中考数学一轮复习课件：16 相交线与平行线

这是一份中考数学一轮复习课件：16 相交线与平行线，共60页。
七．平行线的判定与性质
1.如图，直线AB、CD交于点O，OE平分∠AOD，若∠1=36°，则∠COE等于( ____ )A.72°B.95°C.100°D.108°
∴∠COE=180°-∠DOE=108°，故选：D．
∴∠AOE+2∠DOF+140°-∠AOE=180°，即∠DOF=20°．
3.如图，PQ∥MN，l⊥MN，垂足为A，l交PQ于点B，点C在射线AM上．(1)若BC平分∠PBA，则∠BCM= ______ ．(2)若∠ACB＜60°，在直线PQ上取一点D，连接CD，过点D作DE⊥CD．交直线l于点E．若∠BDE=30°，则∠ACD= _____________ ．
∵PQ∥MN，∴∠PBC+∠BCM=180°，∴∠BCM=135°；(2)分两种情况，如图2-1，
∵∠BDE=30°，CD⊥DE，∴∠BDC=60°，∵PQ∥MN，∴∠ACD+∠BDC=180°，∴∠ACD=120°；如图2-2，∵∠BDE=30°，CD⊥DE，∴∠BDC=30°+90°=120°，∵PQ∥MN，∴∠BDC+∠ACD=180°，∴∠ACD=60°．
故答案为：(1)135°，(2)60°或120°
4.如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，当∠AOC= _____________ 时，AB所在直线与CD所在直线互相垂直．
【解析】解：当AB⊥直线CD时，AB，BO分别交DC的延长线于M，N点，如图，____
∴∠BMN=90°，∵∠B=45°，∴∠CNO=∠BNM=45°，∵∠DCO=60°，∠DCO=∠CNO+∠BOC，∴∠BOC=60°-45°=15°，∵∠AOB=90°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+15°=105°；当AB⊥CD时，AB，AO分别交CD于点E，F，
___∴∠AEC=90°，∵∠A=45°，∴∠CFO=∠AFE=90°-45°=45°，∵∠CFO=∠AOD+∠D，∠D=30°，∴∠AOD=45°-30°=15°，
∵∠COD=90°，∴∠AOC=∠COD-∠AOD=90°-15°=75°．综上，∠AOC的度数为105°或75°．
5.如图，直线AB，CD交于点O，已知OF⊥CD，∠COE=2∠AOC．(1)若∠COE=42°，分别写出∠COE的补角、余角，并求出相应的度数；(2)若∠BOF=60°，试说明OE⊥AB．
【解析】解：(1)∵∠COE=42°，∴∠DOE=180°-∠COE=138°，∵OF⊥CD，∴∠COF=∠DOF=90°，∴∠EOF=∠COF-∠COE-48°，
∴∠COE的补角是∠DOE，且∠DOE=138°，∠COE的余角是∠EOF，且∠EOF=48°；(2)∵∠BOF=60°，∠DOF=90°，∴∠BOD=∠DOF-∠BOF=30°，∴∠AOC=∠BOD=30°，∵∠COE=2∠AOC，∴∠COE=2∠AOC=60°，∴∠AOE=∠AOC+∠COE=90°，∴OE⊥AB．
6.如图，直线AB与CD相交于点O，OF是∠BOD的平分线，OE⊥OF．(1)若∠BOE=64°，求∠AOC的度数；(2)试问∠COE与∠BOE之间有怎样的大小关系？为什么？
【解析】解：(1)∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°，∵∠BOE=64°，∴∠BOF=∠EOF-∠BOE=26°，∵OF是∠BOD的平分线，
∴∠BOD=2∠BOF=52°，∴∠AOC=∠BOD=52°，∴∠AOC的度数为52°；(2)∠COE=∠BOE，理由：∵∠EOF=90°，∴∠COE+∠DOF=180°-∠EOF=90°，∵∠EOB+∠BOF=90°，∵OF是∠BOD的平分线，∴∠BOF=∠DOF，∴∠COE=∠BOE．
7.如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC．(1)若∠COE=54°，求∠DOF的度数；(2)若∠COE：∠EOF=2：1，求∠DOF的度数．
∴∠DOF=180°-∠COF=108°．(2)设∠EOF=x°，则∠COE=2x°，∴∠COF=3x°，∵OF平分∠AOC，∴∠AOF=∠COF=3x°，∴∠AOE=4x°，∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°，∴4x=90，解得x=22.5，∴∠COF=3x°=67.5°，∴∠DOF=180°-∠COF=112.5°．
