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2024届高考物理一轮复习热点题型归类训练专题21电场能的性质(原卷版+解析)
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这是一份2024届高考物理一轮复习热点题型归类训练专题21电场能的性质(原卷版+解析)，共71页。试卷主要包含了电场性质的综合应用，电势差与电场强度的关系，电场线、等势面及运动轨迹问题等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc12063" 题型一 电场性质的综合应用 PAGEREF _Tc12063 \h 1
\l "_Tc27253" 类型1 利用点电荷考电场的性质 PAGEREF _Tc27253 \h 2
\l "_Tc22382" 类型2 利用电偶极子考电场的性质 PAGEREF _Tc22382 \h 5
\l "_Tc8390" 题型二 电势差与电场强度的关系 PAGEREF _Tc8390 \h 9
\l "_Tc3172" 题型三 电场线、等势面及运动轨迹问题 PAGEREF _Tc3172 \h 18
\l "_Tc18760" 题型五 电场中功能关系的综合问题 PAGEREF _Tc18760 \h 23
\l "_Tc20305" 题型六 电场中的图像问题 PAGEREF _Tc20305 \h 30
\l "_Tc4935" 类型1 v－t、v－x图像 PAGEREF _Tc4935 \h 30
\l "_Tc24740" 类型2 φ－x图像 PAGEREF _Tc24740 \h 34
\l "_Tc6781" 类型3 E－x图像 PAGEREF _Tc6781 \h 39
\l "_Tc32272" 类型4 Ep－x图像、Ek－x图像 PAGEREF _Tc32272 \h 43
题型一 电场性质的综合应用
【核心归纳】1．静电力做功的特点
静电力做功与路径无关，只与电荷量和电荷移动过程始、末位置间的电势差有关．
2．电势能
(1)定义：电荷在电场中具有的势能，称为电势能．
(2)说明：电势能具有相对性，通常把无限远处或大地表面的电势能规定为零．
3．电势
(1)定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量之比．
(2)定义式：φ＝eq \f(Ep,q).
(3)标矢性：电势是标量，有正、负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)．
(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同．
4．静电力做功与电势能变化的关系
(1)静电力做的功等于电荷电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB.静电力对电荷做多少正功，电荷电势能就减少多少；电荷克服静电力做多少功，电荷电势能就增加多少．
(2)电势能的大小：由WAB＝EpA－EpB可知，若令EpB＝0，则EpA＝WAB，即一个电荷在电场中某点具有的电势能，数值上等于将其从该点移到零电势能位置过程中静电力所做的功．
【方法技巧】
1．求静电力做功的四种方法
2．判断电势能变化的两种方法
(1)根据静电力做功：静电力做正功，电势能减少；静电力做负功，电势能增加．
(2)根据Ep＝φq：正电荷在电势越高处电势能越大；负电荷在电势越高处电势能越小．
3．电势高低的四种判断方法
(1)电场线法：沿电场线方向电势逐渐降低．
(2)电势差与电势的关系：根据UAB＝eq \f(WAB,q)，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低．
(3)Ep与φ的关系：由φ＝eq \f(Ep,q)知正电荷在电势能大处电势较高，负电荷在电势能大处电势较低．
(4)场源电荷的正负：取离场源电荷无限远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低．空间中有多个点电荷时，某点的电势可以代数求和．
类型1 利用点电荷考电场的性质
【例1】如图所示，一个带负电的点电荷固定在O点，实线为几条对称分布的电场线，虚线为以电场线上的点为圆心的一个圆，a、b、c、d、e、f、g、h为圆与电场线的交点，下列说法正确的是（ ）
A．b、h两点的电场强度相同
B．a点电势比e点电势高
C．d、b两点之间的电势差大于e、b两点之间的电势差
D．将电子沿圆周由h运动到d与由h运动到f，电场力做功相等
【例2】如图，a、b是正点电荷电场中的一条电场线上的二点，二点的电势和电场强度分别为、和Ea、Eb，则他们的大小关系是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【例3】．如图，是锐角三角形最大的内角，一正点电荷固定在P点。下列说法正确的是（ ）
A．沿边，从M点到N点，电场强度逐渐减小
B．沿边，从M点到N点，电势先减小后增大
C．将负检验电荷从M点移动到N点，电势能先减小后增大
D．将正检验电荷从M点移动到N点，电场力所做的总功为负
【例4】．如图所示，在正点电荷Q形成的电场中有A、B、C、D四点，A、B、C为直角三角形的三个顶点，D为AC的中点，∠A＝30°，A、B、C、D四点的电场强度大小分别用EA、EB、EC、ED表示，已知EA＝EC，B、C两点的电场强度方向相同，点电荷Q在A、B、C三点构成的平面内。则以下错误的是（ ）
A．点电荷位于AC的垂直平分线与BC的反向延长线的的交点上
B．D点电势高于A点电势
C．将一正点电荷q从A点沿直线移到C点，电场力先做正功再做负功
D．B、A两点和B、C两点间的电势差满足UBA＝UBC
类型2 利用电偶极子考电场的性质
【例1】如图所示，边长均为a的两个正四面体和，其中面完全重合，O点为面中心，两带电荷量均为的点电荷分别置于A、B两顶点，则（ ）
A．b、c、d三点的电场强度相同
B．b、c、d三点的电势相等
C．将一正试探电荷从b点沿直线移动到O点，其所受电场力逐渐增大
D．将一正试探电荷从b点沿直线移到d点，电场力不做功
【例2】．如图所示，两等量同种点电荷固定在菱形的两个顶点A、C上。E、F是该菱形对角线与其内切圆的交点，O点为内切圆的圆心，a、b、c、d四点为切点。现有一带正电的点电荷从E点由静止释放，下列说法正确的是（ ）
A．a、b、c、d四点的电场强度相同
B．D、O、B三点的电势相等
C．点电荷在从E点运动到O点的过程中电场力做负功
D．点电荷到达F点时速度恰好为零，并会立刻返回
【例3】．在A、B两点放置电荷量分别为和的点电荷，其形成的电场线分布如图所示，C为A、B连线上的一点，并且AB间C点的电场强度最小，D是纸面上的另一点，DC连线与AB垂直，已知无穷远电势为零，电荷Q在其周围产生的电势为。则下列说法正确的是（ ）
A．AB间C点电势最低
B．在整个直线AB上不可能存在另一个与C电场强度相同的点
C．AB连线上B的右侧有一点非无穷远电势和电场强度均为零
D．若将另一负电荷从C点移到D点，电荷电势能减小
【例4】．如图所示，两个等量异种电荷产生的电场中，abcd四点分别处于正方形的四个顶点上，其中ab两点在等量正负电荷的连线上，且关于连线的中垂线对称，则下列说法正确的是（ ）
A．ab两点的电势相等
B．cd两点的电场强度相同
C．移动单位负电荷从d到c，电场力做正功
D．移动单位正电荷从b到d，电场力沿做功比直接沿对角线做功大
【例5】如图甲所示，以等量正点电荷连线的中点作为原点，沿中垂线建立x轴，x轴上各点的电场强度E随x变化的图像如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．处电势等于处电势
B．处电场强度与处电场强度相同
C．将电子从x轴上处由静止释放，仅在静电力作用下电子从处运动到处的过程中，电子做加速度减小的加速运动
D．将电子从x轴上处由静止释放，仅在静电力作用下电子从处运动到处的过程中，电子做加速度减小的加速运动
题型二 电势差与电场强度的关系
1．由E＝eq \f(U,d)可推出的两个重要推论
推论1 匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝eq \f(φA＋φB,2)，如图甲所示．
推论2 匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图乙所示．
2．E＝eq \f(U,d)在非匀强电场中的三点妙用
(1)判断电场强度大小：等差等势面越密，电场强度越大．
(2)判断电势差的大小及电势的高低：距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大，进而判断电势的高低．
(3)利用φ－x图像的斜率判断电场强度随位置变化的规律：k＝eq \f(Δφ,Δx)＝eq \f(U,d)＝Ex，斜率的大小表示电场强度的大小，正负表示电场强度的方向．
3．等分法确定电场线及电势高低的解题思路
【例1】如图所示，等腰三角形位于匀强电场中，电场方向平行于平面，a、b、c三点的电势分别为，边长度为，边的长度为。下列说法正确的是（ ）
A．若电子从a点运动到b点，电场力做功
B．若电子从a点运动到c点，电势能减小
C．电场沿方向
D．匀强电场的场强大小为
【例2】．如图所示，某匀强电场中的一个矩形abcd，，，电场线与矩形所在平面平行，已知a、b、d点的电势分别为、和，一个电子以速度经过b点，速度方向与bc成角，经过一段时间恰好经过c点，不计电子的重力，则（ ）
A．c点的电势大小为a点的两倍B．场强方向由d指向b
C．电子从b点运动到c点所用时间为D．电子从b点运动到c点，电场力做功
【例3】．匀强电场的方向平行于△ABC所在平面，如图所示，。将电荷量为的点电荷从A点移到B点，电场力做功8×10-6J，再把该电荷从B点移到C点，电场力做功J，关于该电场的下列说法中正确的是（ ）
A．A、B两点间的电势差
B．若规定A点电势为0，则C点电势为2V
C．电场强度的方向由B指向A
D．电场强度的方向由C指高B
【例4】．如图为某匀强电场的等势面分布图（等势面竖直分布），已知每两个相邻等势面相距2cm，则该匀强电场的电场强度大小和方向分别为（ ）
A．，水平向左B．，水平向右
C．，水平向左D．，水平向右
【例5】．如图所示，在匀强电场中一带正电粒子先后经过a、b两点。已知粒子的比荷为k，粒子经过a点时速率为，经过b点时速率为，粒子经过a、b两点时速度方向与连线的夹角分别为、，连线长度为L。若粒子只受电场力作用，则下列无法确定的是（ ）
A．场强的大小B．场强的方向
C．a、b两点的电势差D．粒子在a、b两点的电势能之差
【例6】如图所示，半径为的圆内有一内接直角三角形，其中，空间中存在与圆平面平行的匀强电场，将一带正电的试探电荷由点移动到点，电场力做的功为，将该电荷由点移动到点，电场力做的功为，已知该试探电荷的电荷量为。则下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场的方向由指向
B．该试探电荷由移动到，电势能减少
C．点的电势比点的电势低
D．该电场强度的大小为
【例7】如图所示，有一平行于平面的匀强电场，其中a、b、c三点电势分别为，已知的距离为，的距离为，和的夹角为。下列说法正确的是（ ）
A．电子从a点移动到c点的过程中，电势能增大
B．电子从a点移动到b点的过程中，电场力做正功
C．电场强度的方向从c点指向a点
D．电场强度的大小为
【例8】如图所示，空间存在范围足够大与长方形所在平面平行的匀强电场，已知，A、B、C三点的电势分别为。一带电粒子从A点以与成夹角斜向右上方、大小为的初速度射入电场，恰好经过C点。不计粒子的重力。下列说法正确的是（ ）
A．D点电势为
B．电场强度大小为
C．粒子过C点的速度与初速度方向间夹角的正切值为
D．粒子过C点的速度为
题型三 电场线、等势面及运动轨迹问题
【核心归纳】1．等势面
(1)定义：电场中电势相同的各点构成的面．
(2)四个特点：
①在同一等势面上移动电荷时静电力不做功．
②电场线一定与等势面垂直，并且从电势高的等势面指向电势低的等势面．
③等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小．
④任意两个等势面都不相交．
2．几种常见等势面的比较
【方法技巧】带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
1．判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向．选用轨迹和电场线(等势线)的交点更方便．
2．判断静电力的方向：仅受静电力作用时，因轨迹始终夹在速度方向和带电粒子所受静电力方向之间，而且向合外力一侧弯曲，结合速度方向，可以判断静电力方向．
若已知电场线和轨迹，所受静电力的方向与电场线(或电场线的切线)共线．
若已知等势线和轨迹，所受静电力的方向与等势线垂直．
3．判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力方向与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力方向与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加．
【例1】某兴趣小组模拟避雷针周围电场的等势面分布如图所示，相邻等势面间的电势差相等。A、B、C、D、E为空间电场中的五个点，其中C、D两点位置关于避雷针对称，一电子（量为m）从A点静止释放，仅在电场力作用下运动到C点时速度为v，下列说法正确的是（ ）
A．A点的电势小于D点的电势
B．若电子能运动到B点，则到B点时的速度为
C．电场中C、D两点的电场强度相同
D．若电子从A点运动到E点，其电势能增大
【例2】．如图所示，虚线为静电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等。一个带正电的点电荷q在A点的电势能小于其在B点的电势能，则下列说法正确的是（ ）
A．A点的电势大于B点的电势
B．A点的电场强度大于B点的电场强度
C．将q在A点由静止释放，其受静电力将增大
D．将q在A点由静止释放，其电势能将减小
【例3】．如图所示，MN是一负点电荷产生的电场中的一条电场线。一个带正电的粒子（不计重力）从a到b穿越这条电场线的轨迹如图中虚线所示。下列结论正确的是（ ）
A．带电粒子从a到b过程中动能逐渐减小
B．负点电荷一定位于M点左侧
C．a点的场强大于b点的场强
D．带电粒子在a点的加速度小于在b点的加速度
【例4】．在α粒子散射实验中，α粒子由a到e从金原子核旁飞过，运动轨迹如图所示。金原子核可视为静止，以金原子核为圆心，三个同心圆间距相等，α粒子的运动轨迹在c处与圆相切。下列说法正确的是（ ）
A．α粒子在c处的动能最大
B．α粒子在处的电势能相等
C．α粒子由c到d过程与由d到e过程电场力做功相等
D．α粒子的运动轨迹在a处的切线有可能经过金原子核的中心
【例5】．电子显微镜通过“静电透镜”实现对电子会聚或发散使微小物体成像。一种电子透镜的电场分布如图所示（截取其中一部分），虚线为等势面，相邻两等势面间的电势差相等，电子枪发射的电子仅在电场力作用下的运动轨迹如图中实线所示，是轨迹上的三点，若c点处电势为3 V，电子从a点运动到b点电势能变化了5 eV，则下列说法正确的是（ ）
A．a点电势为7.5 V
B．电子在b点的动能不可能为2.5 eV
C．电子在b点加速度比在c点加速度大
D．电子在电场中运动的最小速度一定为零
题型五 电场中功能关系的综合问题
电场中常见的功能关系
(1)若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变．
(2)若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变．
(3)除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化量．
(4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量．
【例1】如图所示，空间中存在与纸面平行的匀强电场，在纸面内从正方形的顶点A沿任意方向发射速率相同的带正电粒子，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知经过B点的粒子在B点时的动能是初动能的3倍，经过C点的粒子在C点时的动能是初动能的6倍，则经过D点的粒子在D点时的动能是初动能的（ ）
A．3倍B．4倍C．5倍D．6倍
【例2】如图所示，绝缘轻质弹簧的下端同定在斜面底端，弹簧与斜而平行，带电小球Q（可视为质点）冏定在光滑绝缘斜面上的M点，且在通过弹簧中心的直线ab上。现把与Q大小相同、电件相同的小球P，从斜面上的N点由静止释放，在小球P与弹簧接触到运动至最低点的过程中，以下说法正确的是（ ）
A．小球P的速度先增大后减小
B．小球P的速度最大时所受弹簧的弹力与库仑力的合力为零
C．小球P、弹簧、地球组成的系统机械能不守恒
D．小球P的重力势能、与小球Q间的电势能、弹簧的弹性势能及小球P的动能的总量守恒
【例3】．竖直面内有A、B、C、D四点构成矩形，竖直，，空间有一范围足够大的匀强电场，方向由D指向C，将一质量为m、不带电的小球a从A点以某一速度水平抛出，经过D点时，其动能是A点的4倍；将另一质量也为m、带正电荷q的小球b从A点以相同大小的速度水平抛出，经过B点时的动能也是A点的4倍，则场强E的大小等于（ ）
A．B．C．D．
【例4】．如图所示，竖直平面直角坐标系xOy所在平面内存在一匀强电场，电场的方向与x轴负方向成角。A是电场中的一点，O、A两点的连线与一条电场线重合。一质量为m、电荷量为q的带电小球从A点沿平行于x轴正方向射出，小球经过时间t到达x轴上的B点，到达B点时小球的动能与在A点射出时相同。已知A、B两点距离坐标原点O的距离相等，重力加速度大小为g。则带电小球从A点运动到B点增加的电势能为（ ）
A．B．C．D．
【例5】．如图所示，一带电量不变的平行板电容器的两个极板与水平地面成一定角度，一个初速度为的带负电的粒子恰好沿水平向右直线运动，则下列说法正确的是（ ）
A．电容器的上板带负电
B．粒子的机械能逐渐增加
C．粒子的电势能逐渐增加
D．若下极板稍平行下移一小段距离，粒子将做曲线运动
【例6】如图所示，一质子以速度 进入足够大的匀强电场区域，a、b、c、d为间距相等的一组等势面，若质子经过a、c等势面时动能分别为9eV和3eV。 不计质子重力，下列说法正确的是（ ）
A．质子第二次经过等势面b时动能是6eV
B．质子刚好能到达等势面d
C．该匀强电场场强的方向水平向左
D．若取等势面c为零电势面，则a所在的等势面电势为6V
【例7】．如图所示，空间有范围足够大的匀强电场，电场强度大小为E，方向与水平方向夹角为45°，一质量为m、电荷量的带正电小球（可视为质点），从A点以初速度竖直向上抛出，经过一段时间后运动到B点，A、B两点在同一电场线上，重力加速度大小为g，不计空气阻力，带电小球从A点运动到B点过程中（ ）
A．用时为B．机械能增加
C．电势能减少D．动能增加
题型六 电场中的图像问题
类型1 v－t、v－x图像
根据v－t图像的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，可确定电荷所受静电力的方向与静电力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化．
【例1】图1中、、是某电场中的一条电场线上的三个点，若将一正电荷从点处由静止秲放，仅在电场力作用下，正电荷沿电场线从经过到，运动过程中的速度—时间图像如图2所示。下列说法正确的是（ ）
A．在、、三个点中，点的电场强度最大
B．在、、三个点中，点的电势最低
C．在、、三个点中，点的电势最高
D．在、、三个点中，正电荷在点的电势能最大
【例2】如图甲是某电场中的一条电场线，A、B是这条电场线上的两点，若将一负电荷从A点以某一初速度释放，负电荷沿直线AB运动过程中的速度-时间图像如图乙所示，比较A、B两点电势的高低和电场强度大小可知（ ）
A．B．C．D．
【例3】一个负电荷从电场中的B点由静止释放，只受电场力作用，沿电场线运动到A点，它运动的速度—时间图像，如图所示，则A、B两点所在区域的电场线分布情况可能是图中的（ ）
A．B．
C．D．
【例4】如图甲所示，光滑绝缘水平面上有一沿水平方向的电场，MN是其中的一条直线，线上有A、B、C三点，一带电荷量为+2×10-3C、质量为1×10-3kg的小物块从A点由静止释放，沿MN做直线运动，其运动的v—t图像如图乙所示，其中B点处的切线斜率最大（图中标出了该切线），C点处的切线平行于t轴，运动过程中小物块的电荷量保持不变，下列说法中正确的是（ ）
A．A、B两点的电势差U=-4V
B．小物块从B点到C点，电场力做的功W=10-2J
C．C点为A、C间电场强度最大的点，场强大小E=1V/m
D．由A到C的过程中，小物块的电势能先减小后增大
【例5】点电荷A、B分别固定在原点O和x＝6m处，仅在电场力的作用下，负点电荷M从x＝2m处以某一初速度沿轴正方向运动，其速度v随位置x变化的图像如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．M过x＝4m处时受到的电场力最大
B．M从x＝2m处运动到x＝5m处的过程中电势能先增大后减小
C．A、B的电荷量之比为4：1
D．M过x＝3m处时与过x＝5m处时的加速度大小之比为25：63
类型2 φ－x图像
1．电场强度的大小等于φ－x图线的切线斜率的绝对值，如果图线是曲线，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场(如图)．切线的斜率为零时沿x轴方向电场强度为零．
2．在φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向．(如图)
3．电场中常见的φ－x图像
(1)点电荷的φ－x图像(取无限远处电势为零)，如图．
