中考数学复习压轴题题组练(三)含答案

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23．(8分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，弦AD平分∠BAC，过点D作射线AC的垂线，垂足为P，点E是线段AB上的动点．
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)若∠B＝30°，AB＝8，在点E运动过程中，EC＋EP是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
(1)证明：连接OD，
∵弦AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD.
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC.
∵DP⊥AC，∴DP⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线．
(2)解：存在．
过点C作CF⊥AB并延长交⊙O于点G，连接PG，交AB于点E，
当P，E，G三点在一条直线上时，CE＋EP的值最小．
连接BD，过点G作GH⊥AC，交CA的延长线于点H，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝30°，AB＝8，∴AC＝4，BC＝4eq \r(3).
∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAP＝30°，
∴AD＝4eq \r(3).∴AP＝6.
∵∠GAB＝∠BAC＝60°，
∴∠GAH＝60°.∵AG＝AC＝4，
∴AH＝2，HG＝2eq \r(3)，∴HP＝AH＋AP＝8.
∴PG＝eq \r(HG2＋PH2)＝2eq \r(19).
∴EC＋EP的最小值为2eq \r(19).
24．(8分)在直角坐标系中，设函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)．
(1)当a＝－1时，
①若该函数图象的对称轴为直线x＝2，且过点(1，4)，求该函数的解析式；
②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：b＋4c≤eq \f(1,4)；
(2)已知该函数的图象经过点(m，m)，(n，n)(m≠n)．若b＜0，m＋n＝3，求a的取值范围．
(1)①解：该函数解析式为y＝－x2＋4x＋1.
②证明：∵该函数解析式为y＝－x2＋bx＋c，且其图象与x轴有且只有一个交点，
∴方程－x2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2－4×(－1)×c＝0，
整理，得b2＋4c＝0，即4c＝－b2，
∴b＋4c＝b－b2＝－(b－eq \f(1,2))2＋eq \f(1,4).
∵－(b－eq \f(1,2))2＋eq \f(1,4)≤eq \f(1,4)，∴b＋4c≤eq \f(1,4).
(2)解：∵该函数的图象经过点(m，m)，(n，n)，
∴m＝am2＋bm＋c，n＝an2＋bn＋c，
∴m－n＝(am2＋bm＋c)－(an2＋bn＋c)
＝a(m2－n2)＋b(m－n)
＝a(m－n)(m＋n)＋b(m－n)．
∵m＋n＝3，
∴m－n＝3a(m－n)＋b(m－n)＝(3a＋b)(m－n)．
又∵m≠n，∴3a＋b＝1，即b＝1－3a.
∵b＜0，∴1－3a＜0，解得a>eq \f(1,3).