达拉特旗第一中学2023-2024学年高一下学期4月第一次学情诊断数学试卷(含答案)

这是一份达拉特旗第一中学2023-2024学年高一下学期4月第一次学情诊断数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．( )
A.-1B.1C.D.i
2．若为奇函数，则a的值为( )
A.-1B.0C.1D.2
3．，则( )
A.B.C.D.
4．已知，，若，则( )
A.1B.-1C.D.
5．在中，D为的中点，E为边上的点，且，则( )
A.B.C.D.
6．中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则( )
A.B.C.2D.-2
7．在中，，，且的面积为，则( )
A.B.C.D.
8．锐角中内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，则的范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知，且，则下列不等式一定成立的是( )
A.B.C.D.
10．已知函数(，，)的部分图象如图所示，下列说法正确的有( )
A.
B.
C.图象的对称中心为
D.直线是图象的一条对称轴
11．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且有两解，则b的值可能是( )
A.B.C.D.
12．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法错误的是( )
A.点，，与向量共线的单位向量为
B.非零向量和满足，则与的夹角为
C.已知平面向量，，若向量与的夹角为锐角，则
D.向量，，则在上的投影向量的坐标为
三、填空题
13．向量“”是向量“”的__________条件.
14．已知，则的值为__________.
15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且，则__________.
四、解答题
16．已知非零向量，，满足，，，且，则的最大值为__________.
17．已知幂函数在上为严格减函数.
(1)求实数m的值；
(2)若，求实数a的取值范围.
18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
(1)求B；
(2)，D为边上一点，，，求长.
19．已知函数.
(1)求函数的解析式，并求其图象的对称轴方程；
(2)求函数在上的单调递增区间.
20．已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，.
(1)求A；
(2)已知直线为的平分线，且与交于点M，若，求的周长.
21．定义：已知两个非零向量与的夹角为.我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即.
(1)若向量，，求；
(2)若平行四边形的面积为4，求.
22．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.
(1)求角B；
(2)求面积的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意得，
2．答案：D
解析：由函数为奇函数，可得，
可得，解得，
经检验，当时，，
满足，符合题意，所以.
3．答案：C
解析：，平方可得，，
4．答案：A
解析：，由得，
解得.
5．答案：A
解析：因为D为的中点，所以.
又因为，，所以.
所以，.
6．答案：D
解析：由余弦定理得.
又因为，所以，
故.
故选：D.
7．答案：D
解析：设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
因为，所以由正弦定理可得，
又解得，
所以由余弦定理可得，
因为，所以，
8．答案：B
解析：由正弦定理得，又，所以，
因为，所以，即，因为A为锐角，所以，
又，所以，所以，即，
故的取值范围是.
9．答案：BD
解析：对于A，取，，满足，取，有，A错误；
对于B，由，得，而，因此，B正确；
对于C，取，，C错误；
对于D，由，得，因此，D正确.
10．答案：BC
解析：对于A，由图象可知，，
又图象过，则，，又，则，A错误；
对于B，又图象过，则，故，B正确；
对于C，所以的解析式为，
由，，得，，
所以图象的对称中心为，，C正确，
对于D，，
所以直线不是图象的一条对称轴，D错误.
11．答案：BC
解析：因为，，
所以，
因为有两解，则，，
即.
12．答案：AC
解析：对于A，因为，，则，，
所以与向量共线的单位向量为，故A错误；
对于B，因为，所以，
则，化简得，
所以，即，
又，
所以，
因为，所以，故B正确；
对于C，因为，，
当时，，得，
经检验，当时，，同向共线，即此时，的夹角不为锐角，故C错误；
对于D，因为，，
所以在上的投影向量的坐标为，故D正确.
13．答案：充分不必要
解析：向量“”指，的大小和方向都相等，
故向量“”是向量“”的充分非必要条件，
14．答案：2
解析：因为，等式左边分子､分母同时除以得，，解得，
15．答案：2
解析：，由正弦定理可得，
，，，
，，
由余弦定理，，得，解得.
16．答案：
解析：
终点在以AB为直径的圆上
最大值
在中，为中边上中线.
又
，，半径
综上所述
17．答案：(1)-3
(2)
解析：(1)因为函数是幂函数，
所以，得或，
因为幂函数在上为严格减函数，所以不符合题意，
所以.
(2)由(1)可得
设函数，
因为函数在上严格单调递减，
所以或或，得或.
所以实数a的取值范围是.
18．答案：(1)
(2).
解析：(1)由正弦定理得：，
，
显然则，
又，故；
(2)因为，，，
根据余弦定理得：
，.
所以，
所以，
所以，
所以，
所以.
19．答案：(1)，对称轴方程为
(2)和
解析：(1)，由，解得；
所以，函数图象的对称轴方程为；
(2)当时，有，要使单调递增，
则需要，或，
解得，或
故函数在上的单调递增区间为和.
20．答案：(1)
(2)
解析：(1)根据题意可得，
由正弦定理得，
又
故，
又，所以，则，
因为，所以.
(2)因为，
所以，
又平分，所以，
所以，
则，即
由余弦定理得，即，
所以，解得(负值舍去)，
故的周长为.
21．答案：(1)14
(2)4
解析：(1)因为，，
则，，
所以，
因为是向量，的夹角，所以，
因此，故.
(2)因为平行四边形的面积为4，
所以，所以.
22．答案：(1)
(2).
解析：(1)在锐角中，由正弦定理及得：，
而，则，又，，因此，即，
所以.
(2)在锐角中，由(1)知，，有，令，则，，
由正弦定理得，的面积
，
由得，，于是得，
所以面积的取值范围是.