(2)两个等量异种点电荷连线上的φ－x图像，如图．
(3)两个等量同种点电荷的φ－x图像，如图．
【例1】一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正向运动，x轴上各点电势随位移x的变化关系如图所示，其中段是曲线，是顶点，段是直线，且与抛物线相切。粒子由O到的运动过程中，下列说法正确的是 （ ）
A．粒子在处速度最大
B．粒子在处加速度最大
C．粒子在段加速度不变
D．粒子在段做匀速直线运动
【例2】．空间某一静电场的电势在x轴上的分布如图所示，x轴上B、C两点的电场强度分别是、，下列说法中正确的是（ ）
A．的大小大于的大小
B．的方向沿x轴正方向
C．电荷在O点受到的电场力最小
D．负电荷沿x轴从B移到C的过程中，电场力先做正功，后做负功
【例3】．在x轴上有两个点电荷和分别位于坐标原点和x1处，它们共同产生的电场在x轴上的电势分布如图所示，处电势为0，规定无穷远处为零势能位置，已知点电荷在空间中任意点的电势分布公式为（其中k为静电力常量，q为电荷量，r为该点到点电荷的距离）。下列说法不正确的是（ ）
A．带正电，带负电，其中带的电荷量更多
B．若将带正电的试探电荷无初速度地放在处，那么该正电荷可在此处保持静止
C．从处静止释放一带正电的试探电荷q，那么该正电荷可在此处保持静止
D．
【例4】．如图所示为某静电场中x轴上各点电势的分布图。一电子从原点处以一定的初速度沿x轴正方向射出，仅在电场力的作用下在x轴上做直线运动，下列说法正确的是（ ）
A．电子运动到处时速度最小
B．处的电场强度方向沿x轴负方向
C．电子从处运动至处，加速度先减小后增大
D．电子在处的速度大于在处的速度
【例5】．(2022·湖南省名校联盟联考)某静电场的电场线与x轴平行，电势φ随x坐标变化的关系图像如图4所示。若将一带电的粒子(重力不计)从坐标原点O由静止释放，在仅受电场力的作用下，该粒子在x轴上沿着轴线的正方向运动，已知电场中A、B两点的x坐标分别为10 mm、30 mm，则( )
A．该带电粒子一定带负电荷
B．该电场为匀强电场，电场强度大小为1 000 V/m
C．该粒子沿x轴从A点到B点的过程中，电势能一直增大
D．在x轴上从A点到B点电场的方向先沿x轴正方向后沿负方向
【例6】．(2022·山东青岛市黄岛区期末)在平行于x轴的静电场中，其电势φ随x的分布如图所示，一质量m＝1.0×10－6 kg，带电荷量大小为q＝1.0×10－9 C的粒子从x轴上的(2，0)点由静止开始释放，仅在电场力作用下在x轴上往返运动。忽略粒子的重力等因素，下列说法正确的是( )
A．粒子带正电
B．x轴上O点右侧电场强度是左侧电场强度的两倍
C．该粒子的最大速度为0.2 m/s
D．该粒子运动的周期为0.4 s
类型3 E－x图像
1．E－x图像为静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系，若规定x轴正方向为电场强度E的正方向，则E>0，电场强度E沿x轴正方向；E<0，电场强度E沿x轴负方向．
2．E－x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差(如图所示)，两点的电势高低根据电场方向判定．在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况．
3．电场中常见的E－x图像
(1)点电荷的E－x图像
正点电荷及负点电荷的电场强度E随坐标x变化关系的图像大致如图所示．
(2)两个等量异种点电荷的E－x图像，如图．
(3)两个等量正点电荷的E－x图像，如图．
【例1】在x轴上各点电场强度E平行于x轴且随x的变化规律如图所示，、、、为x轴上等间距的四个点。现将带正电的试探电荷从O点静止释放，试探电荷沿直线运动到A点时的动能为，已知试探电荷只受电场力作用，则以下分析正确的是（ ）
A．试探电荷运动到C点时的动能小于
B．该电场的、、、四个点，点电势最高
C．试探电荷从点到点，先做加速运动，后做减速运动
D．、、、四个点，点附近电场线最密
【例2】．如图所示为沿x轴方向的电场强度E随位置x变化的关系图像，在x轴负方向上的图像是直线，x轴正方向为电场强度的方向，电子的电荷量为-e（e>0）。则下列说法正确的是（ ）
A．原点O处的电势最高，处的电势最低
B．电子在处和x1处的电势能相等
C．将电子沿x轴从坐标原点O移到x1处，电子的电势能增加
D．将电子沿x轴从坐标原点O移到处，电场力做功eE0x1
【例3】．空间中某静电场的电场强度随的变化图像如图所示，规定沿轴正方向为电场强度的正方向。一钠离子仅在电场力的作用下沿轴从点运动到处，在此过程中（ ）
A．钠离子的电势能一直增大
B．钠离子的加速度先增大后减小
C．钠离子在处的速率小于在处的速率
D．和两点间的电势差小于和两点间的电势差
【例4】．某静电场中x轴上各点的电场强度方向均与x轴重合，以x轴负方向为电场强度的正方向，电场强度E随x的变化规律如图所示。-d~d间的图象关于对称。下图分别表示x轴上各点的电势φ随x变化的图象，其中可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
类型4 Ep－x图像、Ek－x图像
1．Ep－x图像
由静电力做功与电势能变化关系F电x＝Ep1－Ep2＝－ΔEp知Ep－x图像的切线斜率k＝eq \f(ΔEp,Δx)，其大小等于静电力，斜率正负代表静电力的方向．
2．Ek－x图像
当带电体只有静电力做功，由动能定理F电x＝Ek－Ek0＝ΔEk知Ek－x图像的切线斜率k＝eq \f(ΔEk,Δx)，其大小表示静电力．
【例1】一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图所示，其中O~x2段是关于直线x=x1对称的曲线，x2~x3段是直线，则下列说法正确的是（ ）
A．x1处电场强度最小，但不为零
B．粒子在O~x2段做匀变速运动，x2~x3段做匀速直线运动
C．在O、x1、x2、x3处电势φ0、φ1、φ2、φ3的关系为φ1>φ2=φ0>φ3
D．0~x2段的电场强度大小、方向均不变
【例2】某空间区域的水平面内存在电场。以O点为坐标原点，取向右为x轴正方向，一个带电粒子仅在电场力作用下从O点沿x轴正方向运动。粒子的动能Ek与位移x的关系如图所示，不计空气阻力，则在此过程中（ ）
A．电势先降低后增大B．电场强度大小先减小后增大
C．粒子电势能先减小后增大D．粒子加速度方向先向右后向左
【例3】如图甲所示，光滑绝缘水平面上有一带负电荷的小滑块，可视为质点，在处以初速度沿x轴正方向运动。小滑块的质量为，带电量为。整个运动区域存在沿水平方向的电场，图乙是滑块电势能随位置x变化的部分图像，P点是图线的最低点，虚线AB是图像在处的切线，并且AB经过（1，2）和（2，1）两点，重力加速度g取。下列说法正确的是（ ）
A．在处的电场强度大小为20V/m
B．滑块向右运动的过程中，加速度先增大后减小
C．滑块运动至处时，速度的大小为2m/s
D．若滑块恰好能到达处，则该处的电势为−50V
【例4】．在某电场中沿一条直线建立x轴，一个带正电的试探电荷以某初速度从位置开始只在电场力作用下沿x轴正方向运动，以无穷远处为零电势点，试探电荷在沿x轴运动的过程中电势能随x的变化规律如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．在位置，电场强度为零
B．试探电荷由位置到位置的过程中加速度逐渐减小
C．试探电荷在位置与位置所受电场力相同
D．试探电荷在位置与位置速度大小一定不相等
【例5】．一根固定的、绝缘的、光滑的水平杆上套着一个带电小球，和的长度相同，空间存在静电场，小球在A点获得初动能，从A运动到B的过程中，小球的图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．小球先做变加速运动后做匀减速运动
B．小球在段运动的加速度一直小于在段运动的加速度
C．小球在段的运动时间小于段的运动时间
D．A到C和C到B两个过程中电场力对小球做功相同
【例6】．一个电荷量为、质量为m的带负电的点电荷，仅在电场力的作用下沿x轴运动，其动能随位置x变化的关系图像如图所示，图像关于对称。规定处电势为零，下列说法正确的是（ ）
A．在区间，电势不断升高B．在处的电势
C．区间，电场强度减小D．在处电荷的电势能为
电场
等势面(虚线)图样
特点
匀强电场
垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场
以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷的电场
两电荷连线的中垂面为等势面
等量同种正点电荷的电场
在电荷连线上，中点电势最低；在中垂线上，中点电势最高
专题21 电场能的性质
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc12063" 题型一 电场性质的综合应用 PAGEREF _Tc12063 \h 1
\l "_Tc27253" 类型1 利用点电荷考电场的性质 PAGEREF _Tc27253 \h 2
\l "_Tc22382" 类型2 利用电偶极子考电场的性质 PAGEREF _Tc22382 \h 5
\l "_Tc8390" 题型二 电势差与电场强度的关系 PAGEREF _Tc8390 \h 9
\l "_Tc3172" 题型三 电场线、等势面及运动轨迹问题 PAGEREF _Tc3172 \h 18
\l "_Tc18760" 题型五 电场中功能关系的综合问题 PAGEREF _Tc18760 \h 23
\l "_Tc20305" 题型六 电场中的图像问题 PAGEREF _Tc20305 \h 30
\l "_Tc4935" 类型1 v－t、v－x图像 PAGEREF _Tc4935 \h 30
\l "_Tc24740" 类型2 φ－x图像 PAGEREF _Tc24740 \h 34
\l "_Tc6781" 类型3 E－x图像 PAGEREF _Tc6781 \h 39
\l "_Tc32272" 类型4 Ep－x图像、Ek－x图像 PAGEREF _Tc32272 \h 43
题型一 电场性质的综合应用
【核心归纳】1．静电力做功的特点
静电力做功与路径无关，只与电荷量和电荷移动过程始、末位置间的电势差有关．
2．电势能
(1)定义：电荷在电场中具有的势能，称为电势能．
(2)说明：电势能具有相对性，通常把无限远处或大地表面的电势能规定为零．
3．电势
(1)定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量之比．
(2)定义式：φ＝eq \f(Ep,q).
(3)标矢性：电势是标量，有正、负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)．
(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同．
4．静电力做功与电势能变化的关系
(1)静电力做的功等于电荷电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB.静电力对电荷做多少正功，电荷电势能就减少多少；电荷克服静电力做多少功，电荷电势能就增加多少．
(2)电势能的大小：由WAB＝EpA－EpB可知，若令EpB＝0，则EpA＝WAB，即一个电荷在电场中某点具有的电势能，数值上等于将其从该点移到零电势能位置过程中静电力所做的功．
【方法技巧】
1．求静电力做功的四种方法
2．判断电势能变化的两种方法
(1)根据静电力做功：静电力做正功，电势能减少；静电力做负功，电势能增加．
(2)根据Ep＝φq：正电荷在电势越高处电势能越大；负电荷在电势越高处电势能越小．
3．电势高低的四种判断方法
(1)电场线法：沿电场线方向电势逐渐降低．
(2)电势差与电势的关系：根据UAB＝eq \f(WAB,q)，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低．
(3)Ep与φ的关系：由φ＝eq \f(Ep,q)知正电荷在电势能大处电势较高，负电荷在电势能大处电势较低．
(4)场源电荷的正负：取离场源电荷无限远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低．空间中有多个点电荷时，某点的电势可以代数求和．
类型1 利用点电荷考电场的性质
【例1】如图所示，一个带负电的点电荷固定在O点，实线为几条对称分布的电场线，虚线为以电场线上的点为圆心的一个圆，a、b、c、d、e、f、g、h为圆与电场线的交点，下列说法正确的是（ ）
A．b、h两点的电场强度相同
B．a点电势比e点电势高
C．d、b两点之间的电势差大于e、b两点之间的电势差
D．将电子沿圆周由h运动到d与由h运动到f，电场力做功相等
【答案】D
【详解】A．由题图可知，b、h两点到O点的距离相同，则电场强度的大小相同，但是方向不同，则b、h两点的电场强度不同，故A错误；
BC．电势沿着电场线的方向逐渐降低，该电场是由带负电的点电荷产生的，则离点电荷越远，电势越高，所以a点电势低于e点电势，d点电势低于e点电势，则d、b两点间电势差小于e、b两点间电势差，故BC错误；
D．d、f两点到O点的距离相等，则d、f两点的电势相同，电子沿圆周由h运动到d与由h运动到f，电场力做功相等，故D正确。
故选D。
【例2】如图，a、b是正点电荷电场中的一条电场线上的二点，二点的电势和电场强度分别为、和Ea、Eb，则他们的大小关系是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【详解】AB．假设电场线的方向向右，则正电荷在a的左侧，所以a点的电场强度大，即Ea＞Eb；沿电场线方向电势降低，可以比较电势高低，根据电场线方向可知，选项A正确，B错误；
C．沿着电场线电势会逐渐降低，a、b是正点电荷电场中的一条电场线上的二点，两点的场强和电势不可能相等，选项C错误；
D．若电场线的方向向左，则正电荷在b的右侧，所以b点的电场强度大，即Eb＞Ea；沿电场线方向电势降低，可以比较电势高低，根据电场线方向可知，选项D错误。
故选A。
【例3】．如图，是锐角三角形最大的内角，一正点电荷固定在P点。下列说法正确的是（ ）
A．沿边，从M点到N点，电场强度逐渐减小
B．沿边，从M点到N点，电势先减小后增大
C．将负检验电荷从M点移动到N点，电势能先减小后增大
D．将正检验电荷从M点移动到N点，电场力所做的总功为负
【答案】C
【详解】点电荷形成的电场如图所示，图中虚线为等势面，
A．由于一正点电荷固定在P点，∠M是锐角三角形PMN最大的内角，故PM＜PN，由点电荷形成的电场的场强公式可得，从M到N点，场强先增大后减小，故A错误；
B．电场线与等势面相互垂直，并且沿电场线方向电势降低，由图可知，从M到N电势先增大后减小，故B错误；
C．由图可知，从M到N电势先增大后减小，由电势能公式可得，由于此检验电荷为负电荷，电势越高，电势能越小，所以从M点移动到N点，电势能先减小后增大，故C正确；
D．由图可知，M点电势大于N点电势，由电势能公式可得，由于此检验电荷为正电荷，电势越高，电势能越大，故正点电荷在M点的电势能高于在N点的电势能，从M点到N点，正电荷的电势能减小，电场力做正功，故D错误；
故选C。
【例4】．如图所示，在正点电荷Q形成的电场中有A、B、C、D四点，A、B、C为直角三角形的三个顶点，D为AC的中点，∠A＝30°，A、B、C、D四点的电场强度大小分别用EA、EB、EC、ED表示，已知EA＝EC，B、C两点的电场强度方向相同，点电荷Q在A、B、C三点构成的平面内。则以下错误的是（ ）
A．点电荷位于AC的垂直平分线与BC的反向延长线的的交点上
B．D点电势高于A点电势
C．将一正点电荷q从A点沿直线移到C点，电场力先做正功再做负功
D．B、A两点和B、C两点间的电势差满足UBA＝UBC
【答案】C
【详解】A．因、两点电场强度大小相等，所以点电荷在、两点连线的垂直平分线上，如图所示，和的方向相同，点电荷定在、连线上，过、两点连线的垂直平分线与、连线相交于，故点电荷在点，故A正确；
B．由几何关系得到的距离小于到的距离，根据越靠近正电荷，电势越高可知，点电势高于点电势，故B正确；
C．从点沿直线到点再到点，电势先升高再降低，故将正试探电荷从点沿直线移到点，电势能先增大后减小，电场力先做负功再做正功，故C错误；
D．点电荷的等势面是以点电荷为圆心的同心圆，、两点在同一等势面上，故有
故D正确；
错误的故选C。
类型2 利用电偶极子考电场的性质
【例1】如图所示，边长均为a的两个正四面体和，其中面完全重合，O点为面中心，两带电荷量均为的点电荷分别置于A、B两顶点，则（ ）
A．b、c、d三点的电场强度相同
B．b、c、d三点的电势相等
C．将一正试探电荷从b点沿直线移动到O点，其所受电场力逐渐增大
D．将一正试探电荷从b点沿直线移到d点，电场力不做功
【答案】B
【详解】A．根据点电荷的场强公式
由图可知，b、c、d三点到两电荷的距离相等，所以A、B两点电荷在三点产生的合场强的大小相等，方向不相同，故A错误；
B．A、B两个点电荷分别在b、c、d三点产生的电势相等，根据电势的叠加法则可知A、B两个点电荷在b、c、d三点的电势相等，故B正确；
C．根据等量同种电荷的场强分布特点可知O点的合场强为零，从b点沿直线移动到O点，电场强度可能一直减小，也可能先增大后减小，所以所受电场力可能逐渐减小，也可能先增大后减小，故C错误；
D．根据等量同种电荷的场强分布特点可知将一正试探电荷从b点沿直线移到d点，电场力先做负功后做正功，故D错误。
故选B。
【例2】．如图所示，两等量同种点电荷固定在菱形的两个顶点A、C上。E、F是该菱形对角线与其内切圆的交点，O点为内切圆的圆心，a、b、c、d四点为切点。现有一带正电的点电荷从E点由静止释放，下列说法正确的是（ ）
A．a、b、c、d四点的电场强度相同
B．D、O、B三点的电势相等
C．点电荷在从E点运动到O点的过程中电场力做负功
D．点电荷到达F点时速度恰好为零，并会立刻返回
【答案】D
【详解】A．由等量同种点电荷电场特点得，a、b、c、d四点电场强度大小相等，方向不同，则电场强度不同，故A错误；
B．B、D两点电势相等，O点电势高于B、D两点的电势，故B错误；
C．根据电场叠加原理可知，沿直线从E点到O点的电场强度方向一直向右，电场力对点电荷做正功，故C错误；
D．根据电场的对称性可知，到达O点后点电荷将继续沿直线运动，到达F点时速度恰好为零并会立刻返回，故D正确。
故选D。
【例3】．在A、B两点放置电荷量分别为和的点电荷，其形成的电场线分布如图所示，C为A、B连线上的一点，并且AB间C点的电场强度最小，D是纸面上的另一点，DC连线与AB垂直，已知无穷远电势为零，电荷Q在其周围产生的电势为。则下列说法正确的是（ ）
A．AB间C点电势最低
B．在整个直线AB上不可能存在另一个与C电场强度相同的点
C．AB连线上B的右侧有一点非无穷远电势和电场强度均为零
D．若将另一负电荷从C点移到D点，电荷电势能减小
【答案】B
【详解】A．沿电场线方向电势逐渐降低，C点电势高于其右侧点电势，故不是AB间电势最低的点，A错误；
B．C的电场强度由两个电荷产生的电场同向叠加而成，方向向右，A的左侧电场方向向左故不可能存在，B的右侧两电荷产生电场反向叠加，并且当的电场大于的电场时，电场方向与C相同，但因为此位置相对于A的距离比C相对于A的距离远，所以在此区域产生的电场强度一定小于C处的场强，B正确；
C．B右侧场强为0的点满足
电势为0的点满足
很明显不是同一位置，C错误；
D．由图中电场线分布可知C的电势高于D点；所以负电荷在C点的电势能低，移到D点时电势能增大，D错误。
故选B。
【例4】．如图所示，两个等量异种电荷产生的电场中，abcd四点分别处于正方形的四个顶点上，其中ab两点在等量正负电荷的连线上，且关于连线的中垂线对称，则下列说法正确的是（ ）
A．ab两点的电势相等
B．cd两点的电场强度相同
C．移动单位负电荷从d到c，电场力做正功
D．移动单位正电荷从b到d，电场力沿做功比直接沿对角线做功大
【答案】C
【详解】A．由于沿电场线电势降低，可知
A错误；
B．电场线分布的疏密程度表示电场的强弱，根据等量异种电荷的电场线分布特征可知，cd两点的电场强度大小相等，方向不同，即cd两点的电场强度不相同，B错误；
C．由于沿电场线电势降低，可知
根据
可知移动单位负电荷从d到c，电场力做正功，C正确；
D．根据
可知，移动单位正电荷从b到d，电场力沿做功与直接沿对角线做功相等，D错误。
故选C。
【例5】如图甲所示，以等量正点电荷连线的中点作为原点，沿中垂线建立x轴，x轴上各点的电场强度E随x变化的图像如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．处电势等于处电势
B．处电场强度与处电场强度相同
C．将电子从x轴上处由静止释放，仅在静电力作用下电子从处运动到处的过程中，电子做加速度减小的加速运动
D．将电子从x轴上处由静止释放，仅在静电力作用下电子从处运动到处的过程中，电子做加速度减小的加速运动
【答案】AD
【详解】A．结合图像和电场力做功可得：电子从处到处电场力做功为零，处电势等于处电势，A正确；
B．由图像乙可见处电场强度与处电场强度等值反向，B错误；
C．由图像乙可见处到处，电场强度是先增大后减小，由
可得：将电子从x轴上处由静止释放，电子从处移动到处的过程中，电子先做加速度增大的加速运动，后做加速度减小的加速运动，C错误；
D．因为
=
可见将电子从x轴上处由静止释放，电子从处移动到处的过程中，电子做加速度减小的加速运动，D正确。
故选AD。
题型二 电势差与电场强度的关系
1．由E＝eq \f(U,d)可推出的两个重要推论
推论1 匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝eq \f(φA＋φB,2)，如图甲所示．
推论2 匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图乙所示．
2．E＝eq \f(U,d)在非匀强电场中的三点妙用
(1)判断电场强度大小：等差等势面越密，电场强度越大．
