2024常州一中高二下学期4月期中考试数学含答案

这是一份2024常州一中高二下学期4月期中考试数学含答案，共8页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知a=（2，-1,3），b=（-4，y，2），且a⊥（a+b），则y的值为（ ）
A．6B．10C．12D．14
2．已知向量a=1,0,−1，则下列向量中与a成60∘夹角的是（ ）
A．−1,1,0B．1,−1,0C．2,−2,0D．−2,2,0
3．在函数y=xlnx，y=csx，y=2x，y=x−lnx中，导函数值不可能取到1的是（ ）
A．y=xlnxB．y=csx
C．y=2xD．y=x−lnx
4．在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=1，AB⋅CD+AC⋅DB+AD⋅BC＝（ ）
A．－1B．0
C．1D．不确定
5．当x=1时，函数f(x)=alnx+bx取得最大值−2，则f′(2)=（ ）
A．−1B．−12C．12D．1
6.如图，在平行六面体ABCD-A’B’C’D’中，AB=5，AD=3，AA’=7，∠BAA'=∠DAA’=45°，则AC’的长为（ ）
A．B．
C．89+562D．89−562
7．已知fx是定义在R上的奇函数，f的导函数为f'x ，若f'x≥csx 恒成立，则fx≥sinx的解集为（ ）
A．−π,+∞ B．π,+∞C．π2,+∞ D．0,+∞
8．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则csα的取值范围是（ ）
A．33，1B．63，1
C．0，63D．0，33
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．设空间两个单位向量OA=m,n,0,OB=0,n,p与向量OC=1,1,1的夹角都等于π4，则cs∠AOB=（ ）
A．2+34B．1+34
C．2−34D．1−34
10．已知fx=xex，下列说法正确的是（ ）
A．fx在x=1处的切线方程为ey−1=0B．单调递减区间为1,+∞
C．fx的极小值为1eD．方程2024fx=1有两个不同的解
11．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的《高等数学》与《数学分析》教材中，对“初等函数”给出了明确的定义，即初等函数是指由常数及基本初等函数经过有限次的四则运算与有限次的复合步骤所构成，并可用一个数学式子表示的函数，如函数f(x)=xx(x>0)，我们可以作变形：fx=xx=elnxx=exlnx=et,(t=xlnx)，所以f(x)可看作是由函数ℎ(t)=et和t=xlnx复合而成的，即f(x)=xx(x>0)为初等函数．根据以上材料，关于初等函数ℎ(x)=x1x(x>0)的说法正确的是（ ）
A．无极小值B．有极小值1
C．无极大值D．有极大值e1e
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量a=(0,−1,1),b=(4,1,0)，|λa+b|=29，则λ= .
13．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为2，AA1，BB1，CC1，DD1均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为 ．
14．若关于x的不等式e−1lna+x≥aex−1在x∈0,1内有解，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）
已知函数f(x)=x3+ax2−bx+a2，在x=1时取得极小值10.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在区间[−1,3]上的最值.
16．（本小题满分15分）
如图，直三棱柱ABC−A1B1C1内接于圆柱，AC为圆柱底面的直径，AB=AA1=BC=2，M为A1C1中点，N为CC1中点，
(1)求直线BM与平面A1BC所成角的正弦值
(2)若求平面A1BC与平面BMN所成锐二面角的余弦值．
17．（本小题满分15分）
已知函数f(x)=ex−ax−1(a∈R).
(1)若a为常数，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的单调性；
(3)判断e0.314与1.314的大小关系，并说明理由.
18．（本小题满分17分）
如图所示，在四棱锥P−ABCD中，侧面PAD⊥平面ABCD，△PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中BC//AD，AB⊥AD，AB=BC=1.
(1)取线段PA中点M连接BM,判断直线BM与平面PCD是否平行并说明理由.
(2)求B到平面PCD的距离；
(3)线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为105？若存在，求出PEPD的值；若不存在，请说明理由.
常州市第一中学2023-2024学年第二学期高二数学期中参考答案