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2024届高考物理一轮复习热点题型归类训练专题18机械振动(原卷版+解析)
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这是一份2024届高考物理一轮复习热点题型归类训练专题18机械振动(原卷版+解析)，共53页。试卷主要包含了简谐运动的基本特征及应用，单摆及其周期公式，受迫振动和共振等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc17904" 题型一 简谐运动的基本特征及应用 PAGEREF _Tc17904 \h 1
\l "_Tc31050" 类型1 简谐运动基本物理量的分析 PAGEREF _Tc31050 \h 1
\l "_Tc15387" 类型2 简谐运动的周期性与对称性 PAGEREF _Tc15387 \h 4
\l "_Tc7739" 类型3 弹簧振子的动力学、能量特征分析 PAGEREF _Tc7739 \h 6
\l "_Tc29839" 题型二 简谐运动的表达式和图像的理解和应用 PAGEREF _Tc29839 \h 11
\l "_Tc17964" 题型三 单摆及其周期公式 PAGEREF _Tc17964 \h 17
\l "_Tc13183" 类型1 单摆的受力特征及周期公式的应用 PAGEREF _Tc13183 \h 17
\l "_Tc25910" 类型2 单摆的振动图像及运动学特征 PAGEREF _Tc25910 \h 22
\l "_Tc17004" 题型四 受迫振动和共振 PAGEREF _Tc17004 \h 26
\l "_Tc30053" 类型1 受迫振动概念及规律的理解应用 PAGEREF _Tc30053 \h 26
\l "_Tc22427" 类型2 共振曲线的应用 PAGEREF _Tc22427 \h 28
\l "_Tc28356" 类型3 “驱动摆”的分析 PAGEREF _Tc28356 \h 30
题型一 简谐运动的基本特征及应用
对简谐运动的理解
类型1 简谐运动基本物理量的分析
【例1】（2023春·江西·高三校联考阶段练习）受力特点
回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
运动特点
靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
能量
振幅越大，能量越大．在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒
周期性
做简谐运动的物体的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为eq \f(T,2)
对称性
(1)如图所示，做简谐运动的物体经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等
(2)物体由P到O所用的时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′
(3)物体往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO
(4)相隔eq \f(T,2)或eq \f(2n＋1T,2)(n为正整数)的两个时刻，物体位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反
如图所示，一水平轻质弹簧左端固定在竖直墙上，右端连接一物体，物体静止在光滑水平地面上的O点，现向左推物体，使物体到达A点后由静止释放，在弹力作用下物体向右运动，在物体整个运动过程中，弹簧始终处于弹性限度内，下列说法正确的是（ ）
A．物体从O点向左运动到A点的过程中，弹簧的弹性势能先增大后减小
B．物体从O点向左运动到A点的过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大
C．物体从A点向右运动的过程中，弹簧的弹性势能先增大后减小
D．物体从A点向右运动的过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大
【例2】．（2023春·北京大兴·高三统考期中）如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距10cm。小球经过O点开始计时并向右运动，经过0.5s首次到达B点，下列说法正确的是（ ）
A．弹簧振子的振幅是10cm
B．当振子运动到B时，位移大小是10cm
C．弹簧振子的周期是1s
D．振子由O运动到B的过程中速度减小
【例3】（2023春·江西南昌·高三南昌二中校考开学考试）对于下面甲、乙、丙、丁四种情况，可认为是简谐运动的是（ ）
①甲：倾角为的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开，空气阻力可忽略不计
②乙：粗细均匀的木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中。把木筷往上提起一段距离后放手，木筷就在水中上下振动
③丙：小球在半径为R的光滑球面上的A、B（）之间来回运动
④丁：小球在光滑固定斜面上来回运动
A．只有①B．只有①②C．只有①②③D．都可以【例4】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一弹簧振子做简谐运动，下列说法正确的是（ ）
A．若位移为负值，则加速度一定为负值
B．小球通过平衡位置时，速度为零，位移最大
C．小球每次经过平衡位置时，位移相同，速度也一定相同
D．小球每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但位移一定相同
类型2 简谐运动的周期性与对称性
【例2】（2023春·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考阶段练习）弹簧振子以O点为平衡位置做简谐振动。从O点起振开始计时，振子第一次到达M点用了0.3秒，又经过0.2秒第二次通过M点，则振子第三次通过M点还要经过的时间可能是（ ）
A．秒B．秒C．1.4秒D．1.6秒
【例2】（2023秋·黑龙江大庆·高三铁人中学校考期末）如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子从a到b历时0.2s，振子经a、b两点时速度相同，若它从b再回到a的最短时间为0.4s，则该振子的振动频率为（ ）
A．1HzB．1.25HzC．2HzD．2.5Hz
【例3】．（2023春·甘肃武威·高三武威第六中学校考期中）一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过A、两点，历时1s；质点通过点后再经过1s又第二次通过点。在这内质点通过的总路程为12，则质点的振动周期和振幅分别是（ ）
A．3s，B．4s，C．4s，D．2s，
类型3 弹簧振子的动力学、能量特征分析
【例1】（2023春·新疆乌鲁木齐·高三兵团二中校考阶段练习）如图所示，倾角为的光滑斜面固定在水平地面上，一根劲度系数为k的轻弹簧上端固定于斜面顶端挡板上，另一端与质量为m的小球连接，静止于O点，现把小球从弹簧原长处A点静止释放，小球做简谐运动，弹簧的弹性势能为，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．振幅为B．小球的最大加速度为g
C．小球的最大速度为D．弹簧的最大弹性势能为
【例2】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一根不计质量的弹簧竖直悬吊质量为M的铁块，在其下方吸引了一质量为m的磁铁，且。已知弹簧的劲度系数为k，磁铁对铁块的最大吸引力等于3mg，铁块和磁铁共同沿竖直方向作简谐运动，不计磁铁对其它物体的作用并忽略空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．铁块处于平衡位置时弹簧的伸长量等于
B．铁块振幅的最大值是
C．弹簧弹性势能最大时，弹力的大小等于16mg
D．铁块运动的最大速度为
【例3】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考期中）如图所示，长直杆固定放置且与水平面夹角，杆上O点以上部分粗糙，O点以下部分（含O点）光滑。轻弹簧穿过长杆，下端与挡板相连，弹簧原长时上端恰好在O点，质量为m的带孔小球穿过长杆，与弹簧上端连接。现将小球拉到图示a位置由静止释放，一段时间后观察到小球做简谐振动时弹簧上端的最低位置始终在b点，O点与a、b间距均为l。则下列说法正确的是（ ）
A．整个运动过程小球克服摩擦力做功为mglB．弹簧的劲度系数
C．若增加小球质量，最终物体做简谐振动的周期不变
D．若增加小球质量，仍从a位置静止释放，则小球最终运动的最低点仍在b点
【例4】．（2023秋·山东威海·高三统考期末）如图所示，倾角为的光滑斜面固定在水平地面上，斜面顶端有一固定挡板，与一轻弹簧相连。弹簧下端连接一质量为m的小球，小球沿斜面方向做振幅为A的简谐运动。当小球运动到最高点时，弹簧正好处于原长，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的最大弹性势能为
B．小球的最大动能一定小于
C．弹簧的弹性势能和小球的动能之和保持不变
D．小球在最低点时弹簧的弹力大小为
题型二 简谐运动的表达式和图像的理解和应用
1．由图像可获取的信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0(如图所示)。
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同。
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。
2．简谐运动的对称性(如图)
(1)相隔Δt＝nT(n＝1，2，3…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同。(2)相隔Δt＝(n＋eq \f(1,2))T(n＝0，1，2…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向(或都为零)，速度也等大反向(或都为零)。
【例1】如图所示，是一个质点的振动图像，根据图像回答下列问题：
(1)振动的振幅；
(2)振动的频率；
(3)在t＝0.1 s、0.3 s、0.5 s、0.7 s时质点的振动方向；
(4)质点速度首次具有负方向最大值的时刻和位置；
(5)质点运动的加速度首次具有负方向最大值的时刻和位置；
(6)在0.6 s至0.8 s这段时间内质点的运动情况。
(7)振动质点离开平衡位置的最大距离；
(8)写出此振动质点的运动表达式；
(9)振动质点在0～0.6 s的时间内通过的路程；
(10)振动质点在t＝0.1 s、0.3 s、0.5 s、0.7 s时的振动方向；
(11)振动质点在0.6～0.8 s这段时间内速度和加速度是怎样变化的？
(12)振动质点在0.4～0.8 s这段时间内的动能变化是多少？
【例2】（2023春·河北张家口·高三张北县第一中学校联考期中）如图甲所示，轻质弹簧下端固定在水平地面上，上端拴接一轻质薄板。t=0时刻，一物块从其正上方某处由静止下落，与薄板碰撞后二者粘在一起并在以后的运动中不再分离，物块的位置随时间变化的图像（x-t）如图乙所示，其中t=0.2s时物块刚接触薄板。弹簧形变始终在弹性限度内，空气阻力不计，则（ ）
A．t=0.4s时物块的加速度大于重力加速度
B．若增大物块自由下落的高度，则物块与薄板粘在一起后振动的周期增大
C．若增大物块自由下落的高度，则物块与薄板粘在一起后振动的振幅增大D．t=0.2s后物块坐标位置随时间变化关系为
【例3】（2023春·天津北辰·高二校考阶段练习）一弹簧振子A的位移随时间变化的关系式为，位移的单位为m，时间的单位为s，则（ ）
A．弹簧振子的振幅为0.2m
B．弹簧振子的周期为1.25s
C．在t=0.2s时，振子的运动速度为0
D．若另一弹簧振子B的位移随时间变化的关系式为，则B的振幅和周期分别是A的振幅和周期的2倍
【例4】．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考期中）如图，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动， B、C相距20cm。小球经过B点时开始计时，经过1.5s第二次到达C点。下列说法正确的是（ ）
A．小球振动的周期为3sB．小球振动的振幅为20cm
C．5s末小球的位移为0D．小球的位移—时间关系为
【例5】．（2023春·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考期中）某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x随时间t变化的函数关系式为x＝Asinωt，振动图像如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．弹簧在第1s末与第3s末的长度相同
B．简谐运动的角频率ω＝rad/s
C．第3s末振子的位移大小为A
D．从第3s末到第5s末，振子的速度方向发生变化
【例6】．（2023春·广东湛江·高三统考阶段练习）如图甲所示，将滑块连接在弹簧上并放置于气垫导轨上，将滑块拉到某一位置后由静止释放，位移传感器记录下滑块位置随时间的变化图像如图乙所示，则下列关于该滑块的说法正确的是（ ）
A．完成一次全振动的时间为5s
B．在一个周期内运动路程为32cm
C．在第1s末和第3s末时的速度相同
D．第3s内滑块的动能转化为弹簧的弹性势能
题型三 单摆及其周期公式
1．单摆的受力特征
(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F回＝－mgsin θ＝－eq \f(mg,l)x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反。
(2)向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力提供向心力，
F向＝FT－mgcs θ。
(3)两点说明
①当摆球在最高点时，F向＝eq \f(mv2,l)＝0，FT＝mgcs θ。
②当摆球在最低点时，F向＝meq \f(veq \\al(2,max),l)，F向最大，FT＝mg＋meq \f(veq \\al(2,max),l)。
2．周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))的两点说明
(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
(2)g为当地重力加速度。
类型1 单摆的受力特征及周期公式的应用
【例1】（2023·天津·高三专题练习）图甲是用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的图像，其中F的最大值，已知摆球质量，重力加速度取，取，不计摆线质量及空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．单摆周期为
B．单摆摆长为
C．F的最小值
D．若仅将摆球质量变为，单摆周期不变
【例2】（2023·上海虹口·统考二模）摆球质量为m的单摆做简谐运动，其动能Ek随时间t的变化关系如图所示，则该单摆（ ）
A．摆长为
B．摆长为
C．摆球向心加速度的最大值为
D．摆球向心加速度的最大值为
【例3】（2023·全国·高三专题练习）单摆是我们研究简谐运动中常用的模型。已知某单摆的摆长为L，摆球质量为m，当地重力加速度为g。将此摆球在所在的竖直平面内向拉离平衡位置一个小角度，自由释放。
（1）在很小时，（其中x为小球的位移），由此写出单摆回复力与位移的关系式，并说明为何单摆可视为简谐运动；
（2）简谐运动的周期公式（其中k是回复力与位移的比例系数，m为系统的质量），结合（1）推导出单摆的周期公式；
（3）当摆球运动到最低点时，求细线拉力的大小。
【例4】．（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。时刻在A点释放摆球，摆球在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙为细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线。已知摆长为，A、B之间的最大摆角为（取，）。求：
（1）当地的重力加速度大小；
（2）摆球在A点时回复力的大小；
（3）摆球运动过程中的最大动能。
类型2 单摆的振动图像及运动学特征
