河南省郑州市宇华实验学校2024届高三下学期第三次模拟考试数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省郑州市宇华实验学校2024届高三下学期第三次模拟考试数学试题（Word版附解析），共17页。

1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知实数，且，则取得最大值时，的值为（ ）
A.B.C.D.或
2.已知，，，则（ ）
A.B.C.D.
3.法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，则.设，则的虚部为（ ）
A.B.C.1D.0
4.已知满足，且，则（ ）
A.B.C.D.
5.在平面直角坐标系中，集合，集合，已知点，点，记表示线段长度的最小值，则的最大值为（ ）
A.2B.C.1D.
6.算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项伟大的发明.在阿拉伯数字出现前，算盘是世界广为使用的计算工具，下图一展示的是一把算盘的初始状态，自右向左分别表示个位、十位、百位、千位，，上面的一粒珠子（简称上珠）代表5，下面的一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小.例如如图二，个位上拨动一粒上珠、两粒下珠，十位上拨动一粒下珠至梁上，代表数字17.现将算盘的个位、十位、百位、千位、万位、十万位分别随机拨动一粒珠子至梁上，则表示的六位数至多含4个5的情况有（ ）
A.57种B.58种C.59种D.60种
7.已知等差数列的前项和为，，，则满足的值为（ ）
A.14B.15C.16D.17
8.已知 fx 为定义在 −∞,0∪0,+∞ 上的偶函数，已知 f1=0，当x＞0 时，有 2fx−xf'x＞0 ，则使 fx＞0 成立的x的取值范围为（ ）
二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.
9.已知，则（ ）
A.的图象关于点对称
B.的值域为
C.在区间上有33个零点
D.若方程在（）有4个不同的解（，2，3，4），其中（，2，3），则的取值范围是
10.已知正方体的棱长为是中点，是的中点，点满足，平面截该正方体，将其分成两部分，设这两部分的体积分别为，则下列判断正确的是（ ）
A.时，截面面积为B.时，
C.随着的增大先减小后增大D.的最大值为
11.已知双曲线上一点A到其两条渐近线的距离之积为，则下列结论正确的是（ ）
A.B.C.D.
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.曲线在点处的切线方程为 .
13.已知有两个盒子，其中盒装有3个黑球和3个白球，盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从盒、乙从盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中.按上述方法重复操作两次后，盒中恰有7个球的概率是 .
14.一个圆锥的顶点和底面圆都在半径为2的球体表面上，当圆锥的体积最大时，其底面圆的半径为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知等比数列的公比，且.
(1)求{}的前n项和；
(2)若等差数列的前2项分别为，，求的前n项和.
16.(15分)如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面与底面所成的角为，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)若为的内心，求直线与平面所成角的正弦值.
17.(15分)某地区工会利用“健步行APP”开展健步走活动.为了解会员的健步走情况，工会在某天从系统中抽取了100名会员，统计了当天他们的步数（千步为单位），并将样本数据分为，，，…，，九组，整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，估计样本数据的70%分位数；
(2)据统计，在样本数据，，的会员中体检为“健康”的比例分别为，，，以频率作为概率，估计在该地区工会会员中任取一人，体检为“健康”的概率.
18.(17分)已知抛物线的焦点为，为上一点，且.
(1)求的方程；
(2)过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点.
（i）求点的坐标；
（ii）求与的面积之和的最小值.
19.(17分)对于函数及实数m，若存在，使得，则称函数与具有“m关联”性质.
(1)若与具有“m关联”性质，求m的取值范围；
(2)己知，为定义在上的奇函数，且满足；
①在上，当且仅当时，取得最大值1；
②对任意，有.
求证：与不具有“4关联”性.
2024学年郑州市宇华实验学校高三（下）第三次模拟考试
数学 • 参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】D
【解析】，
又，所以，
所以，
当且仅当，即，或取等号，
所以或.
故选：D
2.【答案】C
【解析】由题意得，，
因为，即，
，即，
因为，所以，
故.
故选：C.
3.【答案】B
【解析】，
所以
,
所以的虚部为.
故选:B.
4.【答案】D
【解析】由，得，
由，得，
故和是方程的两个实数根.
因为，
所以和的取值范围都是，
因为函数在区间上均单调递增，
所以函数在区间上单调递增，
故方程在区间上只有一个根，
所以，即，于是有，
所以.
故选：D.
5.【答案】D
【解析】集合可以看作是表示直线上的点的集合，
由变形可得，，
由可得，，
所以直线过定点.
集合可看作是直线上的点的集合，
由变形可得，，
由可得，，
所以，直线过定点.
显然，当点与点分别重合，且线段与直线都垂直时，有最大值.
故选：D.
6.【答案】A
【解析】至多含4个5，有以下5种情况：
不含5，有种；含1个5，有种；
含2个5，有种；含3个5，有种；
含4个5，有种；
所以，所有的可能情况共有种，
故选：A.
7.【答案】B
【解析】设等差数列的公差为d，
因为，则，解得，
可得，
且，当时，；当时，；
可知：当或时，；当时，；
若，所以.
故选：B.
