2024年山西省朔州市怀仁一中高考数学三模试卷（含解析）

这是一份2024年山西省朔州市怀仁一中高考数学三模试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知U为整数集，A={x∈Z|x2>4}，则∁UA=( )
A. {0,1}B. {−1,0,1,2}C. {0,1,2}D. {−2,−1,0,1,2}
2.若zi=z+i，则zz−=( )
A. 12B. 1C. 2D. 4
3.已知a,b为单位向量，若(a+2b)⊥(3a−b)，则cs〈a,b〉=( )
A. 35B. −35C. 15D. −15
4.若函数f(x)=asinx1+ex−sinx为偶函数，则实数a=( )
A. 1B. 0C. −1D. 2
5.若tan(α+π4)=−3,tanβ=3，则cs(α−β)sin(α+β)=( )
A. −1B. 75C. 35D. 45
6.已知(x2−2)(x−1)7=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+…+a9(x−1)9，则(a1+a3+a5+a7+a9+2)(a2+a4+a6+a8)=( )
A. 8B. 5C. 2D. 4
7.设等比数列{an}的公比为q，且a1>0，设甲：q>1；乙：an+2>an，则( )
A. 甲是乙的充分不必要条件
B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8.已知A为双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点，O为坐标原点，B，C为双曲线E上两点，且AB+AC=2AO，直线AB，AC的斜率分别为2和14，则双曲线E的离心率为( )
A. 2B. 52C. 62D. 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆C1：(x+2)2+y2=1，圆C2：x2+(y−a)2=9，则下列结论正确的是( )
A. 若C1和C2外离，则a>2 3或a<−2 3
B. 若C1和C2外切，则a=±2 3
C. 当a=0时，有且仅有一条直线与C1和C2均相切
D. 当a=2时，C1和C2内含
10.已知正实数x，y满足x+4y=xy，则( )
A. xy≤16B. x+y≥9
C. 1x−y16的最大值为0D. 4x+4y的最小值为210
11.在三棱锥A1−ABC中，A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AA1=AB=AC=3，P为△A1BC内的一个动点(包括边界)，AP与平面A1BC所成的角为45°，则( )
A. A1P的最小值为 6− 3
B. A1P的最大值为 6+ 3
C. 有且仅有一个点P，使得A1P⊥BC
D. 所有满足条件的线段AP形成的曲面面积为3 2π4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=x3f′(1)−4lnx+2，则f(2)= ______．
13.设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若3a2=a4，则S2023a2023= ______．
14.已知P为椭圆C：x29+y23=1上的一个动点，过P作圆M：(x−1)2+y2=2的两条切线，切点分别为A，B，则|AB|的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且S=abc4．
(1)求△ABC的外接圆的半径；
(2)若b+c=2，且A=2π3，求BC边上的高．
16.(本小题15分)
已知某校高三进行第一次摸底考试，从全校选考地理的高三学生中，随机抽取100名学生的地理成绩制成如图所示的频率分布直方图，满分为100分，其中80分及以止为优秀，其他为一般．
已知成绩优秀的学生中男生有10名，成绩一般的学生中男生有40名，得到如下的2×2列联表．
(1)根据上述数据，完成上面2×2列联表，并依据小概率值α=0.05的独立性检验，分析“考试成绩优秀”与“性别”是否有关？
