2024年上海市宝山区初三二模数学试卷和答案

这是一份2024年上海市宝山区初三二模数学试卷和答案，共26页。试卷主要包含了本试卷共25题，试卷满分150分等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷共25题．
2．试卷满分150分．考试时间100分钟．
3．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
4．除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1. 二次根式有意义，则x的取值范围是（ ▲ ）
（A）； （B）； （C）； （D）．
2. 如果关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，那么实数m的值是（ ▲ ）（A）； （B）； （C）； （D）．
3. 下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（ ▲ ）
（A）； （B）； （C）； （D）.
4. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，两次都是正面向上的概率是（ ▲ ）
（A）； （B）； （C）； （D）．
5. 上海发布微信公众号可查询到上海市实时空气质量状况.下面是三月某一周连续七天的空气质量指数(AQI)：28，26，26，37，33，40，117，这组数据的下列统计量中，能比较客观地反映这一周空气质量平均水平的是（ ▲ ）
（A）平均数； （B）中位数； （C）众数； （D）方差．
图1
6. 如图1，△ABC中，∠C=90°，AB=5，，如果以点C为圆心，半径为R的⊙C与线段AB有两个交点，那么⊙C的半径R的取值范围是（ ▲ ）
（A）； （B）；
（C）； （D）．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7. 计算：＝ ▲ .
8. 因式分解：m2－3m＝ ▲ .
9. 不等式 eq \f(x－1,2)＜0的解集是 ▲ .
10. 方程的解是 ▲ .
11. 我国天文学家算出了仙女星系“体重”.仙女星系是距离银河系最近的大型漩涡星系，是研究星系形成和演化的绝佳案例.计算得到仙女星系质量约为11400亿倍太阳质量.把数据11400亿用科学记数法表示应是 ▲ .
12. 某厂生产了1000只灯泡．为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，结果有28只灯泡的使用寿命超过了2500小时，那么估计这1000只灯泡中使用寿命超过2500小时的灯泡的数量为 ▲ 只.
13. 《孙子算经》记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木多出1尺．那么长木的长度为 ▲ 尺.
14. 如图2，街心花园有A、B、C三座小亭子，A、C两亭被池塘隔开，A、B、C三亭所在的点不共线.设AB、BC的中点分别为M、N.如果MN=3米，那么AC= ▲ 米.
15. 如图3，正六边形ABCDEF，连接OE、OD，如果那么 ▲ .
图2
图4
图3
16. 为传承海派文化，社区准备举办沪剧爱好者观摩演出活动.把某场馆的一个正方形区域改造成一个由矩形和半圆形组成的活动场地（如图4），矩形ABCD是观众观演区，阴影部分是舞台，CD是半圆O的直径，弦EF与CD平行．已知EF长8米，舞台区域最大深度为2米，如果每平方米最多可以坐3名观众，那么观演区可容纳 ▲ 名观众.
17. 如图5，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的一边在同一直线上，那么图中阴影三角形①和②的面积之比的比值为_______．
18. 如图6，菱形ABCD的边长为5，csB＝，E是边CD上一点（不与点C、D重合），把△ADE沿着直线AE翻折，如果点D落在菱形一条边的延长线上，那么CE的长为
图6
图5
▲ .
E
D
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. （本题满分10分）计算：．
20. （本题满分10分）解方程：．
（本题满分10分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分）
x
O
B
A
y
图7
C
如图7，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数的图像交于点C(2，m)．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点C作x轴的平行线l，如果点D在直线l上，
且CD=3，求△ABD的面积．
22.（本题满分10分）
小明家院内靠墙安装了一个遮阳篷（如图8），图9是它的侧面示意图，遮阳篷长AC＝6米，与水平面的夹角为17.5°，靠墙端A离地高度AB＝5米，已知该地区冬至正午太阳光照入射角∠CDF＝36.9°，夏至正午太阳光照入射角∠CEF＝82.4°，因此，点D、E之间的区域是一年四季中阳光不一定照射到的区域，求该区域深度DE的长．（结果精确到0.1米）
参考数据：sin17.5°≈0.3，cs17.5°≈0.95，tan17.5°≈0.32；
sin36.9°≈0.6，cs36.9°≈0.8，tan36.9°≈0.75；
sin82.4°≈0.99，cs82.4°≈0.13，tan82.4°≈7.5.