(2)判断电势差的大小及电势的高低：距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大，进而判断电势的高低．
(3)利用φ－x图像的斜率判断电场强度随位置变化的规律：k＝eq \f(Δφ,Δx)＝eq \f(U,d)＝Ex，斜率的大小表示电场强度的大小，正负表示电场强度的方向．
3．等分法确定电场线及电势高低的解题思路
【例1】如图所示，等腰三角形位于匀强电场中，电场方向平行于平面，a、b、c三点的电势分别为，边长度为，边的长度为。下列说法正确的是（ ）
A．若电子从a点运动到b点，电场力做功
B．若电子从a点运动到c点，电势能减小
C．电场沿方向
D．匀强电场的场强大小为
【答案】D
【详解】A．根据题意，由公式可知，若电子从a点运动到b点，电场力做功为
故A错误；
B．根据题意，由公式可知，若电子从a点运动到c点，电场力做功为
则电子的电势能增加，故B错误；
CD．根据题意，由可知，ac的中点电势为6V，与b点电势相等，由电场线和等势线关系可得电场沿ac方向，则有
故C错误，D正确。
故选D。
【例2】．如图所示，某匀强电场中的一个矩形abcd，，，电场线与矩形所在平面平行，已知a、b、d点的电势分别为、和，一个电子以速度经过b点，速度方向与bc成角，经过一段时间恰好经过c点，不计电子的重力，则（ ）
A．c点的电势大小为a点的两倍B．场强方向由d指向b
C．电子从b点运动到c点所用时间为D．电子从b点运动到c点，电场力做功
【答案】D
【详解】AB．连接bd，将bd六等分，，ae为等势线，连接cf，由几何知识可知ae与cf平行，则，可知c点的电势大小为a点的三倍；做ae的垂线eg，电场强度的方向由g指向e，如图所示
故AB错误；
C．由几何知识可知
电子从b点运动到c点所用时间为
故C错误；
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为
故D正确。
故选D。
【例3】．匀强电场的方向平行于△ABC所在平面，如图所示，。将电荷量为的点电荷从A点移到B点，电场力做功8×10-6J，再把该电荷从B点移到C点，电场力做功J，关于该电场的下列说法中正确的是（ ）
A．A、B两点间的电势差
B．若规定A点电势为0，则C点电势为2V
C．电场强度的方向由B指向A
D．电场强度的方向由C指高B
【答案】A
【详解】A．将电荷从A点移到B点，电场力做功为
代入数据解得
故A正确；
B．把该电荷从B点移到C点，电场力做功为
代入数据解得
若规定A点电势为0，而
可得
又
解得
故B错误；
C．因为该电场为匀强电场，且、、，则可知BC中点处的电势等于A点处的电势，而沿着电场线的方向电势降低，则可知电场线的方向为B到C，而匀强电场中，电场线的方向和电场强度的方向一致，则可知电场强度的方向为B指向C，故CD错误。
故选A。
【例4】．如图为某匀强电场的等势面分布图（等势面竖直分布），已知每两个相邻等势面相距2cm，则该匀强电场的电场强度大小和方向分别为（ ）
A．，水平向左B．，水平向右
C．，水平向左D．，水平向右
【答案】C
【详解】匀强电场的电场强度大小
沿电场线电势降低，可知场强方向水平向左。
故选C。
【例5】．如图所示，在匀强电场中一带正电粒子先后经过a、b两点。已知粒子的比荷为k，粒子经过a点时速率为，经过b点时速率为，粒子经过a、b两点时速度方向与连线的夹角分别为、，连线长度为L。若粒子只受电场力作用，则下列无法确定的是（ ）
A．场强的大小B．场强的方向
C．a、b两点的电势差D．粒子在a、b两点的电势能之差
【答案】D
【详解】AB．设电场力的方向与ab所在直线夹角为，如图所示
垂直电场方向速度分量相同，根据几何知识有
解得
垂直电场力方向做匀速运动，运动的时间为
沿电场力方向速度变化量为
电场强度的大小为
故AB可以确定，不符合题意；
C．根据匀强电场电场强度
可知a、b两点的电势差可求，故C可以确定，不符合题意；
D．根据功能关系有
电荷量未知，无法确定粒子在a、b两点的电势能之差，故D无法确定，符合题意。
故选D。
【例6】如图所示，半径为的圆内有一内接直角三角形，其中，空间中存在与圆平面平行的匀强电场，将一带正电的试探电荷由点移动到点，电场力做的功为，将该电荷由点移动到点，电场力做的功为，已知该试探电荷的电荷量为。则下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场的方向由指向
B．该试探电荷由移动到，电势能减少
C．点的电势比点的电势低
D．该电场强度的大小为
【答案】BCD
【分析】逻辑推理能力、分析综合能力
【详解】B．设a点的电势为零，则试探电荷在a点的电势能为零，结合题意可知试探电荷在b点的电势能为，b点的电势为
同理，试探电荷在c点的电势能为，c点的电势为
b、c两点的电势差为
试探电荷由b移动到c，电场力做的功为
故B正确；
C．O点为的中点，则O点的电势为
所以O、b两点的电势差为
即O点的电势比b点的电势低2V，C正确；
AD．由以上分析可知，a、c两点的电势差为
电场沿a、c方向的电场强度大小为
电场沿b、c方向的电场强度大小为
所以电场强度的大小为
电场强度与a、c方向成θ
故A错误，D正确。
故选BCD。
【例7】如图所示，有一平行于平面的匀强电场，其中a、b、c三点电势分别为，已知的距离为，的距离为，和的夹角为。下列说法正确的是（ ）
A．电子从a点移动到c点的过程中，电势能增大
B．电子从a点移动到b点的过程中，电场力做正功
C．电场强度的方向从c点指向a点
D．电场强度的大小为
【答案】BD
【详解】A．电子从a点移动到c点的过程中，电场力做功为
电场力做正功，电势能减小，A错误；
B．电子从a点移动到b点的过程中，电场力做功为
电场力做正功，B正确；
C．将段均分成5等份， a、b、c三点的电势，如图所示
由图可得d点与c点电势相同，同时由几何关系知垂直与，因此电场方向从b点指向a点，C错误；
D．由题知
电场强度大小为
D正确。
故选BD。
【例8】如图所示，空间存在范围足够大与长方形所在平面平行的匀强电场，已知，A、B、C三点的电势分别为。一带电粒子从A点以与成夹角斜向右上方、大小为的初速度射入电场，恰好经过C点。不计粒子的重力。下列说法正确的是（ ）
A．D点电势为
B．电场强度大小为
C．粒子过C点的速度与初速度方向间夹角的正切值为
D．粒子过C点的速度为
【答案】AC
【详解】A．因，A、B、C三点的电势分别为，取O点为的中点，则，则为等势线，连接并延长过D点，则，A正确；
B．过A点作的垂线，则带箭头的实线为电场线，如图所示
故B错误；
C．粒子从A点开始做类平抛运动到C点，设粒子运动到C点时瞬时速度与初速度方向的夹角为，粒子运动到C点时位移与初速度方向的夹角，则根据类平抛运动的推论
C正确；
D．粒子在C点时
，
故D错误。
故选AC。
题型三 电场线、等势面及运动轨迹问题
【核心归纳】1．等势面
(1)定义：电场中电势相同的各点构成的面．
(2)四个特点：
①在同一等势面上移动电荷时静电力不做功．
②电场线一定与等势面垂直，并且从电势高的等势面指向电势低的等势面．
③等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小．
④任意两个等势面都不相交．
2．几种常见等势面的比较
【方法技巧】带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
1．判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向．选用轨迹和电场线(等势线)的交点更方便．
2．判断静电力的方向：仅受静电力作用时，因轨迹始终夹在速度方向和带电粒子所受静电力方向之间，而且向合外力一侧弯曲，结合速度方向，可以判断静电力方向．
若已知电场线和轨迹，所受静电力的方向与电场线(或电场线的切线)共线．
若已知等势线和轨迹，所受静电力的方向与等势线垂直．
3．判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力方向与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力方向与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加．
【例1】某兴趣小组模拟避雷针周围电场的等势面分布如图所示，相邻等势面间的电势差相等。A、B、C、D、E为空间电场中的五个点，其中C、D两点位置关于避雷针对称，一电子（量为m）从A点静止释放，仅在电场力作用下运动到C点时速度为v，下列说法正确的是（ ）
A．A点的电势小于D点的电势
B．若电子能运动到B点，则到B点时的速度为
C．电场中C、D两点的电场强度相同
D．若电子从A点运动到E点，其电势能增大
【答案】A
【详解】A．电子从A点静止释放，仅在电场力作用下运动到C点时速度增加，电势能减小，电势升高，可知C点电势高于A点，又因为D、C电势相等，可知D点电势高于A点，A正确；
B．设相邻两等势面间的电势差为U，则从A到C有
从A到B
解得
B错误；
C．由对称性可知，C、D两点的电场强度大小相同，但是方向不同，C错误；
D．因E点电势高于A点，则若电子从A点运动到E点，其电势能减小，D错误。
故选A。
【例2】．如图所示，虚线为静电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等。一个带正电的点电荷q在A点的电势能小于其在B点的电势能，则下列说法正确的是（ ）
A．A点的电势大于B点的电势
B．A点的电场强度大于B点的电场强度
C．将q在A点由静止释放，其受静电力将增大
D．将q在A点由静止释放，其电势能将减小
【答案】D
【详解】A．带正电的点电荷q在A点的电势能小于其在B点的电势能，则A点的电势小于B点的电势，故A错误；
B．A点的等势面较稀疏，则A点的电场强度小于B点的电场强度，故B错误；
CD．将q在A点由静止释放，将向电势低处运动，即向等势面稀疏处运动，其受静电力将减小，电势能将减小，故C错误，D正确。
故选D。
【例3】．如图所示，MN是一负点电荷产生的电场中的一条电场线。一个带正电的粒子（不计重力）从a到b穿越这条电场线的轨迹如图中虚线所示。下列结论正确的是（ ）
A．带电粒子从a到b过程中动能逐渐减小
B．负点电荷一定位于M点左侧
C．a点的场强大于b点的场强
D．带电粒子在a点的加速度小于在b点的加速度
【答案】D
【详解】A．由于该粒子只受电场力作用且做曲线运动，电场力指向轨迹内侧，电场力方向大致向右，带电粒子从a到b过程中电场力对带电粒子做正功，其动能增加，选项A错误；
B．带正电的粒子所受电场力向右，电场线由M指向N，说明负电荷在直线N点右侧，选项B错误；
CD．a点离点电荷较远，a点的电场强度小于b点的电场强度，带电粒子在a点的小于在b点的电场力，根据牛顿第二定律得知，带电粒子在a点的加速度小于在b点的加速度，故C错误，D正确；
故选D。
【例4】．在α粒子散射实验中，α粒子由a到e从金原子核旁飞过，运动轨迹如图所示。金原子核可视为静止，以金原子核为圆心，三个同心圆间距相等，α粒子的运动轨迹在c处与圆相切。下列说法正确的是（ ）
A．α粒子在c处的动能最大
B．α粒子在处的电势能相等
C．α粒子由c到d过程与由d到e过程电场力做功相等
D．α粒子的运动轨迹在a处的切线有可能经过金原子核的中心
【答案】B
【详解】A．α粒子由a到c过程受到的电场力与运动方向的夹角为钝角，电场力做负功，动能减小；由c到e过程受到的电场力与运动方向的夹角为锐角，电场力做正功，动能增大，α粒子在c处的动能最小，A错误；
B．在同一个等势面上，，又电荷电势能
所以α粒子在处的电势能相等，B正确；
C．匀强电场中两等势面间的电势差
由于此电场为非匀强电场，所在等势面间的场强大于所在等势面间的场强，因此
电场力做的功
可知由c到d过程电场力做功较多，C错误；
D．如果α粒子的运动轨迹在a处的切线经过金原子核的中心，则在a处的受力方向和速度方向共线，α粒子要做直线运动，D错误。
故选B。
【例5】．电子显微镜通过“静电透镜”实现对电子会聚或发散使微小物体成像。一种电子透镜的电场分布如图所示（截取其中一部分），虚线为等势面，相邻两等势面间的电势差相等，电子枪发射的电子仅在电场力作用下的运动轨迹如图中实线所示，是轨迹上的三点，若c点处电势为3 V，电子从a点运动到b点电势能变化了5 eV，则下列说法正确的是（ ）
A．a点电势为7.5 V
B．电子在b点的动能不可能为2.5 eV
C．电子在b点加速度比在c点加速度大
D．电子在电场中运动的最小速度一定为零
【答案】B
【详解】A．根据电子的受力和运动情况可知，电子从a点到c点电场力做负功，电势能增大，根据电场力做功与电势差的关系可知，b点电势比a点电势低5 V，则相邻两等势面间的电势差为2.5 V，则a点电势为
故A错误；
B．电子在两点，由能量守恒定律有
由于电子在c点动能不为零，因此在b点的动能一定大于2.5 eV，故B正确；
C．c点处等差等势面比b点处密集，则b点比c点电场强度小，因此加速度小，故C错误；
D．电子速度与等势面切线平行时，在电场中运动的速度最小，此时的速度最小值不一定为零，故D错误。
故选B。
题型五 电场中功能关系的综合问题
电场中常见的功能关系
(1)若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变．
(2)若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变．
(3)除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化量．
(4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量．
【例1】如图所示，空间中存在与纸面平行的匀强电场，在纸面内从正方形的顶点A沿任意方向发射速率相同的带正电粒子，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知经过B点的粒子在B点时的动能是初动能的3倍，经过C点的粒子在C点时的动能是初动能的6倍，则经过D点的粒子在D点时的动能是初动能的（ ）
A．3倍B．4倍C．5倍D．6倍
【答案】B
【详解】根据题意，设电场强度沿AB方向的分量为，沿AD方向的分量为，粒子在A点时的动能为。粒子从A到B的过程，有
粒子从A到C的过程，有
则粒子从A到D的过程，有
解得
故选B。
【例2】如图所示，绝缘轻质弹簧的下端同定在斜面底端，弹簧与斜而平行，带电小球Q（可视为质点）冏定在光滑绝缘斜面上的M点，且在通过弹簧中心的直线ab上。现把与Q大小相同、电件相同的小球P，从斜面上的N点由静止释放，在小球P与弹簧接触到运动至最低点的过程中，以下说法正确的是（ ）
A．小球P的速度先增大后减小
B．小球P的速度最大时所受弹簧的弹力与库仑力的合力为零
C．小球P、弹簧、地球组成的系统机械能不守恒
D．小球P的重力势能、与小球Q间的电势能、弹簧的弹性势能及小球P的动能的总量守恒
【答案】ACD
【详解】A．小球先沿斜面加速向下运动，当加速度减小到零后，减速向下运动，当弹簧压缩量最大时，小球静止，速度先增大后减小，故A正确；
B．当小球的合力为零时，速度最大，此时受弹力与库仑力的合力等于重力沿斜面方向上的分力，在最低点，弹力和库仑力的合力大于重力的分力，合力不为零，故B错误；
CD．本题涉及到动能、重力势能、弹性势能以及电势能的变化，根据能量守恒定律知，小球P的动能、重力势能、电势能与弹簧的弹性势能的总和不变，故D正确，C错误。
故选ACD。
【例3】．竖直面内有A、B、C、D四点构成矩形，竖直，，空间有一范围足够大的匀强电场，方向由D指向C，将一质量为m、不带电的小球a从A点以某一速度水平抛出，经过D点时，其动能是A点的4倍；将另一质量也为m、带正电荷q的小球b从A点以相同大小的速度水平抛出，经过B点时的动能也是A点的4倍，则场强E的大小等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】不带电小球只受重力作用，带电小球受到重力、沿方向的电场力作用。不带电小球向右水平抛出后做平抛运动，从A到D由动能定理有
即
化简得
带电小球向左水平抛出后在复合场中运动，从A到B重力做功为，电场力做功为
则由动能定理有
即
可得
则
故选A。
【例4】．如图所示，竖直平面直角坐标系xOy所在平面内存在一匀强电场，电场的方向与x轴负方向成角。A是电场中的一点，O、A两点的连线与一条电场线重合。一质量为m、电荷量为q的带电小球从A点沿平行于x轴正方向射出，小球经过时间t到达x轴上的B点，到达B点时小球的动能与在A点射出时相同。已知A、B两点距离坐标原点O的距离相等，重力加速度大小为g。则带电小球从A点运动到B点增加的电势能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】小球从A点运动到B点动能不变，设A、B两点距离坐标原点O的距离为L，由动能定理知
解得
小球沿y轴方向，由牛顿第二定律知
又
解得
小球沿电场线方向上的位移大小为
则电势能的增加量
故选C。
【例5】．如图所示，一带电量不变的平行板电容器的两个极板与水平地面成一定角度，一个初速度为的带负电的粒子恰好沿水平向右直线运动，则下列说法正确的是（ ）
A．电容器的上板带负电
B．粒子的机械能逐渐增加
C．粒子的电势能逐渐增加
D．若下极板稍平行下移一小段距离，粒子将做曲线运动
【答案】C
【详解】A．对带电粒子受力分析如图所示
，因粒子带负电，所以电容器的上板带正电，选项A错误；
BC．由图可知静电力与重力的合力方向与方向相反，对粒子做负功，其中重力不做功，静电力做负功，粒子机械能减少，电势能增加，选项B错误，选项C正确；
D．因电容器的电荷量Q不变，由于
所以电场强度不变，粒子受到的电场力不变，合外力不变，所以粒子仍向右做直线运动，选项D错误。
故选C。
【例6】如图所示，一质子以速度 进入足够大的匀强电场区域，a、b、c、d为间距相等的一组等势面，若质子经过a、c等势面时动能分别为9eV和3eV。 不计质子重力，下列说法正确的是（ ）
A．质子第二次经过等势面b时动能是6eV
B．质子刚好能到达等势面d
C．该匀强电场场强的方向水平向左
D．若取等势面c为零电势面，则a所在的等势面电势为6V
【答案】AC
【详解】A．两次经过同一等势面的动能相等，因为是匀强电场，所以经过相邻等势面克服电场力做功相同，动能变化相同，即
解得
所以经过b等势面时的动能是6eV，故A正确；
B．假设质子能够到达等势面d，则质子在等势面d的动能为零；但质子做匀变速曲线运动，质子在等势面d的速度不可能为零，故质子不能到达等势面d，故B错误；
C．根据题意，由a到c过程电场力做负功，质子带正电，所以匀强电场场强的方向水平向左，故C正确；
D．根据可知：质子在c等势面的电势能为0，所以质子运动过程中的总能量
根据能量守恒可知
解得
由可得a所在的等势面电势
故D错误。
故选AC。
【例7】．如图所示，空间有范围足够大的匀强电场，电场强度大小为E，方向与水平方向夹角为45°，一质量为m、电荷量的带正电小球（可视为质点），从A点以初速度竖直向上抛出，经过一段时间后运动到B点，A、B两点在同一电场线上，重力加速度大小为g，不计空气阻力，带电小球从A点运动到B点过程中（ ）
A．用时为B．机械能增加
C．电势能减少D．动能增加
【答案】B
【详解】A．带电小球所受电场力为
以带电小球为对象，竖直方向有
可知竖直方向的合力为0；水平方向有
解得
可知带电小球做加速度的类平抛运动，由A点到B点过程中，有
解得A点到B点用时为
故A错误：
D．带电小球运动到B点时的速度为
动能增量为
故D错误；
BC．A点与B点的距离为
由A点到B点电场力做功为
可知电势能减少，机械能增量等于电场力所做的功，即机械能增加，故B正确，C错误。
故选B。
题型六 电场中的图像问题
类型1 v－t、v－x图像
根据v－t图像的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，可确定电荷所受静电力的方向与静电力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化．
【例1】图1中、、是某电场中的一条电场线上的三个点，若将一正电荷从点处由静止秲放，仅在电场力作用下，正电荷沿电场线从经过到，运动过程中的速度—时间图像如图2所示。下列说法正确的是（ ）
A．在、、三个点中，点的电场强度最大
B．在、、三个点中，点的电势最低
C．在、、三个点中，点的电势最高
D．在、、三个点中，正电荷在点的电势能最大
【答案】BD
【详解】A．由牛顿第二定律有
根据图像中斜率表示加速度，由图可知，电荷在点时加速度最小，则点的电场强度最小，故A错误；
BCD．根据题意，由图可知，正电荷沿电场线从经过到，速度一直增加，电场力一直做正功，电势能减少，则有
由可得
故C错误，BD正确。
故选BD。
【例2】如图甲是某电场中的一条电场线，A、B是这条电场线上的两点，若将一负电荷从A点以某一初速度释放，负电荷沿直线AB运动过程中的速度-时间图像如图乙所示，比较A、B两点电势的高低和电场强度大小可知（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】AB．由速度-时间图像可知，负电荷由A向B运动的过程中，速度减小，动能减小，电势能增大，电势减小。故A正确，B错误;
CD．由图像斜率可知加速度不变，电场力不变，电场强度不变，故CD错误。
故选A。
【例3】一个负电荷从电场中的B点由静止释放，只受电场力作用，沿电场线运动到A点，它运动的速度—时间图像，如图所示，则A、B两点所在区域的电场线分布情况可能是图中的（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】根据题意，负电荷所受电场力方向从，则电场方向由，由图可知，加速度越来越小，则电场力越来越小，则电场强度越来越小。
故选A。
【例4】如图甲所示，光滑绝缘水平面上有一沿水平方向的电场，MN是其中的一条直线，线上有A、B、C三点，一带电荷量为+2×10-3C、质量为1×10-3kg的小物块从A点由静止释放，沿MN做直线运动，其运动的v—t图像如图乙所示，其中B点处的切线斜率最大（图中标出了该切线），C点处的切线平行于t轴，运动过程中小物块的电荷量保持不变，下列说法中正确的是（ ）