(2)从考试成绩在[80,90)，[90,100]中，利用分层随机抽样抽取7名学生进行学习方法经验介绍，从抽取的学生中，再确定3名学生做学习经验的介绍，则抽取的3名学生中，考试成绩在[90,100]的学生数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．
参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，(其中n=a+b+c+d)
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形．
(1)若直线l是平面PAB和平面PCD的交线，证明：AB/​/l；
(2)若四棱锥P−ABCD的体积为3，二面角P−AB−C和二面角P−AD−B都是π4，求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=x2lnx−a(a∈R)．
(1)若f(x)恰有两个零点，求a的取值范围；
(2)若f(x)的两个零点分别为x1，x2(x119.(本小题17分)
在平面直角坐标系xOy中，点F(0,1)，P为动点，以PF为直径的圆与x轴相切，记P的轨迹为Γ．
(1)求Γ的方程；
(2)设M为直线y=−1上的动点，过M的直线与Γ相切于点A，过A作直线MA的垂线交Γ于点B，求△MAB面积的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：U为整数集，A={x∈Z|x2>4}，
则∁UA={x∈Z|x2≤4}={x∈Z|−2≤x≤2}={−2,−1,0,1,2}.={−2,−1,0,1,2}．
故选：D．
由补集定义得∁UA={x∈Z|x2≤4}，由此能求出结果．
本题考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由题意，z=ii−1=i(i+1)(i−1)(i+1)=1−i2，则zz−=12(1−i)⋅12(1+i)=12．
故选：A．
化简复数z，可得答案．
本题考查复数的运算，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：因为a,b为单位向量，(a+2b)⊥(3a−b)，
所以(a+2b)⋅(3a−b)=3a2+5a⋅b−2b2=1+5a⋅b=0，则a⋅b=−15，
所以cs〈a,b〉=a⋅b|a||b|=−15．
故选：D．
利用平面向量数积量运算法则求得a⋅b，再利用向量夹角余弦公式即可得解．
本题主要考查向量的夹角公式，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：函数f(x)=asinx1+ex−sinx的定义域为R，由f(x)为偶函数，得∀x∈R，f(−x)=f(x)，
则asin(−x)1+e−x−sin(−x)=asinx1+ex−sinx，整理得(a1+ex+a1+e−x−2)sinx=0，而sinx不恒为0，
于是a1+ex+a1+e−x−2=0，即a1+ex+a⋅exex+1−2=0，解得a=2，
所以实数a=2．
故选：D．
根据给定的函数，利用偶函数的定义列式计算即得．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由tan(α+π4)=−3，得tanα+11−tanα=−3，解得tanα=2，
又tanβ=3，
所以cs(α−β)sin(α+β)=csαcsβ+sinαsinβsinαcsβ+csαsinβ=1+tanαtanβtanα+tanβ=1+2×32+3=75．
故选：B．
根据给定条件，利用和角的正切公式求出tanα的值，再利用和差角的正余弦公式，结合齐次式法，求解即可．
本题考查三角函数的求值，熟练掌握三角恒等变换公式，同角三角函数的商数关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：因为(x2−2)(x−1)7=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+…+a9(x−1)9，
取x=1代入可得：a0=0，
取x=2代入可得：a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9①，
取x=0代入可得：a0−a1+a2−a3+a4−a5+a6−a7+a8−a9②，