8.如图，直线AB与CD相交于点O，EO⊥CD，OF平分∠AOC．若∠BOC=50°，求∠AOE和∠FOD的度数．
【解析】解：∵OE⊥CD，∴∠COE=∠DOE=90°，∵∠BOC=50°，∵∠BOC=∠AOD=50°，∴∠AOC=180°-∠BOC=130°，∵OF平分∠AOD，∴∠AOF=∠COF=65°，∵∠AOE=∠AOD+∠DOE=50°+90°=140°，
∵∠FOD=∠AOF+∠AOD=65°+50°=115°．
9.如图，直线AB与直线CD交于点O，射线OE在∠AOD 内部，OF是∠EOB的平分线，且∠FOD=20°．(1)若EO⊥OD，求∠AOC的度数．(2)若∠EOD=2∠BOD，求∠AOD的度数．
【解析】解：(1)∵EO⊥OD，∴∠EOD=90°，∵∠FOD=20°，∴∠EOF=∠EOD-∠FOD=70°，∵OF是∠EOB的平分线，∴∠BOF=∠EOF=70°，
∴∠BOD=∠BOF-∠FOD=50°，∴∠AOC=∠BOD=50°．(2)设∠BOD=x°，则∠EOD=2x°，∵∠FOD=20°，∴∠EOF=∠EOD-∠FOD=(2x-20)°，∠BOF=∠DOF+∠BOD=(x+20)°，∵OF是∠EOB的平分线，∴∠BOF=∠EOF，∴2x-20=x+20，∴x=40，∴∠BOD=40°，
∴∠AOD=180°-∠BOD=140°．
10.在△ABC中，BC=6，AC=3，过点C作CP⊥AB，垂足为P，则CP长的最大值为( ____ )
【解析】解：如图，∵CP⊥AB，∴CP≤AC，∵AC=3，
∴CP≤3，∴PC≤3，∴CP长的最大值为3，故选：C．
12.课堂上探究“对顶角相等”时，进行了如下推理，其推理的依据为(　　)______因为∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°所以∠1=∠3(依据：)A.平角的定义B.同角的余角相等C.同角的补角相等D.同位角相等
【解析】解：∵∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°(平角的定义)，所以∠1=∠3(同角的补角相等)．故选：C．
13.如图，下列结论：①∠2与∠3是内错角；②∠2与∠B是同位角；③∠A与∠B是同旁内角；④∠A与∠ACB不是同旁内角，其中正确的是 _____ (只填序号)．
【解析】解：∠2与∠3是直线AB、直线BC，被直线CD所截的一对内错角，因此①符合题意；∠2与∠B是直线CD、直线BC，被直线AB所截的一对同位角，因此②符合题意；∠A与∠B是直线AC、直线BC，被直线AB所截的一对同旁内角，因此③符合题意，∠A与∠ACB是直线AB、直线BC，
被直线AC所截的一对同旁内角，因此④不符合题意，故答案为：①②③．
14.下列各图中，能画出AB∥CD的是( ____ )__________A.①②③B.①②④C.③④D.①②③④
【解析】解：由同位角相等两直线平行可知：①
正确；由垂直于同一条直线的两条直线平行可知②、③正确；根据内错角相等两直线平行线可知④正确．故选：D．
15.下列图形中，由∠1=∠2能判定AB∥CD的是( ____ )
【解析】解：A、如图，___由∠1=∠2不能判定AB∥CD故A不符合题意；B、由∠1=∠2不能判定AB∥CD，故B符合题意；
C、∵∠1=∠2，∴AC∥BD，故C不符合题意；D、由∠1=∠2不能判定AB∥CD，故D不符合题意；故选：B．
16.如图，∠1=∠C，BE⊥DF于点P．(1)若∠2=55°，请求出∠B的度数；(2)若∠2+∠D=90°，求证：AB∥CD．
【解析】(1)解：∵∠1=∠C(已知)，∴BE∥CF(同位角相等，两直线平行)，∴∠B=∠2=55°(两直线平行，同位角相等)；(2)证明：∵BE⊥DF(已知)，∴∠DPE=90°(垂直定义)，∵BE∥CF(已证)，∴∠CFD=∠DPE=90°(两直线平行，同位角相等)，
∴∠2+∠BFD=180-∠CFD=90°(平角定义)，∵∠2+∠D=90°(已知)，∴∠BFD=∠D(同角的余角相等)，∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
17.如图，AB∥CD，P为AB上方一点，H、G分别为AB、CD上的点，∠PHB、∠PGD的角平分线交于点E，∠PGC的角平分线与EH的延长线交于点F，下列结论：①EG⊥FG；②∠P+∠PHB=∠PGD；③∠P=2∠E；④若∠AHP-∠PGC=∠F，则∠F=60°．其中正确的结论有( ____ )个．A.1
