2024年上海市长宁区初三二模数学试卷和答案

这是一份2024年上海市长宁区初三二模数学试卷和答案，共21页。试卷主要包含了下列命题是假命题的是，计算等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：100分钟 满分：150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题，答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效。
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤。
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】
1．下列是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．关于一元二次方程根的情况，正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有且只有一个实数根 D．没有实数根
3．下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（ ）
A． B． C． D．
4．为了解某公司的收入水平，随机挑选五人的月工资进行抽样调查，月工资（单位：元）分别是3000，4000，5000，6000，50000，那么能够较好的反映他们收入平均水平的是（ ）
A．中位数 B．标准差 C．平均数 D．众数
5．如图，己知点A、B、C、D都在上，，下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列命题是假命题的是（ ）
A．对边之和相等的平行四边形是菱形
B．一组邻边上的高相等的平行四边形是菱形
C．一条对角线平分一组对角，另一条对角线平分一个内角的四边形是菱形
D．被一条对角线分割成两个等腰三角形的平行四边形是菱形
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．计算：___________．
8．截至2023年底，全国高铁营业里程约为45000公里，这个数45000用科学记数法表示为___________．
9．函数的定义域为___________．
10．方程的解是___________．
11．已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为________________．
12．如果二次函数的图像向右平移3个单位后经过原点，那么m的值为___________．
13．在1，2，3中任取两个不重复的数字组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率是___________．
14．为了解某校六年级300名学生来校的方式，随机调查了该校六年级50名学生同一天来校的方式，并绘制了如图所示的饼状图，那么估计该校六年级300名学生中这一天步行来学校的共有___________名．
15．如图，在中，点D在边AB上，且，点E是AC的中点，联结DE，设向量，，如果用、表示，那么___________．
16．如图，正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD上（点F不与点C重合），且，那么的值为___________．
17．在中，，将绕着点C旋转，点A、点B的对应点分别是点D、点E，如果点A在DE的延长线上，且，那么的余弦值为___________．
18．我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，在中，，如果的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是___________．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】
19．（本题满分10分）
计算：
20．（本题满分10分）
解方程组：
21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
如图，经过平行四边形ABCD的顶点B、C、D，点O在边AD上，．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）求的正弦值．
22．（本题满分10分，第（1）小题3分，第（2）小题3分，第（3）小题4分）
春节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动
设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题：
（1）如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款y元，求y关于x的函数解析式（不必写出函数定义域）；
（2）购买原价在500元以下的商品时，如果分别选择甲商店的优惠活动和乙商店的优惠活动后，实际付款金额相等，求x的值；
（3）顾客购买原价在900元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围．
23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）
己知：在梯形ABCD中，，点E在边AD上（点E不与点A、D重合），点F在边CD上，且．
（1）求证：；
（2）联结EF，与BD交于点G，如果，求证：四边形BEDF为等腰梯形．
24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）
在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点，其对称轴为直线．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴、线段BC交于点D、E．
①当时，求CD的长；
②联结AC，如果的面积是面积的3倍，求点F的坐标．
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题10分）
己知在中，，点O为边AB上一点，以点O为圆心，OA为半径作，交边AC于点D（点D不与点A、C重合）．
图1 备用图 备用图
（1）当时，判断点B与的位置关系，并说明理由；
（2）过点C作，交OD延长线于点E．以点E为圆心，EC为半径作，延长CE，交于点．
①如图1，如果与的公共弦恰好经过线段EO的中点，求CD的长；
②联结、OC，如果与的一条边平行，求的半径长．
上海市长宁区2023学年第二学期初三数学
教学质量调研试卷
（考试时间：100分钟 满分：150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题，答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效。
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤。
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】
1．下列是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查最简二次根式知识点
①被开方数中各因式的指数都为1；
②被开方数不含分母.
被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
【详解】由最简二次根式知识点，判断得到A，B，D不是最简二次根式。
A 中，
B中，
D中，
答案为C
2．关于一元二次方程根的情况，正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有且只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程根的情况，根据一元二次方程判别式与根情况的关系，列代数式求解即可．