①+②再除以2可得：a0+a2+a4+a6+a8=2，所以a2+a4+a6+a8=2，
①−②再除以2可得：a1+a3+a5+a7+a9=0，
所以(a1+a3+a5+a7+a9+2)(a2+a4+a6+a8)=2×2=4．
故选：D．
取x=1代入等式可得a0，分别取x=2，x=0代入等式，组成方程组，联立即可得a1+a3+a5+a7+a9，a2+a4+a6+a8，代入即可求得结果．
本题考查的知识要点：二项展开式，赋值法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：等比数列{an}的公比为q，且a1>0，当q>1时，an+2−an=a1qn−1(q2−1)>0，因此an+2>an；
当an+2>an时，有a3>a1，即a1q2>a1，而a1>0，则q2>1，
又∀n∈N*，an+2−an=a1qn−1(q2−1)>0，于是qn−1>0，即q>0，又q2>1，因此q>1，
所以甲是乙的充要条件．
故选：C．
根据给定条件，利用等比数列的通项，结合充分条件、必要条件的定义判断即得．
本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：A(a,0)，设B(x0,y0)，C(−x0,−y0)，则x02a2−y02b2=1，
则kAB=y0x0−a=2,kAC=y0x0+a=14，
kAB⋅kAC=y02x02−a2=b2(x02a2−1)x02−a2=b2a2=14×2=12，
∴e=ca= c2a2= a2+b2a2= 1+(ba)2= 1+12= 62．
故选：C．
先判断出B，C两点关于原点对称，设出B，C的坐标，根据AB+AC=2AO，可知O是BC中点，B，C两点关于原点对称，根据直线AB，AC的斜率列方程，求得b2a2，进而求得双曲线的离心率．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：依题意，C1(−2,0),C2(0,a),|C1C2|= 4+a2,r1=1,r2=3，
对于A，若C1和C2外离，则|C1C2|= 4+a2>r1+r2=4，解得a>2 3或a<−2 3，故A正确；
对于B，若C1和C2外切，|C1C2|= 4+a2=4，解得a=±2 3，故B正确；
对于C，当a=0时，|C1C2|=2=r2−r1，C1和C2内切，故仅有一条公切线，故C正确；
对于D，当a=2时，2=r2−r1<|C1C2|=2 2故选：ABC．
利用两圆关系的判断逐一分析即可得解．
本题考查圆和圆的位置关系，圆的切线方程等基础知识，考查直观想象的核心素养，属于中档题．
10.【答案】BC
【解析】解：对于A，x+4y=xy≥2 4xy=4 xy，两边平方，整理得xy≥16，当且仅当x=4y，即x=8，y=2时等号成立，故A错误；
对于B，由x+4y=xy，两边都除以xy，整理得4x+1y=1，
所以x+y=(4x+1y)(x+y)=5+4yx+xy≥5+2 4yx⋅xy=9，当且仅当4yx=xy，即x=6，y=3时，等号成立，故B正确；
对于C，由x+4y=xy，解得x=4yy−1，
所以1x−y16=y−14y−y16=14−(14y+y16)≤14−2 14y⋅y16=0，当且仅当14y=y16，即y=2、x=8时，等号成立，故C正确；
对于D，4x+4y≥2 4x×4y=2x+y+1，当x=y等号成立，
结合B项的分析，可知x+y≥9，当且仅当x=2y时等号成立，因为前后两次不等式取等条件不一致，所以4x+4y>210，故D错误．
故选：BC．
根据题意，利用基本不等式与“1的代换”，结合指数的运算法则对各项逐一分析，即可得到本题的答案．
本题主要考查不等式的性质、基本不等式及其应用、指数的运算法则等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：因为A1A⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，所以A1A⊥AB，A1A⊥AC，
又AB⊥AC，AA1=AB=AC=3，所以A1B=A1C=BC=3 2，
取BC的中点M，则AM⊥BC，A1M⊥BC，所以BC⊥平面A1AM，
过A作AH⊥A1M于H，因为AH⊂平面A1AM，所以AH⊥BC，