【例1】（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考期中）一单摆振动过程中离开平衡位置的位移随时间变化的规律如图所示，取向右为正方向。则下列说法正确的是（ ）
A．第1s末和第5s末摆球位于同一位置
B．0~1s的时间内，摆球的回复力逐渐减小
C．时，摆球的位移为m
D．时，摆球的速度方向与加速度方向相反
【例2】（2023·全国·高三专题练习）单摆在两点之间做简谐运动，点为平衡位置，如图甲所示，单摆的振动图像如图乙所示（向右为正方向），取重力加速度大小，下列说法正确的是（ ）
A．单摆的振幅为B．单摆的摆动频率为
C．时，摆球在点D．单摆的摆长为
【例3】（2023春·辽宁鞍山·高三统考期中）甲、乙两个单摆，做简谐振动时的图像如图所示，由此可知甲，乙两单摆（ ）
A．摆长之比为B．振动频率之比为2:3
C．在t=1.0s时刻，加速度均不为零D．在t=1.8s时刻，振动方向相反
【例4】（2023春·湖北武汉·高三统考阶段练习）如图所示是一座水平固定放置的弧形槽，其底面是矩形平面，上表面ABCD是半径的光滑圆弧面，直边，圆弧边AB和CD平行且等长为0.5m，B、C是弧面最低点且切线水平。现有一个可看作质点的小球，以沿AD方向的初速度v从A点开始沿弧面运动，恰好能运动到C点。重力加速度，则v的大小约为（ ）
A．0.5m/sB．1.0m/sC．1.5m/sD．2.0m/s
【例5】（2023·全国·高三专题练习）两个摆长不同的单摆1、2同轴水平悬挂，两单摆摆动平面相互平行，振动图像如图甲所示。时把单摆1的摆球向左、单摆2的摆球向右拉至摆角相同处，如图乙所示。求：
（1）两单摆摆长之比；（2）同时释放两摆球，两摆球同时摆到最右端所经历的时间。
题型四 受迫振动和共振
1．简谐运动、受迫振动和共振的关系比较
2.对共振的理解
(1)共振曲线：如图所示，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大。
(2)做受迫振动的系统机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。
类型1 受迫振动概念及规律的理解应用
【例1】 (2022·天津河西区期末质量调查)振动
项目
简谐运动
受迫振动
共振
受力情况
仅受回复力
受驱动力作用
受驱动力作用
振动周期或频率
由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0
由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱
T驱＝T0或f驱＝f0
振动能量
振动物体的机械能不变
由产生驱动力的物体提供
振动物体获得的能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆(θ≤5°)
机械工作时底座发生的振动
共振筛、声音的共鸣等
如图甲所示，一个有固定转动轴的竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个由弹簧和小球组成的振动系统。圆盘静止时，让小球做简谐运动，其振动图像如图乙所示。圆盘匀速转动时，小球做受迫振动，小球振动稳定时，下列说法正确的是( )
A．小球振动的固有频率是4 Hz
B．小球做受迫振动时周期一定是4 s
C．圆盘转动周期在4 s附近时，小球振幅显著增大
D．圆盘转动周期在4 s附近时，小球振幅显著减小
【例2】(2022·云南省保山市智源中学高二月考)把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上安一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这样就做成了一个共振筛，如图所示．筛子做自由振动时，完成10次全振动用时15 s．在某电压下，电动偏心轮转速是36 r/min.已知增大电压可使偏心轮转速提高，增加筛子质量，可以增大筛子的固有周期．那么要使筛子的振幅增大，下列做法正确的是( )
A．提高输入电压B．降低输入电压
C．减小筛子质量D．减小筛子质量
【例3】(多选)(2021·浙江1月选考·15)为了提高松树上松果的采摘率和工作效率，工程技术人员利用松果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置，如图甲、乙所示．则( )
A．针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同
B．随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大
C．打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同D．稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同
类型2 共振曲线的应用
【例1】（2023·全国·模拟预测）一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线（振幅A与驱动力频率f的关系图线）如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．此单摆的固有周期约为2 s
B．此单摆的摆长约为1 m
C．若摆长增大，单摆的固有频率减小
D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动
E．此单摆的振幅是8 cm
【例2】．（2023·全国·高三专题练习）同一地点，甲、乙单摆在驱动力作用下振动，其振幅A随驱动力频率f变化的图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．若驱动力的频率为f0，乙单摆振动的频率大于f0
B．若驱动力的频率为f0，乙单摆振动的频率等于f0
C．若驱动力的频率为3f0，甲、乙单摆振动的振幅相同
D．若驱动力的频率为3f0，甲、乙单摆振动的频率均为3f0
【例3】（2022·高三课时练习）正在运转的机器，当其飞轮以角速度ω0匀速转动时，机器的振动并不强烈；切断电源，飞轮的转动逐渐慢下来，在某一小段时间内机器却发生了强烈的振动；此后，飞轮转速继续变慢，机器的振动也随之减弱。在机器停下来之后，若重新启动机器使飞轮转动的角速度从0较慢地增大到ω0，在这一过程中（ ）
A．机器不一定会发生强烈振动
B．机器一定会发生强烈振动
C．若机器发生强烈振动，则当时飞轮角速度为ω0
D．若机器发生强烈振动，则当时飞轮角速度肯定小于ω0
类型3 “驱动摆”的分析
【例1】（2022·高三课时练习）如图甲所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，a、c摆的摆长相同且小于b摆的摆长。当a摆振动的时候，通过张紧的绳子给其他各摆施加驱动力，使其余各摆也振动起来。图乙是c摆稳定以后的振动图像，重力加速度为g，不计空气阻力，则（ ）
A．a、b、c单摆的固有周期关系为T=TB．b、c摆振动达到稳定时，c摆振幅较大
C．由图乙可知，此时b摆的周期大于t0
D．a摆的摆长为
【例2】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，当A振动起来后，通过绷紧的水平绳迫使B、C振动起来，对于三个摆球振动过程的描述中，下列说法正确的是（ ）
A．B的振幅比C的小
B．A、B、C三个单摆的振幅相同
C．只有A、C两个单摆的周期相同
D．A、B、C三个单摆的周期均不相同
【例3】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在一根张紧的绳子上悬挂几个摆球，可以用一个单摆（称为“驱动摆”）驱动另外几个单摆。下列说法中正确的是（ ）
A．驱动摆只把振动形式传播给其它单摆，不传递能量
B．如果驱动摆的摆长为L，则其它单摆的振动周期都等于
C．某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度和加速度都相同
D．如果某个单摆的摆长等于驱动摆的摆长，则这个单摆的频率最大
【例4】．（2021·全国·高三专题练习）单摆M、N、O、P自由振动时，振动图像分别如图甲、乙、丙、丁所示。现将单摆M、N、O、P悬挂在如图所示支架的细线上，并保持各自的摆长不变，使其中一个单摆振动，经过足够长的时间，其他三个都可能振动起来。不计空气阻力。下列判断正确的是（ ）
A．若使M振动起来，P不会振动
B．若使M振动起来，稳定时N振动的周期仍小于2s
C．若使P振动起来，稳定时N比M的振幅大
D．若使O振动起来，稳定时M的振动周期等于3s
公众号：高中试卷君
专题18 机械振动
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc17904" 题型一 简谐运动的基本特征及应用 PAGEREF _Tc17904 \h 1
\l "_Tc31050" 类型1 简谐运动基本物理量的分析 PAGEREF _Tc31050 \h 1
\l "_Tc15387" 类型2 简谐运动的周期性与对称性 PAGEREF _Tc15387 \h 4
\l "_Tc7739" 类型3 弹簧振子的动力学、能量特征分析 PAGEREF _Tc7739 \h 6
\l "_Tc29839" 题型二 简谐运动的表达式和图像的理解和应用 PAGEREF _Tc29839 \h 11
\l "_Tc17964" 题型三 单摆及其周期公式 PAGEREF _Tc17964 \h 17
\l "_Tc13183" 类型1 单摆的受力特征及周期公式的应用 PAGEREF _Tc13183 \h 17
\l "_Tc25910" 类型2 单摆的振动图像及运动学特征 PAGEREF _Tc25910 \h 22
\l "_Tc17004" 题型四 受迫振动和共振 PAGEREF _Tc17004 \h 26
\l "_Tc30053" 类型1 受迫振动概念及规律的理解应用 PAGEREF _Tc30053 \h 26
\l "_Tc22427" 类型2 共振曲线的应用 PAGEREF _Tc22427 \h 28
\l "_Tc28356" 类型3 “驱动摆”的分析 PAGEREF _Tc28356 \h 30
题型一 简谐运动的基本特征及应用
对简谐运动的理解
类型1 简谐运动基本物理量的分析
【例1】（2023春·江西·高三校联考阶段练习）受力特点
回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
运动特点
靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
能量
振幅越大，能量越大．在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒
周期性
做简谐运动的物体的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为eq \f(T,2)
对称性
(1)如图所示，做简谐运动的物体经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等
(2)物体由P到O所用的时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′
(3)物体往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO
(4)相隔eq \f(T,2)或eq \f(2n＋1T,2)(n为正整数)的两个时刻，物体位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反
如图所示，一水平轻质弹簧左端固定在竖直墙上，右端连接一物体，物体静止在光滑水平地面上的O点，现向左推物体，使物体到达A点后由静止释放，在弹力作用下物体向右运动，在物体整个运动过程中，弹簧始终处于弹性限度内，下列说法正确的是（ ）
A．物体从O点向左运动到A点的过程中，弹簧的弹性势能先增大后减小
B．物体从O点向左运动到A点的过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大
C．物体从A点向右运动的过程中，弹簧的弹性势能先增大后减小
D．物体从A点向右运动的过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大
【答案】D
【详解】AB．物体做简谐运动，O点是平衡位置，所以物体从O点向左运动到A点的过程中，物体做减速运动，弹簧的弹性势能一直增大，故A、B错误；
CD．物体从A点运动到O点时，物体做加速运动，经过O点继续向右时，物体做减速运动，所以弹簧的弹性势能先减小后增大，故C错误，D正确。
故选D。
【例2】．（2023春·北京大兴·高三统考期中）如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距10cm。小球经过O点开始计时并向右运动，经过0.5s首次到达B点，下列说法正确的是（ ）
A．弹簧振子的振幅是10cm
B．当振子运动到B时，位移大小是10cm
C．弹簧振子的周期是1s
D．振子由O运动到B的过程中速度减小
【答案】D
【详解】A．弹簧振子的振幅是OB的距离，即5cm，故A错误；
B．当振子运动到B时，位移大小是5cm，故B错误；
C．小球经过O点开始计时并向右运动，经过0.5s首次到达B点，则
所以弹簧振子的周期是2s，故C错误；
D．振子由O运动到B的过程中位移增大，速度减小，故D正确；故选D。
【例3】（2023春·江西南昌·高三南昌二中校考开学考试）对于下面甲、乙、丙、丁四种情况，可认为是简谐运动的是（ ）
①甲：倾角为的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开，空气阻力可忽略不计
②乙：粗细均匀的木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中。把木筷往上提起一段距离后放手，木筷就在水中上下振动
③丙：小球在半径为R的光滑球面上的A、B（）之间来回运动
④丁：小球在光滑固定斜面上来回运动
A．只有①B．只有①②C．只有①②③D．都可以
【答案】C
【详解】甲图小球沿斜面方向受到的合力时弹力与重力的分力，当小球在平衡位置上方时，合力方向沿斜面向下，当在平衡位置下方时合力沿斜面向上，弹力与重力的分力的合力与位移成正比，其特点符合简谐振动物体的动力学特征，小球做简谐振动；乙图木筷在水中受浮力和重力作用，当木筷在平衡位置上方时，合力向下，当木筷在平衡位置下方时，合力向上，重力和浮力的合力与位移成正比，其特点符合简谐振动物体的动力学特征，木筷做简谐振动；丙图小球离开最低点受到重力沿切线方向的分力与位移成正比，方向与小球位移方向相反，为小球提供回复力，小球在最低点附近左右振动属于简谐振动；丙图斜面光滑，重力沿斜面的分力提供小球做机械振动的回复力，但该力大小不变，不与位移成正比，故小球的运动为机械振动，不是简谐振动，则可知①②③为简谐振动。
故选C。
【例4】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一弹簧振子做简谐运动，下列说法正确的是（ ）
A．若位移为负值，则加速度一定为负值
B．小球通过平衡位置时，速度为零，位移最大
C．小球每次经过平衡位置时，位移相同，速度也一定相同
D．小球每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但位移一定相同【答案】D
【详解】A．小球受的力指向平衡位置，小球的位移为负值时，受到的力为正值，小球的加速度为正值，A错误；
B．当小球通过平衡位置时，位移为零，速度最大，B错误；
C．小球每次通过平衡位置时，速度大小相等，方向不一定相同，但位移相同，C错误；
D．小球每次通过同一位置时，位移相同，速度大小相等，但速度方向可能相同，也可能不同，D正确。
故选D。
类型2 简谐运动的周期性与对称性
【例2】（2023春·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考阶段练习）弹簧振子以O点为平衡位置做简谐振动。从O点起振开始计时，振子第一次到达M点用了0.3秒，又经过0.2秒第二次通过M点，则振子第三次通过M点还要经过的时间可能是（ ）
A．秒B．秒C．1.4秒D．1.6秒
【答案】AC
【详解】由题意，共有以下两种情况：
①如图所示
假设振子从O点向x正方向起振，P点为正向最大位移处，M位于O、P之间，则振子从O运动到M所用时间为
根据简谐运动的对称性可知，振子从M到P和P到M的时间相同，均为
设简谐运动的周期为T，则
解得
易知振子第二次通过M点再经过一个周期T刚好第四次通过M点，而第三次通过M点之后需要再经过2t才能再次（即第四次）通过M点，因此振子第三次通过M点还要经过的时间为
②如图所示
假设振子从O点向x正方向起振，Q点为负向最大位移处，M位于O、Q之间，则振子从M运动到O所用时间为
根据简谐运动的对称性可知，振子从M到Q和Q到M的时间相同，均为
所以
解得