______∵AB∥CD，∴∠PMB=∠PGD，∵∠PMB=∠P+∠PHM，∴∠P+∠PHB=∠PGD，故②正确；∵HE平分∠BHP，GE平分∠PGD，∴∠PHB=2∠EHB，∠PGD=2∠EGD，∵AB∥CD，
∴∠PMB=∠PGD，∠ENB=∠EGD，∴∠PMB=2∠ENB，∵∠PMB=∠P+∠PHB，∠ENB=∠E+∠EHB，∴∠P=2∠E，故③正确；∵∠AHP-∠PMC=∠P，∠PMH=∠PGC，∠AHP-∠PGC=∠F，∴∠P=∠F，∵∠FGE=90°，∴∠E+∠F=90°，∴∠E+∠P=90°，∵∠P=2∠E，
∴3∠E=90，解得∠E=30°，∴∠F=∠P=60°，故④正确．综上，正确答案有4个，故选：D．
18.如图，E是BC延长线上的一点，AD∥BC，BD，CD，AP，DP分别平分∠ABC，∠ACE，∠BAC，∠BDC，则∠P的度数为( ____ )A.30°B.42°C.45°D.50°
【解析】解：∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，∴∠ABD=∠ADB．∴AB=AD．同理：AC=AD．∴AB=AC．∵AP平分∠BAC，∴AP⊥BC．∵AD∥BC，∴AP⊥AD．∴∠PAD=90°．设∠ADB=∠CBD=∠ADB=x,
∴∠ABC=2x.∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=2x.∴∠PAC=90°-2x.∵DP平分∠BDC，∴设∠BDP=∠CDP=y,∴∠BDC=2y.∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=x+2y.∵AC=DA，∴∠ACD=∠ADC=x+2y.∴∠DAC=180°-∠ACD-∠ADC=180°-2(x+2y)．
∵∠PAD=90°，∴∠PAC+∠DAC=90°．∴90°-2x+180°-2(x+2y)=90°．整理得：x+y=45°，∵∠ADP=∠ADB+∠BDP=x+y,∴∠ADP=45°．∴∠P=90°-∠ADP=45°．故选：C．
19.如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG=2∠D，则下列结论：①∠D=40°；②2∠D+∠EHC=90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是( ____ )A.1个B.2个C.3个
【解析】解：延长FG，交CH于I．∵AB∥CD，∴∠BFD=∠D，∠AFI=∠FIH，∵FD∥EH，∴∠EHC=∠D，∵FE平分∠AFG，∴∠FIH=2∠AFE=2∠EHC，∴3∠EHC=90°，∴∠EHC=30°，
∴∠D=30°，∴2∠D+∠EHC=2×30°+30°=90°，∴①∠D=40°错误；②2∠D+∠EHC=90°正确，∵FE平分∠AFG，∴∠AFI=30°×2=60°，∵∠BFD=30°，∴∠GFD=90°，∴∠GFH+∠HFD=90°，可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可，∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确．故选：A．
20.如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到EB'C'F的位置，若∠EFC'=100°，则∠DFC'的度数为( ____ )A.20°B.30°C.40°D.50°
【解析】解：由翻折知，∠EFC=∠EFC'=100°，∴∠EFC+∠EFC'=200°，∴∠DFC'=∠EFC+∠EFC'-180°=200°-180°=20°，故选：A．
21.如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG=2∠D，则下列结论：①∠D=30°；②2∠D+∠EHC=90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是( ____ )A.1个B.2个C.3个D.4个
【解析】解：延长FG，交CH于I．
∵AB∥CD，∴∠BFD=∠D，∠AFI=∠FIH，∵FD∥EH，∴∠EHC=∠D，∵FE平分∠AFG，∴∠FIH=2∠AFE=2∠EHC，∴3∠EHC=90°，∴∠EHC=30°，∴∠D=30°，∴2∠D+∠EHC=2×30°+30°=90°，∴①∠D=30°；②2∠D+∠EHC=90°正确，
∵FE平分∠AFG，∴∠AFI=30°×2=60°，∵∠BFD=30°，∴∠GFD=90°，∴∠GFH+∠HFD=90°，可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可，∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确．故选B．