A．A、B两点的电势差U=-4V
B．小物块从B点到C点，电场力做的功W=10-2J
C．C点为A、C间电场强度最大的点，场强大小E=1V/m
D．由A到C的过程中，小物块的电势能先减小后增大
【答案】B
【详解】A．小物块从A点到B点，根据动能定理可知
解得
UAB=4V
A错误；
B．小物块从B点到C点，根据动能定理可知
解得
W=10-2J
B正确；
C．v—t图像的斜率表示加速度，由图像可知，小物块在B点时的加速度最大，该加速度为
所以B点的电场强度最大，根据
qE=ma
解得
E=1V/m
C错误；
D．小物块从A到B再到C，速度一直变大，所以动能一直增大，根据能量守恒定律可知，小物块的电势能一直减小，D错误。
故选B。
【例5】点电荷A、B分别固定在原点O和x＝6m处，仅在电场力的作用下，负点电荷M从x＝2m处以某一初速度沿轴正方向运动，其速度v随位置x变化的图像如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．M过x＝4m处时受到的电场力最大
B．M从x＝2m处运动到x＝5m处的过程中电势能先增大后减小
C．A、B的电荷量之比为4：1
D．M过x＝3m处时与过x＝5m处时的加速度大小之比为25：63
【答案】BCD
【详解】A．由题图可知，M过x＝4m处时的速度最小，说明M过x＝4m处时的加速度为零，故M过x＝4m处时不受电场力，选项A错误；
B．M从x＝2m处运动到x＝5m处的过程中速度先减小后增大，根据能量守恒定律可知，该过程中M的电势能先增大后减小，选项B正确；
C．M从x＝2m处运动到x＝5m处的过程中电场力先做负功后做正功，由于负电荷所受电场力的方向与电场强度的方向相反，在x＝2m处到x＝5m处的范围内电场的电场强度先沿x轴正方向后沿x轴负方向，故A、B均为正电荷，根据物体的平衡条件有
其中、，解得
选项C正确；
D．M过x＝3m处时的加速度大小
其中，M过x＝5m处时的加速度大小
其中、，解得
选项D正确。
故选BCD。
类型2 φ－x图像
1．电场强度的大小等于φ－x图线的切线斜率的绝对值，如果图线是曲线，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场(如图)．切线的斜率为零时沿x轴方向电场强度为零．
2．在φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向．(如图)
3．电场中常见的φ－x图像
(1)点电荷的φ－x图像(取无限远处电势为零)，如图．
(2)两个等量异种点电荷连线上的φ－x图像，如图．
(3)两个等量同种点电荷的φ－x图像，如图．
【例1】一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正向运动，x轴上各点电势随位移x的变化关系如图所示，其中段是曲线，是顶点，段是直线，且与抛物线相切。粒子由O到的运动过程中，下列说法正确的是 （ ）
A．粒子在处速度最大
B．粒子在处加速度最大
C．粒子在段加速度不变
D．粒子在段做匀速直线运动
【答案】C
【详解】A．粒子带负电，处电势最低，则粒子在处电势能最大，动能最小，速度最小，选项A错误；
B．图线的斜率的大小表示电场强度E的大小，处电场强度大小为0，由
知粒子在处加速度为0，选项B错误；
CD．段电场强度E不变，则粒子在该段运动时加速度不变，做匀加速直线运动，选项C正确、选项D错误。
故选C。
【例2】．空间某一静电场的电势在x轴上的分布如图所示，x轴上B、C两点的电场强度分别是、，下列说法中正确的是（ ）
A．的大小大于的大小
B．的方向沿x轴正方向
C．电荷在O点受到的电场力最小
D．负电荷沿x轴从B移到C的过程中，电场力先做正功，后做负功
【答案】D
【详解】ABC．在图像中，图线的切线斜率表示电场强度沿x轴方向的分矢量，而不是合电场强度，所以从图像中无法判断出B点和C点的电场强度的大小和方向。故ABC错误；
D．由图可知沿x轴方向上，O点电势最高，负电荷沿x轴从B移到C的过程中，电场力先做正功，后做负功，故D正确。
故选D。
【例3】．在x轴上有两个点电荷和分别位于坐标原点和x1处，它们共同产生的电场在x轴上的电势分布如图所示，处电势为0，规定无穷远处为零势能位置，已知点电荷在空间中任意点的电势分布公式为（其中k为静电力常量，q为电荷量，r为该点到点电荷的距离）。下列说法不正确的是（ ）
A．带正电，带负电，其中带的电荷量更多
B．若将带正电的试探电荷无初速度地放在处，那么该正电荷可在此处保持静止
C．从处静止释放一带正电的试探电荷q，那么该正电荷可在此处保持静止
D．
【答案】B
【详解】A．由于电场线由高电势点指向低电势点，根据图像可知，两个点电荷之间的电场线由指向，根据电场线起源于正电荷，终止于负电荷，可知带正电，带负电，由于处的电势为0，根据
由于
可知
A正确，不符合题意；
B．由于图像中，图像某一点的切线的斜率的绝对值表示电场强度的大小，根据图像可知，处的电场强度不为0，方向沿x轴正方向，可知若将带正电的试探电荷无初速度地放在处，其受到沿x轴正方向的电场力作用，那么该正电荷将沿x轴正方向运动，B错误，符合题意；
C．根据上述，可知，处的斜率为0，则此处的电场强度为0，若从处静止释放一带正电的试探电荷q，其不受电场力作用，那么该正电荷可在此处保持静止，C正确，不符合题意；
D．根据上述有
由于处电场强度为0，则有
解得
D正确，不符合题意。
故选B。
【例4】．如图所示为某静电场中x轴上各点电势的分布图。一电子从原点处以一定的初速度沿x轴正方向射出，仅在电场力的作用下在x轴上做直线运动，下列说法正确的是（ ）
A．电子运动到处时速度最小
B．处的电场强度方向沿x轴负方向
C．电子从处运动至处，加速度先减小后增大
D．电子在处的速度大于在处的速度
【答案】C
【详解】根据题意可知，电子仅在电场力的作用下沿轴做直线运动，则电场方向沿轴方向，由沿电场线方向电势逐渐降低可知，电场方向水平向左，之后电场方向水平向右，由图像中斜率表示电场强度可知，电场强度为0
A．结合上述分析可知，从电子在电场力作用下做加速运动，，之后做减速运动，则电子运动到处时速度最大，故A错误；
B．由上述分析可知，处的电场强度方向沿x轴正方向，故B错误；
C．由图像中斜率表示电场强度，由图可知，电子从处运动至处，加速度先减小后增大，故C正确；
D．由公式可知，电子从处到处电场力做正功，电子的动能增加，则电子在处的速度小于在处的速度，故D错误。
故选C。
【例5】．(2022·湖南省名校联盟联考)某静电场的电场线与x轴平行，电势φ随x坐标变化的关系图像如图4所示。若将一带电的粒子(重力不计)从坐标原点O由静止释放，在仅受电场力的作用下，该粒子在x轴上沿着轴线的正方向运动，已知电场中A、B两点的x坐标分别为10 mm、30 mm，则( )
A．该带电粒子一定带负电荷
B．该电场为匀强电场，电场强度大小为1 000 V/m
C．该粒子沿x轴从A点到B点的过程中，电势能一直增大
D．在x轴上从A点到B点电场的方向先沿x轴正方向后沿负方向
【答案】 B
【解析】 粒子受力方向和电场方向相同，故粒子带正电荷，选项A错误；φ－x图像的斜率表示电场强度大小，斜率不变说明电场为匀强电场，电场强度大小为E＝eq \f(U,d)＝eq \f(Δφ,x)＝eq \f(20,20×10－3) V/m＝1 000 V/m，选项B正确；粒子沿x轴从A点到B点的过程中，电场力一直做正功，电势能一直减少，选项C错误；由图像知电势一直降低，根据沿着电场线方向电势降低，所以在x轴上从A点到B点电场强度都沿x轴正方向，选项D错误。
【例6】．(2022·山东青岛市黄岛区期末)在平行于x轴的静电场中，其电势φ随x的分布如图所示，一质量m＝1.0×10－6 kg，带电荷量大小为q＝1.0×10－9 C的粒子从x轴上的(2，0)点由静止开始释放，仅在电场力作用下在x轴上往返运动。忽略粒子的重力等因素，下列说法正确的是( )
A．粒子带正电
B．x轴上O点右侧电场强度是左侧电场强度的两倍
C．该粒子的最大速度为0.2 m/s
D．该粒子运动的周期为0.4 s
【答案】 C
【解析】 沿电场线方向电势降低，则根据题图可知，x轴左侧电场强度方向沿x轴负方向，x轴右侧电场强度方向沿x轴正方向，粒子仅在电场力作用下在x轴上往返运动，则粒子带负电，A错误；由U＝Ed知，左侧电场强度为E1＝eq \f(Δφ,d)＝eq \f(20,1×10－2) V/m＝2.0×103 V/m，右侧电场强度为E2＝eq \f(Δφ,d)＝eq \f(20,2×10－2) V/m＝1.0×103 V/m，B错误；该粒子运动过程中电势能的最大值Epm＝qφm＝－1.0×10－9×20 J＝－2×10－8 J，由能量守恒定律得当电势能最小时动能最大，最大动能为Ekm＝2×10－8 J＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)，解得最大速度vm＝0.2 m/s，C正确；设粒子在原点左右两侧运动的时间分别为t1、t2，在原点时的速度为vm，vm＝eq \f(qE1,m)t1，vm＝eq \f(qE2,m)t2，而周期T＝2(t1＋t2)＝0.6 s，D错误。
类型3 E－x图像
1．E－x图像为静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系，若规定x轴正方向为电场强度E的正方向，则E>0，电场强度E沿x轴正方向；E<0，电场强度E沿x轴负方向．
2．E－x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差(如图所示)，两点的电势高低根据电场方向判定．在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况．
3．电场中常见的E－x图像
(1)点电荷的E－x图像
正点电荷及负点电荷的电场强度E随坐标x变化关系的图像大致如图所示．
(2)两个等量异种点电荷的E－x图像，如图．
(3)两个等量正点电荷的E－x图像，如图．
【例1】在x轴上各点电场强度E平行于x轴且随x的变化规律如图所示，、、、为x轴上等间距的四个点。现将带正电的试探电荷从O点静止释放，试探电荷沿直线运动到A点时的动能为，已知试探电荷只受电场力作用，则以下分析正确的是（ ）
A．试探电荷运动到C点时的动能小于
B．该电场的、、、四个点，点电势最高
C．试探电荷从点到点，先做加速运动，后做减速运动
D．、、、四个点，点附近电场线最密
【答案】A
【详解】A．根据图像与横轴围成的面积表示电势差，可知
根据动能定理可得
，
联立可得
故A正确；
BC．从O到C电场方向一直向右，故电势一直降低，O点电势最高，且试探电荷一直加速，故BC错误；
D．O、A、B、C四个点，A点电场强度最大，故A附近电场线最密，故D错误。
故选A。
【例2】．如图所示为沿x轴方向的电场强度E随位置x变化的关系图像，在x轴负方向上的图像是直线，x轴正方向为电场强度的方向，电子的电荷量为-e（e>0）。则下列说法正确的是（ ）
A．原点O处的电势最高，处的电势最低
B．电子在处和x1处的电势能相等
C．将电子沿x轴从坐标原点O移到x1处，电子的电势能增加
D．将电子沿x轴从坐标原点O移到处，电场力做功eE0x1
【答案】C
【详解】AB．电场线沿x轴正方向，由沿着电场线方向电势降低知，则原点O处的电势比处的电势低；处的电势比x1处的电势高，电子在处比在x1处的电势能小，故A、B错误；
C．将电子沿x轴从坐标原点O移到x1处，电子克服电场力做功，电子的电势能增加，C正确；
D．在E－x图像中，图像与x轴所围成的面积表示电势差，所以坐标原点O与－x1处之间的电势差为，所以将电子沿x轴从坐标原点O移到－x1处，电场力做的功为，D错误。
故选C。
【例3】．空间中某静电场的电场强度随的变化图像如图所示，规定沿轴正方向为电场强度的正方向。一钠离子仅在电场力的作用下沿轴从点运动到处，在此过程中（ ）
A．钠离子的电势能一直增大
B．钠离子的加速度先增大后减小
C．钠离子在处的速率小于在处的速率
D．和两点间的电势差小于和两点间的电势差
【答案】D
【详解】A．钠离子在轴上从点运动到的过程，钠离子受到的电场力沿轴正方向，所以电场力对钠离子一直做正功，钠离子的电势能一直减小，A错误；
B．由图像可知，电场强度一直增大，所以钠离子受到的电场力一直增大，钠离子的加速度一直增大，B错误；
C．电场力对钠离子一直做正功，根据动能定理可知，钠离子的动能增大，所以钠离子在处的速率大于在处的速率，C错误；
D．图像的面积表示两点间的电势差，所以和两点间的电势差小于和两点间的电势差，D正确。
故选D。
【例4】．某静电场中x轴上各点的电场强度方向均与x轴重合，以x轴负方向为电场强度的正方向，电场强度E随x的变化规律如图所示。-d~d间的图象关于对称。下图分别表示x轴上各点的电势φ随x变化的图象，其中可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由于以x轴负方向为电场强度的正方向，在区间，场强均为正值，即场强均沿x轴负方向，沿电场方向电势逐渐降低，故沿+x方向，电势逐渐升高，由于图线的斜率表示场强大小，在O点附近场强最大，图线斜率最大，对比可知，C选项的图符合题意。
故选C。
类型4 Ep－x图像、Ek－x图像
1．Ep－x图像
由静电力做功与电势能变化关系F电x＝Ep1－Ep2＝－ΔEp知Ep－x图像的切线斜率k＝eq \f(ΔEp,Δx)，其大小等于静电力，斜率正负代表静电力的方向．
2．Ek－x图像
当带电体只有静电力做功，由动能定理F电x＝Ek－Ek0＝ΔEk知Ek－x图像的切线斜率k＝eq \f(ΔEk,Δx)，其大小表示静电力．
【例1】一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图所示，其中O~x2段是关于直线x=x1对称的曲线，x2~x3段是直线，则下列说法正确的是（ ）
A．x1处电场强度最小，但不为零
B．粒子在O~x2段做匀变速运动，x2~x3段做匀速直线运动
C．在O、x1、x2、x3处电势φ0、φ1、φ2、φ3的关系为φ1>φ2=φ0>φ3
D．0~x2段的电场强度大小、方向均不变
【答案】C
【详解】A．Ep-x图像的斜率表示粒子所受电场力F，根据F=qE可知x1处电场强度最小，为零，故A错误；
B．O~x1段，场强减小，电势能减小，带负电粒子做加速度减小的加速运动，x1~x2段，场强增大，电势能增大，粒子做加速度增大的减速运动，x2~x3段，场强不变，电势能增大，粒子做匀减速直线运动，故B错误；
C．带负电的粒子在O、x1、x2、x3处电势能Ep0、Ep1、Ep2、Ep3的关系为
Ep1由
可知φ0、φ1、φ2、φ3的关系为
φ1>φ2=φ0>φ3
故C正确；
D．O~x1段，电场方向水平向左，x1~x3电场方向水平向右，故D错误。
故选C。
【例2】某空间区域的水平面内存在电场。以O点为坐标原点，取向右为x轴正方向，一个带电粒子仅在电场力作用下从O点沿x轴正方向运动。粒子的动能Ek与位移x的关系如图所示，不计空气阻力，则在此过程中（ ）
A．电势先降低后增大B．电场强度大小先减小后增大
C．粒子电势能先减小后增大D．粒子加速度方向先向右后向左
【答案】B
【详解】A．带电粒子电性未知，则电场强度的方向不确定，电势变化情况不确定，A错误；
B．由图可知，图线斜率等于电场力，斜率先减小后增大，则电场强度先减小后增大，B正确；
C．动能先减小后增大，根据能量守恒，电势能先增大后减小，C错误；
D．粒子先减速运动后加速运动，则加速度方向先向左后向右，D错误。
故选B。
【例3】如图甲所示，光滑绝缘水平面上有一带负电荷的小滑块，可视为质点，在处以初速度沿x轴正方向运动。小滑块的质量为，带电量为。整个运动区域存在沿水平方向的电场，图乙是滑块电势能随位置x变化的部分图像，P点是图线的最低点，虚线AB是图像在处的切线，并且AB经过（1，2）和（2，1）两点，重力加速度g取。下列说法正确的是（ ）
A．在处的电场强度大小为20V/m
B．滑块向右运动的过程中，加速度先增大后减小
C．滑块运动至处时，速度的大小为2m/s
D．若滑块恰好能到达处，则该处的电势为−50V
【答案】CD
【详解】A．Ep−x图像斜率的绝对值表示滑块所受电场力的大小，所以滑块在x=1m处所受电场力大小为
解得电场强度大小
A错误；
B．滑块向右运动时，电场力先减小后增大，所以加速度先减小后增大，B错误；
C．滑块从x=1m到x=3m运动过程中电势能减小，电场力做功
由动能定理得
解得滑块运动至处时，速度的大小为
C正确；
D．若滑块恰好到达x=5m处，则有
则滑块从x=1m到x=5m运动过程中
由图可知
解得滑块到达处的电势能
处的电势为
D正确。
故选CD。
【例4】．在某电场中沿一条直线建立x轴，一个带正电的试探电荷以某初速度从位置开始只在电场力作用下沿x轴正方向运动，以无穷远处为零电势点，试探电荷在沿x轴运动的过程中电势能随x的变化规律如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．在位置，电场强度为零
B．试探电荷由位置到位置的过程中加速度逐渐减小
C．试探电荷在位置与位置所受电场力相同
D．试探电荷在位置与位置速度大小一定不相等
【答案】ABD
【详解】A．图像的斜率表示粒子所受电场力F，在位置，曲线切线斜率为零，电场强度为零，选项A正确；
B．由位置到位置，曲线斜率逐渐减小，电场强度逐渐减小，试探电荷的加速度逐渐减小，选项B正确；
C．在位置与位置曲线斜率一正一负，电势能一个是增大一个是减小，试探电荷所受电场力方向相反，选项C错误；
D．试探电荷在电场中运动，只受电场力作用，机械能与电势能之和守恒，在位置与位置电势能不等，动能也一定不相等，速度大小也不相等，选项D正确。
故选ABD。
【例5】．一根固定的、绝缘的、光滑的水平杆上套着一个带电小球，和的长度相同，空间存在静电场，小球在A点获得初动能，从A运动到B的过程中，小球的图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．小球先做变加速运动后做匀减速运动
B．小球在段运动的加速度一直小于在段运动的加速度
C．小球在段的运动时间小于段的运动时间
D．A到C和C到B两个过程中电场力对小球做功相同
【答案】AC
【详解】A．小球运动过程受重力、弹力和电场力，由图像切线的斜率表示合力有：小球在段运动过程中合力即电场力沿水平方向的分力，先增大后减小，方向由A指向C；段合力即电场力沿水平方向的分力为恒力，方向由C指向B，故A正确；
B．和的长度相同，若段匀加则图像中连接如图，则虚线的斜率表示合力的大小与段合力大小相等，故小球在段运动的加速度先大于后小于在段运动的加速度，故B错误；
C．画出运动过程中的图像如图所示，图线与t轴围面积表示位移大小，两段位移大小相等，故小球在段的运动时间小于段的运动时间，C正确；
D．根据动能定理两段电场力做功分别为正功和负功，故D错误。
故选AC。
【例6】．一个电荷量为、质量为m的带负电的点电荷，仅在电场力的作用下沿x轴运动，其动能随位置x变化的关系图像如图所示，图像关于对称。规定处电势为零，下列说法正确的是（ ）
A．在区间，电势不断升高B．在处的电势
C．区间，电场强度减小D．在处电荷的电势能为
【答案】AB
【详解】A．由于只有电场力做功，电荷的动能与电势能总和不变，在区间，电荷的动能增大，电势能减小，由于点电荷带负电，所以电势不断升高， A正确；
B．规定处电势为零，电荷在处电势能也为零。由图像可知在处电荷的动能为零。电荷仅在电场力的作用下，电势能和动能相互转化，电势能和动能的和
在处动能为，则在处的电荷的电势能为，该点的电势
B正确；
C．在区间，图像的切线斜率增大，斜率表示电荷受到的电场力的大小，所以电荷受到的电场力增大，电场强度增大，C错误；
D．电荷的动能与电势能总和为零，所以处电荷的电势能为，错误。
故选AB。
电场
等势面(虚线)图样
特点
匀强电场
垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场
以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷的电场
两电荷连线的中垂面为等势面
等量同种正点电荷的电场
在电荷连线上，中点电势最低；在中垂线上，中点电势最高
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc12063" 题型一 电场性质的综合应用 PAGEREF _Tc12063 \h 1
\l "_Tc27253" 类型1 利用点电荷考电场的性质 PAGEREF _Tc27253 \h 2
\l "_Tc22382" 类型2 利用电偶极子考电场的性质 PAGEREF _Tc22382 \h 5
\l "_Tc8390" 题型二 电势差与电场强度的关系 PAGEREF _Tc8390 \h 9
\l "_Tc3172" 题型三 电场线、等势面及运动轨迹问题 PAGEREF _Tc3172 \h 18
\l "_Tc18760" 题型五 电场中功能关系的综合问题 PAGEREF _Tc18760 \h 23
\l "_Tc20305" 题型六 电场中的图像问题 PAGEREF _Tc20305 \h 30
\l "_Tc4935" 类型1 v－t、v－x图像 PAGEREF _Tc4935 \h 30
\l "_Tc24740" 类型2 φ－x图像 PAGEREF _Tc24740 \h 34
\l "_Tc6781" 类型3 E－x图像 PAGEREF _Tc6781 \h 39
\l "_Tc32272" 类型4 Ep－x图像、Ek－x图像 PAGEREF _Tc32272 \h 43
题型一 电场性质的综合应用
【核心归纳】1．静电力做功的特点
静电力做功与路径无关，只与电荷量和电荷移动过程始、末位置间的电势差有关．
2．电势能
(1)定义：电荷在电场中具有的势能，称为电势能．
(2)说明：电势能具有相对性，通常把无限远处或大地表面的电势能规定为零．
3．电势
(1)定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量之比．
(2)定义式：φ＝eq \f(Ep,q).