易知振子第二次通过M点再经过一个周期T刚好第四次通过M点，而第三次通过M点之后需要再经过2t才能再次（即第四次）通过M点，因此振子第三次通过M点还要经过的时间为
故选AC。
【例2】（2023秋·黑龙江大庆·高三铁人中学校考期末）如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子从a到b历时0.2s，振子经a、b两点时速度相同，若它从b再回到a的最短时间为0.4s，则该振子的振动频率为（ ）
A．1HzB．1.25HzC．2HzD．2.5Hz
【答案】B
【详解】由于振子在a、b两点的速度相同，则a、b两点关于O点是对称的，所以O到b点的时间为0.1s；而从b再回到a的最短时间为0.4s，则从b再回到b的最短时间为0.2s，所以从b到最大位移处的最短时间为0.1s，因此振子的振动周期为T=0.8s，由，得
故选B。
【例3】．（2023春·甘肃武威·高三武威第六中学校考期中）一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过A、两点，历时1s；质点通过点后再经过1s又第二次通过点。在这内质点通过的总路程为12，则质点的振动周期和振幅分别是（ ）
A．3s，B．4s，C．4s，D．2s，
【答案】B
【详解】质点运动的过程如图：
其中红色实线为由A到，绿色实线为第二次经过，红色、绿色虚线为补出的对称运动，从图像中可以观察到
红色实线绿色实线振幅
则振幅为。
红色部分与绿色部分的运动时间之和为一个周期，故周期为4s。
故选B。
类型3 弹簧振子的动力学、能量特征分析
【例1】（2023春·新疆乌鲁木齐·高三兵团二中校考阶段练习）如图所示，倾角为的光滑斜面固定在水平地面上，一根劲度系数为k的轻弹簧上端固定于斜面顶端挡板上，另一端与质量为m的小球连接，静止于O点，现把小球从弹簧原长处A点静止释放，小球做简谐运动，弹簧的弹性势能为，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．振幅为B．小球的最大加速度为g
C．小球的最大速度为D．弹簧的最大弹性势能为
【答案】D【详解】A．设平衡位置时弹簧的伸长量为， 则
振幅为。A错误；
B．A点处小球的加速度最大
B错误；
C．平衡位置处速度最大，从A点到平衡位置由动能定理
解得小球的最大速度
C错误；
D．由对称性，小球在最低点，弹簧伸长量为
弹簧的最大弹性势能为
D正确。
故选D。
【例2】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一根不计质量的弹簧竖直悬吊质量为M的铁块，在其下方吸引了一质量为m的磁铁，且。已知弹簧的劲度系数为k，磁铁对铁块的最大吸引力等于3mg，铁块和磁铁共同沿竖直方向作简谐运动，不计磁铁对其它物体的作用并忽略空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．铁块处于平衡位置时弹簧的伸长量等于B．铁块振幅的最大值是
C．弹簧弹性势能最大时，弹力的大小等于16mg
D．铁块运动的最大速度为
【答案】D
【详解】A．由胡克定律得铁块处于平衡位置时
可得
A错误；
B．铁块振幅的最大值在最低点有
解得
B错误；
C．弹簧弹性势能最大时，铁块和磁铁位于最低点，弹力的大小为
C错误；
D．由机械能守恒定律得
解得
D正确。
故选D。
【例3】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考期中）如图所示，长直杆固定放置且与水平面夹角，杆上O点以上部分粗糙，O点以下部分（含O点）光滑。轻弹簧穿过长杆，下端与挡板相连，弹簧原长时上端恰好在O点，质量为m的带孔小球穿过长杆，与弹簧上端连接。现将小球拉到图示a位置由静止释放，一段时间后观察到小球做简谐振动时弹簧上端的最低位置始终在b点，O点与a、b间距均为l。则下列说法正确的是（ ）
A．整个运动过程小球克服摩擦力做功为mgl
B．弹簧的劲度系数
C．若增加小球质量，最终物体做简谐振动的周期不变
D．若增加小球质量，仍从a位置静止释放，则小球最终运动的最低点仍在b点
【答案】AB
【详解】A．O点与a、b间均为l，所以小球在a、b两点的弹性势能相等，小球从a点由静止开始运动到最后到达b点的过程中由动能定理可知
解得
A正确；
B．小球做简谐振动时弹簧上端的最低位置始终在b点，即小球在O点和b点间做简谐运动，平衡位置在O点和b点中点，此时小球受力平衡，有
解得
B正确；
C．弹簧小球的振动周期公式为，则若增加小球质量，最终物体做简谐振动的周期将会变化，C错误；
D．若增加小球质量，仍从a位置静止释放，设小球最终运动的最低点为c，由于小球最后是在O与最低点c两点间做简谐振动，在c点与O点的加速度大小相等，小球在c点有
小球在O点有
联立解得
所以增大小球的质量，弹簧在最低点的形变量也会增大，则最低点位置发生了改变，D错误。
故选AB。
【例4】．（2023秋·山东威海·高三统考期末）如图所示，倾角为的光滑斜面固定在水平地面上，斜面顶端有一固定挡板，与一轻弹簧相连。弹簧下端连接一质量为m的小球，小球沿斜面方向做振幅为A的简谐运动。当小球运动到最高点时，弹簧正好处于原长，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的最大弹性势能为
B．小球的最大动能一定小于
C．弹簧的弹性势能和小球的动能之和保持不变
D．小球在最低点时弹簧的弹力大小为
【答案】ABD
【详解】A．当小球运动到最高点时，弹簧正好处于原长，小球在最低点时弹簧弹性势能最大，小球减少的重力势能转化为弹性势能，所以弹簧的最大弹性势能
故A正确；
B．在平衡位置动能最大，由最高点到平衡位置，重力势能减小，动能和弹性势能增加，所以物体的最大动能小于，故B正确；
C．在运动的过程中，只有重力和弹力做功，系统机械能守恒，弹簧的弹性势能、物体的动能、重力势能之和不变，故C错误；
D．小球做简谐运动的平衡位置处
当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长，可知
所以在最低点时，形变量为2A．弹力大小为，故D正确。
故选ABD。
题型二 简谐运动的表达式和图像的理解和应用
1．由图像可获取的信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0(如图所示)。
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同。
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。
2．简谐运动的对称性(如图)
(1)相隔Δt＝nT(n＝1，2，3…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同。
(2)相隔Δt＝(n＋eq \f(1,2))T(n＝0，1，2…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向(或都为零)，速度也等大反向(或都为零)。
【例1】如图所示，是一个质点的振动图像，根据图像回答下列问题：
(1)振动的振幅；
(2)振动的频率；
(3)在t＝0.1 s、0.3 s、0.5 s、0.7 s时质点的振动方向；
(4)质点速度首次具有负方向最大值的时刻和位置；
(5)质点运动的加速度首次具有负方向最大值的时刻和位置；
(6)在0.6 s至0.8 s这段时间内质点的运动情况。
(7)振动质点离开平衡位置的最大距离；
(8)写出此振动质点的运动表达式；
(9)振动质点在0～0.6 s的时间内通过的路程；(10)振动质点在t＝0.1 s、0.3 s、0.5 s、0.7 s时的振动方向；
(11)振动质点在0.6～0.8 s这段时间内速度和加速度是怎样变化的？
(12)振动质点在0.4～0.8 s这段时间内的动能变化是多少？
【答案】 见解析
【解析】 (1)振幅为最大位移的绝对值，从图像可知振幅
A＝5 cm。
(2)从图像可知周期T＝0.8 s，则振动的频率
f＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,0.8) Hz＝1.25 Hz。
(3)由各时刻的位移变化过程可判断t＝0.1 s、0.7 s时，质点的振动方向沿x轴正方向；t＝0.3 s、0.5 s时，质点的振动方向沿x轴负方向。
(4)质点在0.4 s通过平衡位置时，首次具有负方向的速度最大值。
(5)质点在0.2 s时处于正向最大位移处时，首次加速度具有负方向的最大值。
(6)在0.6 s至0.8 s这段时间内，从图像上可以看出，质点沿负方向的位移不断减小，说明质点正沿着正方向由负向最大位移处向着平衡位置运动，所以质点做加速度减小的加速运动。
(7)由振动图像可以看出，质点振动的振幅为5 cm，即为质点离开平衡位置的最大距离。
(8)由此质点的振动图像可知A＝5 cm，T＝0.8 s，φ＝0，所以x＝Asin(ωt＋φ)＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)t))＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,0.8)t))cm＝5sin(2.5πt)cm。
(9)由振动图像可以看出，质点振动的周期为T＝0.8 s，0.6 s＝3×eq \f(T,4)，振动质点是从平衡位置开始振动的，故在0～0.6 s的时间内质点通过的路程为s＝3×A＝3×5 cm＝15 cm。
(10)在t＝0.1 s时，振动质点处在位移为正值的某一位置上，但若从t＝0.1 s起取一段极短的时间间隔Δt(Δt→0)的话，从图像中可以看出振动质点的正方向的位移将会越来越大，由此可以判断得出质点在t＝0.1 s时的振动方向是沿题中所设的正方向。同理可以判断得出质点在t＝0.3 s、0.5 s、0.7 s时的振动方向分别是沿题中所设的负方向、负方向和正方向。
(11)由振动图像可以看出，在0.6～0.8 s这段时间内，振动质点从最大位移处向平衡位置运动，故其速度是越来越大的；而质点所受的回复力是指向平衡位置的，并且逐渐减小的，故其加速度的方向指向平衡位置且越来越小。
(12)由图像可看出，在0.4～0.8 s这段时间内质点从平衡位置经过半个周期又回到了平衡位置，尽管初、末两个时刻的速度方向相反，但大小是相等的，故这段时间内质点的动能变化为零。
【例2】（2023春·河北张家口·高三张北县第一中学校联考期中）如图甲所示，轻质弹簧下端固定在水平地面上，上端拴接一轻质薄板。t=0时刻，一物块从其正上方某处由静止下落，与薄板碰撞后二者粘在一起并在以后的运动中不再分离，物块的位置随时间变化的图像（x-t）如图乙所示，其中t=0.2s时物块刚接触薄板。弹簧形变始终在弹性限度内，空气阻力不计，则（ ）
A．t=0.4s时物块的加速度大于重力加速度
B．若增大物块自由下落的高度，则物块与薄板粘在一起后振动的周期增大
C．若增大物块自由下落的高度，则物块与薄板粘在一起后振动的振幅增大
D．t=0.2s后物块坐标位置随时间变化关系为
【答案】ACD
【详解】A．根据简谐运动的对称性可知，最高点的加速度和最低点的加速度大小相等，即
由简谐运动的加速度满足a与x成正比，设A点处偏离平衡位置的位移大小为xA，C点处偏离平衡位置的位移大小为xC，有
所以
到A点时，物块只受重力
所以
故A正确；
B．弹簧振子的周期只与振动系统本身有关，与物块起始下落的高度无关，故物块与薄板粘在一起振动周期不变，故B错误；
C．若增大物块自由下落的高度，根据能量守恒，则物块与薄板粘在一起后振动的振幅增大，故C正确；
D．由图乙可知
T=0.6s则
振幅为0.2m，0.2s后物块位置随时间变化关系式为
当t=0.4s时
x=0.5m
代入上式得
所以
故D正确。
故选ACD。
【例3】（2023春·天津北辰·高二校考阶段练习）一弹簧振子A的位移随时间变化的关系式为，位移的单位为m，时间的单位为s，则（ ）
A．弹簧振子的振幅为0.2m
B．弹簧振子的周期为1.25s
C．在t=0.2s时，振子的运动速度为0
D．若另一弹簧振子B的位移随时间变化的关系式为，则B的振幅和周期分别是A的振幅和周期的2倍
【答案】C
【详解】AB．根据
可知弹簧振子A的振幅为，周期为
则AB错误；
C．在时，振子的位移为
可知此时振子处于最大位移位置，振子的运动速度为0，故C正确；
D．若另一弹簧振子B的位移随时间变化的关系式为，则B的振幅为，周期为
则B的振幅是A的振幅的2倍，B的周期等于A的周期，故D错误。
故选C。
【例4】．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考期中）如图，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动， B、C相距20cm。小球经过B点时开始计时，经过1.5s第二次到达C点。下列说法正确的是（ ）
A．小球振动的周期为3sB．小球振动的振幅为20cm
C．5s末小球的位移为0D．小球的位移—时间关系为
【答案】D
【详解】A．小球经过B点时开始计时，经过1.5s第二次到达C点，则有
解得小球振动的周期为
故A错误；
B．根据题意有
可得小球振动的振幅为
故B错误；
C．小球经过B点时开始计时，由于周期为，可知5s末小球的位移为，故C错误；
D．小球经过B点时开始计时，小球的位移—时间关系为
故D正确。
故选D。
【例5】．（2023春·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考期中）某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x随时间t变化的函数关系式为x＝Asinωt，振动图像如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．弹簧在第1s末与第3s末的长度相同
B．简谐运动的角频率ω＝rad/s
C．第3s末振子的位移大小为A
D．从第3s末到第5s末，振子的速度方向发生变化
【答案】D
【详解】A．由题图知，振子在第1s未与第3s末的位移相同，即振子经过同一位置，故弹簧的长度相同，A正确；
B．由题图知，振子振动的周期T＝8s，则角频率
B正确；
C．位移x随时间t变化的函数关系式为x＝Asinωt，第3s末振子的位移大小为
C正确；
D．x-t图像的切线斜率表示速度，可知，从第3s末到第5s末，振子的速度方向并没有发生变化，一直沿负方向，D错误。
本题选择不正确的。
故选D。
【例6】．（2023春·广东湛江·高三统考阶段练习）如图甲所示，将滑块连接在弹簧上并放置于气垫导轨上，将滑块拉到某一位置后由静止释放，位移传感器记录下滑块位置随时间的变化图像如图乙所示，则下列关于该滑块的说法正确的是（ ）
A．完成一次全振动的时间为5s
B．在一个周期内运动路程为32cm
C．在第1s末和第3s末时的速度相同
D．第3s内滑块的动能转化为弹簧的弹性势能
【答案】B
【详解】A．由图乙可知，滑块完成一次全振动的时间为4s，故A错误；
B．滑块在一个周期内运动的路程为4倍振幅，为32cm，故B正确；
C．滑块在第1s末和第3s末时的速度大小相等、方向相反，故C错误；
D．由图乙可知，滑块在第3s内由负向位移最大处回到平衡位置，弹簧的弹性势能转化为滑块的动能，故D错误。
故选B。
题型三 单摆及其周期公式
1．单摆的受力特征
(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F回＝－mgsin θ＝－eq \f(mg,l)x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反。
(2)向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力提供向心力，
F向＝FT－mgcs θ。
(3)两点说明
①当摆球在最高点时，F向＝eq \f(mv2,l)＝0，FT＝mgcs θ。
②当摆球在最低点时，F向＝meq \f(veq \\al(2,max),l)，F向最大，FT＝mg＋meq \f(veq \\al(2,max),l)。
2．周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))的两点说明
(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
(2)g为当地重力加速度。
类型1 单摆的受力特征及周期公式的应用
【例1】（2023·天津·高三专题练习）图甲是用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的图像，其中F的最大值，已知摆球质量，重力加速度取，取，不计摆线质量及空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．单摆周期为
B．单摆摆长为
C．F的最小值
D．若仅将摆球质量变为，单摆周期不变
【答案】CD
【详解】A．由图可知，单摆周期为，选项A错误；
B．根据
可得
单摆摆长为0.64m，选项B错误；
C．摆到最低点时
可得
则F最小值
选项C正确；