22.如图，AD∥BC，∠D=∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE=∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH=100°，则∠BEG的度数为( ____ )A.30°B.40°C.50°D.60°
【解析】解：设FBE=∠FEB=α，则∠AFE=2α，
_____∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH=∠GEF=β，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，而∠D=∠ABC，∴∠D+∠BAD=180°，∴AB∥CD，∠DEH=100°，则∠CEH=∠FAE=80°，∠AEF=180°-∠FEG-∠HEG=180°-2β，在△AEF中，80°+2α+180°-2β=180°故β-α=40°，
而∠BEG=∠FEG-∠FEB=β-α=40°，故选：B．
23.如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，入射光线OM经过镜子两次反射后的出射光线NO平行于AB，图中∠1=∠2，∠3=∠4．当OM∥BC时，∠α的度数是( ____ )A.30°B.45°C.60°D.75°
【解析】解：∵ON∥AB，∴∠4=∠α，
∵∠3=∠4，∴∠3=∠α，∵OM∥BN，∴∠1=∠α，∵∠2=∠1，∴∠2=∠α，∴∠3=∠2=∠α，∴△MNB是等边三角形，∴∠α=60°．故选：C．
24.如图，BC⊥AE，垂足为C，CD∥AB，∠A=50°，则∠BCD的度数是( ____ )A.40°B.50°C.60°D.70°
【解析】解：∵BC⊥AE，∴∠ACB=90°，∵∠A=50°，∴∠B=180°-∠ACB-∠A=40°，
∵CD∥AB，∴∠BCD=∠B=40°．故选：A．
25.将含45°角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上．若m∥n,∠1=30°，则∠2的度数为( ____ )A.45°B.60°C.75°D.90°
【解析】解：如图：∵∠1=30°，∴∠DAB=90°-∠1=90°-30°=60°，
∵m∥n,∴∠ABE=∠DAB=60°，∵∠ABD=45°，∴∠2=180°-45°-60°=75°，故选：C．
【解析】解：①设∠PCN=α，
∴∠ACN=∠PCN-∠ACP=α-β，∴∠PNC=4∠PCN=4α，∠NMC=2α，∵AP∥CD，∠BAC=120°，∴∠NMC=∠MCD=2α，∠ACD=180°-∠BAC=60°，∴∠MCD=∠ACD-∠ACP=60°-2β，∴2α=60°-2β，即：α=30°-β，∵∠CAB=∠PNC+∠ACN，∴120°=4α+α-β，∴5α-β=120°，将α=30°-β代入上式解得：β=5°，∴∠PCM=β=5°；
③当点N在A，P之间时，_____设∠PCN=α，∠ACN=β，则∠ACP=α+β，∵CP平分∠ACM，∴∠ACP=∠PCM=α+β，∠ACM=2(α+β)，∴∠MCD=60°-∠ACM=60°-2(α+β)，由已知得：∠PNC=4∠PCN=4α，∴∠ANC=180°-∠PNC=180°-4α，
∵∠ANC=2∠NMC，∴∠NMC=90°-2α，∵∠NMC=∠MCD，∴90°-2α=60°-2(α+β)，∴β=-15°，不合题意，此种情况不存在．综上所述：∠PCM的度数为22.5°或5°．故答案为：22.5°或5°．
27.如图，已知长方形纸片ABCD，O是BC边上一点，P为CD中点，沿AO折叠使得顶点B落在CD边上的点P处，则∠OAB的度数是 _____ ．
28.同一平面内有n条不重合直线，其中任何两条都不平行，则它们相交所成的角中最小角的度数不超过 　　．
29.如图，已知AB∥DE，∠B=150°，∠D=145°，则∠C= ____ 度．
【解析】解：过点C作CF平行于AB，如图：∵AB∥DE，∴AB∥CF∥ED．AB∥CF⇒∠1=180°-∠B=30°，CF∥ED⇒∠2=180°-∠D=35°，∴∠BCD=∠1+∠2=65°．故填65°．
30.如图，已知AB∥CD，则∠A、∠C、∠P的关系为 ____________________ ．
【解析】解：如图所示，作PE∥CD，____∵PE∥CD，∴∠C+∠CPE=180°，又∵AB∥CD，∴PE∥AB，
∠A+∠C-∠P=180°
∴∠A=∠APE，∴∠A+∠C-∠P=180°，故答案为：∠A+∠C-∠P=180°．