又A1M∩BC=M，A1M，BC⊂平面A1BC，所以AH⊥平面A1BC，
所以∠APH为AP与平面A1BC所成的角的平面角(或补角)，
因为A1A⊥平面ABC，AM⊂平面ABC，则A1A⊥AM，
又在Rt△A1AM中，A1A=3,AM=12BC=3 22，则A1M= 32+(3 22)2=3 62，
所以AH=AA1⋅AMA1M=3×3 223 62= 3，A1H= AA12−AH2= 9−3= 6，
因为∠APH=45°，所以AH=HP，AP= 6，
所以点P轨迹是以H为圆心，以 3为半径的圆在△A1BC内部的一部分，如图，
所以A1P的最小值为A1H−HP= 6− 3，故A正确；
由于轨迹圆部分在平面A1BC外部，所以A1P的最大值不等于A1H+HP= 6+ 3，故B错误；
因为BC⊥平面A1AM，A1M⊂平面A1AM，所以BC⊥A1M，
若A1P⊥BC，则点P在线段A1M上，有且仅有一个点P满足题意，故C正确；
动线段AP形成的曲面为圆锥AH侧面积的一部分，
易知三棱锥A−A1BC是正三棱锥，AH⊥平面A1BC，故H为等边△A1BC的中心，
所以HM=13A1M=13×3 62= 62，
因为cs∠B1HM=HMHB1= 22，所以∠B1HM=π4，
因为2π−2×π4×32π=14，所以曲面面积为圆锥侧面面积的14，
圆锥AH侧面积为π× 3× 6=3 2π，
所以所有满足条件的动线段AH形成的曲面面积为3 2π4，故D正确．
故选：ACD．
利用线面垂直的判定定理与线面角的定义推得∠APH为AP与平面A1BC所成的角的平面角(或补角)，从而作出点P的轨迹，结合图形逐一分析各选项即可得解．
本题考查直线与平面所成角，动点的轨迹问题，属于中档题．
12.【答案】18−4ln2
【解析】解：由题意知f′(x)=3x2f′(1)−4x，令x=1，
得f′(1)=3f′(1)−4，解得f′(1)=2，
所以f(x)=2x3−4lnx+2，
所以f(2)=2×23−4ln2+2=18−4ln2．
故答案为：18−4ln2．
左右两侧同时求导得到f′(1)，求出原函数后再求f(2)即可．
本题主要考查了函数求导公式的应用，属于基础题．
13.【答案】20232
【解析】解：令等差数列{an}的公差为d，d≠0，由3a2=a4，得3(a1+d)=a1+3d，解得a1=0，
所以S2023a2023=2023a1+2022×20232da1+2022d=20232．
故答案为：20232．
根据给定条件，求出等差数列{an}的首项a1，再利用等差数列的通项公式及前n项和公式计算即得．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】2 105
【解析】解：设P(x,y)，∠MAB=θ，
根据题意可知MA⊥AP，且AB⊥PM，
所以∠PAB+∠MAB=π2,∠MPA+∠PAB=π2，
则|AB|=2 2csθ，∠MPA=∠MAB=θ，且sinθ= 2|PM|，
因为|PM|= (x−1)2+y2= (x−1)2+3−x23= 23(x−32)2+52，
又−3≤x≤3，所以当x=32时，|PM|取得最小值 102，
所以sinθ= 2|PM|≤2 5，又θ∈(0,π2)，
所以csθ= 1−sin2θ≥1 5= 55，
所以|AB|=2 2csθ≥2 2× 55=2 105．
所以|AB|的最小值为2 105．
故答案为：2 105．
设P(x,y)，∠MAB=θ，解三角形可得|AB|=2 2csθ，sinθ= 2|PM|，利用两点距离公式求|PM|的最小值，结合平方关系可求|AB|的最小值．
本题考查椭圆的几何性质，圆的几何性质，属中档题．
15.【答案】解：(1)在△ABC中，12bcsinA=S=abc4，解得a=2sinA，
由正弦定理得：△ABC的外接圆的半为径R=12⋅asinA=1．
(2)由(1)知，a=2sin2π3= 3，
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccs2π3=(b+c)2−bc，
则bc=22−( 3)2=1，
令BC边上的高为h，
则12ah=S=abc4，即h=12bc=12，
所以BC边上的高为12．
【解析】(1)根据给定条件，利用正弦定理、三角形面积公式求解即得．
