结论；
(2)由正方形的判定即可得出结论．
本题主要考查了正方形的判定、矩形的判定、角平分线的定义；熟练掌握矩形的判定和正方形的判定是解题的关键．
22.【答案】解：(1)原式= 3−12+ 5− 32+ 7− 52+⋅⋅⋅+ 2019− 20172
= 2019−12；
(2)∵a= m+1− m m+1+ m=( m+1− m)2m+1−m=2m+1−2 m(m+1)，b= m+1+ m m+1− m=2m+1+2 m(m+1)，
∴a+b=4m+2，ab=1，
∵a+b+2ab=2024，
∴4m+2+2×1=2024，
解得m=505；
(3)设a= 15+x2，b= 26−x2，则a2+b2=15−x2+26−x2=41，
∵ 15+x2− 26−x2=1，
即a−b=1，
∴(a−b)2=1，
即a2−2ab+b2=1，
∴41−2ab=1，
∴2ab=40，
∵(a+b)2=a2+b2+2ab=41+40=81，
∴a+b=9或a+b=−9(舍去)，
即 15+x2+ 26−x2=9．
【解析】(1)先分母有理化，然后合并同类二次根式即可；
(2)先分母有理化得到a=2m+1−2 m(m+1)，b=2m+1+2 m(m+1)，再计算出a+b=4m+2，ab=1，接着利用a+b+2ab=2024得到4m+2+2×1=2024，然后据诶一次方程即可；
(3)设a= 15+x2，b= 26−x2，则a2+b2=41，再把a−b=1两边平方可得到2ab=40，利用完全平方公式得到(a+b)2=81，然后利用平方根的定义得到a+b=9或a+b=−9(舍去)，从而得到 15+x2+ 26−x2的值．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法与除法法则、乘法公式是解决问题的关键．