图8
图9
23.（本题满分12分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分）
图10
如图10，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，联结AC、DO，延长DO交AC于点F．
（1）求证：AF2＝OF·DF；
（2）如果CD＝8，BE＝2，求OF的长．
24.（本题满分12分，第(1)小题满分4分,第(2)小题满分4分，第(3)小题满分4分）
在平面直角坐标系xOy中（如图11），已知开口向下的抛物线经过点
P（0，4），顶点为A．
（1）求直线PA的表达式；
（2）如果将△POA绕点O逆时针旋转90°，点A落在抛物线上的点Q处，求抛物线的表达式；
x
O
P(0, 4)
y
图11
（3）将（2）中得到的抛物线沿射线PA平移，平移后抛物线的顶点为B，与y轴交于点C.如果，求的值．
25.（本题满分14分，第(1)小题①满分4分，第(1)小题②满分4分，第(2)小题满分6分）
已知AB是半圆O的直径，C是半圆O上不与A、B重合的点，将弧AC沿直线AC翻折，翻折所得的弧交直径AB于点D，E是点D关于直线AC的对称点．
（1）如图12，点D恰好落在点O处.
① 用尺规作图在图12中作出点E（保留作图痕迹），
联结AE、CE、CD，求证：四边形ADCE是菱形；
② 联结BE，与AC、CD分别交于点F、G，求的值；
（2）如果AB＝10，OD＝1，求折痕AC的长．
图12
备用图
上海市宝山区2023学年第二学期期中考试九年级
数学试卷
考生注意：
1．本试卷共25题．
2．试卷满分150分．考试时间100分钟．
3．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
4．除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1. 二次根式有意义，则x的取值范围是（ ▲ ）
（A）； （B）； （C）； （D）．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数要≥0.
【详解】由题意得，
∴
所以答案选D
2. 如果关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，那么实数m的值是（ ▲ ）（A）； （B）； （C）； （D）．
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程根的情况，根据一元二次方程判别式与根情况的关系，列代数式求解即可．
，方程有两个不相等的实数根；
当，方程有两个相等的实数根；
当，方程没有实数根．
【详解】
∵一元二次方程有两个相等的实数根
∴
∴1+4m=0
∴m=
∴答案选B
3. 下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（ ▲ ）
（A）； （B）； （C）； （D）.
【答案】D
【分析】本题考查一次函数，二次函数的图像与性质
【详解】
A选项，二次函数，在对称轴左侧，函数值y随自变量x的值增大而减小，右侧不满足题意，故A错；
B选项，二次函数，开口向下，在对称轴左侧，函数值y随自变量x的值增大而增大，不满足题意，故B错；
C选项，一次函数，k＞0，函数值y随自变量x的值增大而增大，故C错；
D选项，一次函数，k＜0，函数值y随自变量x的值增大而减小，故D正确。
正确答案为D
4. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，两次都是正面向上的概率是（ ▲ ）
（A）； （B）； （C）； （D）．
【答案】A
【分析】本题考查学生对概率的理解掌握情况
【详解】抛掷同一枚质地均匀的硬币，每次正面向上的概率都为，
那么先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，两次都是正面向上的概率是
正确答案为A
5. 上海发布微信公众号可查询到上海市实时空气质量状况.下面是三月某一周连续七天的空气质量指数(AQI)：28，26，26，37，33，40，117，这组数据的下列统计量中，能比较客观地反映这一周空气质量平均水平的是（ ▲ ）
（A）平均数； （B）中位数； （C）众数； （D）方差．
【答案】B
【分析】本题考查学生对统计的一些概念的理解
【详解】根据中位数的定义先确定从小到大或者从大到小排列，所以中位数能比较客观地反映这一周空气质量平均水平；
标准差：方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即
方差、标准差都反映一组数据波动大小；
平均数：一般地，如果有个数那么，叫做这n个数的平均数；
众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.
根据定义，容易得到答案为B
图1
6. 如图1，△ABC中，∠C=90°，AB=5，，如果以点C为圆心，半径为R的⊙C与线段AB有两个交点，那么⊙C的半径R的取值范围是（ ▲ ）
（A）； （B）；
（C）； （D）．
【答案】A
【分析】
【详解】
过C作CD⊥AB，交AB于点D，
在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AB=5，
∴
在Rt△BCD中，
由等面积，得CD=2
∵以点C为圆心，半径为R的⊙C与线段AB有两个交点
∴R＞CD，且R≤AC
∴
正确答案为A
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7. 计算：＝ ▲ .