(3)标矢性：电势是标量，有正、负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)．
(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同．
4．静电力做功与电势能变化的关系
(1)静电力做的功等于电荷电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB.静电力对电荷做多少正功，电荷电势能就减少多少；电荷克服静电力做多少功，电荷电势能就增加多少．
(2)电势能的大小：由WAB＝EpA－EpB可知，若令EpB＝0，则EpA＝WAB，即一个电荷在电场中某点具有的电势能，数值上等于将其从该点移到零电势能位置过程中静电力所做的功．
【方法技巧】
1．求静电力做功的四种方法
2．判断电势能变化的两种方法
(1)根据静电力做功：静电力做正功，电势能减少；静电力做负功，电势能增加．
(2)根据Ep＝φq：正电荷在电势越高处电势能越大；负电荷在电势越高处电势能越小．
3．电势高低的四种判断方法
(1)电场线法：沿电场线方向电势逐渐降低．
(2)电势差与电势的关系：根据UAB＝eq \f(WAB,q)，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低．
(3)Ep与φ的关系：由φ＝eq \f(Ep,q)知正电荷在电势能大处电势较高，负电荷在电势能大处电势较低．
(4)场源电荷的正负：取离场源电荷无限远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低．空间中有多个点电荷时，某点的电势可以代数求和．
类型1 利用点电荷考电场的性质
【例1】如图所示，一个带负电的点电荷固定在O点，实线为几条对称分布的电场线，虚线为以电场线上的点为圆心的一个圆，a、b、c、d、e、f、g、h为圆与电场线的交点，下列说法正确的是（ ）
A．b、h两点的电场强度相同
B．a点电势比e点电势高
C．d、b两点之间的电势差大于e、b两点之间的电势差
D．将电子沿圆周由h运动到d与由h运动到f，电场力做功相等
【例2】如图，a、b是正点电荷电场中的一条电场线上的二点，二点的电势和电场强度分别为、和Ea、Eb，则他们的大小关系是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【例3】．如图，是锐角三角形最大的内角，一正点电荷固定在P点。下列说法正确的是（ ）
A．沿边，从M点到N点，电场强度逐渐减小
B．沿边，从M点到N点，电势先减小后增大
C．将负检验电荷从M点移动到N点，电势能先减小后增大
D．将正检验电荷从M点移动到N点，电场力所做的总功为负
【例4】．如图所示，在正点电荷Q形成的电场中有A、B、C、D四点，A、B、C为直角三角形的三个顶点，D为AC的中点，∠A＝30°，A、B、C、D四点的电场强度大小分别用EA、EB、EC、ED表示，已知EA＝EC，B、C两点的电场强度方向相同，点电荷Q在A、B、C三点构成的平面内。则以下错误的是（ ）
A．点电荷位于AC的垂直平分线与BC的反向延长线的的交点上
B．D点电势高于A点电势
C．将一正点电荷q从A点沿直线移到C点，电场力先做正功再做负功
D．B、A两点和B、C两点间的电势差满足UBA＝UBC
类型2 利用电偶极子考电场的性质
【例1】如图所示，边长均为a的两个正四面体和，其中面完全重合，O点为面中心，两带电荷量均为的点电荷分别置于A、B两顶点，则（ ）
A．b、c、d三点的电场强度相同
B．b、c、d三点的电势相等
C．将一正试探电荷从b点沿直线移动到O点，其所受电场力逐渐增大
D．将一正试探电荷从b点沿直线移到d点，电场力不做功
【例2】．如图所示，两等量同种点电荷固定在菱形的两个顶点A、C上。E、F是该菱形对角线与其内切圆的交点，O点为内切圆的圆心，a、b、c、d四点为切点。现有一带正电的点电荷从E点由静止释放，下列说法正确的是（ ）
A．a、b、c、d四点的电场强度相同
B．D、O、B三点的电势相等
C．点电荷在从E点运动到O点的过程中电场力做负功
D．点电荷到达F点时速度恰好为零，并会立刻返回
【例3】．在A、B两点放置电荷量分别为和的点电荷，其形成的电场线分布如图所示，C为A、B连线上的一点，并且AB间C点的电场强度最小，D是纸面上的另一点，DC连线与AB垂直，已知无穷远电势为零，电荷Q在其周围产生的电势为。则下列说法正确的是（ ）
A．AB间C点电势最低
B．在整个直线AB上不可能存在另一个与C电场强度相同的点
C．AB连线上B的右侧有一点非无穷远电势和电场强度均为零
D．若将另一负电荷从C点移到D点，电荷电势能减小
【例4】．如图所示，两个等量异种电荷产生的电场中，abcd四点分别处于正方形的四个顶点上，其中ab两点在等量正负电荷的连线上，且关于连线的中垂线对称，则下列说法正确的是（ ）
A．ab两点的电势相等
B．cd两点的电场强度相同
C．移动单位负电荷从d到c，电场力做正功
D．移动单位正电荷从b到d，电场力沿做功比直接沿对角线做功大
【例5】如图甲所示，以等量正点电荷连线的中点作为原点，沿中垂线建立x轴，x轴上各点的电场强度E随x变化的图像如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．处电势等于处电势
B．处电场强度与处电场强度相同
C．将电子从x轴上处由静止释放，仅在静电力作用下电子从处运动到处的过程中，电子做加速度减小的加速运动
D．将电子从x轴上处由静止释放，仅在静电力作用下电子从处运动到处的过程中，电子做加速度减小的加速运动
题型二 电势差与电场强度的关系
1．由E＝eq \f(U,d)可推出的两个重要推论
推论1 匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝eq \f(φA＋φB,2)，如图甲所示．
推论2 匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图乙所示．
2．E＝eq \f(U,d)在非匀强电场中的三点妙用
(1)判断电场强度大小：等差等势面越密，电场强度越大．
(2)判断电势差的大小及电势的高低：距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大，进而判断电势的高低．
(3)利用φ－x图像的斜率判断电场强度随位置变化的规律：k＝eq \f(Δφ,Δx)＝eq \f(U,d)＝Ex，斜率的大小表示电场强度的大小，正负表示电场强度的方向．
3．等分法确定电场线及电势高低的解题思路
【例1】如图所示，等腰三角形位于匀强电场中，电场方向平行于平面，a、b、c三点的电势分别为，边长度为，边的长度为。下列说法正确的是（ ）
A．若电子从a点运动到b点，电场力做功
B．若电子从a点运动到c点，电势能减小
C．电场沿方向
D．匀强电场的场强大小为
【例2】．如图所示，某匀强电场中的一个矩形abcd，，，电场线与矩形所在平面平行，已知a、b、d点的电势分别为、和，一个电子以速度经过b点，速度方向与bc成角，经过一段时间恰好经过c点，不计电子的重力，则（ ）
A．c点的电势大小为a点的两倍B．场强方向由d指向b
C．电子从b点运动到c点所用时间为D．电子从b点运动到c点，电场力做功
【例3】．匀强电场的方向平行于△ABC所在平面，如图所示，。将电荷量为的点电荷从A点移到B点，电场力做功8×10-6J，再把该电荷从B点移到C点，电场力做功J，关于该电场的下列说法中正确的是（ ）
A．A、B两点间的电势差
B．若规定A点电势为0，则C点电势为2V
C．电场强度的方向由B指向A
D．电场强度的方向由C指高B
【例4】．如图为某匀强电场的等势面分布图（等势面竖直分布），已知每两个相邻等势面相距2cm，则该匀强电场的电场强度大小和方向分别为（ ）
A．，水平向左B．，水平向右
C．，水平向左D．，水平向右
【例5】．如图所示，在匀强电场中一带正电粒子先后经过a、b两点。已知粒子的比荷为k，粒子经过a点时速率为，经过b点时速率为，粒子经过a、b两点时速度方向与连线的夹角分别为、，连线长度为L。若粒子只受电场力作用，则下列无法确定的是（ ）
A．场强的大小B．场强的方向
C．a、b两点的电势差D．粒子在a、b两点的电势能之差
【例6】如图所示，半径为的圆内有一内接直角三角形，其中，空间中存在与圆平面平行的匀强电场，将一带正电的试探电荷由点移动到点，电场力做的功为，将该电荷由点移动到点，电场力做的功为，已知该试探电荷的电荷量为。则下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场的方向由指向
B．该试探电荷由移动到，电势能减少
C．点的电势比点的电势低
D．该电场强度的大小为
【例7】如图所示，有一平行于平面的匀强电场，其中a、b、c三点电势分别为，已知的距离为，的距离为，和的夹角为。下列说法正确的是（ ）
A．电子从a点移动到c点的过程中，电势能增大
B．电子从a点移动到b点的过程中，电场力做正功
C．电场强度的方向从c点指向a点
D．电场强度的大小为
【例8】如图所示，空间存在范围足够大与长方形所在平面平行的匀强电场，已知，A、B、C三点的电势分别为。一带电粒子从A点以与成夹角斜向右上方、大小为的初速度射入电场，恰好经过C点。不计粒子的重力。下列说法正确的是（ ）
A．D点电势为
B．电场强度大小为
C．粒子过C点的速度与初速度方向间夹角的正切值为
D．粒子过C点的速度为
题型三 电场线、等势面及运动轨迹问题
【核心归纳】1．等势面
(1)定义：电场中电势相同的各点构成的面．
(2)四个特点：
①在同一等势面上移动电荷时静电力不做功．
②电场线一定与等势面垂直，并且从电势高的等势面指向电势低的等势面．
③等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小．
④任意两个等势面都不相交．
2．几种常见等势面的比较
【方法技巧】带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
1．判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向．选用轨迹和电场线(等势线)的交点更方便．
2．判断静电力的方向：仅受静电力作用时，因轨迹始终夹在速度方向和带电粒子所受静电力方向之间，而且向合外力一侧弯曲，结合速度方向，可以判断静电力方向．
若已知电场线和轨迹，所受静电力的方向与电场线(或电场线的切线)共线．
若已知等势线和轨迹，所受静电力的方向与等势线垂直．
3．判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力方向与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力方向与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加．
【例1】某兴趣小组模拟避雷针周围电场的等势面分布如图所示，相邻等势面间的电势差相等。A、B、C、D、E为空间电场中的五个点，其中C、D两点位置关于避雷针对称，一电子（量为m）从A点静止释放，仅在电场力作用下运动到C点时速度为v，下列说法正确的是（ ）
A．A点的电势小于D点的电势
B．若电子能运动到B点，则到B点时的速度为
C．电场中C、D两点的电场强度相同
D．若电子从A点运动到E点，其电势能增大
【例2】．如图所示，虚线为静电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等。一个带正电的点电荷q在A点的电势能小于其在B点的电势能，则下列说法正确的是（ ）
A．A点的电势大于B点的电势
B．A点的电场强度大于B点的电场强度
C．将q在A点由静止释放，其受静电力将增大
D．将q在A点由静止释放，其电势能将减小
【例3】．如图所示，MN是一负点电荷产生的电场中的一条电场线。一个带正电的粒子（不计重力）从a到b穿越这条电场线的轨迹如图中虚线所示。下列结论正确的是（ ）
A．带电粒子从a到b过程中动能逐渐减小
B．负点电荷一定位于M点左侧
C．a点的场强大于b点的场强
D．带电粒子在a点的加速度小于在b点的加速度
【例4】．在α粒子散射实验中，α粒子由a到e从金原子核旁飞过，运动轨迹如图所示。金原子核可视为静止，以金原子核为圆心，三个同心圆间距相等，α粒子的运动轨迹在c处与圆相切。下列说法正确的是（ ）
A．α粒子在c处的动能最大
B．α粒子在处的电势能相等
C．α粒子由c到d过程与由d到e过程电场力做功相等
D．α粒子的运动轨迹在a处的切线有可能经过金原子核的中心
【例5】．电子显微镜通过“静电透镜”实现对电子会聚或发散使微小物体成像。一种电子透镜的电场分布如图所示（截取其中一部分），虚线为等势面，相邻两等势面间的电势差相等，电子枪发射的电子仅在电场力作用下的运动轨迹如图中实线所示，是轨迹上的三点，若c点处电势为3 V，电子从a点运动到b点电势能变化了5 eV，则下列说法正确的是（ ）
A．a点电势为7.5 V
B．电子在b点的动能不可能为2.5 eV
C．电子在b点加速度比在c点加速度大
D．电子在电场中运动的最小速度一定为零
题型五 电场中功能关系的综合问题
电场中常见的功能关系
(1)若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变．
(2)若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变．
(3)除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化量．
(4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量．
【例1】如图所示，空间中存在与纸面平行的匀强电场，在纸面内从正方形的顶点A沿任意方向发射速率相同的带正电粒子，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知经过B点的粒子在B点时的动能是初动能的3倍，经过C点的粒子在C点时的动能是初动能的6倍，则经过D点的粒子在D点时的动能是初动能的（ ）
A．3倍B．4倍C．5倍D．6倍
【例2】如图所示，绝缘轻质弹簧的下端同定在斜面底端，弹簧与斜而平行，带电小球Q（可视为质点）冏定在光滑绝缘斜面上的M点，且在通过弹簧中心的直线ab上。现把与Q大小相同、电件相同的小球P，从斜面上的N点由静止释放，在小球P与弹簧接触到运动至最低点的过程中，以下说法正确的是（ ）
A．小球P的速度先增大后减小
B．小球P的速度最大时所受弹簧的弹力与库仑力的合力为零
C．小球P、弹簧、地球组成的系统机械能不守恒
D．小球P的重力势能、与小球Q间的电势能、弹簧的弹性势能及小球P的动能的总量守恒
【例3】．竖直面内有A、B、C、D四点构成矩形，竖直，，空间有一范围足够大的匀强电场，方向由D指向C，将一质量为m、不带电的小球a从A点以某一速度水平抛出，经过D点时，其动能是A点的4倍；将另一质量也为m、带正电荷q的小球b从A点以相同大小的速度水平抛出，经过B点时的动能也是A点的4倍，则场强E的大小等于（ ）
A．B．C．D．
【例4】．如图所示，竖直平面直角坐标系xOy所在平面内存在一匀强电场，电场的方向与x轴负方向成角。A是电场中的一点，O、A两点的连线与一条电场线重合。一质量为m、电荷量为q的带电小球从A点沿平行于x轴正方向射出，小球经过时间t到达x轴上的B点，到达B点时小球的动能与在A点射出时相同。已知A、B两点距离坐标原点O的距离相等，重力加速度大小为g。则带电小球从A点运动到B点增加的电势能为（ ）
A．B．C．D．
【例5】．如图所示，一带电量不变的平行板电容器的两个极板与水平地面成一定角度，一个初速度为的带负电的粒子恰好沿水平向右直线运动，则下列说法正确的是（ ）
A．电容器的上板带负电
B．粒子的机械能逐渐增加
C．粒子的电势能逐渐增加
D．若下极板稍平行下移一小段距离，粒子将做曲线运动
【例6】如图所示，一质子以速度 进入足够大的匀强电场区域，a、b、c、d为间距相等的一组等势面，若质子经过a、c等势面时动能分别为9eV和3eV。 不计质子重力，下列说法正确的是（ ）
A．质子第二次经过等势面b时动能是6eV
B．质子刚好能到达等势面d
C．该匀强电场场强的方向水平向左
D．若取等势面c为零电势面，则a所在的等势面电势为6V
【例7】．如图所示，空间有范围足够大的匀强电场，电场强度大小为E，方向与水平方向夹角为45°，一质量为m、电荷量的带正电小球（可视为质点），从A点以初速度竖直向上抛出，经过一段时间后运动到B点，A、B两点在同一电场线上，重力加速度大小为g，不计空气阻力，带电小球从A点运动到B点过程中（ ）
A．用时为B．机械能增加
C．电势能减少D．动能增加
题型六 电场中的图像问题
类型1 v－t、v－x图像
根据v－t图像的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，可确定电荷所受静电力的方向与静电力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化．
【例1】图1中、、是某电场中的一条电场线上的三个点，若将一正电荷从点处由静止秲放，仅在电场力作用下，正电荷沿电场线从经过到，运动过程中的速度—时间图像如图2所示。下列说法正确的是（ ）
A．在、、三个点中，点的电场强度最大
B．在、、三个点中，点的电势最低
C．在、、三个点中，点的电势最高
D．在、、三个点中，正电荷在点的电势能最大
【例2】如图甲是某电场中的一条电场线，A、B是这条电场线上的两点，若将一负电荷从A点以某一初速度释放，负电荷沿直线AB运动过程中的速度-时间图像如图乙所示，比较A、B两点电势的高低和电场强度大小可知（ ）
A．B．C．D．
【例3】一个负电荷从电场中的B点由静止释放，只受电场力作用，沿电场线运动到A点，它运动的速度—时间图像，如图所示，则A、B两点所在区域的电场线分布情况可能是图中的（ ）
A．B．
C．D．
【例4】如图甲所示，光滑绝缘水平面上有一沿水平方向的电场，MN是其中的一条直线，线上有A、B、C三点，一带电荷量为+2×10-3C、质量为1×10-3kg的小物块从A点由静止释放，沿MN做直线运动，其运动的v—t图像如图乙所示，其中B点处的切线斜率最大（图中标出了该切线），C点处的切线平行于t轴，运动过程中小物块的电荷量保持不变，下列说法中正确的是（ ）
A．A、B两点的电势差U=-4V
B．小物块从B点到C点，电场力做的功W=10-2J
C．C点为A、C间电场强度最大的点，场强大小E=1V/m
D．由A到C的过程中，小物块的电势能先减小后增大
【例5】点电荷A、B分别固定在原点O和x＝6m处，仅在电场力的作用下，负点电荷M从x＝2m处以某一初速度沿轴正方向运动，其速度v随位置x变化的图像如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．M过x＝4m处时受到的电场力最大
B．M从x＝2m处运动到x＝5m处的过程中电势能先增大后减小
C．A、B的电荷量之比为4：1
D．M过x＝3m处时与过x＝5m处时的加速度大小之比为25：63
类型2 φ－x图像
1．电场强度的大小等于φ－x图线的切线斜率的绝对值，如果图线是曲线，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场(如图)．切线的斜率为零时沿x轴方向电场强度为零．
2．在φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向．(如图)
3．电场中常见的φ－x图像
(1)点电荷的φ－x图像(取无限远处电势为零)，如图．
(2)两个等量异种点电荷连线上的φ－x图像，如图．
(3)两个等量同种点电荷的φ－x图像，如图．
【例1】一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正向运动，x轴上各点电势随位移x的变化关系如图所示，其中段是曲线，是顶点，段是直线，且与抛物线相切。粒子由O到的运动过程中，下列说法正确的是 （ ）
A．粒子在处速度最大
B．粒子在处加速度最大
C．粒子在段加速度不变
D．粒子在段做匀速直线运动
【例2】．空间某一静电场的电势在x轴上的分布如图所示，x轴上B、C两点的电场强度分别是、，下列说法中正确的是（ ）
A．的大小大于的大小
B．的方向沿x轴正方向
C．电荷在O点受到的电场力最小
D．负电荷沿x轴从B移到C的过程中，电场力先做正功，后做负功
【例3】．在x轴上有两个点电荷和分别位于坐标原点和x1处，它们共同产生的电场在x轴上的电势分布如图所示，处电势为0，规定无穷远处为零势能位置，已知点电荷在空间中任意点的电势分布公式为（其中k为静电力常量，q为电荷量，r为该点到点电荷的距离）。下列说法不正确的是（ ）
A．带正电，带负电，其中带的电荷量更多
B．若将带正电的试探电荷无初速度地放在处，那么该正电荷可在此处保持静止
C．从处静止释放一带正电的试探电荷q，那么该正电荷可在此处保持静止
D．