D．单摆周期与摆球的质量无关，若仅将摆球质量变为，单摆周期不变，选项D正确。
故选CD。
【例2】（2023·上海虹口·统考二模）摆球质量为m的单摆做简谐运动，其动能Ek随时间t的变化关系如图所示，则该单摆（ ）
A．摆长为
B．摆长为
C．摆球向心加速度的最大值为
D．摆球向心加速度的最大值为
【答案】C
【详解】AB．由图可知，单摆的周期，根据单摆周期公式
解得
故AB错误；
CB．摆球到最低点的动能
向心加速度的最大值为
解得
故C正确，D错误；
故选C。
【例3】（2023·全国·高三专题练习）单摆是我们研究简谐运动中常用的模型。已知某单摆的摆长为L，摆球质量为m，当地重力加速度为g。将此摆球在所在的竖直平面内向拉离平衡位置一个小角度，自由释放。
（1）在很小时，（其中x为小球的位移），由此写出单摆回复力与位移的关系式，并说明为何单摆可视为简谐运动；
（2）简谐运动的周期公式（其中k是回复力与位移的比例系数，m为系统的质量），结合（1）推导出单摆的周期公式；
（3）当摆球运动到最低点时，求细线拉力的大小。
【答案】（1），说明见解析；（2）；（3）
【详解】（1）在很小时
由几何关系可得，单摆的回复力为
负号表示回复力方向与位移方向相反，由于小球质量m、摆长L、重力加速度g都为定值，令
则
故单摆在摆角很小的情况下的运动为简谐运动；
（2）由（1）的分析可知
单摆在摆角很小的情况下为简谐运动，故单摆的周期公式为
（3）设摆球在最低点时的速度为，由动能定理可得
设在最低点时细线的拉力为，根据牛顿第二定律可得
联立解得
【例4】．（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。时刻在A点释放摆球，摆球在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙为细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线。已知摆长为，A、B之间的最大摆角为（取，）。求：
（1）当地的重力加速度大小；
（2）摆球在A点时回复力的大小；
（3）摆球运动过程中的最大动能。
【答案】（1）；（2）；（3）0.0032J
【详解】（1）摆球在一个周期内两次经过最低点，对应两次细线拉力达到最大值，由图乙可知单摆的周期为
解得当地的重力加速度大小为
（2）摆球在A点时，细线拉力大小为
解得
摆球在A点时回复力的大小为
（3）设摆球在B点时速度为v，根据牛顿第二定律有
摆球运动过程中的最大动能为
类型2 单摆的振动图像及运动学特征
【例1】（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考期中）一单摆振动过程中离开平衡位置的位移随时间变化的规律如图所示，取向右为正方向。则下列说法正确的是（ ）
A．第1s末和第5s末摆球位于同一位置
B．0~1s的时间内，摆球的回复力逐渐减小
C．时，摆球的位移为m
D．时，摆球的速度方向与加速度方向相反
【答案】C
【详解】A．第1s末位移为正值，第5s末位移为负值，所以这两个时刻摆球位置不同，故A错误；
B．0~1s的时间内位移变大，即离平衡位置越来越远，所以摆球的回复力逐渐增大，故B错误；
C．由图可得
所以当时，解得
故C正确；
D．时摆球处在平衡位置右侧且位移大小变小，所以此时速度方向和加速度方向都向左，故D错误。
故选C。
【例2】（2023·全国·高三专题练习）单摆在两点之间做简谐运动，点为平衡位置，如图甲所示，单摆的振动图像如图乙所示（向右为正方向），取重力加速度大小，下列说法正确的是（ ）
A．单摆的振幅为B．单摆的摆动频率为
C．时，摆球在点D．单摆的摆长为
【答案】BC
【详解】A．由图乙可知单摆的振幅为4cm，故A错误；
B．单摆的摆动频率为
故B正确；
C．由单摆的周期性可知，时和摆球的运动状态相同，可知摆球在点，故C正确；
D．由单摆的周期公式
代入数据解得
故D错误。
故选BC。
【例3】（2023春·辽宁鞍山·高三统考期中）甲、乙两个单摆，做简谐振动时的图像如图所示，由此可知甲，乙两单摆（ ）
A．摆长之比为B．振动频率之比为2:3
C．在t=1.0s时刻，加速度均不为零D．在t=1.8s时刻，振动方向相反
【答案】C
【详解】A．由图像可知，甲、乙单摆振动周期之比为2:1，根据单摆的周期公式
可知，甲、乙单摆摆长之比为4:1，故A错误；
B．根据周期与频率的关系
所以振动频率之比为1:2，故B错误；
C．在t=1.0s时刻，沿振动方向的加速度均为零，但还有向心加速度，因此加速度不为零，故C正确；
D．根据振动图像可知，在t=1.8s时刻，甲、乙两单摆均沿x轴正向振动，故D错误。
故选C。
【例4】（2023春·湖北武汉·高三统考阶段练习）如图所示是一座水平固定放置的弧形槽，其底面是矩形平面，上表面ABCD是半径的光滑圆弧面，直边，圆弧边AB和CD平行且等长为0.5m，B、C是弧面最低点且切线水平。现有一个可看作质点的小球，以沿AD方向的初速度v从A点开始沿弧面运动，恰好能运动到C点。重力加速度，则v的大小约为（ ）
A．0.5m/sB．1.0m/sC．1.5m/sD．2.0m/s
【答案】B
【详解】小球在竖直面内做减速圆周运动，小球从A到C竖直面内的圆心角
小球在竖直面内的运动可看做单摆运动，小球从A到C的时间
小球从A点运动到C点，在水平方向上可看做匀速运动；，则
解得
故选B。
【例5】（2023·全国·高三专题练习）两个摆长不同的单摆1、2同轴水平悬挂，两单摆摆动平面相互平行，振动图像如图甲所示。时把单摆1的摆球向左、单摆2的摆球向右拉至摆角相同处，如图乙所示。求：
（1）两单摆摆长之比；
（2）同时释放两摆球，两摆球同时摆到最右端所经历的时间。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）根据单摆周期公式
可得
由题图甲可知
则有
（2）由题图甲可知，单摆1到达最右端所经历的时间为
单摆2到达最右端所经历的时间为
结合
可得同时释放两摆球，两摆球同时摆到最右端所经历的时间为
题型四 受迫振动和共振
1．简谐运动、受迫振动和共振的关系比较
2.对共振的理解
(1)共振曲线：如图所示，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大。
(2)做受迫振动的系统机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。
类型1 受迫振动概念及规律的理解应用
【例1】 (2022·天津河西区期末质量调查)如图甲所示，一个有固定转动轴的竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个由弹簧和小球组成的振动系统。圆盘静止时，让小球做简谐运动，其振动图像如图乙所示。圆盘匀速转动时，小球做受迫振动，小球振动稳定时，下列说法正确的是( )
振动
项目
简谐运动
受迫振动
共振
受力情况
仅受回复力
受驱动力作用
受驱动力作用
振动周期或频率
由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0
由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱
T驱＝T0或f驱＝f0
振动能量
振动物体的机械能不变
由产生驱动力的物体提供
振动物体获得的能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆(θ≤5°)
机械工作时底座发生的振动
共振筛、声音的共鸣等
A．小球振动的固有频率是4 Hz
B．小球做受迫振动时周期一定是4 s
C．圆盘转动周期在4 s附近时，小球振幅显著增大
D．圆盘转动周期在4 s附近时，小球振幅显著减小
【答案】 C
【解析】 小球振动的固有周期T＝4 s，则其固有频率为f＝eq \f(1,T)＝0.25 Hz，A错误；小球做受迫振动时周期等于驱动力的周期，即等于圆盘转动周期，不一定等于固有周期4 s，B错误；圆盘转动周期在4 s附近时，驱动力周期等于振动系统的固有周期，小球产生共振现象，振幅显著增大，C正确，D错误。
【例2】(2022·云南省保山市智源中学高二月考)把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上安一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这样就做成了一个共振筛，如图所示．筛子做自由振动时，完成10次全振动用时15 s．在某电压下，电动偏心轮转速是36 r/min.已知增大电压可使偏心轮转速提高，增加筛子质量，可以增大筛子的固有周期．那么要使筛子的振幅增大，下列做法正确的是( )
A．提高输入电压B．降低输入电压
C．减小筛子质量D．减小筛子质量
【答案】A
【解析】共振筛的工作原理是，当电动偏心轮的转动周期跟筛子的固有周期相等时，就会发生共振．在题给条件下，筛子振动的固有周期T固＝eq \f(15,10) s＝1.5 s，电动偏心轮的转动周期(对筛子来说是驱动力的周期)T驱＝eq \f(60,36) s＝1.67 s．要使筛子振幅增大，就得使这两个周期值靠近，可采用两种做法：第一，提高输入电压使偏心轮转得快一些，减小驱动力的周期；第二，增加筛子的质量使筛子的固有周期增大．正确选项为A
【例3】(多选)(2021·浙江1月选考·15)为了提高松树上松果的采摘率和工作效率，工程技术人员利用松果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置，如图甲、乙所示．则( )
A．针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同
B．随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大
C．打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同
D．稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同
【答案】 AD
【解析】 根据共振的条件，当振动器的频率等于树木的固有频率时产生共振，此时落果效果最好，而不同的树木的固有频率不同，针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同，A正确； 当振动器的振动频率等于树木的固有频率时产生共振，此时树干的振幅最大，则随着振动器频率的增加，树干振动的幅度不一定增大，B错误；打击结束后，树干做阻尼振动，阻尼振动的频率为树干的固有频率，所以粗细不同的树干频率不同，C错误；树干在振动器的振动下做受迫振动，则稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同，D正确．
类型2 共振曲线的应用
【例1】（2023·全国·模拟预测）一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线（振幅A与驱动力频率f的关系图线）如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．此单摆的固有周期约为2 s
B．此单摆的摆长约为1 m
C．若摆长增大，单摆的固有频率减小
D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动
E．此单摆的振幅是8 cm
【答案】ABC
【详解】A．由共振曲线知，此单摆的固有频率为0.5Hz，固有周期为2s，A正确；B．由单摆的周期公式，可得此单摆的摆长约为1m，B正确；
CD．若摆长增大，则单摆的固有周期增大，固有频率减小，共振曲线的峰将向左移动，C正确，D错误；
E．此单摆做受迫振动，只有共振时的振幅最大，为8cm，E错误。
故选ABC。
【例2】．（2023·全国·高三专题练习）同一地点，甲、乙单摆在驱动力作用下振动，其振幅A随驱动力频率f变化的图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．若驱动力的频率为f0，乙单摆振动的频率大于f0
B．若驱动力的频率为f0，乙单摆振动的频率等于f0
C．若驱动力的频率为3f0，甲、乙单摆振动的振幅相同
D．若驱动力的频率为3f0，甲、乙单摆振动的频率均为3f0
【答案】BD
【详解】ABD．当物体做受迫振动时，物体振动的频率等于驱动力的频率，故A错误，BD正确；
C．受迫振动物体的固有频率与驱动力频率越接近，振幅越大，由图可知，甲的固有频率是f0，乙的固有频率是2f0，若驱动力的频率为3f0，甲单摆振动的振幅小于乙单摆振动的振幅，故C错误。
故选BD。
【例3】（2022·高三课时练习）正在运转的机器，当其飞轮以角速度ω0匀速转动时，机器的振动并不强烈；切断电源，飞轮的转动逐渐慢下来，在某一小段时间内机器却发生了强烈的振动；此后，飞轮转速继续变慢，机器的振动也随之减弱。在机器停下来之后，若重新启动机器使飞轮转动的角速度从0较慢地增大到ω0，在这一过程中（ ）
A．机器不一定会发生强烈振动
B．机器一定会发生强烈振动
C．若机器发生强烈振动，则当时飞轮角速度为ω0
D．若机器发生强烈振动，则当时飞轮角速度肯定小于ω0
【答案】BD
【详解】AB．飞轮以角速度ω0转动逐渐慢下来，在某一小段时间内机器却发生了强烈的振动，说明此过程机器的固有频率与驱动频率相等达到了共振，当飞轮转动的角速度从0较缓慢地增大到ω0，在这一过程中，一定会出现机器的固有频率与驱动频率相等即达到共振的现象，机器一定还会发生强烈的振动，故A错误，B正确；
CD．由已知当机器的飞轮以角速度ω0匀速转动时，其振动不强烈，则机器若发生强烈振动，强烈振动时飞轮的角速度肯定小于ω0，故C错误，D正确。
故选BD。
类型3 “驱动摆”的分析
【例1】（2022·高三课时练习）如图甲所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，a、c摆的摆长相同且小于b摆的摆长。当a摆振动的时候，通过张紧的绳子给其他各摆施加驱动力，使其余各摆也振动起来。图乙是c摆稳定以后的振动图像，重力加速度为g，不计空气阻力，则（ ）
A．a、b、c单摆的固有周期关系为T=TB．b、c摆振动达到稳定时，c摆振幅较大
C．由图乙可知，此时b摆的周期大于t0D．a摆的摆长为
【答案】ABD
【详解】A．由于a、c摆的摆长相同且小于b摆的摆长，根据单摆的周期公式可知，固有周期关系为
T=T故A正确；
B．因为T=T，所以c摆共振，达到稳定时，c摆振幅较大，b摆的振幅较小，故B正确；
C．受迫振动的频率等于驱动力的频率，所以三个单摆的频率相同，周期相同，故b摆的周期等于t0，故C错误；
D．a摆的周期为t0，由，解得
故D正确。
故选ABD。
【例2】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，当A振动起来后，通过绷紧的水平绳迫使B、C振动起来，对于三个摆球振动过程的描述中，下列说法正确的是（ ）
A．B的振幅比C的小
B．A、B、C三个单摆的振幅相同
C．只有A、C两个单摆的周期相同
D．A、B、C三个单摆的周期均不相同
【答案】A
【详解】CD．B、C做受迫振动，振动周期都与A的周期相同，故CD错误；
AB．根据单摆周期公式
可知C单摆的固有周期等于A单摆的周期，则C的振幅比B的大，故A正确，B错误。故选A。
【例3】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在一根张紧的绳子上悬挂几个摆球，可以用一个单摆（称为“驱动摆”）驱动另外几个单摆。下列说法中正确的是（ ）
A．驱动摆只把振动形式传播给其它单摆，不传递能量
B．如果驱动摆的摆长为L，则其它单摆的振动周期都等于
C．某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度和加速度都相同
D．如果某个单摆的摆长等于驱动摆的摆长，则这个单摆的频率最大
【答案】B
【详解】A．驱动摆不仅把振动形式传播给其它单摆，同时也把能量传递给其它单摆，故A错误；
BD．如果驱动摆的摆长为L，根据单摆的周期公式有
T＝2π
而其它单摆都做受迫振动，故振动周期都等于驱动摆的周期2π，振动频率也都等于驱动摆的频率，故B正确，D错误；
C．某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度大小相等但方向可能不同；根据
F=-kx
可得加速度
a=
所以加速度一定相同，故C错误。
故选B。
【例4】．（2021·全国·高三专题练习）单摆M、N、O、P自由振动时，振动图像分别如图甲、乙、丙、丁所示。现将单摆M、N、O、P悬挂在如图所示支架的细线上，并保持各自的摆长不变，使其中一个单摆振动，经过足够长的时间，其他三个都可能振动起来。不计空气阻力。下列判断正确的是（ ）
A．若使M振动起来，P不会振动
B．若使M振动起来，稳定时N振动的周期仍小于2s
C．若使P振动起来，稳定时N比M的振幅大
D．若使O振动起来，稳定时M的振动周期等于3s
【答案】D
【详解】A．若使M振动起来，其他小球也会振动，做受迫振动，A错误；
B．受迫振动的周期等于驱动力的周期，B错误；
