2023-2024学年江西省南昌市南昌县洪州学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省南昌市南昌县洪州学校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若 2x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥12B. x≥−12C. x>12D. x≠12
2.在下列根式：2 3， 3a3， 8x， 6中，最简二次根式有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3.下列计算错误的是( )
A. 14× 7=7 2B. 60÷ 5=2 3
C. 9a+ 25a=8 aD. 3 2− 2=3
4.如图，点P是平面直角坐标系内一点，则点P到原点的距离是( )
A. 7
B. 2
C. 53
D. 3
5.已知x，y是实数，若 x2−6x+9+ 3y+4=0，则xy的值是( )
A. 4B. −4C. 94D. −94
6.下列命题是假命题的是( )
A. 平行四边形的对角线互相平分B. 矩形的对角线互相垂直
C. 菱形的对角线互相垂直平分D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等
7.如图，直线a/​/b，A是直线a上的一个定点，线段BC在直线b上移动，那么在移动过程中△ABC的面积( )
A. 变大B. 变小C. 不变D. 无法确定
8.如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB= 3，AC=2，BD=4，则AE的长为( )
A. 32B. 32C. 217D. 2 217
9.如图，在▱ABCD中，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD=60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD=5，CF=3，则EF的长是( )
A. 2
B. 4
C. 3
D. 2.5
10.如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD=60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE=OF.点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是( )
A. 菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
B. 菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形
C. 平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
D. 平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算 27− 12的结果为______．
12.实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简 (−a)2+ b2− (a+b)2的结果为______．
13.菱形的周长为20cm，两个相邻的内角的度数之比为1：2，则较长的对角线长度是______cm．
14.如图，点O在数轴原点上，A，B两点分别对应−3，3，以AB为底边作腰长为4的等腰三角形ABC，连接OC，以点O为圆心，CO长为半径画弧交数轴正半轴于点M，则点M对应的实数为______．
15.对于任意两个正数m、n，定义运算※为：
m※n= m− n(m≥n) m+ n(m0，当m为何值时，m+1m有最小值？最小值是多少？
24.(本小题12分)
综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得△CBE′(点A的对应点为点C).延长AE交CE′于点F，连接DE.猜想证明：
(1)试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由；
(2)如图②，若DA=DE，请猜想线段CF与E′F的数量关系，并加以证明；
解决问题：
(3)如图①，若AB=15，BE′=9，请直接写出DE的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意得：2x−1≥0，
解得：x≥12，
故选：A．
根据二次根式有意义的条件可得2x−1≥0，再解不等式即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2.【答案】B
【解析】解：∵ 3a3=a 3a， 8x=2 2x，
∴2 3， 3a3， 8x， 6中，最简二次根式有2 3， 6，共2个．
故选：B．
根据最简二次根式的定义解答．
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
3.【答案】D
【解析】解：A、 14× 7= 2×7×7=7 2，正确；
B、 60÷ 5= 60÷5=2 3，正确；
C、 9a+ 25a=3 a+5 a=8 a，正确；
D、3 2− 2=2 2，故错误．故选D．
根据二次根式的运算法则分别计算，再作判断．
同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．
二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
4.【答案】D
【解析】解：连接OP，过点P作PA⊥x轴于点A，如图，
∵P( 2, 7)，
∴OA= 2，PA= 7．
在Rt△OAP中，
OP= OA2+PA2= 2+7=3．
故选：D．
连接OP，过点P作PA⊥x轴于点A，则OA，PA可得，利用勾股定理可求OP．
本题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵ x2−6x+9+ 3y+4=0，
即 (x−3)2+ 3y+4=0，
∴x−3=0，3y+4=0，
解得x=3，y=−43，
∴xy=3×(−43)=−4．
故选：B．
根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
6.【答案】B
【解析】解：A、平行四边形的对角线互相平分，是真命题；
B、矩形的对角线互相平分且相等，不是垂直，原命题是假命题；
C、菱形的对角线互相垂直平分，是真命题；
D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，是真命题；
故选：B．
根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质判断即可．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
7.【答案】C
【解析】解：如图，∵a/​/b，
∴a，b之间的距离是固定的，
而△ABC的高和这个距离相等，
所以△ABC的高、底边都是固定的，
所以它的面积不变．
故选：C．
由于平行线间的距离处处相等，而△ABC的面积=BC×高．其中高不变，所以面积也不变．
此题主要考查了平行线的性质和三角形面积公式，正确记忆平行线间的距离处处相等是解题关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是解此题的关键．由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，则直角三角形BAC的面积可求出，通过面积代换即可求出AE．
【解答】
解：∵AC=2，BD=4，四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=12AC=1，BO=12BD=2，
∵AB= 3，
∴AB2+AO2=BO2，
∴△BAO是直角三角形，∠BAC=90°，
∵在Rt△BAC中，BC= AB2+AC2= ( 3)2+22= 7，
S△BAC=12×AB×AC=12×BC×AE，
∴ 3×2= 7AE，
∴AE=2 217，
故选D．
9.【答案】B
【解析】解：如图，延长AE，BC交于点G，
∵点E是CD的中点，
∴DE=CE，
∵平行四边形ABCD中，AD//BC，
∴∠D=∠ECG，
又∵∠AED=∠GEC，
∴△ADE≌△GCE，
∴CG=AD=5，AE=GE，
又∵AE平分∠FAD，AD//BC，
∴∠FAE=∠DAE=∠G=12∠DAF=30°，
∴AF=GF=3+5=8，
又∵E是AG的中点，
∴FE⊥AG，
∴Rt△AEF中，EF=12AF=4，
故选：B．
延长AE，BC交于点G，判定△ADE≌△GCE，即可得出CG=AD=5，AE=GE，再根据三线合一即可得到FE⊥AG，进而得出Rt△AEF中，EF=12AF=4．
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等进行推算．
10.【答案】A
【解析】解：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB/​/CD，∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠BDC=∠ABD=60°，∠ADB=∠CBD=90°−60°=30°，
∵OE=OF、OB=OD，
∴DF=EB，
∵点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2，
∴DF=DF2，BF=BF1，BE=BE2，DE=DE1，E1F2=E2F1,∠F2DC=∠CDF=60°，
∴∠EDA=∠E1DA=30°，
∴∠E1DB=60°，
同理∠F1BD=60°，
∴DE1//BF1，
∵E1F2=E2F1，
∴四边形E1E2F1F2是平行四边形，
如图2所示，当E，F，O三点重合时，DO=OB，
∴DE1=DF2=AE1=AE2，即E1E2=E1F2，
∴四边形E1E2F1F2是菱形．
如图3所示，当E，F分别为OD，OB的中点时，设DB=4，则DF2=DF=1，DE1=DE=3，
在Rt△ABD中，AB=2，AD=2 3，连接AE，AO，
∵∠ABO=60°，BO=2=AB，
∴△ABO是等边三角形，
∵E为OB中点，
∴AE⊥OB，BE=1，
∴AE= 22−12= 3．
根据对称性可得AE1=AE= 3．
∴AD2=12，DE12=9，AE12=3，
∴AD2=AE12+DE12，
∴ΔDE1A是直角三角形，且∠E1=90°，
四边形E1E2F1F2是矩形．
当F，E分别与D，B重合时，△BE1D，△BDF1都是等边三角形，则四边形E1E2F2F2是菱形，
∴在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形，
故选：A．
根据题意，分别证明四边形E1E2F1F2是菱形，平行四边形，矩形，即可求解．
本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
11.【答案】 3
【解析】解：原式=3 3−2 3= 3．
故答案为： 3．
先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．
此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
12.【答案】2b
【解析】解：根据题意得：a