31.请解答下列各题：(1)阅读并回答：科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射．此时∠1=∠2，∠3=∠4．①由条件可知：∠1=∠3，依据是 ___________________________ ，∠2=∠4，依据是 __________ ．②反射光线BC与EF平行，依据是 ___________________________ ．(2)解决问题：如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b射出的光线n平行于m,且∠1=42°，则∠2= _____ ；∠3= _____ ．
两直线平行，同位角相等
同位角相等，两直线平行
【解析】解：(1)①由条件可知：∠1=∠3，依据是：两直线平行，同位角相等；∠2=∠4，依据是：等量代换；②反射光线BC与EF平行，依据是：同位角相等，两直线平行；故答案为：①两直线平行，同位角相等；等量代换．②同位角相等，两直线平行．(2)如图，
___∵∠1=42°，∴∠4=∠1=42°，∴∠6=180°-42°-42°=96°，∵m∥n,∴∠2+∠6=180°，∴∠2=84°，
32.如图，AB∥CD，∠ABD的平分线交∠BDC的平分线于点E，交CD于点F，∠1=32°，求∠2的度数．
33.如图，PQ∥MN，A，B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN=45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a-4|+(b-1)2=0．若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动 　　秒时，射线AM与射线BQ互相平行．_______
【解析】解：∵|a−4|+(b−1)2=0，∴a=4，b=1，设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行．如图，射线AM绕点A顺时针先转动18秒后，AM转动至AM'的位置，∠MAM'=18×4=72°，分两种情况：①当M″到达MN前，∠QBQ'=t°，∠M'AM″=4t°，____∵∠BAN=45°=∠ABQ，
34.如图，已知∠1+∠2=180°，且∠3=∠B，(1)试说明：∠AFE=∠ACB；(2)若CE平分∠ACB，且∠1=85°，∠3=50°，求∠AFE的度数．
【解析】(1)证明：∵∠1+∠2=180°，∠1+∠FDE=180°，∴∠FDE=∠2，∵∠3+∠FEC+∠FDE=180°，∠2+∠B+∠ECB=180°，∠B=∠3，∴∠FEC=∠ECB，∴EF∥BC，∴∠AFE=∠ACB；
(2)解：∵∠1=85°，∠3=50°，∴∠FEC=∠1-∠3=35°，∵∠FEC=∠ECB，∴∠ECB=35°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB=2∠ECB=70°，∴∠AFE=∠ACB=70°．
35.如图，已知AB∥CD，∠B=70°，∠BCE=20°，∠E=130°，请判断AB与EF的位置关系，并说明理由．请将下面的推理过程补充完整．解：AB∥EF．理由如下：∵AB∥CD，∴∠B=∠BCD．( ___________________________ )∵∠B=70°，∴∠BCD=70°．∵∠BCE=20°，∴∠ECD=50°．∵∠E=130°，
两直线平行，内错角相等
∴ ____ + ______ =180°．∴EF∥CD．∴AB∥EF．
【解析】解：AB∥EF．理由如下：∵AB∥CD，∴∠B=∠BCD．(两直线平行，内错角相等)∵∠B=70°，∴∠BCD=70°．∵∠BCE=20°，∴∠ECD=50°．
∵∠E=130°，∴∠E+∠ECD=180°．∴EF∥CD，∴AB∥EF．故答案为：两直线平行，内错角相等；∠E；∠ECD．
36.如图①，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；(2)如图②，∠BEF、∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；(3)如图③，在(2)的条件下，连接PH，K是GH上一点使得∠PKG=2∠HPK，作PQ平分∠EPK，求∠HPQ的度数．
【解析】(1)解：AB∥CD，理由如下：∵∠1与∠2互补，∴∠1+∠2=180°，
37.已知：如图AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2，∠BAC=70°．(1)AB与DG平行吗？为什么？(2)求∠DGA的度数．