(2)结合(1)的信息，求出边a，再利用余弦定理结合已知面积关系求解即得．
本题考查正、余弦定理和三角形的面积公式的应用，属于中档题．
16.【答案】解：(1)根据频率分布直方图可得考试成绩优秀的总人数为100×(0.020+0.008)×10=28，
则女生的人数为18，考试成绩一般的人数为72，则女生的人数为72−40=32，则2×2列联表为：
假设H0：考试成绩优秀与性别无关，
K2=100×(10×32−40×18)228×72×50×50≈3.175<3.841，
根据小概率值α=0.05的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，
即认为“考试成绩优秀”与“性别”无关．
(2)易得考试成绩在[80,90)，[90,100]的学生人数分别为20，8，
利用分层随机抽样抽取的学生人数分别为5，2，
则ξ的所有可能取值为0，1，2，
则P(ξ=0)=C53C73=27,P(ξ=1)=C52C21C73=47,P(ξ=2)=C51C22C73=17，
则ξ的分布列为：
∴E(ξ)=0×27+1×47+2×17=67．
【解析】(1)根据已知条件完成2×2列联表，计算K2，即可得出结论；
(2)求得ξ的可能取值及对应概率，完成概率分布列，进而求得期望．
本题考查独立性检验以及离散型随机变量的分布列及期望，是中档题．
17.【答案】解：(1)∵正方形ABCD，∴AB/​/CD，
∵CD⊂平面PCD，AB⊄平面PCD，
∴AB/​/平面PCD，又AB⊂平面PAB，直线l是平面PAB和平面PCD的交线，
∴AB/​/l；
(2)如图，过点P作平面ABCD的垂线，垂足为H，过点H作EH⊥AB，垂足为E，连接PE，
∵二面角P−AB−C和二面角P−AD−B都是π4，
可知点H在正方形ABCD内，
四棱锥P−ABCD的体积为3，
即VP−ABCD=13AB2×PH=3PH=3，可得PH=1，

∵PH⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PH⊥AB，
∵PH⊥AB，EH⊥AB，PH∩EH=H，PH，EH⊂平面PEH，
∴AB⊥平面PEH，
∴∠PEH为二面角P−AB−C的平面角，
可得∠PEH=π4，可得EH=1，同理可得点H到AD的距离为1，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(3,0,0)，D(0,3,0)，C(3,3,0)，P(1,1,1)，
可得AP=(1,1,1),BC=(0,3,0),BP=(−2,1,1)，
设平面PBC的法向量为m=(x,y,z)，
有BC⋅m=3y=0,BP⋅m=−2x+y+z=0,
取x=1，y=0，z=2，可得m=(1,0,2)，
∴AP⋅m=3,|AP|= 3，|m|= 5，
∴cs=AP⋅m|AP|⋅|m|=3 3× 5= 155，
∴直线AP与平面PBC所成角的正弦值为 155．
【解析】(1)依题意可得AB/​/CD，即可证明AB/​/平面PCD，再由线面平行的性质证明即可；
(2)过点P作平面ABCD的垂线，垂足为H，过点H作EH⊥AB，垂足为E，连接PE，由锥体的体积公式求出PH，再由二面角得到EH=1，同理可得点H到AD的距离为1，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得．
本题考查线线平行的判断以及空间角的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)令g(x)=x2lnx，其定义域为(0,+∞)，
则g′(x)=2xlnx+x=x(2lnx+1)，
令g′(x)=0，则x=e−12，
当0当x>e−12时，g′(x)>0，所以g(x)在(e−12,+∞)上单调递增；
因为当01时，g(x)>0，且g(e−12)=−12e，

又f(x)恰有两个零点，即x2lnx=a(a∈R)有两个根，
故函数g(x)与y=a有两个交点，
所以−12e(2)证明：因为f(x)的两个零点分别为x1，x2(x1所以x12lnx1−a=0，x22lnx2−a=0，所以lnx1=ax12，lnx2=ax22，
故lnx1−lnx2=ax12−ax22=a(1x12−1x22)，所以a=lnx1−lnx21x12−1x22，