【答案】
【分析】本题考查同底数幂的除法法则。同底数幂相除，底数不变，指数相减。
【详解】
＝
所以答案为
8. 因式分解：m2－3m＝ ▲ .
【答案】
【分析】本题考查因式分解中的提公因式
【详解】代数式提出m,即得到答案
9. 不等式 eq \f(x－1,2)＜0的解集是 ▲ .
【答案】
【分析】本题考查解不等式
【详解】原不等式可以化为
-1＜0
∴
所以答案为
10. 方程的解是 ▲ .
【答案】
【分析】本题考查无理方程的解法，及验根
【详解】由题意，得≤0
两边平方得
解得
经检验得为增根，舍去
所以方程的解是
11. 我国天文学家算出了仙女星系“体重”.仙女星系是距离银河系最近的大型漩涡星系，是研究星系形成和演化的绝佳案例.计算得到仙女星系质量约为11400亿倍太阳质量.把数据11400亿用科学记数法表示应是 ▲ .
【答案】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题的关键是正确表示和的值．由科学记数法的表示方法，表示出和的值，得到答案．
【详解】答案为
12. 某厂生产了1000只灯泡．为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，结果有28只灯泡的使用寿命超过了2500小时，那么估计这1000只灯泡中使用寿命超过2500小时的灯泡的数量为 ▲ 只.
【答案】560
【分析】本题考查概率统计的基本知识点，需要熟练掌握
【详解】设1000只灯泡中使用寿命超过2500小时的灯泡的数量为x只，
由题意，可以列比例式
28:50=:1000
解得=560
所以答案为560
13. 《孙子算经》记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木多出1尺．那么长木的长度为 ▲ 尺.
【答案】6.5
【分析】本题考查学生设未知数，建立等量关系，及解方程的能力
【详解】设绳子的长度为2x, 则长木的长度分别为2x-4.5,x+1,
∴2x-4.5=x+1
∴x=5.5
x+1=6.5
即长木的长度为6.5尺。
14. 如图2，街心花园有A、B、C三座小亭子，A、C两亭被池塘隔开，A、B、C三亭所在的点不共线.设AB、BC的中点分别为M、N.如果MN=3米，那么AC= ▲ 米.
【答案】6
图2
【分析】本题考查中位线的性质知识点及应用
【详解】
A,B，C组成三角形，在△ABC中，MN 为中位线，
AC=2MN=6
所以答案为6
15. 如图3，正六边形ABCDEF，连接OE、OD，如果那么 ▲ .
图3
【答案】
【分析】
【详解】
∵正六边形ABCDEF
∴AB∥DE
∴答案为
16. 为传承海派文化，社区准备举办沪剧爱好者观摩演出活动.把某场馆的一个正方形区域改造成一个由矩形和半圆形组成的活动场地（如图4），矩形ABCD是观众观演区，阴影部分是舞台，CD是半圆O的直径，弦EF与CD平行．已知EF长8米，舞台区域最大深度为2米，如果每平方米最多可以坐3名观众，那么观演区可容纳 ▲ 名观众.
图4
【答案】150
【分析】本题考查垂径定理及面积的计算方法，数学知识的实际应用
【详解】联结OE，过O作OH⊥EF于点H，设OE=r,
由题意得OH=r-2, EH=4，
在Rt△OEH中，由勾股定理得
∴得r=5
∴AB=CD=10 AD=5
所以观看演出面积为矩形ABCD的面积，即为5×10=50平方米。所以可以容纳人数为50×3=150人。
如图5，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的一边在同一直线上，那么图中阴影三角形①和②的面积之比的比值为_______．
【答案】
【分析】通过A型和X型，求解得出的比值
【详解】
A

C
B D

由图设AD，BC交于点P，
∵AB∥CD，由比例关系，
经过计算得△①的底边长为，△②的底边长为，由面积比等于相似比的平方得
18. 如图6，菱形ABCD的边长为5，csB＝，E是边CD上一点（不与点C、D重合），把△ADE沿着直线AE翻折，如果点D落在菱形一条边的延长线上，那么CE的长为
▲ .