【解析】解：(1)AB∥DG，理由如下：∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴∠ADC=∠FEC=90°，∴AD∥EF，∴∠1=∠DAB，∵∠1=∠2，
∴∠2=∠DAB，∴AB∥DG；(2)∵AB∥DG，∴∠DGA+∠BAC=180°，∵∠BAC=70°，∴∠DGA=110°．
38.如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E=∠3．试说明：AD平分∠BAC．完成下列解答过程，并填空(理由或数学式)．证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC， _____ ∴EG∥AD ______________________________________ ∴∠E= ____ . ___________________________ ∠2=∠3． ___________________________ ∵∠3=∠E，(已知)∴∠1=∠2． __________
垂直于同一条直线的两条直线平行
∴AD平分∠BAC． __________________
【解析】证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC，(已知)∴EG∥AD (垂直于同一条直线的两条直线平行)∴∠E=∠1． (两直线平行，同位角相等)∠2=∠3．(两直线平行，内错角相等)∵∠3=∠E，(已知)∴∠1=∠2．(等量代换)∴AD平分∠BAC．(角平分线的定义)故答案为：已知；垂直于同一条直线的两条直线平行；∠1；两直线平行，同位角相等；两直线平行，
内错角相等；等量代换；角平分线的定义．
39.如图，已知∠1=∠2，∠A=∠D．求证：AE∥DF．___
【解析】证明：∵∠1=∠2，∴CD∥AB，∴∠D+∠ABD=180°，
∵∠A=∠D，∴∠A+∠ABD=180°，∴AE∥DF．
40.【阅读理解】如图①，∠BAE与∠DCE的边AB与CD互相平行，另一组边AE、CE交于点E，且点E在AB、CD之间，且在直线AC右侧，试说明：∠BAE+∠DCE=∠AEC．老师在黑板中写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程，并填空(理由或数学式)．解：如图②，过点E作EM∥AB．∴∠BAE=∠AEM ___________________________ ．∵AB∥CD _____ ，∴EM∥CD ______________________________________ ．∴∠DCE=∠CEM．∴∠BAE+∠DCE=∠AEM+∠CEM． _____________ ∴∠BAE+∠DCE=∠AEC．
平行于同一条直线的两条直线平行
【理解应用】如图③，当图①中的点E在直线AC左侧时，其它条件不变，若∠AEC=120°求∠BAE与∠DCE的和．【拓展】∠BAE与∠DCE的边AB与CD互相平行，且点B、D在直线AC同侧，另一组边AE、CE交于点E，且点E在AB、CD之间．若∠BAE的角平分线与∠DCE的角平分线交于点F，设∠E=α，请借助图①和图③，用含α的代数式直接写出∠AFC的度数．__________
【解析】解：【阅读理解】如图②，过点E作EM∥AB．____∴∠BAE=∠AEM(两直线平行，内错角相等)．∵AB∥CD(已知)，∴EM∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行)．∴∠DCE=∠CEM．∴∠BAE+∠DCE=∠AEM+∠CEM(等式的性质)．
∴∠BAE+∠DCE=∠AEC．故答案为：两直线平行，内错角相等；已知；平行于同一条直线的两条直线平行；等式的性质．【理解应用】过点E作EN∥AB，如图③所示：____∴∠BAE+∠AEN=180°，∵AB∥CD，∴EN∥CD，
∴∠CEN+∠DCE=180°，∴∠BAE+∠AEN+∠CEN+∠DCE=360°，即∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°，∵∠AEC=120°，∴∠BAE+∠DCE=360°-∠AEC=360°-120°=240°，∴∠BAE与∠DCE的和是240°．【拓展】分两种情况讨论如下：①当点E在直线AC右侧，如图④所示：
____设∠BAF=β，∠DCF=θ，∵AF是∠BAE的角平分线，∴∠EAF=∠BAF=β，∠BAE=2∠BAF=2β，∵CF是∠DCE的角平分线，∴∠ECF=∠DCF=θ，∠DCE=2∠DCF=2θ，由【阅读理解】的结论得：∠AEC=∠BAE+∠DCE=2(β+θ)，∠AFC=∠BAF+∠DCF=β+θ，