所以要证2ax12+ax22<−e2成立，只需证明(2x12+1x22)lnx1−lnx21x12−1x22<−e2，
即证lnx2x1+e2(1x22−1x122x12+1x22)>0，即证lnx2x1+e2(1−x22x122x22x12+1)>0，
令x2x1=t(t>1)，即证明lnt+e2(1−t22t2+1)>0，
令F(t)=lnt+e2(1−t22t2+1)，又F(1)=0，
F′(t)=1t+e2×−2t(1+2t2)−(1−t2)×4t(1+2t2)2=4t4+(4−3e)t2+1t(1+2t2)2，
由于t>1，令m=t2>1，
所以4t4+(4−3e)t2+1=4m2+(4−3e)m+1，
而y=4m2+(4−3e)m+1，其对称轴为m=3e−48<1，
所以y=4m2+(4−3e)m+1在(1,+∞)上单调递增，
所以4t4+(4−3e)t2+1>4+4−3e+1>0，
于是F′(t)>0在(1,+∞)上恒成立，
因此F(t)在(1,+∞)上单调递增，
所以F(t)>F(1)=0，所以2ax12+ax22<−e2．
【解析】(1)设g(x)=x2lnx，由于f(x)恰有两个零点，则x2lnx=a(a∈R)有两个根，利用导数求出g(x)的性质即可借助图象求出a的取值范围．
(2)由题意，将命题成立转化为(2x12+1x22)lnx1−lnx21x12−1x22<−e2成立，令x2x1=t(t>1)，即证明lnt+e2(1−t22t2+1)>0，令F(t)=lnt+e2(1−t22t2+1)，利用导数证明F(t)>0即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的零点与方程根的关系，利用分析法和综合法证明不等式，考查了转化思想，属难题．
19.【答案】解：(1)设P(x,y)，则线段FP的中点坐标为(x2,y+12)，
因为以PF为直径的圆与x轴相切，
所以|y+12|=12|FP|=12 x2+(y−1)2，
化简得x2=4y，所以Γ的方程为x2=4y；
(2)设A(x0,x024)(x0≠0)，由y=x24,y′=x2，则点A处的切线斜率为x02，
所以直线MA方程为y−x024=x02(x−x0)，整理为y=x02x−x024，
令y=−1，则x=x02−2x0，所以M(x02−2x0,−1)，
易知直线AB斜率为−2x0，所以直线AB：y−x024=−2x0(x−x0)，整理为y=−2x0x+x024+2，
与x2=4y联立可得x24−x024=−2x0(x−x0)，有−2x0(x−x0)=(x−x0)(x+x0)4，
解得x=−8x0−x0，即B的横坐标为−8x0−x0，
所以|BA|= 1+(−2x0)2|−8x0−x0−x0|= 1+4x02|8x0+2x0|=2(x02+4) x02+4x02，
|AM|= 1+(x02)2|x02−2x0−x0|= 1+x024|2x0+x02|=(x02+4) x02+44|x0|，
所以△MAB面积为12|AB||AM|=12×2(x02+4) x02+4x02×(x02+4) x02+44|x0|=(x02+4)34|x03|
=14(|x0|2+4|x0|)3=14(|x0|+4|x0|)3，
又|x0|+4|x0|≥2 |x0|×4|x0|=4，当且仅当x0=±2时，等号成立，
所以△MAB的面积最小值为14×43=16．
【解析】(1)设P(x,y)，则线段FP的中点坐标为(x2,y+12)，根据以PF为直径的圆与x轴相切，列出方程，化简即可得解；
(2)设A(x0,x024)(x0≠0)，根据导数的几何意义求出切线方程，进而可求出M点的坐标，从而可求出直线AB的方程，进而可求出B的横坐标，再列出△MAB面积的表达式，即可得解．
本题主要考查轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题．性别
考试成绩
合计
优秀
一般
男生
10
40
女生
合计
α
0.10
0.05
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828
性别
考试成绩
合计
优秀
一般
男生
10
40
50
女生
18
32
50
合计
28
72
100
ξ
0
1
2
P
27
47
17