陕西省西安市西光中学2023-2024学年八年级下学期月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项符合题目要求）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握相关定义是解答本题的关键．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
【详解】解：A．该图形是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．该图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
2. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此逐项判断即可．本题考查因式分解的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
【详解】解：是乘法运算，则A不符合题意；
中，其右边不是积的形式，则B不符合题意；
中左右两边不相等，则C不符合题意；
符合因式分解的定义，则D符合题意；
故选：D．
3. 交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到下图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据标志牌的含义列不等式即可求解．
【详解】解：由题意得：，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查不等式的定义，理解标志牌的意义是求解本题的关键．
4. 如图，在中，是的垂直平分线，垂足为，交于点．若的周长为25，的长为7，则的周长为（ ）
A. 14B. 16C. 17D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握“线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等”是解题的关键．
先求出，再利用线段的垂直平分线的性质证明，再结合三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵的周长为，的长为7， ，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴周长．
故选：B
5. 若，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．
【详解】解：，
，故选项A不符合题意；
，
，故选项B不符合题意；
，
，故选项C符合题意；
，
，
，故选项D不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
6. 如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点E是射线OB上的一个动点，若PD＝3，则PE的最小值（ ）
A. 等于3B. 大于3C. 小于3D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】由题意过P点作PH⊥OB于H，进而利用角平分线的性质得到PH=PD=3，然后根据垂线段最短即可得到PE的最小值．
【详解】解：过P点作PH⊥OB于H，如图，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB于H，
∴PH＝PD＝3，
∵点E是射线OB上的一个动点，
∴点E与H点重合时，PE有最小值，最小值为3．
故选：A．
【点睛】本题考查角平分线的性质以及垂线段最短，注意掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
7. 某景区有一块锐角三角形的草坪，、、是三个商店，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到三个商店的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）

A. 的三条中线的交点B. 三条角平分线的交点
C. 三条高所在直线的交点D. 三边垂直平分线的交点
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形的角平分线、中线和高．根据线段垂直平分线的性质解答即可．
【详解】解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，
∴要使凉亭到草地三个商店的距离相等，凉亭的位置应选在三边的垂直平分线的交点上．
故选：D．
8. 如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④和都是等腰三角形．其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】根据角平分线的定义和三角形外角的性质得出即可得到，证明①正确；根据平行线的性质得到，根据角平分线定义和即可得到，证明②正确；根据三角形内角和定理和三角形外角的性质得到，即可证明③正确；根据平行线的性质和角平分线的定义即可证明，，即可证明④正确．
【详解】解：①∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
∵平分，，
∴，即，故②正确；
③∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
④∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
故④正确，
综上，正确的有①②③④，共4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相关判定和性质并进行正确推理是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查提取公因式法分解因式，根据提取公因式法分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
10. 如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交于点，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为_____度．
【答案】34
【解析】
【分析】先根据同圆的半径相等可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质即可得．
【详解】解：由同圆的半径相等得：，
，
，
，
故答案为：34．
【点睛】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握同圆的半径相等是解题关键．
11. 如图，将绕点逆时针旋转，得到，若，则的度数__________．

【答案】##50度
【解析】
【分析】根据旋转的性质可得，，求出，再利用三角形内角和定理求出，进而可求的度数．
【详解】解：由旋转得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转前后的对应角相等，旋转角的定义是解题的关键．
12. 若，且，则取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的两边同乘同一个小于0的数或式子，不等号的方向发生改变，得到，求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴；
故答案为：．
13. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角是，则这个等腰三角形的顶角度数为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键在于正确的画出图形，认真的进行计算．首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为．
【详解】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，
∵，，
∴，
即顶角的度数为．
②如图，等腰三角形为钝角三角形，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：或．
三、解答题（共13小题，计81分）
14. 分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查综合提公因式和公式法分解因式，正确计算是解题的关键：
（1）根据提公因式法分解因式即可；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
15. 解下列一元一次不等式组
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键，先分别解两个不等式，再求出不等式组的解集即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式的解集为：．
16. 已知中，，，请你利用尺规在边上找一点P，使得．（不写作法，保留作图痕迹）