，方程有两个不相等的实数根；
当，方程有两个相等的实数根；
当，方程没有实数根．
【详解】经过计算得，△＞0，所以选B
3．下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查正反比例函数，一次函数，二次函数的图像与性质
【详解】A选项，在对称轴右侧，函数值y随自变量x的值增大而增大，左侧不满足题意，故A错；
B选项，反比例函数，过二四象限，在各自象限内，函数值y随自变量x的值增大而增大，但在x取0时，不满足题意，故B错；
C选项，正比例函数，k＜0，函数值y随自变量x的值增大而减小，故C错；
D选项，一次函数，k＞0，函数值y随自变量x的值增大而增大，故D正确。
正确答案为D
4．为了解某公司的收入水平，随机挑选五人的月工资进行抽样调查，月工资（单位：元）分别是3000，4000，5000，6000，50000，那么能够较好的反映他们收入平均水平的是（ ）
A．中位数 B．标准差 C．平均数 D．众数
【答案】A
【分析】本题考查学生对统计的一些概念的理解
【详解】根据中位数的定义先确定从小到大或者从大到小排列，能够较好的反映他们收入平均水平；
标准差：方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即
方差、标准差都反映一组数据波动大小；
平均数：一般地，如果有个数那么，叫做这n个数的平均数；
众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.
根据定义，容易得到答案为A
5．如图，己知点A、B、C、D都在上，，下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查圆中的弦，弧，圆心角之间的相关关系及垂径定理等知识点
【详解】由OB⊥AC，及垂径定理得A正确；
由BC=CD，得到∠BOC=∠DOC，又因为OB⊥AC，所以∠AOB=∠BOC
所以∠AOB=∠BOC=∠DOC，所以B正确；
由题目条件无法得到C选项结果，C错误；
由垂径定理推论得到OC⊥BD，D正确。
本题答案为C
6．下列命题是假命题的是（ ）
A．对边之和相等的平行四边形是菱形
B．一组邻边上的高相等的平行四边形是菱形
C．一条对角线平分一组对角，另一条对角线平分一个内角的四边形是菱形
D．被一条对角线分割成两个等腰三角形的平行四边形是菱形
【答案】D
【分析】本题考查菱形的判定
【详解】
对边之和相等的平行四边形是菱形。∵平行四边形中，对边相等，∴对边之和相等，即得到邻边相等，∴四边都相等，所以为菱形。这种说法是正确的。
一组邻边上的高相等的平行四边形是菱形。∵是平行四边形 又一组邻边上的高相等 ∴可以得到三角形全等，所以得到邻边相等，所以为菱形。这种说法是正确的。
C．一条对角线平分一组对角，另一条对角线平分一个内角的四边形是菱形。由三角形全等及边角关系可得邻边相等，所以为菱形。这种说法是正确的。
D．被一条对角线分割成两个等腰三角形的平行四边形是菱形。可以看反例，如果AB=AC=DC，此时满足题意，但很明显不是菱形。这种说法是错误的。
本题答案为D
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．计算：___________．
【答案】
【分析】本题考查公式
【详解】答案为
8．截至2023年底，全国高铁营业里程约为45000公里，这个数45000用科学记数法表示为___________．
【答案】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题的关键是正确表示和的值．由科学记数法的表示方法，表示出和的值，得到答案．
【详解】答案为
9．函数的定义域为___________．
【答案】
【分析】本题考查函数有意义的条件，及分式有意义的条件
【详解】由分母≠0，得到答案
所以答案为
10．方程的解是___________．
【答案】
【分析】本题考查无理方程的解法，及验根
【详解】由题意，两边平方得
所以答案为
11．已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为________________．
【答案】
【分析】本题考查分式方程的整体换元，及分式方程化为整式方程的方法
【详解】由题意得，原方程可以化为
去分母得
所以答案为
12．如果二次函数的图像向右平移3个单位后经过原点，那么m的值为___________．
【答案】-9
【分析】本题考查二次函数图像的平移知识点，根据左加右减 ，及经过原点，求得m的值
【详解】向右平移3个单位后的解析式为，代入点（0,0），解得答案
求得m的值为-9
13．在1，2，3中任取两个不重复的数字组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率是___________．
【答案】
【分析】本题考查概率知识点及简单应用，考查素数知识点
【详解】两位数共有12,21,13,31,23,32这些，共6个，其中素数有13，31,23共,3个，
所以概率为，
答案为
14．为了解某校六年级300名学生来校的方式，随机调查了该校六年级50名学生同一天来校的方式，并绘制了如图所示的饼状图，那么估计该校六年级300名学生中这一天步行来学校的共有___________名．
【答案】90
【分析】本题主要考查统计部分知识点，及饼状图
【详解】由饼状图可得，抽样中的步行学生比例为30％，
所以300名学生中步行的学生为300×30％=90名
15．如图，在中，点D在边AB上，且，点E是AC的中点，联结DE，设向量，，如果用、表示，那么___________．
【答案】
【分析】本题考查向量的运算，及三角形法则的应用，过程见详解
【详解】由题意得
16．如图，正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD上（点F不与点C重合），且，那么的值为___________．
【答案】
【分析】本题主要考查正方形背景下的相似三角形的判定，及对应边成比例，进而求得比例线段的值
【详解】∵正方形ABCD，得∠BAC=45°，又∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAF=45°
∴∠BAE=∠CAF
∵∠ABD=∠ACF=45°
∴△ABE∽△ACF
∴
∴
的值为
17．在中，，将绕着点C旋转，点A、点B的对应点分别是点D、点E，如果点A在DE的延长线上，且，那么的余弦值为___________．
【答案】
【分析】本题主要考查图形的运动：旋转知识点。
【详解】由旋转性质得CA=CD，CB=CE，∠A=∠D，∠DCE=∠ACB=90°
∵CE∥AB，∴∠A=∠ACE，又∠ACE=∠CAE
∴∠CED=2∠ACE
∠CED+∠A=90°，即3∠A=90°，∠A=30°
∴∠CAE=30°，
的余弦值为
18．我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，在中，，如果的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是___________．
【答案】或
【分析】本题考查重心知识点，圆与三角形交点个数问题。需要分类进行讨论。
【详解】设重心为G，重心圆为，由等腰三角形ABC，作AD⊥BC，交BC于点D，由勾股定理解得AD=6，由重心性质得AG：DG=2:1，所以AG=4，DG=2 由勾股定理得BG=，过点G作GH⊥AB于点H，由△AGH∽△ABD，得到GH=
①当过点A时，r=AG=4；
②当过点B时，r=BG=；
③当与AB，AC相切时，r=GH=。
三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】
19．（本题满分10分）
计算：
【答案】4
【分析】本题考查实数的运算知识点。需要对分数指数幂，分母有理化，绝对值运算，0次幂运算要熟练掌握，运算基本功扎实，这个题目容易答对。
【详解】解：