8.【答案】D
【解析】令 gx=fxx2 ，其中 x≠0 ，因为函数 fx 为定义在 −∞,0∪0,+∞ 上的偶函数，则 f−x=fx ，所以， g−x=f−x−x2=fxx2=gx ，所以，函数 gx 为偶函数，
当 x＞0 时， g'x=x2f'x−2xfxx4=xf'(x)−2fxx3＜0 ，所以，函数 gx 在 0,+∞ 上为减函数，且 g1=f112=0 ，由 fx＞0 可得 gx=fxx2＞0 ，则 gx=g|x|＞0=g1 ，所以， ，解得 −1＜x＜0 或 0＜x＜1 ，
因此，使 fx＞0 成立的 x 的取值范围为 −1,0∪0,1 .故选：D.
二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.
9.【答案】AB
【解析】对A：由，
所以，则的图象关于对称，故A正确；
对B：由，
因为，所以的一个周期为，
不妨讨论一个周期的值域情况，
当，此时，
则，
因为，所以，则，则；
当，此时，
则，
因为，所以，则，则，
当，此时，
则，
因为，所以，则，则，
当，此时，
则，
因为，所以，则，则，
综上所述，故B正确；
对C：，令得或，可得（），
所以，，所以在上有31个零点，故C错误；
对D：是以为周期的周期函数，当时，
则在上有2个实根，，且与关于对称，所以；
当时，则在上没有实根，
则在上有2个实根，，且与关于对称，且，
且，，
当时，则在上没有实根，
当时，有2个实根，但只需有4个零点，
所以，又因为，
所以的取值范围是，故D错误，
故选：AB.
10.【答案】BCD
【解析】
如图1，当时，点是的中点，易得截面为正六边形.其棱长为，故截面面积为故A项错误；
由对称性可知.当时.平面分两部分是全等的，故体积相等，故B项正确；
如图2.当从0变化到1时.截面从四边形变化至五边形（其中为靠近点的三等分点）.
结合B项可知，被截面所分两部分体积之差的绝对值先减小至0，再逐渐增大，故C项正确；
取最大值时对应为，或时情形.
当时，不妨记为截面左上角的部分几何体，则,
则,此时；
当时，不妨记为截面左上角的部分几何体，则
,
则，此时.
的最大值为，故D项正确.
故选：BCD.
11.【答案】ACD
【解析】易知：双曲线的渐近线方程为，
设点到两条渐近线的距离分别为，
则利用点到直线的距离公式可得.
因为，所以，
所以，所以，A正确；
因为，所以，B错误；
因为，
当且仅当时等号成立，C正确;
因为，所以，
当且仅当时等号成立，D正确.
故选:ACD.
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】
【解析】因为，则，
所以切点为，且，
则，
由直线的点斜式可得，化简可得，
所以切线方程为.
故答案为：
13.【答案】
【解析】若两次取球后，盒中恰有7个球，则两次取球均为乙获胜；
若第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率为，
第一次取球后盒中有2个黑球和3个白球，盒装有4个黑球和2个白球，
第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为；
此时盒中恰有7个球的概率为；
若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率为，
第一次取球后盒中有3个黑球和2个白球，盒装有3个黑球和3个白球，
第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为；
此时盒中恰有7个球的概率为；
所以盒中恰有7个球的概率为.
故答案为：
14.【答案】
【解析】设圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的体积为，
当圆锥顶点与底面在球心的同侧时，有，，
，
，
当且仅当，即时等号成立，又，所以等号不成立.
当圆锥顶点与底面在球心的异侧时，，，
，
，当且仅当，即时等号成立.
此时，即.
所以当圆锥的体积最大时，其底面圆的半径为.
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：因为等比数列的公比，所以，可得，
所以，所以.
（2）解：由（1）得，，所以的公差，
所以.
16.(15分)【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）因为平面平面，所以，
因为与平面所成的角为平面，
所以，且，所以，
又为的中点，所以，
因为四边形为正方形，所以，
又平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为平面，
所以平面.
（2）因为底面为正方形，为的内心，
所以在对角线上.
如图，设正方形的对角线的交点为，
所以，
所以，
所以，
所以，又因为，所以.
由题意知两两垂直，以所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.
所以，由（1）知，
所以，
所以.
又因为平面，所以平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角为，
则.
17.(15分)【答案】(1)14.5； (2)0.38
【解析】（1）解：（1）由于在的样本数据比例为：
∴样本数据的70%分位数在内∴估计为：.
（2）（2）设任取的会员数据在，，中分别为事件，，，
∴，，
设事件在该地区工会会员中任取一人体检为“健康”
.
18.(17分)【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【解析】（1）由题意可得，解得，
所以的方程为：；
（2）（i）由已知可得直线的斜率不为0，且过点，
故可设的直线的方程为，
代入抛物线的方程，
可得，
方程的判别式，
设，，
不妨设，则,
所以直线AD的方程为：，即
即，令，可得，
所以，所以
所以；
（ii）如图所示，可得，
，
所以与的面积之和
当且仅当时，即时，等号成立，
所以与的面积之和的最小值为.

19.(17分)【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意可知，
故，则m的取值范围为；
（2）证明：因为在上，当且仅当时，取得最大值1，
且为定义在上的奇函数，
故在上当且仅当时，取得最小值-1，
由对任意，有，可知图象关于点对称，
又，即，
故2a为函数的周期，
故，
，
当时，，
时，，
若，，，此时有为最大值；
当时，，
时，，
若，，此时有为最大值，
由于，故，
即不存在，使得，
所以与不具有“4关联”性.A. −∞,−1∪0,1
B. −1,0∪1,+∞
C. −∞,−1∪1,+∞
D. −1,0∪0,1