陕西省西安市长安区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分100分．考试时间100分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 若，则下列不等式变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质，分别对选项进行分析，即可得出结果。
本题考查了不等式的性质，解本题的关键是熟练掌握不等式的性质．不等式的性质：性质1、不等式两边都加上或减去同一个数或式子，不等号方向不发生改变；性质2、不等式两边都乘或除以同一个正数，不等号方向不发生改变；性质3、不等式两边都乘或除以同一个负数，不等号方向要发生改变．
【详解】解：A选项：不等式两边同时乘，不等号方向改变，故A错误，不符合题意；
B选项：无法确定大小关系，故B错误，不符合题意；
C选项：不等式两边同时除以3，不等号方向不变，C错误，不符合题意；
D选项：不等式两边同时乘2，不等号方向不变，故D正确，符合题意，
故选：．
2. 我国传统文化中的“福禄寿喜”图，属于美工艺术字分类，由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要查了中心对称图形与轴对称图形概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不符合题意．
故选B．
3. 如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，，则的度数为（ ）
A. 60°B. 50°C. 40°D. 20°
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．旋转之后，，可直接求出的度数．
【详解】解：∵绕点A按逆时针方向旋转得到
∴，，
∴，
故选：B．
4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别解两个一元一次不等式，在数轴上表示出它们的公共部分即可．
【详解】解：
由①得： ，
由②得：，
在数轴上表示为：
，
∴不等式组的解集为：
故选A．
【点睛】本题考查用数轴表示不等式组的解集，准确的求出不等式组的解集是解题的关键．
5. 如图，直线，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于C，B两点，连接，．若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查求角度问题，涉及到尺规作图、等腰三角形性质、平行线的性质，理解尺规作图是解决问题的关键．
根据尺规作图可知，利用等腰三角形性质得到，再结合平行线的性质得到，最后列式求解即可．
【详解】解：如图所示，
由作图可得，，
，
直线，
，
，
故选：C．
6. 把各点的横、纵坐标都乘后，得到的图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查中心对称与坐标变化，做本题时需注意①关于x轴对称的图形，横坐标不变纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的图形，纵坐标不变横坐标互为相反数；③关于原点对称的点，横纵坐标都互为相反数，根据把各点的横、纵坐标都乘得到关于原点对称，即可解题．
【详解】解：把各点横、纵坐标都乘后，即各点关于原点对称，
得到的图形是关于原点对称的图形，
故选：C．
7. 如图，在中，，，，交于点D，，则的长为（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得出，，可得，即．中，根据角所对直角边等于斜边的一半，可求得，由此可求得的长．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
8. 如图，中，，的垂直平分线与的角平分线交于点，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据角平分线的定义得出，再根据垂直平分线的性质得到，最后根据等边对等角得到结果．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，垂直平分线的性质，等边对等角，属于基本知识，这几个知识点经常组合考查，关键是要能够将它们关联起来．
9. 已知整数a使得不等式组的解集为，且一次函数的图象经过第四象限，则满足条件的整数a的个数最多为（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】直接解不等式，进而得出a的取值范围，再利用一次函数的性质得出a的取值范围进而得出符合题意的值．此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确得出a的取值范围是解题关键．
【详解】解：解出的解集为
∵不等式组的解集为
∴的解集为，
∴，
∵一次函数的图象经过第四象限，
∴，
解得：，
∴，
∴整数a的值为：
故选：B．
10. 把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A-45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=7，把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（ ）