【例4】．如图所示为某静电场中x轴上各点电势的分布图。一电子从原点处以一定的初速度沿x轴正方向射出，仅在电场力的作用下在x轴上做直线运动，下列说法正确的是（ ）
A．电子运动到处时速度最小
B．处的电场强度方向沿x轴负方向
C．电子从处运动至处，加速度先减小后增大
D．电子在处的速度大于在处的速度
【例5】．(2022·湖南省名校联盟联考)某静电场的电场线与x轴平行，电势φ随x坐标变化的关系图像如图4所示。若将一带电的粒子(重力不计)从坐标原点O由静止释放，在仅受电场力的作用下，该粒子在x轴上沿着轴线的正方向运动，已知电场中A、B两点的x坐标分别为10 mm、30 mm，则( )
A．该带电粒子一定带负电荷
B．该电场为匀强电场，电场强度大小为1 000 V/m
C．该粒子沿x轴从A点到B点的过程中，电势能一直增大
D．在x轴上从A点到B点电场的方向先沿x轴正方向后沿负方向
【例6】．(2022·山东青岛市黄岛区期末)在平行于x轴的静电场中，其电势φ随x的分布如图所示，一质量m＝1.0×10－6 kg，带电荷量大小为q＝1.0×10－9 C的粒子从x轴上的(2，0)点由静止开始释放，仅在电场力作用下在x轴上往返运动。忽略粒子的重力等因素，下列说法正确的是( )
A．粒子带正电
B．x轴上O点右侧电场强度是左侧电场强度的两倍
C．该粒子的最大速度为0.2 m/s
D．该粒子运动的周期为0.4 s
类型3 E－x图像
1．E－x图像为静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系，若规定x轴正方向为电场强度E的正方向，则E>0，电场强度E沿x轴正方向；E<0，电场强度E沿x轴负方向．
2．E－x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差(如图所示)，两点的电势高低根据电场方向判定．在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况．
3．电场中常见的E－x图像
(1)点电荷的E－x图像
正点电荷及负点电荷的电场强度E随坐标x变化关系的图像大致如图所示．
(2)两个等量异种点电荷的E－x图像，如图．
(3)两个等量正点电荷的E－x图像，如图．
【例1】在x轴上各点电场强度E平行于x轴且随x的变化规律如图所示，、、、为x轴上等间距的四个点。现将带正电的试探电荷从O点静止释放，试探电荷沿直线运动到A点时的动能为，已知试探电荷只受电场力作用，则以下分析正确的是（ ）
A．试探电荷运动到C点时的动能小于
B．该电场的、、、四个点，点电势最高
C．试探电荷从点到点，先做加速运动，后做减速运动
D．、、、四个点，点附近电场线最密
【例2】．如图所示为沿x轴方向的电场强度E随位置x变化的关系图像，在x轴负方向上的图像是直线，x轴正方向为电场强度的方向，电子的电荷量为-e（e>0）。则下列说法正确的是（ ）
A．原点O处的电势最高，处的电势最低
B．电子在处和x1处的电势能相等
C．将电子沿x轴从坐标原点O移到x1处，电子的电势能增加
D．将电子沿x轴从坐标原点O移到处，电场力做功eE0x1
【例3】．空间中某静电场的电场强度随的变化图像如图所示，规定沿轴正方向为电场强度的正方向。一钠离子仅在电场力的作用下沿轴从点运动到处，在此过程中（ ）
A．钠离子的电势能一直增大
B．钠离子的加速度先增大后减小
C．钠离子在处的速率小于在处的速率
D．和两点间的电势差小于和两点间的电势差
【例4】．某静电场中x轴上各点的电场强度方向均与x轴重合，以x轴负方向为电场强度的正方向，电场强度E随x的变化规律如图所示。-d~d间的图象关于对称。下图分别表示x轴上各点的电势φ随x变化的图象，其中可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
类型4 Ep－x图像、Ek－x图像
1．Ep－x图像
由静电力做功与电势能变化关系F电x＝Ep1－Ep2＝－ΔEp知Ep－x图像的切线斜率k＝eq \f(ΔEp,Δx)，其大小等于静电力，斜率正负代表静电力的方向．
2．Ek－x图像
当带电体只有静电力做功，由动能定理F电x＝Ek－Ek0＝ΔEk知Ek－x图像的切线斜率k＝eq \f(ΔEk,Δx)，其大小表示静电力．
【例1】一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图所示，其中O~x2段是关于直线x=x1对称的曲线，x2~x3段是直线，则下列说法正确的是（ ）
A．x1处电场强度最小，但不为零
B．粒子在O~x2段做匀变速运动，x2~x3段做匀速直线运动
C．在O、x1、x2、x3处电势φ0、φ1、φ2、φ3的关系为φ1>φ2=φ0>φ3
D．0~x2段的电场强度大小、方向均不变
【例2】某空间区域的水平面内存在电场。以O点为坐标原点，取向右为x轴正方向，一个带电粒子仅在电场力作用下从O点沿x轴正方向运动。粒子的动能Ek与位移x的关系如图所示，不计空气阻力，则在此过程中（ ）
A．电势先降低后增大B．电场强度大小先减小后增大
C．粒子电势能先减小后增大D．粒子加速度方向先向右后向左
【例3】如图甲所示，光滑绝缘水平面上有一带负电荷的小滑块，可视为质点，在处以初速度沿x轴正方向运动。小滑块的质量为，带电量为。整个运动区域存在沿水平方向的电场，图乙是滑块电势能随位置x变化的部分图像，P点是图线的最低点，虚线AB是图像在处的切线，并且AB经过（1，2）和（2，1）两点，重力加速度g取。下列说法正确的是（ ）
A．在处的电场强度大小为20V/m
B．滑块向右运动的过程中，加速度先增大后减小
C．滑块运动至处时，速度的大小为2m/s
D．若滑块恰好能到达处，则该处的电势为−50V
【例4】．在某电场中沿一条直线建立x轴，一个带正电的试探电荷以某初速度从位置开始只在电场力作用下沿x轴正方向运动，以无穷远处为零电势点，试探电荷在沿x轴运动的过程中电势能随x的变化规律如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．在位置，电场强度为零
B．试探电荷由位置到位置的过程中加速度逐渐减小
C．试探电荷在位置与位置所受电场力相同
D．试探电荷在位置与位置速度大小一定不相等
【例5】．一根固定的、绝缘的、光滑的水平杆上套着一个带电小球，和的长度相同，空间存在静电场，小球在A点获得初动能，从A运动到B的过程中，小球的图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．小球先做变加速运动后做匀减速运动
B．小球在段运动的加速度一直小于在段运动的加速度
C．小球在段的运动时间小于段的运动时间
D．A到C和C到B两个过程中电场力对小球做功相同
【例6】．一个电荷量为、质量为m的带负电的点电荷，仅在电场力的作用下沿x轴运动，其动能随位置x变化的关系图像如图所示，图像关于对称。规定处电势为零，下列说法正确的是（ ）
A．在区间，电势不断升高B．在处的电势
C．区间，电场强度减小D．在处电荷的电势能为
电场
等势面(虚线)图样
特点
匀强电场
垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场
以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷的电场
两电荷连线的中垂面为等势面
等量同种正点电荷的电场
在电荷连线上，中点电势最低；在中垂线上，中点电势最高
专题21 电场能的性质
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc12063" 题型一 电场性质的综合应用 PAGEREF _Tc12063 \h 1
\l "_Tc27253" 类型1 利用点电荷考电场的性质 PAGEREF _Tc27253 \h 2
\l "_Tc22382" 类型2 利用电偶极子考电场的性质 PAGEREF _Tc22382 \h 5
\l "_Tc8390" 题型二 电势差与电场强度的关系 PAGEREF _Tc8390 \h 9
\l "_Tc3172" 题型三 电场线、等势面及运动轨迹问题 PAGEREF _Tc3172 \h 18
\l "_Tc18760" 题型五 电场中功能关系的综合问题 PAGEREF _Tc18760 \h 23
\l "_Tc20305" 题型六 电场中的图像问题 PAGEREF _Tc20305 \h 30
\l "_Tc4935" 类型1 v－t、v－x图像 PAGEREF _Tc4935 \h 30
\l "_Tc24740" 类型2 φ－x图像 PAGEREF _Tc24740 \h 34
\l "_Tc6781" 类型3 E－x图像 PAGEREF _Tc6781 \h 39
\l "_Tc32272" 类型4 Ep－x图像、Ek－x图像 PAGEREF _Tc32272 \h 43
题型一 电场性质的综合应用
【核心归纳】1．静电力做功的特点
静电力做功与路径无关，只与电荷量和电荷移动过程始、末位置间的电势差有关．
2．电势能
(1)定义：电荷在电场中具有的势能，称为电势能．
(2)说明：电势能具有相对性，通常把无限远处或大地表面的电势能规定为零．
3．电势
(1)定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量之比．
(2)定义式：φ＝eq \f(Ep,q).
(3)标矢性：电势是标量，有正、负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)．
(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同．
4．静电力做功与电势能变化的关系
(1)静电力做的功等于电荷电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB.静电力对电荷做多少正功，电荷电势能就减少多少；电荷克服静电力做多少功，电荷电势能就增加多少．
(2)电势能的大小：由WAB＝EpA－EpB可知，若令EpB＝0，则EpA＝WAB，即一个电荷在电场中某点具有的电势能，数值上等于将其从该点移到零电势能位置过程中静电力所做的功．
【方法技巧】
1．求静电力做功的四种方法
2．判断电势能变化的两种方法
(1)根据静电力做功：静电力做正功，电势能减少；静电力做负功，电势能增加．
(2)根据Ep＝φq：正电荷在电势越高处电势能越大；负电荷在电势越高处电势能越小．
3．电势高低的四种判断方法
(1)电场线法：沿电场线方向电势逐渐降低．
(2)电势差与电势的关系：根据UAB＝eq \f(WAB,q)，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低．
(3)Ep与φ的关系：由φ＝eq \f(Ep,q)知正电荷在电势能大处电势较高，负电荷在电势能大处电势较低．
(4)场源电荷的正负：取离场源电荷无限远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低．空间中有多个点电荷时，某点的电势可以代数求和．
类型1 利用点电荷考电场的性质
【例1】如图所示，一个带负电的点电荷固定在O点，实线为几条对称分布的电场线，虚线为以电场线上的点为圆心的一个圆，a、b、c、d、e、f、g、h为圆与电场线的交点，下列说法正确的是（ ）
A．b、h两点的电场强度相同
B．a点电势比e点电势高
C．d、b两点之间的电势差大于e、b两点之间的电势差
D．将电子沿圆周由h运动到d与由h运动到f，电场力做功相等
【答案】D
【详解】A．由题图可知，b、h两点到O点的距离相同，则电场强度的大小相同，但是方向不同，则b、h两点的电场强度不同，故A错误；
BC．电势沿着电场线的方向逐渐降低，该电场是由带负电的点电荷产生的，则离点电荷越远，电势越高，所以a点电势低于e点电势，d点电势低于e点电势，则d、b两点间电势差小于e、b两点间电势差，故BC错误；
D．d、f两点到O点的距离相等，则d、f两点的电势相同，电子沿圆周由h运动到d与由h运动到f，电场力做功相等，故D正确。
故选D。
【例2】如图，a、b是正点电荷电场中的一条电场线上的二点，二点的电势和电场强度分别为、和Ea、Eb，则他们的大小关系是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【详解】AB．假设电场线的方向向右，则正电荷在a的左侧，所以a点的电场强度大，即Ea＞Eb；沿电场线方向电势降低，可以比较电势高低，根据电场线方向可知，选项A正确，B错误；
C．沿着电场线电势会逐渐降低，a、b是正点电荷电场中的一条电场线上的二点，两点的场强和电势不可能相等，选项C错误；
D．若电场线的方向向左，则正电荷在b的右侧，所以b点的电场强度大，即Eb＞Ea；沿电场线方向电势降低，可以比较电势高低，根据电场线方向可知，选项D错误。
故选A。
【例3】．如图，是锐角三角形最大的内角，一正点电荷固定在P点。下列说法正确的是（ ）
A．沿边，从M点到N点，电场强度逐渐减小
B．沿边，从M点到N点，电势先减小后增大
C．将负检验电荷从M点移动到N点，电势能先减小后增大
D．将正检验电荷从M点移动到N点，电场力所做的总功为负
【答案】C
【详解】点电荷形成的电场如图所示，图中虚线为等势面，
A．由于一正点电荷固定在P点，∠M是锐角三角形PMN最大的内角，故PM＜PN，由点电荷形成的电场的场强公式可得，从M到N点，场强先增大后减小，故A错误；
B．电场线与等势面相互垂直，并且沿电场线方向电势降低，由图可知，从M到N电势先增大后减小，故B错误；
C．由图可知，从M到N电势先增大后减小，由电势能公式可得，由于此检验电荷为负电荷，电势越高，电势能越小，所以从M点移动到N点，电势能先减小后增大，故C正确；
D．由图可知，M点电势大于N点电势，由电势能公式可得，由于此检验电荷为正电荷，电势越高，电势能越大，故正点电荷在M点的电势能高于在N点的电势能，从M点到N点，正电荷的电势能减小，电场力做正功，故D错误；
故选C。
【例4】．如图所示，在正点电荷Q形成的电场中有A、B、C、D四点，A、B、C为直角三角形的三个顶点，D为AC的中点，∠A＝30°，A、B、C、D四点的电场强度大小分别用EA、EB、EC、ED表示，已知EA＝EC，B、C两点的电场强度方向相同，点电荷Q在A、B、C三点构成的平面内。则以下错误的是（ ）
A．点电荷位于AC的垂直平分线与BC的反向延长线的的交点上
B．D点电势高于A点电势
C．将一正点电荷q从A点沿直线移到C点，电场力先做正功再做负功
D．B、A两点和B、C两点间的电势差满足UBA＝UBC
【答案】C
【详解】A．因、两点电场强度大小相等，所以点电荷在、两点连线的垂直平分线上，如图所示，和的方向相同，点电荷定在、连线上，过、两点连线的垂直平分线与、连线相交于，故点电荷在点，故A正确；
B．由几何关系得到的距离小于到的距离，根据越靠近正电荷，电势越高可知，点电势高于点电势，故B正确；
C．从点沿直线到点再到点，电势先升高再降低，故将正试探电荷从点沿直线移到点，电势能先增大后减小，电场力先做负功再做正功，故C错误；
D．点电荷的等势面是以点电荷为圆心的同心圆，、两点在同一等势面上，故有
故D正确；
错误的故选C。
类型2 利用电偶极子考电场的性质
【例1】如图所示，边长均为a的两个正四面体和，其中面完全重合，O点为面中心，两带电荷量均为的点电荷分别置于A、B两顶点，则（ ）
A．b、c、d三点的电场强度相同
B．b、c、d三点的电势相等
C．将一正试探电荷从b点沿直线移动到O点，其所受电场力逐渐增大
D．将一正试探电荷从b点沿直线移到d点，电场力不做功
【答案】B
【详解】A．根据点电荷的场强公式
由图可知，b、c、d三点到两电荷的距离相等，所以A、B两点电荷在三点产生的合场强的大小相等，方向不相同，故A错误；
B．A、B两个点电荷分别在b、c、d三点产生的电势相等，根据电势的叠加法则可知A、B两个点电荷在b、c、d三点的电势相等，故B正确；
C．根据等量同种电荷的场强分布特点可知O点的合场强为零，从b点沿直线移动到O点，电场强度可能一直减小，也可能先增大后减小，所以所受电场力可能逐渐减小，也可能先增大后减小，故C错误；
D．根据等量同种电荷的场强分布特点可知将一正试探电荷从b点沿直线移到d点，电场力先做负功后做正功，故D错误。
故选B。
【例2】．如图所示，两等量同种点电荷固定在菱形的两个顶点A、C上。E、F是该菱形对角线与其内切圆的交点，O点为内切圆的圆心，a、b、c、d四点为切点。现有一带正电的点电荷从E点由静止释放，下列说法正确的是（ ）
A．a、b、c、d四点的电场强度相同
B．D、O、B三点的电势相等
C．点电荷在从E点运动到O点的过程中电场力做负功
D．点电荷到达F点时速度恰好为零，并会立刻返回
【答案】D
【详解】A．由等量同种点电荷电场特点得，a、b、c、d四点电场强度大小相等，方向不同，则电场强度不同，故A错误；
B．B、D两点电势相等，O点电势高于B、D两点的电势，故B错误；
C．根据电场叠加原理可知，沿直线从E点到O点的电场强度方向一直向右，电场力对点电荷做正功，故C错误；
D．根据电场的对称性可知，到达O点后点电荷将继续沿直线运动，到达F点时速度恰好为零并会立刻返回，故D正确。
故选D。
【例3】．在A、B两点放置电荷量分别为和的点电荷，其形成的电场线分布如图所示，C为A、B连线上的一点，并且AB间C点的电场强度最小，D是纸面上的另一点，DC连线与AB垂直，已知无穷远电势为零，电荷Q在其周围产生的电势为。则下列说法正确的是（ ）
A．AB间C点电势最低
B．在整个直线AB上不可能存在另一个与C电场强度相同的点
C．AB连线上B的右侧有一点非无穷远电势和电场强度均为零
D．若将另一负电荷从C点移到D点，电荷电势能减小
【答案】B
【详解】A．沿电场线方向电势逐渐降低，C点电势高于其右侧点电势，故不是AB间电势最低的点，A错误；
B．C的电场强度由两个电荷产生的电场同向叠加而成，方向向右，A的左侧电场方向向左故不可能存在，B的右侧两电荷产生电场反向叠加，并且当的电场大于的电场时，电场方向与C相同，但因为此位置相对于A的距离比C相对于A的距离远，所以在此区域产生的电场强度一定小于C处的场强，B正确；
C．B右侧场强为0的点满足
电势为0的点满足
很明显不是同一位置，C错误；
D．由图中电场线分布可知C的电势高于D点；所以负电荷在C点的电势能低，移到D点时电势能增大，D错误。
故选B。
【例4】．如图所示，两个等量异种电荷产生的电场中，abcd四点分别处于正方形的四个顶点上，其中ab两点在等量正负电荷的连线上，且关于连线的中垂线对称，则下列说法正确的是（ ）
A．ab两点的电势相等
B．cd两点的电场强度相同
C．移动单位负电荷从d到c，电场力做正功
D．移动单位正电荷从b到d，电场力沿做功比直接沿对角线做功大
【答案】C
【详解】A．由于沿电场线电势降低，可知
A错误；
B．电场线分布的疏密程度表示电场的强弱，根据等量异种电荷的电场线分布特征可知，cd两点的电场强度大小相等，方向不同，即cd两点的电场强度不相同，B错误；
C．由于沿电场线电势降低，可知
根据
可知移动单位负电荷从d到c，电场力做正功，C正确；
D．根据
可知，移动单位正电荷从b到d，电场力沿做功与直接沿对角线做功相等，D错误。
故选C。
【例5】如图甲所示，以等量正点电荷连线的中点作为原点，沿中垂线建立x轴，x轴上各点的电场强度E随x变化的图像如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．处电势等于处电势
B．处电场强度与处电场强度相同
C．将电子从x轴上处由静止释放，仅在静电力作用下电子从处运动到处的过程中，电子做加速度减小的加速运动
D．将电子从x轴上处由静止释放，仅在静电力作用下电子从处运动到处的过程中，电子做加速度减小的加速运动
【答案】AD
【详解】A．结合图像和电场力做功可得：电子从处到处电场力做功为零，处电势等于处电势，A正确；
B．由图像乙可见处电场强度与处电场强度等值反向，B错误；
C．由图像乙可见处到处，电场强度是先增大后减小，由
可得：将电子从x轴上处由静止释放，电子从处移动到处的过程中，电子先做加速度增大的加速运动，后做加速度减小的加速运动，C错误；
D．因为
=
可见将电子从x轴上处由静止释放，电子从处移动到处的过程中，电子做加速度减小的加速运动，D正确。
故选AD。
题型二 电势差与电场强度的关系
1．由E＝eq \f(U,d)可推出的两个重要推论
推论1 匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝eq \f(φA＋φB,2)，如图甲所示．
推论2 匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图乙所示．
2．E＝eq \f(U,d)在非匀强电场中的三点妙用
(1)判断电场强度大小：等差等势面越密，电场强度越大．
(2)判断电势差的大小及电势的高低：距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大，进而判断电势的高低．
(3)利用φ－x图像的斜率判断电场强度随位置变化的规律：k＝eq \f(Δφ,Δx)＝eq \f(U,d)＝Ex，斜率的大小表示电场强度的大小，正负表示电场强度的方向．