C．若使P振动起来，由于M的固有周期与驱动力的周期相同，M发生共振，稳定时M比N的振幅大，C错误；
D．O的周期为3s，使O振动起来，M做受迫振动，则稳定时M的振动周期为3s，D正确。
故选D。
公众号：高中试卷君
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc17904" 题型一 简谐运动的基本特征及应用 PAGEREF _Tc17904 \h 1
\l "_Tc31050" 类型1 简谐运动基本物理量的分析 PAGEREF _Tc31050 \h 1
\l "_Tc15387" 类型2 简谐运动的周期性与对称性 PAGEREF _Tc15387 \h 4
\l "_Tc7739" 类型3 弹簧振子的动力学、能量特征分析 PAGEREF _Tc7739 \h 6
\l "_Tc29839" 题型二 简谐运动的表达式和图像的理解和应用 PAGEREF _Tc29839 \h 11
\l "_Tc17964" 题型三 单摆及其周期公式 PAGEREF _Tc17964 \h 17
\l "_Tc13183" 类型1 单摆的受力特征及周期公式的应用 PAGEREF _Tc13183 \h 17
\l "_Tc25910" 类型2 单摆的振动图像及运动学特征 PAGEREF _Tc25910 \h 22
\l "_Tc17004" 题型四 受迫振动和共振 PAGEREF _Tc17004 \h 26
\l "_Tc30053" 类型1 受迫振动概念及规律的理解应用 PAGEREF _Tc30053 \h 26
\l "_Tc22427" 类型2 共振曲线的应用 PAGEREF _Tc22427 \h 28
\l "_Tc28356" 类型3 “驱动摆”的分析 PAGEREF _Tc28356 \h 30
题型一 简谐运动的基本特征及应用
对简谐运动的理解
类型1 简谐运动基本物理量的分析
【例1】（2023春·江西·高三校联考阶段练习）受力特点
回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
运动特点
靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
能量
振幅越大，能量越大．在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒
周期性
做简谐运动的物体的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为eq \f(T,2)
对称性
(1)如图所示，做简谐运动的物体经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等
(2)物体由P到O所用的时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′
(3)物体往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO
(4)相隔eq \f(T,2)或eq \f(2n＋1T,2)(n为正整数)的两个时刻，物体位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反
如图所示，一水平轻质弹簧左端固定在竖直墙上，右端连接一物体，物体静止在光滑水平地面上的O点，现向左推物体，使物体到达A点后由静止释放，在弹力作用下物体向右运动，在物体整个运动过程中，弹簧始终处于弹性限度内，下列说法正确的是（ ）
A．物体从O点向左运动到A点的过程中，弹簧的弹性势能先增大后减小
B．物体从O点向左运动到A点的过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大
C．物体从A点向右运动的过程中，弹簧的弹性势能先增大后减小
D．物体从A点向右运动的过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大
【例2】．（2023春·北京大兴·高三统考期中）如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距10cm。小球经过O点开始计时并向右运动，经过0.5s首次到达B点，下列说法正确的是（ ）
A．弹簧振子的振幅是10cm
B．当振子运动到B时，位移大小是10cm
C．弹簧振子的周期是1s
D．振子由O运动到B的过程中速度减小
【例3】（2023春·江西南昌·高三南昌二中校考开学考试）对于下面甲、乙、丙、丁四种情况，可认为是简谐运动的是（ ）
①甲：倾角为的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开，空气阻力可忽略不计
②乙：粗细均匀的木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中。把木筷往上提起一段距离后放手，木筷就在水中上下振动
③丙：小球在半径为R的光滑球面上的A、B（）之间来回运动
④丁：小球在光滑固定斜面上来回运动
A．只有①B．只有①②C．只有①②③D．都可以【例4】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一弹簧振子做简谐运动，下列说法正确的是（ ）
A．若位移为负值，则加速度一定为负值
B．小球通过平衡位置时，速度为零，位移最大
C．小球每次经过平衡位置时，位移相同，速度也一定相同
D．小球每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但位移一定相同
类型2 简谐运动的周期性与对称性
【例2】（2023春·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考阶段练习）弹簧振子以O点为平衡位置做简谐振动。从O点起振开始计时，振子第一次到达M点用了0.3秒，又经过0.2秒第二次通过M点，则振子第三次通过M点还要经过的时间可能是（ ）
A．秒B．秒C．1.4秒D．1.6秒
【例2】（2023秋·黑龙江大庆·高三铁人中学校考期末）如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子从a到b历时0.2s，振子经a、b两点时速度相同，若它从b再回到a的最短时间为0.4s，则该振子的振动频率为（ ）
A．1HzB．1.25HzC．2HzD．2.5Hz
【例3】．（2023春·甘肃武威·高三武威第六中学校考期中）一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过A、两点，历时1s；质点通过点后再经过1s又第二次通过点。在这内质点通过的总路程为12，则质点的振动周期和振幅分别是（ ）
A．3s，B．4s，C．4s，D．2s，
类型3 弹簧振子的动力学、能量特征分析
【例1】（2023春·新疆乌鲁木齐·高三兵团二中校考阶段练习）如图所示，倾角为的光滑斜面固定在水平地面上，一根劲度系数为k的轻弹簧上端固定于斜面顶端挡板上，另一端与质量为m的小球连接，静止于O点，现把小球从弹簧原长处A点静止释放，小球做简谐运动，弹簧的弹性势能为，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．振幅为B．小球的最大加速度为g
C．小球的最大速度为D．弹簧的最大弹性势能为
【例2】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一根不计质量的弹簧竖直悬吊质量为M的铁块，在其下方吸引了一质量为m的磁铁，且。已知弹簧的劲度系数为k，磁铁对铁块的最大吸引力等于3mg，铁块和磁铁共同沿竖直方向作简谐运动，不计磁铁对其它物体的作用并忽略空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．铁块处于平衡位置时弹簧的伸长量等于
B．铁块振幅的最大值是
C．弹簧弹性势能最大时，弹力的大小等于16mg
D．铁块运动的最大速度为
【例3】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考期中）如图所示，长直杆固定放置且与水平面夹角，杆上O点以上部分粗糙，O点以下部分（含O点）光滑。轻弹簧穿过长杆，下端与挡板相连，弹簧原长时上端恰好在O点，质量为m的带孔小球穿过长杆，与弹簧上端连接。现将小球拉到图示a位置由静止释放，一段时间后观察到小球做简谐振动时弹簧上端的最低位置始终在b点，O点与a、b间距均为l。则下列说法正确的是（ ）
A．整个运动过程小球克服摩擦力做功为mglB．弹簧的劲度系数
C．若增加小球质量，最终物体做简谐振动的周期不变
D．若增加小球质量，仍从a位置静止释放，则小球最终运动的最低点仍在b点
【例4】．（2023秋·山东威海·高三统考期末）如图所示，倾角为的光滑斜面固定在水平地面上，斜面顶端有一固定挡板，与一轻弹簧相连。弹簧下端连接一质量为m的小球，小球沿斜面方向做振幅为A的简谐运动。当小球运动到最高点时，弹簧正好处于原长，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的最大弹性势能为
B．小球的最大动能一定小于
C．弹簧的弹性势能和小球的动能之和保持不变
D．小球在最低点时弹簧的弹力大小为
题型二 简谐运动的表达式和图像的理解和应用
1．由图像可获取的信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0(如图所示)。
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同。
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。
2．简谐运动的对称性(如图)
(1)相隔Δt＝nT(n＝1，2，3…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同。(2)相隔Δt＝(n＋eq \f(1,2))T(n＝0，1，2…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向(或都为零)，速度也等大反向(或都为零)。
【例1】如图所示，是一个质点的振动图像，根据图像回答下列问题：
(1)振动的振幅；
(2)振动的频率；
(3)在t＝0.1 s、0.3 s、0.5 s、0.7 s时质点的振动方向；
(4)质点速度首次具有负方向最大值的时刻和位置；
(5)质点运动的加速度首次具有负方向最大值的时刻和位置；
(6)在0.6 s至0.8 s这段时间内质点的运动情况。
(7)振动质点离开平衡位置的最大距离；
(8)写出此振动质点的运动表达式；
(9)振动质点在0～0.6 s的时间内通过的路程；
(10)振动质点在t＝0.1 s、0.3 s、0.5 s、0.7 s时的振动方向；
(11)振动质点在0.6～0.8 s这段时间内速度和加速度是怎样变化的？
(12)振动质点在0.4～0.8 s这段时间内的动能变化是多少？
【例2】（2023春·河北张家口·高三张北县第一中学校联考期中）如图甲所示，轻质弹簧下端固定在水平地面上，上端拴接一轻质薄板。t=0时刻，一物块从其正上方某处由静止下落，与薄板碰撞后二者粘在一起并在以后的运动中不再分离，物块的位置随时间变化的图像（x-t）如图乙所示，其中t=0.2s时物块刚接触薄板。弹簧形变始终在弹性限度内，空气阻力不计，则（ ）
A．t=0.4s时物块的加速度大于重力加速度
B．若增大物块自由下落的高度，则物块与薄板粘在一起后振动的周期增大
C．若增大物块自由下落的高度，则物块与薄板粘在一起后振动的振幅增大D．t=0.2s后物块坐标位置随时间变化关系为
【例3】（2023春·天津北辰·高二校考阶段练习）一弹簧振子A的位移随时间变化的关系式为，位移的单位为m，时间的单位为s，则（ ）
A．弹簧振子的振幅为0.2m
B．弹簧振子的周期为1.25s
C．在t=0.2s时，振子的运动速度为0
D．若另一弹簧振子B的位移随时间变化的关系式为，则B的振幅和周期分别是A的振幅和周期的2倍
【例4】．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考期中）如图，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动， B、C相距20cm。小球经过B点时开始计时，经过1.5s第二次到达C点。下列说法正确的是（ ）
A．小球振动的周期为3sB．小球振动的振幅为20cm
C．5s末小球的位移为0D．小球的位移—时间关系为
【例5】．（2023春·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考期中）某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x随时间t变化的函数关系式为x＝Asinωt，振动图像如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．弹簧在第1s末与第3s末的长度相同
B．简谐运动的角频率ω＝rad/s
C．第3s末振子的位移大小为A
D．从第3s末到第5s末，振子的速度方向发生变化
【例6】．（2023春·广东湛江·高三统考阶段练习）如图甲所示，将滑块连接在弹簧上并放置于气垫导轨上，将滑块拉到某一位置后由静止释放，位移传感器记录下滑块位置随时间的变化图像如图乙所示，则下列关于该滑块的说法正确的是（ ）
A．完成一次全振动的时间为5s
B．在一个周期内运动路程为32cm
C．在第1s末和第3s末时的速度相同
D．第3s内滑块的动能转化为弹簧的弹性势能
题型三 单摆及其周期公式
1．单摆的受力特征
(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F回＝－mgsin θ＝－eq \f(mg,l)x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反。
(2)向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力提供向心力，
F向＝FT－mgcs θ。
(3)两点说明
①当摆球在最高点时，F向＝eq \f(mv2,l)＝0，FT＝mgcs θ。
②当摆球在最低点时，F向＝meq \f(veq \\al(2,max),l)，F向最大，FT＝mg＋meq \f(veq \\al(2,max),l)。
2．周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))的两点说明
(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
(2)g为当地重力加速度。
类型1 单摆的受力特征及周期公式的应用
【例1】（2023·天津·高三专题练习）图甲是用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的图像，其中F的最大值，已知摆球质量，重力加速度取，取，不计摆线质量及空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．单摆周期为
B．单摆摆长为
C．F的最小值
D．若仅将摆球质量变为，单摆周期不变
【例2】（2023·上海虹口·统考二模）摆球质量为m的单摆做简谐运动，其动能Ek随时间t的变化关系如图所示，则该单摆（ ）
A．摆长为
B．摆长为
C．摆球向心加速度的最大值为
D．摆球向心加速度的最大值为
【例3】（2023·全国·高三专题练习）单摆是我们研究简谐运动中常用的模型。已知某单摆的摆长为L，摆球质量为m，当地重力加速度为g。将此摆球在所在的竖直平面内向拉离平衡位置一个小角度，自由释放。
（1）在很小时，（其中x为小球的位移），由此写出单摆回复力与位移的关系式，并说明为何单摆可视为简谐运动；
（2）简谐运动的周期公式（其中k是回复力与位移的比例系数，m为系统的质量），结合（1）推导出单摆的周期公式；
（3）当摆球运动到最低点时，求细线拉力的大小。
【例4】．（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。时刻在A点释放摆球，摆球在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙为细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线。已知摆长为，A、B之间的最大摆角为（取，）。求：
（1）当地的重力加速度大小；
（2）摆球在A点时回复力的大小；
（3）摆球运动过程中的最大动能。
类型2 单摆的振动图像及运动学特征
【例1】（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考期中）一单摆振动过程中离开平衡位置的位移随时间变化的规律如图所示，取向右为正方向。则下列说法正确的是（ ）
A．第1s末和第5s末摆球位于同一位置
B．0~1s的时间内，摆球的回复力逐渐减小
C．时，摆球的位移为m