A. B. 5C. 4D.
【答案】B
【解析】
【详解】由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°，
若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．
∴∠AOC=180°－∠ACO－∠CAO=90°．
在等腰Rt△ABC中，AB=6，则AC=BC=．
同理可求得：AO=OC=3．
在Rt△AOD1中，OA=3，OD1=CD1－OC=4，
由勾股定理得：AD1=5．故选B．
第二部分（非选择题 共70分）
二、填空题（共8小题，每小题3分，计24分）
11. 不等式的非负整数解的个数是______．
【答案】3
【解析】
【分析】先解出一元一次不等式，再找出其中的非负整数解即可，
本题考查了解一元一次不等式、不等式的性质、一元一次不等式的整数解，注意非负整数解包括0和正整数，正确求解一元一次不等式是解答本题的关键．
【详解】解：
移项得：
不等式的两边都除以4得：，
所以不等式的非负整数解为：0、1、2，总计3个，
故答案为：3．
12. 如图，若是等边三角形，，是边上的高，延长到E，使，则的长为______．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是：熟练掌握等腰三角形三线合一的性质．
根据等边三角形，等腰三角形三线合一的性质，得到，即可求解．
【详解】解：是等边三角形，是边上的高，
，，
，
，
故答案为：9．
13. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在第一象限内，将沿x轴正方向平移得到，若点A的对应点在直线上，则点B与对应点之间的距离为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变化—平移，熟练掌握平移的性质是求解的关键．先利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点的横坐标，可得出点与其对应点之间的距离，再根据平移的性质可求解．
【详解】解：∵点A的对应点在直线上，
∴，
∴，
∴，
∵点与点为对应点，
∴，
故答案为：．
14. 如图，中，平分，于E，，，则的面积为______．
【答案】4
【解析】
【分析】过点作于点，角平分线的性质得到，再利用三角形的面积公式进行计算即可,
本题考查角平分线的性质．熟练掌握到角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键．
【详解】解：过点作于点，
∵平分，，
∴，
∴的面积是；
故答案为：4．
15. 如图，在中，与的平分线交于点D，经过点D，分别交于点E，F，，，若的面积为24，则点D到的距离为______．
【答案】8
【解析】
【分析】由等腰三角形的性质及角平分线的定义可得可得，再利用三角形的面积计算可求解．本题主要考查平行线的判定，角平分线的定义，三角形的面积，证明是解题的关键．
【详解】解：∵
∴
∵平分
∴
∴，
∴
∵的面积为24，
设点D到的距离为h，
∴
解得：，
故答案为：8．
16. 某校初二年级名师生参加“研学旅行”活动，计划租车前往，租车收费标准如下：
要完成这次“研学旅行”活动，一天租车的最低费用为_____元．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了方案的设计与选择，有理数的四则混合运算，将名师生同时送到目的地，且花费是最少，只有优化租车方案方可达到节约，从同款型和不同车型组合两方面考虑求解，解题的关键是读懂题意，找出几种方案进行比较．
【详解】解：依题意得：租车费用最低的前题条件是将名师生同时送到目的地，
其方案如下：
全部一种车型：
小巴车座最少辆，其费用为：（元），
中巴车座最少辆，其费用为：（元），
大巴车座最少辆，其费用为：（元），
∵，
∴同种车型应选取中巴车辆费用最少；
搭配车型：
辆座大巴车和辆座中巴车，其费用为：（元），
辆座大巴车和辆座小巴车，其费用为：（元），
辆座中巴车和辆座小巴车，其费用为：（元），
∵，
∴搭配车型辆座大巴车和辆座小巴车费用最少，
综合两种情况，费用最少为元，
故答案为：．
17. 如图，已知一次函数的图象经过点和点，则关于x的不等式组的解集为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数与不等式，由，求得，的值，进而可得不等式组，求解即可．熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：由一次函数的图象经过点和点可知：
解得：，
则不等式组为，
解得：，
故答案为：．
18. 如图，已知正方形的对角线长为8，在正方形内作，交于点E，交于点F，连接，过点A作，将绕点A顺时针旋转得到，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质成为解题的关键．
由旋转的性质可得：，再结合正方形的性质可证得，再证得，最后根据正方形的性质求得即可解答．
【详解】解：由旋转的性质可得：，
∵正方形，
∴,
∵，
∴,
∴
∴，
∴，
∴，
∵,
∴
∵，
∴，
∴,
∵正方形的对角线长为8，
∴正方形的边长,
∴．
故答案为：．
三、解答题（共6小题，计46分．解答应写出过程）
19. 解一元一次不等式（组）．
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式以及求一元一次不等式组的解集．
（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【小问1详解】
解：，
去分母，得，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
系数化为1，得：；
【小问2详解】
解：．
解①得：，
解②得：，
则不等式组的解集为．
20. 如图，已知，用尺规在上确定一点，使．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查的是基本作图和线段垂直平分线的性质，熟练掌握这两点是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质可知，作的垂直平分线，与的交点即为点．
【详解】解：如图，作线段的垂直平分线交于点，则点即为所求．
连接，
∵由作图得，点在的垂直平分线上，
∴．
∵，
∴．
21. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点E在BC上，点F在AB的延长线上，连接AE，CF，且AE＝CF，BF＝BE．求证：△ABC是等腰三角形．
【答案】见解析．
【解析】
【分析】求出∠CBF=90°，根据全等三角形的判定定理推出Rt△ABE≌Rt△CBF，根据全等三角形的性质得出AB=CB，再根据等腰三角形的判定推出即可．
【详解】解：∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝180°﹣∠ABC＝90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
∴AB＝CB，
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和全等三角形的性质和判定，解决本题的关键是要熟练掌握等腰三角形的判定和全等三角形的性质和判定.
22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，且与关于原点O成中心对称．
（1）画出，并写出点的坐标；
（2）画出关于x轴对称的，并写出点的坐标；
（3）是的AC边上一点，经平移后点P的对应点为，请画出平移后的，并计算点P到点的距离．
【答案】（1）图见解析，
（2）图见解析，
（3）图见解析，
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，轴对称，中心对称，勾股定理：
（1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到A、B、C对应点的坐标，然后描出，最后顺次连接即可；
（2）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到A、B、C对应点的坐标，然后描出，再顺次连接即可；
（3）根据点P和点可知平移方式为向右平移5个单位长度，向上平移1个单位长度，据此求出A、B、C对应点的坐标，然后描出，再顺次连接即可，最后利用勾股定理求出点P到点的距离即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，
∴点的坐标为；
【小问2详解】
解：如图，即为所求．
∴坐标为；
【小问3详解】
解：如图，即为所求．
∴点P到点的距离．
23. 如图，在中，且，于点．交的延长线于点．

（1）求证：；
（2）连接，交于，若，，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据且，得到后即可证；（2）根据全等三角形得到，用三角函数计算得的值，由于，的面积即为，也就是的值．
【小问1详解】
证明：
，
，
，
（AAS）
．
【小问2详解】
在中：
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与证明、含有特殊角的直角三角形以及三角形的外角，解题的关键在于熟悉全等三角形的证明．
24. 已知是等边三角形，点P为射线上任意一点（点P与点A不重合）．连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接并延长交射线于点E．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当，且，点E恰好与点A重合．若．求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质．
（1）先证明出，可得，即可；
（2）作于H，证明，可得，由，得出，，即可得出，，即可得出结论．
【小问1详解】
解：证明：如图1，与的交点记为M，

∵是等边三角形，
∴，
由旋转的性质得：，且，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：如图2，作于H，

∵是等边三角形，
∴，
由旋转性质得：，且，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．车型
大巴车
（最多可坐人）
中巴车
（最多可坐人）
小巴车
（最多可坐人）
每车租金（元天）