图6
【答案】
【分析】本题考查翻折知识点及应用，考查解三角形及角平分线定理在求线段长度中的应用。需要分类讨论
【详解】①当点D落在BC的延长线上时，
落点设为点F，线段AF交线段DC于点G，
∵由题意得，AD=AF=AB=5,
∴∠B=∠AFB=∠DAF=∠D
∴GA=GD
过A作AH⊥BC于点H，求得AH=3，BH=4，∴CH=1，CF=3，
∵BF∥AD
∴
∵翻折 ∠DAE=∠GAE
②当点D落在DC的延长线上时，
落点设为点F，线段AF交线段DC于点G，
∵AD=AF ∴E为DF的中点
由等腰三角形三线合一，得AE⊥DF
∴CE=DC-DE=5-4=1
综上，CE的长度为
E
D
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. （本题满分10分）计算：．
【答案】
【分析】本题考查实数的混合运算，需要对分数指数幂，分母有理化，绝对值运算，负整数次幂运算要熟练掌握，运算基本功扎实，这个题目容易答对。
【详解】
原式=
=
20. （本题满分10分）解方程：．
【答案】.
【分析】本题考查分式方程的解法，需要注意验根
【详解】
去分母，方程两边同时乘以，得
经检验都是原方程的根，
所以，原方程的根是.
21.（本题满分10分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分）
x
O
B
A
y
图7
C
如图7，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数的图像交于点C(2，m)．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点C作x轴的平行线l，如果点D在直线l上，
且CD=3，求△ABD的面积．
【答案】（1） （2）
【分析】
由直线解析式求C点坐标，代入反比例函数，求k,进而求解析式；
点D在C点左侧或者右侧，都可以利用△ABD的面积=△ACD的面积-△BCD的面积，求解即可。
【详解】
（1）由直线经过C(2，m)，可得于是C（2，5），
由点C在反比例函数的图像上，可得
所以，反比例函数的解析式是
（2）x
O
B
A
y
图7
C
点D在过点C且平行于x轴的直线l上，则D（a，5），
E
F
D11
D2
l
过点A作AE⊥l,垂足为点E,直线l与y轴交于点F,
点D在点C左侧或右侧总有
由A（-3，0），B（0，3）
22.（本题满分10分）
小明家院内靠墙安装了一个遮阳篷（如图8），图9是它的侧面示意图，遮阳篷长AC＝6米，与水平面的夹角为17.5°，靠墙端A离地高度AB＝5米，已知该地区冬至正午太阳光照入射角∠CDF＝36.9°，夏至正午太阳光照入射角∠CEF＝82.4°，因此，点D、E之间的区域是一年四季中阳光不一定照射到的区域，求该区域深度DE的长．（结果精确到0.1米）
参考数据：sin17.5°≈0.3，cs17.5°≈0.95，tan17.5°≈0.32；
sin36.9°≈0.6，cs36.9°≈0.8，tan36.9°≈0.75；
sin82.4°≈0.99，cs82.4°≈0.13，tan82.4°≈7.5.
图8
图9
【答案】DE的长为3.8米.
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用题。通过添加辅助线，构造直角三角形，利用给出的角度的三角比的值，进行求解得出线段长度。
【详解】
过点C作CG⊥AB,垂足为点G,
在Rt△ACG中，，
∵AC=6米，∴．
∵AB＝5米，∴BG=3.2米，
∵CG∥BF，AB⊥BF，CH⊥BF，
∴CH=BG=3.2米，
过点C作CH⊥BF，垂足为点H,
在Rt△CDH中，，
∴
在Rt△CEH中，
∴
∴米
答：该区域深度DE的长为3.8米.
23.（本题满分12分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分）
图10
如图10，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，联结AC、DO，延长DO交AC于点F．
（1）求证：AF2＝OF·DF；
（2）如果CD＝8，BE＝2，求OF的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）联结AD，通过角角相等，证明△AFO∽△AFD，列出比例式即可求证；
（2）通过垂径定理和勾股定理，及第一问相似三角形列比例式，求出线段OF的长度。
【详解】（1）证明：联结AD，
∵直径AB垂直于弦CD,
∴,
∵AB⊥CD，
∴AC=AD，
∵AB⊥CD，
∴∠FAO=∠DAO，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ODA，
∴∠FAO=∠ODA，
∵∠AFO=∠AFD，
∴△AFO∽△AFD，
∴,
∴AF2＝OF·DF.