D．时，摆球的速度方向与加速度方向相反
【例2】（2023·全国·高三专题练习）单摆在两点之间做简谐运动，点为平衡位置，如图甲所示，单摆的振动图像如图乙所示（向右为正方向），取重力加速度大小，下列说法正确的是（ ）
A．单摆的振幅为B．单摆的摆动频率为
C．时，摆球在点D．单摆的摆长为
【例3】（2023春·辽宁鞍山·高三统考期中）甲、乙两个单摆，做简谐振动时的图像如图所示，由此可知甲，乙两单摆（ ）
A．摆长之比为B．振动频率之比为2:3
C．在t=1.0s时刻，加速度均不为零D．在t=1.8s时刻，振动方向相反
【例4】（2023春·湖北武汉·高三统考阶段练习）如图所示是一座水平固定放置的弧形槽，其底面是矩形平面，上表面ABCD是半径的光滑圆弧面，直边，圆弧边AB和CD平行且等长为0.5m，B、C是弧面最低点且切线水平。现有一个可看作质点的小球，以沿AD方向的初速度v从A点开始沿弧面运动，恰好能运动到C点。重力加速度，则v的大小约为（ ）
A．0.5m/sB．1.0m/sC．1.5m/sD．2.0m/s
【例5】（2023·全国·高三专题练习）两个摆长不同的单摆1、2同轴水平悬挂，两单摆摆动平面相互平行，振动图像如图甲所示。时把单摆1的摆球向左、单摆2的摆球向右拉至摆角相同处，如图乙所示。求：
（1）两单摆摆长之比；（2）同时释放两摆球，两摆球同时摆到最右端所经历的时间。
题型四 受迫振动和共振
1．简谐运动、受迫振动和共振的关系比较
2.对共振的理解
(1)共振曲线：如图所示，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大。
(2)做受迫振动的系统机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。
类型1 受迫振动概念及规律的理解应用
【例1】 (2022·天津河西区期末质量调查)振动
项目
简谐运动
受迫振动
共振
受力情况
仅受回复力
受驱动力作用
受驱动力作用
振动周期或频率
由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0
由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱
T驱＝T0或f驱＝f0
振动能量
振动物体的机械能不变
由产生驱动力的物体提供
振动物体获得的能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆(θ≤5°)
机械工作时底座发生的振动
共振筛、声音的共鸣等
如图甲所示，一个有固定转动轴的竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个由弹簧和小球组成的振动系统。圆盘静止时，让小球做简谐运动，其振动图像如图乙所示。圆盘匀速转动时，小球做受迫振动，小球振动稳定时，下列说法正确的是( )
A．小球振动的固有频率是4 Hz
B．小球做受迫振动时周期一定是4 s
C．圆盘转动周期在4 s附近时，小球振幅显著增大
D．圆盘转动周期在4 s附近时，小球振幅显著减小
【例2】(2022·云南省保山市智源中学高二月考)把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上安一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这样就做成了一个共振筛，如图所示．筛子做自由振动时，完成10次全振动用时15 s．在某电压下，电动偏心轮转速是36 r/min.已知增大电压可使偏心轮转速提高，增加筛子质量，可以增大筛子的固有周期．那么要使筛子的振幅增大，下列做法正确的是( )
A．提高输入电压B．降低输入电压
C．减小筛子质量D．减小筛子质量
【例3】(多选)(2021·浙江1月选考·15)为了提高松树上松果的采摘率和工作效率，工程技术人员利用松果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置，如图甲、乙所示．则( )
A．针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同
B．随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大
C．打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同D．稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同
类型2 共振曲线的应用
【例1】（2023·全国·模拟预测）一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线（振幅A与驱动力频率f的关系图线）如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．此单摆的固有周期约为2 s
B．此单摆的摆长约为1 m
C．若摆长增大，单摆的固有频率减小
D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动
E．此单摆的振幅是8 cm
【例2】．（2023·全国·高三专题练习）同一地点，甲、乙单摆在驱动力作用下振动，其振幅A随驱动力频率f变化的图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．若驱动力的频率为f0，乙单摆振动的频率大于f0
B．若驱动力的频率为f0，乙单摆振动的频率等于f0
C．若驱动力的频率为3f0，甲、乙单摆振动的振幅相同
D．若驱动力的频率为3f0，甲、乙单摆振动的频率均为3f0
【例3】（2022·高三课时练习）正在运转的机器，当其飞轮以角速度ω0匀速转动时，机器的振动并不强烈；切断电源，飞轮的转动逐渐慢下来，在某一小段时间内机器却发生了强烈的振动；此后，飞轮转速继续变慢，机器的振动也随之减弱。在机器停下来之后，若重新启动机器使飞轮转动的角速度从0较慢地增大到ω0，在这一过程中（ ）
A．机器不一定会发生强烈振动
B．机器一定会发生强烈振动
C．若机器发生强烈振动，则当时飞轮角速度为ω0
D．若机器发生强烈振动，则当时飞轮角速度肯定小于ω0
类型3 “驱动摆”的分析
【例1】（2022·高三课时练习）如图甲所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，a、c摆的摆长相同且小于b摆的摆长。当a摆振动的时候，通过张紧的绳子给其他各摆施加驱动力，使其余各摆也振动起来。图乙是c摆稳定以后的振动图像，重力加速度为g，不计空气阻力，则（ ）
A．a、b、c单摆的固有周期关系为T=T
C．由图乙可知，此时b摆的周期大于t0
D．a摆的摆长为
【例2】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，当A振动起来后，通过绷紧的水平绳迫使B、C振动起来，对于三个摆球振动过程的描述中，下列说法正确的是（ ）
A．B的振幅比C的小
B．A、B、C三个单摆的振幅相同
C．只有A、C两个单摆的周期相同
D．A、B、C三个单摆的周期均不相同
【例3】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在一根张紧的绳子上悬挂几个摆球，可以用一个单摆（称为“驱动摆”）驱动另外几个单摆。下列说法中正确的是（ ）
A．驱动摆只把振动形式传播给其它单摆，不传递能量
B．如果驱动摆的摆长为L，则其它单摆的振动周期都等于
C．某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度和加速度都相同
D．如果某个单摆的摆长等于驱动摆的摆长，则这个单摆的频率最大
【例4】．（2021·全国·高三专题练习）单摆M、N、O、P自由振动时，振动图像分别如图甲、乙、丙、丁所示。现将单摆M、N、O、P悬挂在如图所示支架的细线上，并保持各自的摆长不变，使其中一个单摆振动，经过足够长的时间，其他三个都可能振动起来。不计空气阻力。下列判断正确的是（ ）
A．若使M振动起来，P不会振动
B．若使M振动起来，稳定时N振动的周期仍小于2s
C．若使P振动起来，稳定时N比M的振幅大
D．若使O振动起来，稳定时M的振动周期等于3s
公众号：高中试卷君
专题18 机械振动
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc17904" 题型一 简谐运动的基本特征及应用 PAGEREF _Tc17904 \h 1
\l "_Tc31050" 类型1 简谐运动基本物理量的分析 PAGEREF _Tc31050 \h 1
\l "_Tc15387" 类型2 简谐运动的周期性与对称性 PAGEREF _Tc15387 \h 4
\l "_Tc7739" 类型3 弹簧振子的动力学、能量特征分析 PAGEREF _Tc7739 \h 6
\l "_Tc29839" 题型二 简谐运动的表达式和图像的理解和应用 PAGEREF _Tc29839 \h 11
\l "_Tc17964" 题型三 单摆及其周期公式 PAGEREF _Tc17964 \h 17
\l "_Tc13183" 类型1 单摆的受力特征及周期公式的应用 PAGEREF _Tc13183 \h 17
\l "_Tc25910" 类型2 单摆的振动图像及运动学特征 PAGEREF _Tc25910 \h 22
\l "_Tc17004" 题型四 受迫振动和共振 PAGEREF _Tc17004 \h 26
\l "_Tc30053" 类型1 受迫振动概念及规律的理解应用 PAGEREF _Tc30053 \h 26
\l "_Tc22427" 类型2 共振曲线的应用 PAGEREF _Tc22427 \h 28
\l "_Tc28356" 类型3 “驱动摆”的分析 PAGEREF _Tc28356 \h 30
题型一 简谐运动的基本特征及应用
对简谐运动的理解
类型1 简谐运动基本物理量的分析
【例1】（2023春·江西·高三校联考阶段练习）受力特点
回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
运动特点
靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
能量
振幅越大，能量越大．在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒
周期性
做简谐运动的物体的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为eq \f(T,2)
对称性
(1)如图所示，做简谐运动的物体经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等
(2)物体由P到O所用的时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′
(3)物体往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO
(4)相隔eq \f(T,2)或eq \f(2n＋1T,2)(n为正整数)的两个时刻，物体位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反
如图所示，一水平轻质弹簧左端固定在竖直墙上，右端连接一物体，物体静止在光滑水平地面上的O点，现向左推物体，使物体到达A点后由静止释放，在弹力作用下物体向右运动，在物体整个运动过程中，弹簧始终处于弹性限度内，下列说法正确的是（ ）
A．物体从O点向左运动到A点的过程中，弹簧的弹性势能先增大后减小
B．物体从O点向左运动到A点的过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大
C．物体从A点向右运动的过程中，弹簧的弹性势能先增大后减小
D．物体从A点向右运动的过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大
【答案】D
【详解】AB．物体做简谐运动，O点是平衡位置，所以物体从O点向左运动到A点的过程中，物体做减速运动，弹簧的弹性势能一直增大，故A、B错误；
CD．物体从A点运动到O点时，物体做加速运动，经过O点继续向右时，物体做减速运动，所以弹簧的弹性势能先减小后增大，故C错误，D正确。
故选D。
【例2】．（2023春·北京大兴·高三统考期中）如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距10cm。小球经过O点开始计时并向右运动，经过0.5s首次到达B点，下列说法正确的是（ ）
A．弹簧振子的振幅是10cm
B．当振子运动到B时，位移大小是10cm
C．弹簧振子的周期是1s
D．振子由O运动到B的过程中速度减小
【答案】D
【详解】A．弹簧振子的振幅是OB的距离，即5cm，故A错误；
B．当振子运动到B时，位移大小是5cm，故B错误；
C．小球经过O点开始计时并向右运动，经过0.5s首次到达B点，则
所以弹簧振子的周期是2s，故C错误；
D．振子由O运动到B的过程中位移增大，速度减小，故D正确；故选D。
【例3】（2023春·江西南昌·高三南昌二中校考开学考试）对于下面甲、乙、丙、丁四种情况，可认为是简谐运动的是（ ）
①甲：倾角为的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开，空气阻力可忽略不计
②乙：粗细均匀的木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中。把木筷往上提起一段距离后放手，木筷就在水中上下振动
③丙：小球在半径为R的光滑球面上的A、B（）之间来回运动
④丁：小球在光滑固定斜面上来回运动
A．只有①B．只有①②C．只有①②③D．都可以
【答案】C
【详解】甲图小球沿斜面方向受到的合力时弹力与重力的分力，当小球在平衡位置上方时，合力方向沿斜面向下，当在平衡位置下方时合力沿斜面向上，弹力与重力的分力的合力与位移成正比，其特点符合简谐振动物体的动力学特征，小球做简谐振动；乙图木筷在水中受浮力和重力作用，当木筷在平衡位置上方时，合力向下，当木筷在平衡位置下方时，合力向上，重力和浮力的合力与位移成正比，其特点符合简谐振动物体的动力学特征，木筷做简谐振动；丙图小球离开最低点受到重力沿切线方向的分力与位移成正比，方向与小球位移方向相反，为小球提供回复力，小球在最低点附近左右振动属于简谐振动；丙图斜面光滑，重力沿斜面的分力提供小球做机械振动的回复力，但该力大小不变，不与位移成正比，故小球的运动为机械振动，不是简谐振动，则可知①②③为简谐振动。
故选C。
【例4】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一弹簧振子做简谐运动，下列说法正确的是（ ）
A．若位移为负值，则加速度一定为负值
B．小球通过平衡位置时，速度为零，位移最大
C．小球每次经过平衡位置时，位移相同，速度也一定相同
D．小球每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但位移一定相同【答案】D
【详解】A．小球受的力指向平衡位置，小球的位移为负值时，受到的力为正值，小球的加速度为正值，A错误；
B．当小球通过平衡位置时，位移为零，速度最大，B错误；
C．小球每次通过平衡位置时，速度大小相等，方向不一定相同，但位移相同，C错误；
D．小球每次通过同一位置时，位移相同，速度大小相等，但速度方向可能相同，也可能不同，D正确。
故选D。
类型2 简谐运动的周期性与对称性
【例2】（2023春·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考阶段练习）弹簧振子以O点为平衡位置做简谐振动。从O点起振开始计时，振子第一次到达M点用了0.3秒，又经过0.2秒第二次通过M点，则振子第三次通过M点还要经过的时间可能是（ ）
A．秒B．秒C．1.4秒D．1.6秒
【答案】AC
【详解】由题意，共有以下两种情况：
①如图所示
假设振子从O点向x正方向起振，P点为正向最大位移处，M位于O、P之间，则振子从O运动到M所用时间为
根据简谐运动的对称性可知，振子从M到P和P到M的时间相同，均为
设简谐运动的周期为T，则
解得
易知振子第二次通过M点再经过一个周期T刚好第四次通过M点，而第三次通过M点之后需要再经过2t才能再次（即第四次）通过M点，因此振子第三次通过M点还要经过的时间为
②如图所示
假设振子从O点向x正方向起振，Q点为负向最大位移处，M位于O、Q之间，则振子从M运动到O所用时间为
根据简谐运动的对称性可知，振子从M到Q和Q到M的时间相同，均为
所以
解得
易知振子第二次通过M点再经过一个周期T刚好第四次通过M点，而第三次通过M点之后需要再经过2t才能再次（即第四次）通过M点，因此振子第三次通过M点还要经过的时间为
故选AC。
【例2】（2023秋·黑龙江大庆·高三铁人中学校考期末）如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子从a到b历时0.2s，振子经a、b两点时速度相同，若它从b再回到a的最短时间为0.4s，则该振子的振动频率为（ ）