3．等分法确定电场线及电势高低的解题思路
【例1】如图所示，等腰三角形位于匀强电场中，电场方向平行于平面，a、b、c三点的电势分别为，边长度为，边的长度为。下列说法正确的是（ ）
A．若电子从a点运动到b点，电场力做功
B．若电子从a点运动到c点，电势能减小
C．电场沿方向
D．匀强电场的场强大小为
【答案】D
【详解】A．根据题意，由公式可知，若电子从a点运动到b点，电场力做功为
故A错误；
B．根据题意，由公式可知，若电子从a点运动到c点，电场力做功为
则电子的电势能增加，故B错误；
CD．根据题意，由可知，ac的中点电势为6V，与b点电势相等，由电场线和等势线关系可得电场沿ac方向，则有
故C错误，D正确。
故选D。
【例2】．如图所示，某匀强电场中的一个矩形abcd，，，电场线与矩形所在平面平行，已知a、b、d点的电势分别为、和，一个电子以速度经过b点，速度方向与bc成角，经过一段时间恰好经过c点，不计电子的重力，则（ ）
A．c点的电势大小为a点的两倍B．场强方向由d指向b
C．电子从b点运动到c点所用时间为D．电子从b点运动到c点，电场力做功
【答案】D
【详解】AB．连接bd，将bd六等分，，ae为等势线，连接cf，由几何知识可知ae与cf平行，则，可知c点的电势大小为a点的三倍；做ae的垂线eg，电场强度的方向由g指向e，如图所示
故AB错误；
C．由几何知识可知
电子从b点运动到c点所用时间为
故C错误；
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为
故D正确。
故选D。
【例3】．匀强电场的方向平行于△ABC所在平面，如图所示，。将电荷量为的点电荷从A点移到B点，电场力做功8×10-6J，再把该电荷从B点移到C点，电场力做功J，关于该电场的下列说法中正确的是（ ）
A．A、B两点间的电势差
B．若规定A点电势为0，则C点电势为2V
C．电场强度的方向由B指向A
D．电场强度的方向由C指高B
【答案】A
【详解】A．将电荷从A点移到B点，电场力做功为
代入数据解得
故A正确；
B．把该电荷从B点移到C点，电场力做功为
代入数据解得
若规定A点电势为0，而
可得
又
解得
故B错误；
C．因为该电场为匀强电场，且、、，则可知BC中点处的电势等于A点处的电势，而沿着电场线的方向电势降低，则可知电场线的方向为B到C，而匀强电场中，电场线的方向和电场强度的方向一致，则可知电场强度的方向为B指向C，故CD错误。
故选A。
【例4】．如图为某匀强电场的等势面分布图（等势面竖直分布），已知每两个相邻等势面相距2cm，则该匀强电场的电场强度大小和方向分别为（ ）
A．，水平向左B．，水平向右
C．，水平向左D．，水平向右
【答案】C
【详解】匀强电场的电场强度大小
沿电场线电势降低，可知场强方向水平向左。
故选C。
【例5】．如图所示，在匀强电场中一带正电粒子先后经过a、b两点。已知粒子的比荷为k，粒子经过a点时速率为，经过b点时速率为，粒子经过a、b两点时速度方向与连线的夹角分别为、，连线长度为L。若粒子只受电场力作用，则下列无法确定的是（ ）
A．场强的大小B．场强的方向
C．a、b两点的电势差D．粒子在a、b两点的电势能之差
【答案】D
【详解】AB．设电场力的方向与ab所在直线夹角为，如图所示
垂直电场方向速度分量相同，根据几何知识有
解得
垂直电场力方向做匀速运动，运动的时间为
沿电场力方向速度变化量为
电场强度的大小为
故AB可以确定，不符合题意；
C．根据匀强电场电场强度
可知a、b两点的电势差可求，故C可以确定，不符合题意；
D．根据功能关系有
电荷量未知，无法确定粒子在a、b两点的电势能之差，故D无法确定，符合题意。
故选D。
【例6】如图所示，半径为的圆内有一内接直角三角形，其中，空间中存在与圆平面平行的匀强电场，将一带正电的试探电荷由点移动到点，电场力做的功为，将该电荷由点移动到点，电场力做的功为，已知该试探电荷的电荷量为。则下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场的方向由指向
B．该试探电荷由移动到，电势能减少
C．点的电势比点的电势低
D．该电场强度的大小为
【答案】BCD
【分析】逻辑推理能力、分析综合能力
【详解】B．设a点的电势为零，则试探电荷在a点的电势能为零，结合题意可知试探电荷在b点的电势能为，b点的电势为
同理，试探电荷在c点的电势能为，c点的电势为
b、c两点的电势差为
试探电荷由b移动到c，电场力做的功为
故B正确；
C．O点为的中点，则O点的电势为
所以O、b两点的电势差为
即O点的电势比b点的电势低2V，C正确；
AD．由以上分析可知，a、c两点的电势差为
电场沿a、c方向的电场强度大小为
电场沿b、c方向的电场强度大小为
所以电场强度的大小为
电场强度与a、c方向成θ
故A错误，D正确。
故选BCD。
【例7】如图所示，有一平行于平面的匀强电场，其中a、b、c三点电势分别为，已知的距离为，的距离为，和的夹角为。下列说法正确的是（ ）
A．电子从a点移动到c点的过程中，电势能增大
B．电子从a点移动到b点的过程中，电场力做正功
C．电场强度的方向从c点指向a点
D．电场强度的大小为
【答案】BD
【详解】A．电子从a点移动到c点的过程中，电场力做功为
电场力做正功，电势能减小，A错误；
B．电子从a点移动到b点的过程中，电场力做功为
电场力做正功，B正确；
C．将段均分成5等份， a、b、c三点的电势，如图所示
由图可得d点与c点电势相同，同时由几何关系知垂直与，因此电场方向从b点指向a点，C错误；
D．由题知
电场强度大小为
D正确。
故选BD。
【例8】如图所示，空间存在范围足够大与长方形所在平面平行的匀强电场，已知，A、B、C三点的电势分别为。一带电粒子从A点以与成夹角斜向右上方、大小为的初速度射入电场，恰好经过C点。不计粒子的重力。下列说法正确的是（ ）
A．D点电势为
B．电场强度大小为
C．粒子过C点的速度与初速度方向间夹角的正切值为
D．粒子过C点的速度为
【答案】AC
【详解】A．因，A、B、C三点的电势分别为，取O点为的中点，则，则为等势线，连接并延长过D点，则，A正确；
B．过A点作的垂线，则带箭头的实线为电场线，如图所示
故B错误；
C．粒子从A点开始做类平抛运动到C点，设粒子运动到C点时瞬时速度与初速度方向的夹角为，粒子运动到C点时位移与初速度方向的夹角，则根据类平抛运动的推论
C正确；
D．粒子在C点时
，
故D错误。
故选AC。
题型三 电场线、等势面及运动轨迹问题
【核心归纳】1．等势面
(1)定义：电场中电势相同的各点构成的面．
(2)四个特点：
①在同一等势面上移动电荷时静电力不做功．
②电场线一定与等势面垂直，并且从电势高的等势面指向电势低的等势面．
③等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小．
④任意两个等势面都不相交．
2．几种常见等势面的比较
【方法技巧】带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
1．判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向．选用轨迹和电场线(等势线)的交点更方便．
2．判断静电力的方向：仅受静电力作用时，因轨迹始终夹在速度方向和带电粒子所受静电力方向之间，而且向合外力一侧弯曲，结合速度方向，可以判断静电力方向．
若已知电场线和轨迹，所受静电力的方向与电场线(或电场线的切线)共线．
若已知等势线和轨迹，所受静电力的方向与等势线垂直．
3．判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力方向与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力方向与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加．
【例1】某兴趣小组模拟避雷针周围电场的等势面分布如图所示，相邻等势面间的电势差相等。A、B、C、D、E为空间电场中的五个点，其中C、D两点位置关于避雷针对称，一电子（量为m）从A点静止释放，仅在电场力作用下运动到C点时速度为v，下列说法正确的是（ ）
A．A点的电势小于D点的电势
B．若电子能运动到B点，则到B点时的速度为
C．电场中C、D两点的电场强度相同
D．若电子从A点运动到E点，其电势能增大
【答案】A
【详解】A．电子从A点静止释放，仅在电场力作用下运动到C点时速度增加，电势能减小，电势升高，可知C点电势高于A点，又因为D、C电势相等，可知D点电势高于A点，A正确；
B．设相邻两等势面间的电势差为U，则从A到C有
从A到B
解得
B错误；
C．由对称性可知，C、D两点的电场强度大小相同，但是方向不同，C错误；
D．因E点电势高于A点，则若电子从A点运动到E点，其电势能减小，D错误。
故选A。
【例2】．如图所示，虚线为静电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等。一个带正电的点电荷q在A点的电势能小于其在B点的电势能，则下列说法正确的是（ ）
A．A点的电势大于B点的电势
B．A点的电场强度大于B点的电场强度
C．将q在A点由静止释放，其受静电力将增大
D．将q在A点由静止释放，其电势能将减小
【答案】D
【详解】A．带正电的点电荷q在A点的电势能小于其在B点的电势能，则A点的电势小于B点的电势，故A错误；
B．A点的等势面较稀疏，则A点的电场强度小于B点的电场强度，故B错误；
CD．将q在A点由静止释放，将向电势低处运动，即向等势面稀疏处运动，其受静电力将减小，电势能将减小，故C错误，D正确。
故选D。
【例3】．如图所示，MN是一负点电荷产生的电场中的一条电场线。一个带正电的粒子（不计重力）从a到b穿越这条电场线的轨迹如图中虚线所示。下列结论正确的是（ ）
A．带电粒子从a到b过程中动能逐渐减小
B．负点电荷一定位于M点左侧
C．a点的场强大于b点的场强
D．带电粒子在a点的加速度小于在b点的加速度
【答案】D
【详解】A．由于该粒子只受电场力作用且做曲线运动，电场力指向轨迹内侧，电场力方向大致向右，带电粒子从a到b过程中电场力对带电粒子做正功，其动能增加，选项A错误；
B．带正电的粒子所受电场力向右，电场线由M指向N，说明负电荷在直线N点右侧，选项B错误；
CD．a点离点电荷较远，a点的电场强度小于b点的电场强度，带电粒子在a点的小于在b点的电场力，根据牛顿第二定律得知，带电粒子在a点的加速度小于在b点的加速度，故C错误，D正确；
故选D。
【例4】．在α粒子散射实验中，α粒子由a到e从金原子核旁飞过，运动轨迹如图所示。金原子核可视为静止，以金原子核为圆心，三个同心圆间距相等，α粒子的运动轨迹在c处与圆相切。下列说法正确的是（ ）
A．α粒子在c处的动能最大
B．α粒子在处的电势能相等
C．α粒子由c到d过程与由d到e过程电场力做功相等
D．α粒子的运动轨迹在a处的切线有可能经过金原子核的中心
【答案】B
【详解】A．α粒子由a到c过程受到的电场力与运动方向的夹角为钝角，电场力做负功，动能减小；由c到e过程受到的电场力与运动方向的夹角为锐角，电场力做正功，动能增大，α粒子在c处的动能最小，A错误；
B．在同一个等势面上，，又电荷电势能
所以α粒子在处的电势能相等，B正确；
C．匀强电场中两等势面间的电势差
由于此电场为非匀强电场，所在等势面间的场强大于所在等势面间的场强，因此
电场力做的功
可知由c到d过程电场力做功较多，C错误；
D．如果α粒子的运动轨迹在a处的切线经过金原子核的中心，则在a处的受力方向和速度方向共线，α粒子要做直线运动，D错误。
故选B。
【例5】．电子显微镜通过“静电透镜”实现对电子会聚或发散使微小物体成像。一种电子透镜的电场分布如图所示（截取其中一部分），虚线为等势面，相邻两等势面间的电势差相等，电子枪发射的电子仅在电场力作用下的运动轨迹如图中实线所示，是轨迹上的三点，若c点处电势为3 V，电子从a点运动到b点电势能变化了5 eV，则下列说法正确的是（ ）
A．a点电势为7.5 V
B．电子在b点的动能不可能为2.5 eV
C．电子在b点加速度比在c点加速度大
D．电子在电场中运动的最小速度一定为零
【答案】B
【详解】A．根据电子的受力和运动情况可知，电子从a点到c点电场力做负功，电势能增大，根据电场力做功与电势差的关系可知，b点电势比a点电势低5 V，则相邻两等势面间的电势差为2.5 V，则a点电势为
故A错误；
B．电子在两点，由能量守恒定律有
由于电子在c点动能不为零，因此在b点的动能一定大于2.5 eV，故B正确；
C．c点处等差等势面比b点处密集，则b点比c点电场强度小，因此加速度小，故C错误；
D．电子速度与等势面切线平行时，在电场中运动的速度最小，此时的速度最小值不一定为零，故D错误。
故选B。
题型五 电场中功能关系的综合问题
电场中常见的功能关系
(1)若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变．
(2)若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变．
(3)除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化量．
(4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量．
【例1】如图所示，空间中存在与纸面平行的匀强电场，在纸面内从正方形的顶点A沿任意方向发射速率相同的带正电粒子，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知经过B点的粒子在B点时的动能是初动能的3倍，经过C点的粒子在C点时的动能是初动能的6倍，则经过D点的粒子在D点时的动能是初动能的（ ）
A．3倍B．4倍C．5倍D．6倍
【答案】B
【详解】根据题意，设电场强度沿AB方向的分量为，沿AD方向的分量为，粒子在A点时的动能为。粒子从A到B的过程，有
粒子从A到C的过程，有
则粒子从A到D的过程，有
解得
故选B。
【例2】如图所示，绝缘轻质弹簧的下端同定在斜面底端，弹簧与斜而平行，带电小球Q（可视为质点）冏定在光滑绝缘斜面上的M点，且在通过弹簧中心的直线ab上。现把与Q大小相同、电件相同的小球P，从斜面上的N点由静止释放，在小球P与弹簧接触到运动至最低点的过程中，以下说法正确的是（ ）
A．小球P的速度先增大后减小
B．小球P的速度最大时所受弹簧的弹力与库仑力的合力为零
C．小球P、弹簧、地球组成的系统机械能不守恒
D．小球P的重力势能、与小球Q间的电势能、弹簧的弹性势能及小球P的动能的总量守恒
【答案】ACD
【详解】A．小球先沿斜面加速向下运动，当加速度减小到零后，减速向下运动，当弹簧压缩量最大时，小球静止，速度先增大后减小，故A正确；
B．当小球的合力为零时，速度最大，此时受弹力与库仑力的合力等于重力沿斜面方向上的分力，在最低点，弹力和库仑力的合力大于重力的分力，合力不为零，故B错误；
CD．本题涉及到动能、重力势能、弹性势能以及电势能的变化，根据能量守恒定律知，小球P的动能、重力势能、电势能与弹簧的弹性势能的总和不变，故D正确，C错误。
故选ACD。
【例3】．竖直面内有A、B、C、D四点构成矩形，竖直，，空间有一范围足够大的匀强电场，方向由D指向C，将一质量为m、不带电的小球a从A点以某一速度水平抛出，经过D点时，其动能是A点的4倍；将另一质量也为m、带正电荷q的小球b从A点以相同大小的速度水平抛出，经过B点时的动能也是A点的4倍，则场强E的大小等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】不带电小球只受重力作用，带电小球受到重力、沿方向的电场力作用。不带电小球向右水平抛出后做平抛运动，从A到D由动能定理有
即
化简得
带电小球向左水平抛出后在复合场中运动，从A到B重力做功为，电场力做功为
则由动能定理有
即
可得
则
故选A。
【例4】．如图所示，竖直平面直角坐标系xOy所在平面内存在一匀强电场，电场的方向与x轴负方向成角。A是电场中的一点，O、A两点的连线与一条电场线重合。一质量为m、电荷量为q的带电小球从A点沿平行于x轴正方向射出，小球经过时间t到达x轴上的B点，到达B点时小球的动能与在A点射出时相同。已知A、B两点距离坐标原点O的距离相等，重力加速度大小为g。则带电小球从A点运动到B点增加的电势能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】小球从A点运动到B点动能不变，设A、B两点距离坐标原点O的距离为L，由动能定理知
解得
小球沿y轴方向，由牛顿第二定律知
又
解得
小球沿电场线方向上的位移大小为
则电势能的增加量
故选C。
【例5】．如图所示，一带电量不变的平行板电容器的两个极板与水平地面成一定角度，一个初速度为的带负电的粒子恰好沿水平向右直线运动，则下列说法正确的是（ ）
A．电容器的上板带负电
B．粒子的机械能逐渐增加
C．粒子的电势能逐渐增加
D．若下极板稍平行下移一小段距离，粒子将做曲线运动
【答案】C
【详解】A．对带电粒子受力分析如图所示
，因粒子带负电，所以电容器的上板带正电，选项A错误；
BC．由图可知静电力与重力的合力方向与方向相反，对粒子做负功，其中重力不做功，静电力做负功，粒子机械能减少，电势能增加，选项B错误，选项C正确；
D．因电容器的电荷量Q不变，由于
所以电场强度不变，粒子受到的电场力不变，合外力不变，所以粒子仍向右做直线运动，选项D错误。
故选C。
【例6】如图所示，一质子以速度 进入足够大的匀强电场区域，a、b、c、d为间距相等的一组等势面，若质子经过a、c等势面时动能分别为9eV和3eV。 不计质子重力，下列说法正确的是（ ）
A．质子第二次经过等势面b时动能是6eV
B．质子刚好能到达等势面d
C．该匀强电场场强的方向水平向左
D．若取等势面c为零电势面，则a所在的等势面电势为6V
【答案】AC
【详解】A．两次经过同一等势面的动能相等，因为是匀强电场，所以经过相邻等势面克服电场力做功相同，动能变化相同，即
解得
所以经过b等势面时的动能是6eV，故A正确；
B．假设质子能够到达等势面d，则质子在等势面d的动能为零；但质子做匀变速曲线运动，质子在等势面d的速度不可能为零，故质子不能到达等势面d，故B错误；
C．根据题意，由a到c过程电场力做负功，质子带正电，所以匀强电场场强的方向水平向左，故C正确；
D．根据可知：质子在c等势面的电势能为0，所以质子运动过程中的总能量
根据能量守恒可知
解得
由可得a所在的等势面电势
故D错误。
故选AC。
【例7】．如图所示，空间有范围足够大的匀强电场，电场强度大小为E，方向与水平方向夹角为45°，一质量为m、电荷量的带正电小球（可视为质点），从A点以初速度竖直向上抛出，经过一段时间后运动到B点，A、B两点在同一电场线上，重力加速度大小为g，不计空气阻力，带电小球从A点运动到B点过程中（ ）
A．用时为B．机械能增加
C．电势能减少D．动能增加
【答案】B
【详解】A．带电小球所受电场力为
以带电小球为对象，竖直方向有
可知竖直方向的合力为0；水平方向有
解得
可知带电小球做加速度的类平抛运动，由A点到B点过程中，有
解得A点到B点用时为
故A错误：
D．带电小球运动到B点时的速度为
动能增量为
故D错误；
BC．A点与B点的距离为
由A点到B点电场力做功为
可知电势能减少，机械能增量等于电场力所做的功，即机械能增加，故B正确，C错误。
故选B。
题型六 电场中的图像问题
类型1 v－t、v－x图像
根据v－t图像的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，可确定电荷所受静电力的方向与静电力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化．
【例1】图1中、、是某电场中的一条电场线上的三个点，若将一正电荷从点处由静止秲放，仅在电场力作用下，正电荷沿电场线从经过到，运动过程中的速度—时间图像如图2所示。下列说法正确的是（ ）
A．在、、三个点中，点的电场强度最大
B．在、、三个点中，点的电势最低
C．在、、三个点中，点的电势最高
D．在、、三个点中，正电荷在点的电势能最大
【答案】BD
【详解】A．由牛顿第二定律有
根据图像中斜率表示加速度，由图可知，电荷在点时加速度最小，则点的电场强度最小，故A错误；
BCD．根据题意，由图可知，正电荷沿电场线从经过到，速度一直增加，电场力一直做正功，电势能减少，则有
由可得
故C错误，BD正确。
故选BD。
【例2】如图甲是某电场中的一条电场线，A、B是这条电场线上的两点，若将一负电荷从A点以某一初速度释放，负电荷沿直线AB运动过程中的速度-时间图像如图乙所示，比较A、B两点电势的高低和电场强度大小可知（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】AB．由速度-时间图像可知，负电荷由A向B运动的过程中，速度减小，动能减小，电势能增大，电势减小。故A正确，B错误;
CD．由图像斜率可知加速度不变，电场力不变，电场强度不变，故CD错误。
故选A。