（2）∵，CD＝8，
∴CE=DE=4，
在Rt△DEO中，，
由BE＝2，设OD=OB=r，则OE=r-2，，r=5，
∴OE=3，AE=8，
在Rt△ADE中，，
∵△AFO∽△AFD，
∴,
设AF=y，OF=x，
∴,
解得，
∴
24.（本题满分12分，第(1)小题满分4分,第(2)小题满分4分，第(3)小题满分4分）
在平面直角坐标系xOy中（如图11），已知开口向下的抛物线经过点
P（0，4），顶点为A．
（1）求直线PA的表达式；
（2）如果将△POA绕点O逆时针旋转90°，点A落在抛物线上的点Q处，求抛物线的表达式；
x
O
P(0, 4)
y
图11
（3）将（2）中得到的抛物线沿射线PA平移，平移后抛物线的顶点为B，与y轴交于点C.如果，求的值．
【答案】（1）；（2） ； （3）
【分析】本题考查抛物线相关的旋转，一线三等角，线段长度，角度的求解。
配方得到A点坐标，代入求解；
作辅助线，构造全等三角形，求得Q点坐标，代入抛物线解析式，求值，进而求得抛物线解析式；
写出平移后抛物线解析式，利用直角三角形勾股定理，求得线段长度，进一步求得∠PBC的正切值。
【详解】
（1）由，可得，
由题意设直线PA的表达式为，
代入得，，，
所以，直线PA的表达式为.
（2）由抛物线开口向下且过点P（0，4），△POA绕点O逆时针旋转90°，点A的对应点Q如图所示，分别过点A、Q作AM⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为点M、N,
于是△AOM≌△QON，则由得，
代入得，
，或，
所以，a的值为.
∴抛物线表达式为
（3）由（2）得，，
设平移后的抛物线表达式为，
则，，
点B在点A的上方,点C在点P的下方，如图所示,
于是，，
，
由，可得，
解得
于是，
过点C作CD⊥PA，垂足为点D，
在Rt△CDP中，∠DPC=45°，PC=4，可得,
,于是,
所以，在Rt△CDB中，
25.（本题满分14分，第(1)小题①满分4分，第(1)小题②满分4分，第(2)小题满分6分）
已知AB是半圆O的直径，C是半圆O上不与A、B重合的点，将弧AC沿直线AC翻折，翻折所得的弧交直径AB于点D，E是点D关于直线AC的对称点．
（1）如图12，点D恰好落在点O处.
① 用尺规作图在图12中作出点E（保留作图痕迹），
联结AE、CE、CD，求证：四边形ADCE是菱形；
② 联结BE，与AC、CD分别交于点F、G，求的值；
（2）如果AB＝10，OD＝1，求折痕AC的长．
图12
备用图
【答案】（1）①尺规作图略，证明见解析；
②
（2）或
【分析】（1）①考查尺规作图，O，E关于直线AC对称；
②利用菱形的性质，通过平行线，得出比例线段，求值即可；
（2）依题意，分两类进行讨论，分当点D在点O左侧，右侧进行，分析图形，得出边角关系，构造直角三角形，通过勾股定理等进行求解。
【详解】
（1）①尺规作图略
证明：∵E是点D关于直线AC的对称点，
∴AE=AD，CE=CD，
∵AD=CD， ∴AE=AD=CE=CD，
∴四边形ADCE是菱形
②∵四边形ADCE是菱形，
∴CD∥AE，
（2）①当点D在点O右侧，
作点D关于直线AC的对称点E，联结DE、AE,
过点O作OG⊥AE，垂足为点G，过点C作CH⊥AB，垂足为点H，
∴，
∵AE=AD，DE⊥AC,∴，
∵AO=CO，∴，
∴，
∵
∴，
∵AO=CO，∴，∴AG=OH，
∵AB=10，OD=1，∴AD=AE=6，
∵OG⊥AE,∴，
∴OH=3，AH=8，
在Rt△COH中，
在Rt△ACH中，
②当点D在点O左侧，经过计算，同理可得AC=
综上所述：折痕AC的长为．