A．1HzB．1.25HzC．2HzD．2.5Hz
【答案】B
【详解】由于振子在a、b两点的速度相同，则a、b两点关于O点是对称的，所以O到b点的时间为0.1s；而从b再回到a的最短时间为0.4s，则从b再回到b的最短时间为0.2s，所以从b到最大位移处的最短时间为0.1s，因此振子的振动周期为T=0.8s，由，得
故选B。
【例3】．（2023春·甘肃武威·高三武威第六中学校考期中）一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过A、两点，历时1s；质点通过点后再经过1s又第二次通过点。在这内质点通过的总路程为12，则质点的振动周期和振幅分别是（ ）
A．3s，B．4s，C．4s，D．2s，
【答案】B
【详解】质点运动的过程如图：
其中红色实线为由A到，绿色实线为第二次经过，红色、绿色虚线为补出的对称运动，从图像中可以观察到
红色实线绿色实线振幅
则振幅为。
红色部分与绿色部分的运动时间之和为一个周期，故周期为4s。
故选B。
类型3 弹簧振子的动力学、能量特征分析
【例1】（2023春·新疆乌鲁木齐·高三兵团二中校考阶段练习）如图所示，倾角为的光滑斜面固定在水平地面上，一根劲度系数为k的轻弹簧上端固定于斜面顶端挡板上，另一端与质量为m的小球连接，静止于O点，现把小球从弹簧原长处A点静止释放，小球做简谐运动，弹簧的弹性势能为，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．振幅为B．小球的最大加速度为g
C．小球的最大速度为D．弹簧的最大弹性势能为
【答案】D【详解】A．设平衡位置时弹簧的伸长量为， 则
振幅为。A错误；
B．A点处小球的加速度最大
B错误；
C．平衡位置处速度最大，从A点到平衡位置由动能定理
解得小球的最大速度
C错误；
D．由对称性，小球在最低点，弹簧伸长量为
弹簧的最大弹性势能为
D正确。
故选D。
【例2】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一根不计质量的弹簧竖直悬吊质量为M的铁块，在其下方吸引了一质量为m的磁铁，且。已知弹簧的劲度系数为k，磁铁对铁块的最大吸引力等于3mg，铁块和磁铁共同沿竖直方向作简谐运动，不计磁铁对其它物体的作用并忽略空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．铁块处于平衡位置时弹簧的伸长量等于B．铁块振幅的最大值是
C．弹簧弹性势能最大时，弹力的大小等于16mg
D．铁块运动的最大速度为
【答案】D
【详解】A．由胡克定律得铁块处于平衡位置时
可得
A错误；
B．铁块振幅的最大值在最低点有
解得
B错误；
C．弹簧弹性势能最大时，铁块和磁铁位于最低点，弹力的大小为
C错误；
D．由机械能守恒定律得
解得
D正确。
故选D。
【例3】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考期中）如图所示，长直杆固定放置且与水平面夹角，杆上O点以上部分粗糙，O点以下部分（含O点）光滑。轻弹簧穿过长杆，下端与挡板相连，弹簧原长时上端恰好在O点，质量为m的带孔小球穿过长杆，与弹簧上端连接。现将小球拉到图示a位置由静止释放，一段时间后观察到小球做简谐振动时弹簧上端的最低位置始终在b点，O点与a、b间距均为l。则下列说法正确的是（ ）
A．整个运动过程小球克服摩擦力做功为mgl
B．弹簧的劲度系数
C．若增加小球质量，最终物体做简谐振动的周期不变
D．若增加小球质量，仍从a位置静止释放，则小球最终运动的最低点仍在b点
【答案】AB
【详解】A．O点与a、b间均为l，所以小球在a、b两点的弹性势能相等，小球从a点由静止开始运动到最后到达b点的过程中由动能定理可知
解得
A正确；
B．小球做简谐振动时弹簧上端的最低位置始终在b点，即小球在O点和b点间做简谐运动，平衡位置在O点和b点中点，此时小球受力平衡，有
解得
B正确；
C．弹簧小球的振动周期公式为，则若增加小球质量，最终物体做简谐振动的周期将会变化，C错误；
D．若增加小球质量，仍从a位置静止释放，设小球最终运动的最低点为c，由于小球最后是在O与最低点c两点间做简谐振动，在c点与O点的加速度大小相等，小球在c点有
小球在O点有
联立解得
所以增大小球的质量，弹簧在最低点的形变量也会增大，则最低点位置发生了改变，D错误。
故选AB。
【例4】．（2023秋·山东威海·高三统考期末）如图所示，倾角为的光滑斜面固定在水平地面上，斜面顶端有一固定挡板，与一轻弹簧相连。弹簧下端连接一质量为m的小球，小球沿斜面方向做振幅为A的简谐运动。当小球运动到最高点时，弹簧正好处于原长，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的最大弹性势能为
B．小球的最大动能一定小于
C．弹簧的弹性势能和小球的动能之和保持不变
D．小球在最低点时弹簧的弹力大小为
【答案】ABD
【详解】A．当小球运动到最高点时，弹簧正好处于原长，小球在最低点时弹簧弹性势能最大，小球减少的重力势能转化为弹性势能，所以弹簧的最大弹性势能
故A正确；
B．在平衡位置动能最大，由最高点到平衡位置，重力势能减小，动能和弹性势能增加，所以物体的最大动能小于，故B正确；
C．在运动的过程中，只有重力和弹力做功，系统机械能守恒，弹簧的弹性势能、物体的动能、重力势能之和不变，故C错误；
D．小球做简谐运动的平衡位置处
当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长，可知
所以在最低点时，形变量为2A．弹力大小为，故D正确。
故选ABD。
题型二 简谐运动的表达式和图像的理解和应用
1．由图像可获取的信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0(如图所示)。
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同。
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。
2．简谐运动的对称性(如图)
(1)相隔Δt＝nT(n＝1，2，3…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同。
(2)相隔Δt＝(n＋eq \f(1,2))T(n＝0，1，2…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向(或都为零)，速度也等大反向(或都为零)。
【例1】如图所示，是一个质点的振动图像，根据图像回答下列问题：
(1)振动的振幅；
(2)振动的频率；
(3)在t＝0.1 s、0.3 s、0.5 s、0.7 s时质点的振动方向；
(4)质点速度首次具有负方向最大值的时刻和位置；
(5)质点运动的加速度首次具有负方向最大值的时刻和位置；
(6)在0.6 s至0.8 s这段时间内质点的运动情况。
(7)振动质点离开平衡位置的最大距离；
(8)写出此振动质点的运动表达式；
(9)振动质点在0～0.6 s的时间内通过的路程；(10)振动质点在t＝0.1 s、0.3 s、0.5 s、0.7 s时的振动方向；
(11)振动质点在0.6～0.8 s这段时间内速度和加速度是怎样变化的？
(12)振动质点在0.4～0.8 s这段时间内的动能变化是多少？
【答案】 见解析
【解析】 (1)振幅为最大位移的绝对值，从图像可知振幅
A＝5 cm。
(2)从图像可知周期T＝0.8 s，则振动的频率
f＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,0.8) Hz＝1.25 Hz。
(3)由各时刻的位移变化过程可判断t＝0.1 s、0.7 s时，质点的振动方向沿x轴正方向；t＝0.3 s、0.5 s时，质点的振动方向沿x轴负方向。
(4)质点在0.4 s通过平衡位置时，首次具有负方向的速度最大值。
(5)质点在0.2 s时处于正向最大位移处时，首次加速度具有负方向的最大值。
(6)在0.6 s至0.8 s这段时间内，从图像上可以看出，质点沿负方向的位移不断减小，说明质点正沿着正方向由负向最大位移处向着平衡位置运动，所以质点做加速度减小的加速运动。
(7)由振动图像可以看出，质点振动的振幅为5 cm，即为质点离开平衡位置的最大距离。
(8)由此质点的振动图像可知A＝5 cm，T＝0.8 s，φ＝0，所以x＝Asin(ωt＋φ)＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)t))＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,0.8)t))cm＝5sin(2.5πt)cm。
(9)由振动图像可以看出，质点振动的周期为T＝0.8 s，0.6 s＝3×eq \f(T,4)，振动质点是从平衡位置开始振动的，故在0～0.6 s的时间内质点通过的路程为s＝3×A＝3×5 cm＝15 cm。
(10)在t＝0.1 s时，振动质点处在位移为正值的某一位置上，但若从t＝0.1 s起取一段极短的时间间隔Δt(Δt→0)的话，从图像中可以看出振动质点的正方向的位移将会越来越大，由此可以判断得出质点在t＝0.1 s时的振动方向是沿题中所设的正方向。同理可以判断得出质点在t＝0.3 s、0.5 s、0.7 s时的振动方向分别是沿题中所设的负方向、负方向和正方向。
(11)由振动图像可以看出，在0.6～0.8 s这段时间内，振动质点从最大位移处向平衡位置运动，故其速度是越来越大的；而质点所受的回复力是指向平衡位置的，并且逐渐减小的，故其加速度的方向指向平衡位置且越来越小。
(12)由图像可看出，在0.4～0.8 s这段时间内质点从平衡位置经过半个周期又回到了平衡位置，尽管初、末两个时刻的速度方向相反，但大小是相等的，故这段时间内质点的动能变化为零。
【例2】（2023春·河北张家口·高三张北县第一中学校联考期中）如图甲所示，轻质弹簧下端固定在水平地面上，上端拴接一轻质薄板。t=0时刻，一物块从其正上方某处由静止下落，与薄板碰撞后二者粘在一起并在以后的运动中不再分离，物块的位置随时间变化的图像（x-t）如图乙所示，其中t=0.2s时物块刚接触薄板。弹簧形变始终在弹性限度内，空气阻力不计，则（ ）
A．t=0.4s时物块的加速度大于重力加速度
B．若增大物块自由下落的高度，则物块与薄板粘在一起后振动的周期增大
C．若增大物块自由下落的高度，则物块与薄板粘在一起后振动的振幅增大
D．t=0.2s后物块坐标位置随时间变化关系为
【答案】ACD
【详解】A．根据简谐运动的对称性可知，最高点的加速度和最低点的加速度大小相等，即
由简谐运动的加速度满足a与x成正比，设A点处偏离平衡位置的位移大小为xA，C点处偏离平衡位置的位移大小为xC，有
所以
到A点时，物块只受重力
所以
故A正确；
B．弹簧振子的周期只与振动系统本身有关，与物块起始下落的高度无关，故物块与薄板粘在一起振动周期不变，故B错误；
C．若增大物块自由下落的高度，根据能量守恒，则物块与薄板粘在一起后振动的振幅增大，故C正确；
D．由图乙可知
T=0.6s则
振幅为0.2m，0.2s后物块位置随时间变化关系式为
当t=0.4s时
x=0.5m
代入上式得
所以
故D正确。
故选ACD。
【例3】（2023春·天津北辰·高二校考阶段练习）一弹簧振子A的位移随时间变化的关系式为，位移的单位为m，时间的单位为s，则（ ）
A．弹簧振子的振幅为0.2m
B．弹簧振子的周期为1.25s
C．在t=0.2s时，振子的运动速度为0
D．若另一弹簧振子B的位移随时间变化的关系式为，则B的振幅和周期分别是A的振幅和周期的2倍
【答案】C
【详解】AB．根据
可知弹簧振子A的振幅为，周期为
则AB错误；
C．在时，振子的位移为
可知此时振子处于最大位移位置，振子的运动速度为0，故C正确；
D．若另一弹簧振子B的位移随时间变化的关系式为，则B的振幅为，周期为
则B的振幅是A的振幅的2倍，B的周期等于A的周期，故D错误。
故选C。
【例4】．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考期中）如图，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动， B、C相距20cm。小球经过B点时开始计时，经过1.5s第二次到达C点。下列说法正确的是（ ）
A．小球振动的周期为3sB．小球振动的振幅为20cm
C．5s末小球的位移为0D．小球的位移—时间关系为
【答案】D
【详解】A．小球经过B点时开始计时，经过1.5s第二次到达C点，则有
解得小球振动的周期为
故A错误；
B．根据题意有
可得小球振动的振幅为
故B错误；
C．小球经过B点时开始计时，由于周期为，可知5s末小球的位移为，故C错误；
D．小球经过B点时开始计时，小球的位移—时间关系为
故D正确。
故选D。
【例5】．（2023春·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考期中）某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x随时间t变化的函数关系式为x＝Asinωt，振动图像如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．弹簧在第1s末与第3s末的长度相同
B．简谐运动的角频率ω＝rad/s
C．第3s末振子的位移大小为A
D．从第3s末到第5s末，振子的速度方向发生变化
【答案】D
【详解】A．由题图知，振子在第1s未与第3s末的位移相同，即振子经过同一位置，故弹簧的长度相同，A正确；
B．由题图知，振子振动的周期T＝8s，则角频率
B正确；
C．位移x随时间t变化的函数关系式为x＝Asinωt，第3s末振子的位移大小为
C正确；
D．x-t图像的切线斜率表示速度，可知，从第3s末到第5s末，振子的速度方向并没有发生变化，一直沿负方向，D错误。
本题选择不正确的。
故选D。
【例6】．（2023春·广东湛江·高三统考阶段练习）如图甲所示，将滑块连接在弹簧上并放置于气垫导轨上，将滑块拉到某一位置后由静止释放，位移传感器记录下滑块位置随时间的变化图像如图乙所示，则下列关于该滑块的说法正确的是（ ）
A．完成一次全振动的时间为5s
B．在一个周期内运动路程为32cm
C．在第1s末和第3s末时的速度相同
D．第3s内滑块的动能转化为弹簧的弹性势能
【答案】B
【详解】A．由图乙可知，滑块完成一次全振动的时间为4s，故A错误；
B．滑块在一个周期内运动的路程为4倍振幅，为32cm，故B正确；
C．滑块在第1s末和第3s末时的速度大小相等、方向相反，故C错误；
D．由图乙可知，滑块在第3s内由负向位移最大处回到平衡位置，弹簧的弹性势能转化为滑块的动能，故D错误。
故选B。
题型三 单摆及其周期公式
1．单摆的受力特征
(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F回＝－mgsin θ＝－eq \f(mg,l)x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反。
(2)向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力提供向心力，
F向＝FT－mgcs θ。
(3)两点说明
①当摆球在最高点时，F向＝eq \f(mv2,l)＝0，FT＝mgcs θ。
②当摆球在最低点时，F向＝meq \f(veq \\al(2,max),l)，F向最大，FT＝mg＋meq \f(veq \\al(2,max),l)。
2．周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))的两点说明
(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
(2)g为当地重力加速度。
类型1 单摆的受力特征及周期公式的应用
【例1】（2023·天津·高三专题练习）图甲是用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的图像，其中F的最大值，已知摆球质量，重力加速度取，取，不计摆线质量及空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．单摆周期为
B．单摆摆长为
C．F的最小值
D．若仅将摆球质量变为，单摆周期不变
【答案】CD
【详解】A．由图可知，单摆周期为，选项A错误；
B．根据
可得
单摆摆长为0.64m，选项B错误；
C．摆到最低点时
可得
则F最小值
选项C正确；
D．单摆周期与摆球的质量无关，若仅将摆球质量变为，单摆周期不变，选项D正确。
故选CD。
【例2】（2023·上海虹口·统考二模）摆球质量为m的单摆做简谐运动，其动能Ek随时间t的变化关系如图所示，则该单摆（ ）
A．摆长为
B．摆长为
C．摆球向心加速度的最大值为
D．摆球向心加速度的最大值为
【答案】C