= 4
20．（本题满分10分）
解方程组：
【答案】 .
【分析】本题考查解二元二次方程组知识点。熟练掌握因式分解及消元法是解题的关键。
【详解】由 = 2 \* GB3 ②得：
∴原方程组化为： 或
解得：
∴原方程组解为 .
21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
如图，经过平行四边形ABCD的顶点B、C、D，点O在边AD上，．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）求的正弦值．
【答案】（1）平行四边形面积为24；（2）
【分析】（1）本小题主要考查垂径定理知识点及勾股定理知识点；
（2）求正弦值，需要构造直角三角形，计算需要的边长即可求解。
【详解】（1）作，垂足为点，联结.
∵平行四边形中， ∴
∵在⊙O中，过圆心O， ∴
∵中， ∴
∵ ∴
∴平行四边形面积为.
（2）作，垂足为点.
∵平行四边形中，， ∴
∵ ∴ ∴
∵∴四边形为矩形
∴ ∴
∵中， ∴
∴
22．（本题满分10分，第（1）小题3分，第（2）小题3分，第（3）小题4分）
春节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动
设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题：
（1）如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款y元，求y关于x的函数解析式（不必写出函数定义域）；
（2）购买原价在500元以下的商品时，如果分别选择甲商店的优惠活动和乙商店的优惠活动后，实际付款金额相等，求x的值；
（3）顾客购买原价在900元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围．
【答案】（1） （2）的值为400 （3）的取值范围为或
【分析】（1）由题意，甲商店优惠活动按原价打八折得到；
由乙商店按原价每满300元减80元，及实际付款金额相等，列出等量关系式，解答得到答案；
本题主要考查学生的思维的严谨性，需要进行分段讨论，及不等关系的建立，很好的考查学生的数学素养和实际应用能力。
【详解】（1）
（2）
（符合题意）
答：的值为.
（3）由题可知：
当时， ， ， ；
当时， ， ， ；
或
答：的取值范围为或 .
23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）
己知：在梯形ABCD中，，点E在边AD上（点E不与点A、D重合），点F在边CD上，且．
（1）求证：；
（2）联结EF，与BD交于点G，如果，求证：四边形BEDF为等腰梯形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）详见解析；（2）详见解析
【详解】（1），.
， .
， .
，
，即