【答案】作图见解析
【解析】
【分析】以为圆心，长为半径画弧交于，则是等边三角形，，，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，交点为，连接与交点为，则，，，则，由可得，，则，进而可得，如图，点即为所求．
【详解】解：如图，点即为所求；
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
17. 如图，在等腰中，，延长到点，使得，连接，若，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】利用，得到∠CAD=，根据外角性质求出∠ACB=2∠D=，利用AB=AC，求出∠B=∠ACB=，再根据三角形内角和定理求出∠BAC．
【详解】解：∵，，
∴∠CAD=，
∴∠ACB=2∠D=，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=，
∴∠BAC=．
【点睛】此题考查了等边对等角求角度，三角形外角性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的角度求值方法是解题的关键．
18. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
（1）将向右平移6个单位得到，请画出．
（2）画出于点O的中心对称图形．
（3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）．
【解析】
【分析】本题考查作图-旋转变换，平移变换，中心对称变换等知识，掌握旋转变换，平移变换，中心对称变换的性质是解题的关键．
（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；
（2）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（3）对应点连线的交点即为旋转中心．
【小问1详解】
如图，即为所求；
【小问2详解】
如图，即为所求；
【小问3详解】
旋转中心Q的坐标为，
故答案为：．
19. 如图，直线分别交x轴，y轴于点．直线分别交x轴，y轴于点C，D，与直线相交于点E，已知．
（1）求直线的表达式；
（2）求时，x的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的相关知识，掌握待定系数法求一次函数解析式，两直线交点坐标的计算方法，根据图像的性质确定函数值大小等知识是解题的关键．
（1）运用待定系数法求解析式即可；
（2）根据两点直线相交，联立方程组求解可得点E坐标，结合图示，即可求解．
【小问1详解】
解：把代入
解得：
【小问2详解】
解：
，
，
∴点C坐标为，
把代入，得．
，
令，得，
把代入，得，
点坐标为，
∴当时，x的取值范围为．
20. 已知，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解，由此即可代入求值．
【详解】解：
，
当时，
原式
．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的应用，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
21. 如图，在等边中，M是的中点，，垂足为N，连接，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】利用等边三角形的性质及“三线合一”的性质得到，再利用含角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】证明：∵是等边三角形，M是的中点，
∴，平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，利用等腰三角形“三线合一”的性质求的度数是解此题的关键．
22. 如图，平分交于，，，垂足分别为、．求证：垂直平分．

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和线段垂直平分线的判定．先根据角平分线的性质得到，则证明得到，然后根据线段垂直平分线的判定定理得到结论．
【详解】证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分．
23. 如图，在四边形中，，是上一点，点与点关于点成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点．
（1）是线段的______，点与点关于点______成中心对称；
（2）若，求证：是等腰三角形．
【答案】（1）中点，E；
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，解题的关键是了解中心对称的定义，利用中心对称的定义判定两点关于某点成中心对称．
（1）利用中心对称的定义回答即可，
（2）证得，利用等腰三角形的性质判定等腰三角形即可．
【小问1详解】
解：∵点D与点C关于点E中心对称，
∴E是线段的中点，，
∵，
∴，
在与中，
∴，
∴，，
∴点A与点F关于点E成中心对称，
故答案为：中点，E；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴是等腰三角形．
24. 2022年某企业按餐厨垃圾处理费12元/吨，建筑垃圾处理费10元/吨的收费标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费3400元，从2023年元月起，收费标准上调为：餐厨垃圾处理费40元/吨，建筑垃圾处理费20元/吨．若该企业2023年处理的这两种垃圾数量与2022年相比没有变化，就要多支付垃圾处理费6600元．
（1）该企业2023年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨？
（2）该企业计划2023年将上述两种垃圾处理总量减少到240吨，且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍，则2023年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？
【答案】（1）餐厨垃圾，建筑垃圾
（2）该企业2023年最少需要支付6000元垃圾处理费
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组以及一元一次不等式，找准等量关系是解题的关键．
（1）设餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，根据题意列方程组计算即可；
（2）设餐厨垃圾a吨，则建筑垃圾吨，根据题意进行计算即可．
【小问1详解】
解：设餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，
，
解得，
答：餐厨垃圾，建筑垃圾；
【小问2详解】
解：设餐厨垃圾a吨，则建筑垃圾吨，
，
，
，
总费用，
当时总费用T最少，，
答：该企业2023年最少需要支付6000元垃圾处理费．
25. 阅读材料：教科书中提到“和这样的式子叫做完全平方式．”有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题．例如：分解因式：
求代数式的最小值
∵，∴当时，代数式有最小值．
结合以上材料解决下面的问题：
（1）分解因式：；
（2）求代数式的最小值；
（3）当为何值时，有最小值？最小值是多少？
【答案】（1）
（2）
（3）时，最小值为2020．
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式因式分解的应用；
（1）将多项式加9再减9，利用配方法可得；
（2）根据（1）的结论，即可求解；
（3）将多项式配方后可得结论．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：∵，，
∴
即代数式的最小值为；
【小问3详解】
解：
，
∵，，
∴当，，即时，
原代数式有最小值，最小值为．
26. 已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： (填“”、“”或“”)．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论， (填“”、“”或“”)；理由如下，过点作，交于点．(请你完成以下解答过程)．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为，，求的长(请你画出相应图形，并直接写出结果)．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；
（1）由等腰三角形性质得到，再由等边三角形的性质得到，然后证，得出即可得出结论；
（2）过点E作，交于点F，证出为等边三角形，得出，再证，得出，即可得出结论；
（3）当点E点在的延长线上时和E在延长线上时，分别作出图形，作，同（2）得出为等边三角形，，则，，即可得出答案．
【小问1详解】
，
理由如下：，
，
三角形为等边三角形，
，
点E为的中点，
，，
，
，
，
，
，
；
故答案为：．
【小问2详解】
，
理由如下：过点E作，交于点F，
则，，，
为等边三角形，
，，
，
等边三角形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
故答案为：．
【小问3详解】
当点E点在 的延长线上时，点D在的 延长线上，如图，
不合题意；
点E在延长线上时，作，
同（2）可得则为等边三角形，
如图所示，同理可得，
∵，，
∴，
，
∵，
则．