【详解】AB．由图可知，单摆的周期，根据单摆周期公式
解得
故AB错误；
CB．摆球到最低点的动能
向心加速度的最大值为
解得
故C正确，D错误；
故选C。
【例3】（2023·全国·高三专题练习）单摆是我们研究简谐运动中常用的模型。已知某单摆的摆长为L，摆球质量为m，当地重力加速度为g。将此摆球在所在的竖直平面内向拉离平衡位置一个小角度，自由释放。
（1）在很小时，（其中x为小球的位移），由此写出单摆回复力与位移的关系式，并说明为何单摆可视为简谐运动；
（2）简谐运动的周期公式（其中k是回复力与位移的比例系数，m为系统的质量），结合（1）推导出单摆的周期公式；
（3）当摆球运动到最低点时，求细线拉力的大小。
【答案】（1），说明见解析；（2）；（3）
【详解】（1）在很小时
由几何关系可得，单摆的回复力为
负号表示回复力方向与位移方向相反，由于小球质量m、摆长L、重力加速度g都为定值，令
则
故单摆在摆角很小的情况下的运动为简谐运动；
（2）由（1）的分析可知
单摆在摆角很小的情况下为简谐运动，故单摆的周期公式为
（3）设摆球在最低点时的速度为，由动能定理可得
设在最低点时细线的拉力为，根据牛顿第二定律可得
联立解得
【例4】．（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。时刻在A点释放摆球，摆球在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙为细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线。已知摆长为，A、B之间的最大摆角为（取，）。求：
（1）当地的重力加速度大小；
（2）摆球在A点时回复力的大小；
（3）摆球运动过程中的最大动能。
【答案】（1）；（2）；（3）0.0032J
【详解】（1）摆球在一个周期内两次经过最低点，对应两次细线拉力达到最大值，由图乙可知单摆的周期为
解得当地的重力加速度大小为
（2）摆球在A点时，细线拉力大小为
解得
摆球在A点时回复力的大小为
（3）设摆球在B点时速度为v，根据牛顿第二定律有
摆球运动过程中的最大动能为
类型2 单摆的振动图像及运动学特征
【例1】（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考期中）一单摆振动过程中离开平衡位置的位移随时间变化的规律如图所示，取向右为正方向。则下列说法正确的是（ ）
A．第1s末和第5s末摆球位于同一位置
B．0~1s的时间内，摆球的回复力逐渐减小
C．时，摆球的位移为m
D．时，摆球的速度方向与加速度方向相反
【答案】C
【详解】A．第1s末位移为正值，第5s末位移为负值，所以这两个时刻摆球位置不同，故A错误；
B．0~1s的时间内位移变大，即离平衡位置越来越远，所以摆球的回复力逐渐增大，故B错误；
C．由图可得
所以当时，解得
故C正确；
D．时摆球处在平衡位置右侧且位移大小变小，所以此时速度方向和加速度方向都向左，故D错误。
故选C。
【例2】（2023·全国·高三专题练习）单摆在两点之间做简谐运动，点为平衡位置，如图甲所示，单摆的振动图像如图乙所示（向右为正方向），取重力加速度大小，下列说法正确的是（ ）
A．单摆的振幅为B．单摆的摆动频率为
C．时，摆球在点D．单摆的摆长为
【答案】BC
【详解】A．由图乙可知单摆的振幅为4cm，故A错误；
B．单摆的摆动频率为
故B正确；
C．由单摆的周期性可知，时和摆球的运动状态相同，可知摆球在点，故C正确；
D．由单摆的周期公式
代入数据解得
故D错误。
故选BC。
【例3】（2023春·辽宁鞍山·高三统考期中）甲、乙两个单摆，做简谐振动时的图像如图所示，由此可知甲，乙两单摆（ ）
A．摆长之比为B．振动频率之比为2:3
C．在t=1.0s时刻，加速度均不为零D．在t=1.8s时刻，振动方向相反
【答案】C
【详解】A．由图像可知，甲、乙单摆振动周期之比为2:1，根据单摆的周期公式
可知，甲、乙单摆摆长之比为4:1，故A错误；
B．根据周期与频率的关系
所以振动频率之比为1:2，故B错误；
C．在t=1.0s时刻，沿振动方向的加速度均为零，但还有向心加速度，因此加速度不为零，故C正确；
D．根据振动图像可知，在t=1.8s时刻，甲、乙两单摆均沿x轴正向振动，故D错误。
故选C。
【例4】（2023春·湖北武汉·高三统考阶段练习）如图所示是一座水平固定放置的弧形槽，其底面是矩形平面，上表面ABCD是半径的光滑圆弧面，直边，圆弧边AB和CD平行且等长为0.5m，B、C是弧面最低点且切线水平。现有一个可看作质点的小球，以沿AD方向的初速度v从A点开始沿弧面运动，恰好能运动到C点。重力加速度，则v的大小约为（ ）
A．0.5m/sB．1.0m/sC．1.5m/sD．2.0m/s
【答案】B
【详解】小球在竖直面内做减速圆周运动，小球从A到C竖直面内的圆心角
小球在竖直面内的运动可看做单摆运动，小球从A到C的时间
小球从A点运动到C点，在水平方向上可看做匀速运动；，则
解得
故选B。
【例5】（2023·全国·高三专题练习）两个摆长不同的单摆1、2同轴水平悬挂，两单摆摆动平面相互平行，振动图像如图甲所示。时把单摆1的摆球向左、单摆2的摆球向右拉至摆角相同处，如图乙所示。求：
（1）两单摆摆长之比；
（2）同时释放两摆球，两摆球同时摆到最右端所经历的时间。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）根据单摆周期公式
可得
由题图甲可知
则有
（2）由题图甲可知，单摆1到达最右端所经历的时间为
单摆2到达最右端所经历的时间为
结合
可得同时释放两摆球，两摆球同时摆到最右端所经历的时间为
题型四 受迫振动和共振
1．简谐运动、受迫振动和共振的关系比较
2.对共振的理解
(1)共振曲线：如图所示，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大。
(2)做受迫振动的系统机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。
类型1 受迫振动概念及规律的理解应用
【例1】 (2022·天津河西区期末质量调查)如图甲所示，一个有固定转动轴的竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个由弹簧和小球组成的振动系统。圆盘静止时，让小球做简谐运动，其振动图像如图乙所示。圆盘匀速转动时，小球做受迫振动，小球振动稳定时，下列说法正确的是( )
振动
项目
简谐运动
受迫振动
共振
受力情况
仅受回复力
受驱动力作用
受驱动力作用
振动周期或频率
由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0
由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱
T驱＝T0或f驱＝f0
振动能量
振动物体的机械能不变
由产生驱动力的物体提供
振动物体获得的能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆(θ≤5°)
机械工作时底座发生的振动
共振筛、声音的共鸣等
A．小球振动的固有频率是4 Hz
B．小球做受迫振动时周期一定是4 s
C．圆盘转动周期在4 s附近时，小球振幅显著增大
D．圆盘转动周期在4 s附近时，小球振幅显著减小
【答案】 C
【解析】 小球振动的固有周期T＝4 s，则其固有频率为f＝eq \f(1,T)＝0.25 Hz，A错误；小球做受迫振动时周期等于驱动力的周期，即等于圆盘转动周期，不一定等于固有周期4 s，B错误；圆盘转动周期在4 s附近时，驱动力周期等于振动系统的固有周期，小球产生共振现象，振幅显著增大，C正确，D错误。
【例2】(2022·云南省保山市智源中学高二月考)把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上安一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这样就做成了一个共振筛，如图所示．筛子做自由振动时，完成10次全振动用时15 s．在某电压下，电动偏心轮转速是36 r/min.已知增大电压可使偏心轮转速提高，增加筛子质量，可以增大筛子的固有周期．那么要使筛子的振幅增大，下列做法正确的是( )
A．提高输入电压B．降低输入电压
C．减小筛子质量D．减小筛子质量
【答案】A
【解析】共振筛的工作原理是，当电动偏心轮的转动周期跟筛子的固有周期相等时，就会发生共振．在题给条件下，筛子振动的固有周期T固＝eq \f(15,10) s＝1.5 s，电动偏心轮的转动周期(对筛子来说是驱动力的周期)T驱＝eq \f(60,36) s＝1.67 s．要使筛子振幅增大，就得使这两个周期值靠近，可采用两种做法：第一，提高输入电压使偏心轮转得快一些，减小驱动力的周期；第二，增加筛子的质量使筛子的固有周期增大．正确选项为A
【例3】(多选)(2021·浙江1月选考·15)为了提高松树上松果的采摘率和工作效率，工程技术人员利用松果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置，如图甲、乙所示．则( )
A．针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同
B．随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大
C．打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同
D．稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同
【答案】 AD
【解析】 根据共振的条件，当振动器的频率等于树木的固有频率时产生共振，此时落果效果最好，而不同的树木的固有频率不同，针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同，A正确； 当振动器的振动频率等于树木的固有频率时产生共振，此时树干的振幅最大，则随着振动器频率的增加，树干振动的幅度不一定增大，B错误；打击结束后，树干做阻尼振动，阻尼振动的频率为树干的固有频率，所以粗细不同的树干频率不同，C错误；树干在振动器的振动下做受迫振动，则稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同，D正确．
类型2 共振曲线的应用
【例1】（2023·全国·模拟预测）一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线（振幅A与驱动力频率f的关系图线）如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．此单摆的固有周期约为2 s
B．此单摆的摆长约为1 m
C．若摆长增大，单摆的固有频率减小
D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动
E．此单摆的振幅是8 cm
【答案】ABC
【详解】A．由共振曲线知，此单摆的固有频率为0.5Hz，固有周期为2s，A正确；B．由单摆的周期公式，可得此单摆的摆长约为1m，B正确；
CD．若摆长增大，则单摆的固有周期增大，固有频率减小，共振曲线的峰将向左移动，C正确，D错误；
E．此单摆做受迫振动，只有共振时的振幅最大，为8cm，E错误。
故选ABC。
【例2】．（2023·全国·高三专题练习）同一地点，甲、乙单摆在驱动力作用下振动，其振幅A随驱动力频率f变化的图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．若驱动力的频率为f0，乙单摆振动的频率大于f0
B．若驱动力的频率为f0，乙单摆振动的频率等于f0
C．若驱动力的频率为3f0，甲、乙单摆振动的振幅相同
D．若驱动力的频率为3f0，甲、乙单摆振动的频率均为3f0
【答案】BD
【详解】ABD．当物体做受迫振动时，物体振动的频率等于驱动力的频率，故A错误，BD正确；
C．受迫振动物体的固有频率与驱动力频率越接近，振幅越大，由图可知，甲的固有频率是f0，乙的固有频率是2f0，若驱动力的频率为3f0，甲单摆振动的振幅小于乙单摆振动的振幅，故C错误。
故选BD。
【例3】（2022·高三课时练习）正在运转的机器，当其飞轮以角速度ω0匀速转动时，机器的振动并不强烈；切断电源，飞轮的转动逐渐慢下来，在某一小段时间内机器却发生了强烈的振动；此后，飞轮转速继续变慢，机器的振动也随之减弱。在机器停下来之后，若重新启动机器使飞轮转动的角速度从0较慢地增大到ω0，在这一过程中（ ）
A．机器不一定会发生强烈振动
B．机器一定会发生强烈振动
C．若机器发生强烈振动，则当时飞轮角速度为ω0
D．若机器发生强烈振动，则当时飞轮角速度肯定小于ω0
【答案】BD
【详解】AB．飞轮以角速度ω0转动逐渐慢下来，在某一小段时间内机器却发生了强烈的振动，说明此过程机器的固有频率与驱动频率相等达到了共振，当飞轮转动的角速度从0较缓慢地增大到ω0，在这一过程中，一定会出现机器的固有频率与驱动频率相等即达到共振的现象，机器一定还会发生强烈的振动，故A错误，B正确；
CD．由已知当机器的飞轮以角速度ω0匀速转动时，其振动不强烈，则机器若发生强烈振动，强烈振动时飞轮的角速度肯定小于ω0，故C错误，D正确。
故选BD。
类型3 “驱动摆”的分析
【例1】（2022·高三课时练习）如图甲所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，a、c摆的摆长相同且小于b摆的摆长。当a摆振动的时候，通过张紧的绳子给其他各摆施加驱动力，使其余各摆也振动起来。图乙是c摆稳定以后的振动图像，重力加速度为g，不计空气阻力，则（ ）
A．a、b、c单摆的固有周期关系为T=T
C．由图乙可知，此时b摆的周期大于t0D．a摆的摆长为
【答案】ABD
【详解】A．由于a、c摆的摆长相同且小于b摆的摆长，根据单摆的周期公式可知，固有周期关系为
T=T
B．因为T=T，所以c摆共振，达到稳定时，c摆振幅较大，b摆的振幅较小，故B正确；
C．受迫振动的频率等于驱动力的频率，所以三个单摆的频率相同，周期相同，故b摆的周期等于t0，故C错误；
D．a摆的周期为t0，由，解得
故D正确。
故选ABD。
【例2】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，当A振动起来后，通过绷紧的水平绳迫使B、C振动起来，对于三个摆球振动过程的描述中，下列说法正确的是（ ）
A．B的振幅比C的小
B．A、B、C三个单摆的振幅相同
C．只有A、C两个单摆的周期相同
D．A、B、C三个单摆的周期均不相同
【答案】A
【详解】CD．B、C做受迫振动，振动周期都与A的周期相同，故CD错误；
AB．根据单摆周期公式
可知C单摆的固有周期等于A单摆的周期，则C的振幅比B的大，故A正确，B错误。故选A。
【例3】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在一根张紧的绳子上悬挂几个摆球，可以用一个单摆（称为“驱动摆”）驱动另外几个单摆。下列说法中正确的是（ ）
A．驱动摆只把振动形式传播给其它单摆，不传递能量
B．如果驱动摆的摆长为L，则其它单摆的振动周期都等于
C．某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度和加速度都相同
D．如果某个单摆的摆长等于驱动摆的摆长，则这个单摆的频率最大
【答案】B
【详解】A．驱动摆不仅把振动形式传播给其它单摆，同时也把能量传递给其它单摆，故A错误；
BD．如果驱动摆的摆长为L，根据单摆的周期公式有
T＝2π
而其它单摆都做受迫振动，故振动周期都等于驱动摆的周期2π，振动频率也都等于驱动摆的频率，故B正确，D错误；
C．某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度大小相等但方向可能不同；根据
F=-kx
可得加速度
a=
所以加速度一定相同，故C错误。
故选B。
【例4】．（2021·全国·高三专题练习）单摆M、N、O、P自由振动时，振动图像分别如图甲、乙、丙、丁所示。现将单摆M、N、O、P悬挂在如图所示支架的细线上，并保持各自的摆长不变，使其中一个单摆振动，经过足够长的时间，其他三个都可能振动起来。不计空气阻力。下列判断正确的是（ ）
A．若使M振动起来，P不会振动
B．若使M振动起来，稳定时N振动的周期仍小于2s
C．若使P振动起来，稳定时N比M的振幅大
D．若使O振动起来，稳定时M的振动周期等于3s
【答案】D
【详解】A．若使M振动起来，其他小球也会振动，做受迫振动，A错误；
B．受迫振动的周期等于驱动力的周期，B错误；
C．若使P振动起来，由于M的固有周期与驱动力的周期相同，M发生共振，稳定时M比N的振幅大，C错误；
D．O的周期为3s，使O振动起来，M做受迫振动，则稳定时M的振动周期为3s，D正确。
故选D。
公众号：高中试卷君
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