【例3】一个负电荷从电场中的B点由静止释放，只受电场力作用，沿电场线运动到A点，它运动的速度—时间图像，如图所示，则A、B两点所在区域的电场线分布情况可能是图中的（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】根据题意，负电荷所受电场力方向从，则电场方向由，由图可知，加速度越来越小，则电场力越来越小，则电场强度越来越小。
故选A。
【例4】如图甲所示，光滑绝缘水平面上有一沿水平方向的电场，MN是其中的一条直线，线上有A、B、C三点，一带电荷量为+2×10-3C、质量为1×10-3kg的小物块从A点由静止释放，沿MN做直线运动，其运动的v—t图像如图乙所示，其中B点处的切线斜率最大（图中标出了该切线），C点处的切线平行于t轴，运动过程中小物块的电荷量保持不变，下列说法中正确的是（ ）
A．A、B两点的电势差U=-4V
B．小物块从B点到C点，电场力做的功W=10-2J
C．C点为A、C间电场强度最大的点，场强大小E=1V/m
D．由A到C的过程中，小物块的电势能先减小后增大
【答案】B
【详解】A．小物块从A点到B点，根据动能定理可知
解得
UAB=4V
A错误；
B．小物块从B点到C点，根据动能定理可知
解得
W=10-2J
B正确；
C．v—t图像的斜率表示加速度，由图像可知，小物块在B点时的加速度最大，该加速度为
所以B点的电场强度最大，根据
qE=ma
解得
E=1V/m
C错误；
D．小物块从A到B再到C，速度一直变大，所以动能一直增大，根据能量守恒定律可知，小物块的电势能一直减小，D错误。
故选B。
【例5】点电荷A、B分别固定在原点O和x＝6m处，仅在电场力的作用下，负点电荷M从x＝2m处以某一初速度沿轴正方向运动，其速度v随位置x变化的图像如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．M过x＝4m处时受到的电场力最大
B．M从x＝2m处运动到x＝5m处的过程中电势能先增大后减小
C．A、B的电荷量之比为4：1
D．M过x＝3m处时与过x＝5m处时的加速度大小之比为25：63
【答案】BCD
【详解】A．由题图可知，M过x＝4m处时的速度最小，说明M过x＝4m处时的加速度为零，故M过x＝4m处时不受电场力，选项A错误；
B．M从x＝2m处运动到x＝5m处的过程中速度先减小后增大，根据能量守恒定律可知，该过程中M的电势能先增大后减小，选项B正确；
C．M从x＝2m处运动到x＝5m处的过程中电场力先做负功后做正功，由于负电荷所受电场力的方向与电场强度的方向相反，在x＝2m处到x＝5m处的范围内电场的电场强度先沿x轴正方向后沿x轴负方向，故A、B均为正电荷，根据物体的平衡条件有
其中、，解得
选项C正确；
D．M过x＝3m处时的加速度大小
其中，M过x＝5m处时的加速度大小
其中、，解得
选项D正确。
故选BCD。
类型2 φ－x图像
1．电场强度的大小等于φ－x图线的切线斜率的绝对值，如果图线是曲线，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场(如图)．切线的斜率为零时沿x轴方向电场强度为零．
2．在φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向．(如图)
3．电场中常见的φ－x图像
(1)点电荷的φ－x图像(取无限远处电势为零)，如图．
(2)两个等量异种点电荷连线上的φ－x图像，如图．
(3)两个等量同种点电荷的φ－x图像，如图．
【例1】一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正向运动，x轴上各点电势随位移x的变化关系如图所示，其中段是曲线，是顶点，段是直线，且与抛物线相切。粒子由O到的运动过程中，下列说法正确的是 （ ）
A．粒子在处速度最大
B．粒子在处加速度最大
C．粒子在段加速度不变
D．粒子在段做匀速直线运动
【答案】C
【详解】A．粒子带负电，处电势最低，则粒子在处电势能最大，动能最小，速度最小，选项A错误；
B．图线的斜率的大小表示电场强度E的大小，处电场强度大小为0，由
知粒子在处加速度为0，选项B错误；
CD．段电场强度E不变，则粒子在该段运动时加速度不变，做匀加速直线运动，选项C正确、选项D错误。
故选C。
【例2】．空间某一静电场的电势在x轴上的分布如图所示，x轴上B、C两点的电场强度分别是、，下列说法中正确的是（ ）
A．的大小大于的大小
B．的方向沿x轴正方向
C．电荷在O点受到的电场力最小
D．负电荷沿x轴从B移到C的过程中，电场力先做正功，后做负功
【答案】D
【详解】ABC．在图像中，图线的切线斜率表示电场强度沿x轴方向的分矢量，而不是合电场强度，所以从图像中无法判断出B点和C点的电场强度的大小和方向。故ABC错误；
D．由图可知沿x轴方向上，O点电势最高，负电荷沿x轴从B移到C的过程中，电场力先做正功，后做负功，故D正确。
故选D。
【例3】．在x轴上有两个点电荷和分别位于坐标原点和x1处，它们共同产生的电场在x轴上的电势分布如图所示，处电势为0，规定无穷远处为零势能位置，已知点电荷在空间中任意点的电势分布公式为（其中k为静电力常量，q为电荷量，r为该点到点电荷的距离）。下列说法不正确的是（ ）
A．带正电，带负电，其中带的电荷量更多
B．若将带正电的试探电荷无初速度地放在处，那么该正电荷可在此处保持静止
C．从处静止释放一带正电的试探电荷q，那么该正电荷可在此处保持静止
D．
【答案】B
【详解】A．由于电场线由高电势点指向低电势点，根据图像可知，两个点电荷之间的电场线由指向，根据电场线起源于正电荷，终止于负电荷，可知带正电，带负电，由于处的电势为0，根据
由于
可知
A正确，不符合题意；
B．由于图像中，图像某一点的切线的斜率的绝对值表示电场强度的大小，根据图像可知，处的电场强度不为0，方向沿x轴正方向，可知若将带正电的试探电荷无初速度地放在处，其受到沿x轴正方向的电场力作用，那么该正电荷将沿x轴正方向运动，B错误，符合题意；
C．根据上述，可知，处的斜率为0，则此处的电场强度为0，若从处静止释放一带正电的试探电荷q，其不受电场力作用，那么该正电荷可在此处保持静止，C正确，不符合题意；
D．根据上述有
由于处电场强度为0，则有
解得
D正确，不符合题意。
故选B。
【例4】．如图所示为某静电场中x轴上各点电势的分布图。一电子从原点处以一定的初速度沿x轴正方向射出，仅在电场力的作用下在x轴上做直线运动，下列说法正确的是（ ）
A．电子运动到处时速度最小
B．处的电场强度方向沿x轴负方向
C．电子从处运动至处，加速度先减小后增大
D．电子在处的速度大于在处的速度
【答案】C
【详解】根据题意可知，电子仅在电场力的作用下沿轴做直线运动，则电场方向沿轴方向，由沿电场线方向电势逐渐降低可知，电场方向水平向左，之后电场方向水平向右，由图像中斜率表示电场强度可知，电场强度为0
A．结合上述分析可知，从电子在电场力作用下做加速运动，，之后做减速运动，则电子运动到处时速度最大，故A错误；
B．由上述分析可知，处的电场强度方向沿x轴正方向，故B错误；
C．由图像中斜率表示电场强度，由图可知，电子从处运动至处，加速度先减小后增大，故C正确；
D．由公式可知，电子从处到处电场力做正功，电子的动能增加，则电子在处的速度小于在处的速度，故D错误。
故选C。
【例5】．(2022·湖南省名校联盟联考)某静电场的电场线与x轴平行，电势φ随x坐标变化的关系图像如图4所示。若将一带电的粒子(重力不计)从坐标原点O由静止释放，在仅受电场力的作用下，该粒子在x轴上沿着轴线的正方向运动，已知电场中A、B两点的x坐标分别为10 mm、30 mm，则( )
A．该带电粒子一定带负电荷
B．该电场为匀强电场，电场强度大小为1 000 V/m
C．该粒子沿x轴从A点到B点的过程中，电势能一直增大
D．在x轴上从A点到B点电场的方向先沿x轴正方向后沿负方向
【答案】 B
【解析】 粒子受力方向和电场方向相同，故粒子带正电荷，选项A错误；φ－x图像的斜率表示电场强度大小，斜率不变说明电场为匀强电场，电场强度大小为E＝eq \f(U,d)＝eq \f(Δφ,x)＝eq \f(20,20×10－3) V/m＝1 000 V/m，选项B正确；粒子沿x轴从A点到B点的过程中，电场力一直做正功，电势能一直减少，选项C错误；由图像知电势一直降低，根据沿着电场线方向电势降低，所以在x轴上从A点到B点电场强度都沿x轴正方向，选项D错误。
【例6】．(2022·山东青岛市黄岛区期末)在平行于x轴的静电场中，其电势φ随x的分布如图所示，一质量m＝1.0×10－6 kg，带电荷量大小为q＝1.0×10－9 C的粒子从x轴上的(2，0)点由静止开始释放，仅在电场力作用下在x轴上往返运动。忽略粒子的重力等因素，下列说法正确的是( )
A．粒子带正电
B．x轴上O点右侧电场强度是左侧电场强度的两倍
C．该粒子的最大速度为0.2 m/s
D．该粒子运动的周期为0.4 s
【答案】 C
【解析】 沿电场线方向电势降低，则根据题图可知，x轴左侧电场强度方向沿x轴负方向，x轴右侧电场强度方向沿x轴正方向，粒子仅在电场力作用下在x轴上往返运动，则粒子带负电，A错误；由U＝Ed知，左侧电场强度为E1＝eq \f(Δφ,d)＝eq \f(20,1×10－2) V/m＝2.0×103 V/m，右侧电场强度为E2＝eq \f(Δφ,d)＝eq \f(20,2×10－2) V/m＝1.0×103 V/m，B错误；该粒子运动过程中电势能的最大值Epm＝qφm＝－1.0×10－9×20 J＝－2×10－8 J，由能量守恒定律得当电势能最小时动能最大，最大动能为Ekm＝2×10－8 J＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)，解得最大速度vm＝0.2 m/s，C正确；设粒子在原点左右两侧运动的时间分别为t1、t2，在原点时的速度为vm，vm＝eq \f(qE1,m)t1，vm＝eq \f(qE2,m)t2，而周期T＝2(t1＋t2)＝0.6 s，D错误。
类型3 E－x图像
1．E－x图像为静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系，若规定x轴正方向为电场强度E的正方向，则E>0，电场强度E沿x轴正方向；E<0，电场强度E沿x轴负方向．
2．E－x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差(如图所示)，两点的电势高低根据电场方向判定．在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况．
3．电场中常见的E－x图像
(1)点电荷的E－x图像
正点电荷及负点电荷的电场强度E随坐标x变化关系的图像大致如图所示．
(2)两个等量异种点电荷的E－x图像，如图．
(3)两个等量正点电荷的E－x图像，如图．
【例1】在x轴上各点电场强度E平行于x轴且随x的变化规律如图所示，、、、为x轴上等间距的四个点。现将带正电的试探电荷从O点静止释放，试探电荷沿直线运动到A点时的动能为，已知试探电荷只受电场力作用，则以下分析正确的是（ ）
A．试探电荷运动到C点时的动能小于
B．该电场的、、、四个点，点电势最高
C．试探电荷从点到点，先做加速运动，后做减速运动
D．、、、四个点，点附近电场线最密
【答案】A
【详解】A．根据图像与横轴围成的面积表示电势差，可知
根据动能定理可得
，
联立可得
故A正确；
BC．从O到C电场方向一直向右，故电势一直降低，O点电势最高，且试探电荷一直加速，故BC错误；
D．O、A、B、C四个点，A点电场强度最大，故A附近电场线最密，故D错误。
故选A。
【例2】．如图所示为沿x轴方向的电场强度E随位置x变化的关系图像，在x轴负方向上的图像是直线，x轴正方向为电场强度的方向，电子的电荷量为-e（e>0）。则下列说法正确的是（ ）
A．原点O处的电势最高，处的电势最低
B．电子在处和x1处的电势能相等
C．将电子沿x轴从坐标原点O移到x1处，电子的电势能增加
D．将电子沿x轴从坐标原点O移到处，电场力做功eE0x1
【答案】C
【详解】AB．电场线沿x轴正方向，由沿着电场线方向电势降低知，则原点O处的电势比处的电势低；处的电势比x1处的电势高，电子在处比在x1处的电势能小，故A、B错误；
C．将电子沿x轴从坐标原点O移到x1处，电子克服电场力做功，电子的电势能增加，C正确；
D．在E－x图像中，图像与x轴所围成的面积表示电势差，所以坐标原点O与－x1处之间的电势差为，所以将电子沿x轴从坐标原点O移到－x1处，电场力做的功为，D错误。
故选C。
【例3】．空间中某静电场的电场强度随的变化图像如图所示，规定沿轴正方向为电场强度的正方向。一钠离子仅在电场力的作用下沿轴从点运动到处，在此过程中（ ）
A．钠离子的电势能一直增大
B．钠离子的加速度先增大后减小
C．钠离子在处的速率小于在处的速率
D．和两点间的电势差小于和两点间的电势差
【答案】D
【详解】A．钠离子在轴上从点运动到的过程，钠离子受到的电场力沿轴正方向，所以电场力对钠离子一直做正功，钠离子的电势能一直减小，A错误；
B．由图像可知，电场强度一直增大，所以钠离子受到的电场力一直增大，钠离子的加速度一直增大，B错误；
C．电场力对钠离子一直做正功，根据动能定理可知，钠离子的动能增大，所以钠离子在处的速率大于在处的速率，C错误；
D．图像的面积表示两点间的电势差，所以和两点间的电势差小于和两点间的电势差，D正确。
故选D。
【例4】．某静电场中x轴上各点的电场强度方向均与x轴重合，以x轴负方向为电场强度的正方向，电场强度E随x的变化规律如图所示。-d~d间的图象关于对称。下图分别表示x轴上各点的电势φ随x变化的图象，其中可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由于以x轴负方向为电场强度的正方向，在区间，场强均为正值，即场强均沿x轴负方向，沿电场方向电势逐渐降低，故沿+x方向，电势逐渐升高，由于图线的斜率表示场强大小，在O点附近场强最大，图线斜率最大，对比可知，C选项的图符合题意。
故选C。
类型4 Ep－x图像、Ek－x图像
1．Ep－x图像
由静电力做功与电势能变化关系F电x＝Ep1－Ep2＝－ΔEp知Ep－x图像的切线斜率k＝eq \f(ΔEp,Δx)，其大小等于静电力，斜率正负代表静电力的方向．
2．Ek－x图像
当带电体只有静电力做功，由动能定理F电x＝Ek－Ek0＝ΔEk知Ek－x图像的切线斜率k＝eq \f(ΔEk,Δx)，其大小表示静电力．
【例1】一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图所示，其中O~x2段是关于直线x=x1对称的曲线，x2~x3段是直线，则下列说法正确的是（ ）
A．x1处电场强度最小，但不为零
B．粒子在O~x2段做匀变速运动，x2~x3段做匀速直线运动
C．在O、x1、x2、x3处电势φ0、φ1、φ2、φ3的关系为φ1>φ2=φ0>φ3
D．0~x2段的电场强度大小、方向均不变
【答案】C
【详解】A．Ep-x图像的斜率表示粒子所受电场力F，根据F=qE可知x1处电场强度最小，为零，故A错误；
B．O~x1段，场强减小，电势能减小，带负电粒子做加速度减小的加速运动，x1~x2段，场强增大，电势能增大，粒子做加速度增大的减速运动，x2~x3段，场强不变，电势能增大，粒子做匀减速直线运动，故B错误；
C．带负电的粒子在O、x1、x2、x3处电势能Ep0、Ep1、Ep2、Ep3的关系为
Ep1
可知φ0、φ1、φ2、φ3的关系为
φ1>φ2=φ0>φ3
故C正确；
D．O~x1段，电场方向水平向左，x1~x3电场方向水平向右，故D错误。
故选C。
【例2】某空间区域的水平面内存在电场。以O点为坐标原点，取向右为x轴正方向，一个带电粒子仅在电场力作用下从O点沿x轴正方向运动。粒子的动能Ek与位移x的关系如图所示，不计空气阻力，则在此过程中（ ）
A．电势先降低后增大B．电场强度大小先减小后增大
C．粒子电势能先减小后增大D．粒子加速度方向先向右后向左
【答案】B
【详解】A．带电粒子电性未知，则电场强度的方向不确定，电势变化情况不确定，A错误；
B．由图可知，图线斜率等于电场力，斜率先减小后增大，则电场强度先减小后增大，B正确；
C．动能先减小后增大，根据能量守恒，电势能先增大后减小，C错误；
D．粒子先减速运动后加速运动，则加速度方向先向左后向右，D错误。
故选B。
【例3】如图甲所示，光滑绝缘水平面上有一带负电荷的小滑块，可视为质点，在处以初速度沿x轴正方向运动。小滑块的质量为，带电量为。整个运动区域存在沿水平方向的电场，图乙是滑块电势能随位置x变化的部分图像，P点是图线的最低点，虚线AB是图像在处的切线，并且AB经过（1，2）和（2，1）两点，重力加速度g取。下列说法正确的是（ ）
A．在处的电场强度大小为20V/m
B．滑块向右运动的过程中，加速度先增大后减小
C．滑块运动至处时，速度的大小为2m/s
D．若滑块恰好能到达处，则该处的电势为−50V
【答案】CD
【详解】A．Ep−x图像斜率的绝对值表示滑块所受电场力的大小，所以滑块在x=1m处所受电场力大小为
解得电场强度大小
A错误；
B．滑块向右运动时，电场力先减小后增大，所以加速度先减小后增大，B错误；
C．滑块从x=1m到x=3m运动过程中电势能减小，电场力做功
由动能定理得
解得滑块运动至处时，速度的大小为
C正确；
D．若滑块恰好到达x=5m处，则有
则滑块从x=1m到x=5m运动过程中
由图可知
解得滑块到达处的电势能
处的电势为
D正确。
故选CD。
【例4】．在某电场中沿一条直线建立x轴，一个带正电的试探电荷以某初速度从位置开始只在电场力作用下沿x轴正方向运动，以无穷远处为零电势点，试探电荷在沿x轴运动的过程中电势能随x的变化规律如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．在位置，电场强度为零
B．试探电荷由位置到位置的过程中加速度逐渐减小
C．试探电荷在位置与位置所受电场力相同
D．试探电荷在位置与位置速度大小一定不相等
【答案】ABD
【详解】A．图像的斜率表示粒子所受电场力F，在位置，曲线切线斜率为零，电场强度为零，选项A正确；
B．由位置到位置，曲线斜率逐渐减小，电场强度逐渐减小，试探电荷的加速度逐渐减小，选项B正确；
C．在位置与位置曲线斜率一正一负，电势能一个是增大一个是减小，试探电荷所受电场力方向相反，选项C错误；
D．试探电荷在电场中运动，只受电场力作用，机械能与电势能之和守恒，在位置与位置电势能不等，动能也一定不相等，速度大小也不相等，选项D正确。
故选ABD。
【例5】．一根固定的、绝缘的、光滑的水平杆上套着一个带电小球，和的长度相同，空间存在静电场，小球在A点获得初动能，从A运动到B的过程中，小球的图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．小球先做变加速运动后做匀减速运动
B．小球在段运动的加速度一直小于在段运动的加速度
C．小球在段的运动时间小于段的运动时间
D．A到C和C到B两个过程中电场力对小球做功相同
【答案】AC
【详解】A．小球运动过程受重力、弹力和电场力，由图像切线的斜率表示合力有：小球在段运动过程中合力即电场力沿水平方向的分力，先增大后减小，方向由A指向C；段合力即电场力沿水平方向的分力为恒力，方向由C指向B，故A正确；
B．和的长度相同，若段匀加则图像中连接如图，则虚线的斜率表示合力的大小与段合力大小相等，故小球在段运动的加速度先大于后小于在段运动的加速度，故B错误；
C．画出运动过程中的图像如图所示，图线与t轴围面积表示位移大小，两段位移大小相等，故小球在段的运动时间小于段的运动时间，C正确；
D．根据动能定理两段电场力做功分别为正功和负功，故D错误。
故选AC。
【例6】．一个电荷量为、质量为m的带负电的点电荷，仅在电场力的作用下沿x轴运动，其动能随位置x变化的关系图像如图所示，图像关于对称。规定处电势为零，下列说法正确的是（ ）
A．在区间，电势不断升高B．在处的电势
C．区间，电场强度减小D．在处电荷的电势能为
【答案】AB
【详解】A．由于只有电场力做功，电荷的动能与电势能总和不变，在区间，电荷的动能增大，电势能减小，由于点电荷带负电，所以电势不断升高， A正确；
B．规定处电势为零，电荷在处电势能也为零。由图像可知在处电荷的动能为零。电荷仅在电场力的作用下，电势能和动能相互转化，电势能和动能的和
在处动能为，则在处的电荷的电势能为，该点的电势
B正确；
C．在区间，图像的切线斜率增大，斜率表示电荷受到的电场力的大小，所以电荷受到的电场力增大，电场强度增大，C错误；
D．电荷的动能与电势能总和为零，所以处电荷的电势能为，错误。
故选AB。
电场
等势面(虚线)图样
特点
匀强电场
垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场
以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷的电场
两电荷连线的中垂面为等势面
等量同种正点电荷的电场
在电荷连线上，中点电势最低；在中垂线上，中点电势最高
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