（2），.
又，
.
， .

，.

与不平行， .

24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）
在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点，其对称轴为直线．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴、线段BC交于点D、E．
①当时，求CD的长；
②联结AC，如果的面积是面积的3倍，求点F的坐标．
【答案】（1）抛物线表达式为： （2）CD=5； （3）点F的坐标（4,6）
【分析】（1）由抛物线对称轴及过点C，通过待定系数法得到抛物线解析式；
因为F是抛物线上动点，设点F坐标，通过添加辅助线，得到平行线，得到角相等，然后用锐角三角比得到比例式，进而求得F的坐标，及CD的长度；
因为求F点坐标，F又是抛物线上动点，设F坐标，添加辅助线，得到线段平行，列出比例式，又由面积关系，得到线段的关系，列出等量关系，求解即可。
【详解】（1）对称轴为直线



（2）① 分别作，垂足为点；作，垂足为点.
，可得，.

.
设

（符合要求）
②分别作，垂足为点；作，垂足为点.

设

= 1 \* GB3 ①

= 2 \* GB3 ②
由 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②，解得或（舍），.
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题10分）
己知在中，，点O为边AB上一点，以点O为圆心，OA为半径作，交边AC于点D（点D不与点A、C重合）．
图1 备用图 备用图
（1）当时，判断点B与的位置关系，并说明理由；
（2）过点C作，交OD延长线于点E．以点E为圆心，EC为半径作，延长CE，交于点．
①如图1，如果与的公共弦恰好经过线段EO的中点，求CD的长；
②联结、OC，如果与的一条边平行，求的半径长．
【答案】（1）点B在内. （2）① ②
【分析】（1）求出OB，OA的长度，然后比较大小，即可； （2）通过添加辅助线，构造直角三角形，解直角三角形及锐角三角比求出线段CD的长度； （3）分类进行讨论，利用平行线性质列比例式，求的半径CE的长度，本小题综合性比较高。
【详解】
（1）过点O作，垂足为点H.
∵过圆心，，∴.
∵，∴.∴，∴.
∵，∴.
∴. ∴点B在内.
H
（2）过点C作，垂足为点M.
∵，，∴
∵ ，∴.
∵，∴.又∵，∴.
.∴在中，，.
设，则∴ ∴
①两圆的交点记为P、Q，联结PE、PO
∵⊙O、⊙E相交，PQ是公共弦，∴OE垂直平分PQ，即.
∵PQ经过OE中点，∴PQ垂直平分OE，∴，即.
∴.
在中，，∴ .∴.
∴ ∴ .∴.
②由于点A在直线AB上，所以不可能与OB平行.
1.. 过点作，垂足为点N.
∵，∴.∵，∴
∵，∴.
∵，∴.∴.
∵，∴.
∵，∴.
∵，∴，∴.
在中，，.
∴.∴.∴.
2.. 延长OE交延长线于点F.
∵，∴.∴.
∵，，∴.
∴.∴.
∵，∴，∴，
，.∴.
综上所述：.
商店
优惠方式
甲
所购商品按原价打八折
乙
所购商品按原价每满300元减80元
商店
优惠方式
甲
所购商品按原价打八折
乙
所购商品按原价每满300元减80元