2024年通用版高考数学二轮复习专题6.2 数量积及最值（范围）问题(学生版)

这是一份2024年通用版高考数学二轮复习专题6.2 数量积及最值（范围）问题(学生版)，共12页。试卷主要包含了已知向量，，.，设，.等内容，欢迎下载使用。


题型一求数量积
例1．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知向量，，（），则（ ）
A．5B．C．D．
例2．（2023春·辽宁朝阳·高二校联考期中）已知单位向量，满足，则_______．
练习1．（2023·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）已知向量，则 ______ ．
练习2．（2023·全国·高三专题练习）矩形中．，．若点，满足，，则（ ）
A．20B．15C．9D．6
练习3．（2023春·山西大同·高二校考阶段练习）已知是的外心，，，则（ ）
A．10B．9C．8D．6
练习4．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知菱形中，，则__________.
练习5．（2023·广东汕头·统考三模）在中，，，，，求_________.
题型二求两个向量的夹角
例3．（2023春·广东深圳·高一深圳市建文外国语学校校考期中）已知平面向量且
(1)求向量与向量的坐标；
(2)若向量，求向量与向量的夹角
例4．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）已知，是单位向量，且，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
练习6．（2023春·北京怀柔·高三北京市怀柔区第一中学校考期中）已知向量，，.
(1)若与垂直， 求实数的值；
(2)求的值.
练习7．（2023·山东烟台·统考二模）已知向量，则与夹角的大小为_____________．
练习8．（2023春·天津武清·高三天津英华国际学校校考阶段练习）已知，，与的夹角为，求使向量与的夹角是锐角，则的取值范围___________ .
练习9．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知单位向量，满足，则，夹角的余弦值为__________.
练习10．（2023春·浙江温州·高三乐清市知临中学校考期中）设，.
(1)求；
(2)若，且，与的夹角为，求x，y的值.
题型三求投影向量
例5．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知，则向量在向量上的投影向量为___________.
例6．（2023春·江苏泰州·高一江苏省口岸中学校考阶段练习）已知向量，，则在上的投影向量的模为（ ）
A．2B．C．1D．
练习11．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，则在上的投影向量______.
练习12．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）若向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
练习13．（2023·云南保山·统考二模）已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
练习14．（2023春·全国·高三专题练习）已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
练习15．（2023·湖南·校联考模拟预测）在中，已知，向量在向量上的投影向量为，点是边上靠近的三等分点，则（ ）
A．3B．6C．7D．9
题型四垂直关系的判断及应用
例7．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知向量，满足，，且，则_____．
例8．（2023·全国·高三专题练习）非零向量，，若，则______.
练习16．（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）平面向量，若，且，则（ ）
A．2B．-2C．4D．-4
练习17．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，，其中，为单位向量，且，若______，则.
注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.
练习18．（2023春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）点，点，点在坐标轴上，且为直角，这样的点有______个．
练习19．（2023春·湖北武汉·高三武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）在中，若非零向量与满足，，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形B．等腰直角三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形D．等边三角形
练习20．（2023春·山东淄博·高三山东省淄博实验中学校考期中）已知向量，．
(1)求；
(2)已知，且，求向量与向量的夹角．
题型五向量的模
例9．（江西省2023届高三高考适应性大练兵联考数学（理）试题）已知单位向量，满足，则__________．
例10．（2023·重庆·统考模拟预测）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．D．5
练习21．（2023春·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考期中）若非零向量满足，则夹角的余弦值为________．
练习22．（2023·湖北·统考模拟预测）已知向量，若，则__________.
练习23．（2023·北京·人大附中校考三模）已知向量，与共线，则=（ ）
A．6B．20C．D．5
练习24．（2023·全国·高三专题练习）已知向量是非零向量，λ、，则“”是“”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
练习25．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知向量，，，__________；在上的投影向量的坐标为__________．
题型六数量积的最值、范围问题（基底法）
例11．（2023·全国·高三专题练习）如图，在△ABC中，，，，为的中点，在平面中，将线段绕点旋转得到线段．设为线段上的点，则的最小值为______．
例12．（2023春·辽宁朝阳·高三朝阳市第一高级中学校考期中）在中，，，，为的三等分点（靠近点）．
(1)求的值；
(2)若点满足，求的最小值，并求此时的．
练习26．（2023春·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则__________，的最小值为___________.
练习27．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则______.
练习28．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且，．若点N在线段CD（端点除外）上运动，则的取值范围是（ ）

A．B．C．D．
练习29．（2023春·全国·高三专题练习）已知直角梯形是边上的一点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
练习30．（2023·全国·高一专题练习）在直角三角形中，在线段上，，则的最小值为___________.
题型七数量积的最值、范围问题（坐标法）
例13．（2023春·天津武清·高三天津英华国际学校校考阶段练习）已知中，，，，点为边上的动点，则的最小值为_________.
例14．（2023·天津滨海新·统考三模）在平面四边形中，，，向量在向量上的投影向量为，则________；若，点为线段上的动点，则的最小值为________．
练习31．（2023·上海·高三专题练习）如图．在直角梯形中．，点P是腰上的动点，则的最小值为____________．
练习32．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山市红星中学校考期中）在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（ ）
A．3B．C．D．2
练习33．（2023春·全国·高三专题练习）如图所示，梯形中，，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
练习34．（2023·全国·高一专题练习）如图，在直角梯形中，，是线段上的动点，则的最小值为__________.
练习35．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中）已知正六边形的边长为4，P为正六边形所在平面内一点，则的最小值为____________．
题型八数量积的最值、范围问题（数形结合法）
例15．（2023春·江西景德镇·高三景德镇一中校考期中）已知平面向量，，满足，，，且，则的最大值为________．
例16．（2023·上海·高三专题练习）设x、，若向量，，满足，，，且向量与互相平行，则的最小值为______．
练习32．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山市红星中学校考期中）在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（ ）
A．3B．C．D．2
练习33．（2023春·全国·高三专题练习）如图所示，梯形中，，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
练习34．（2023·全国·高一专题练习）如图，在直角梯形中，，是线段上的动点，则的最小值为__________.
练习35．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中）已知正六边形的边长为4，P为正六边形所在平面内一点，则的最小值为____________．
练习36．（2022秋·湖北荆门·高二荆门市龙泉中学校考阶段练习）已知平面向量，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
练习37．（2023春·北京海淀·高三清华附中校考阶段练习）已知是平面向量，其中是单位向量．若非零向量与的夹角是，向量满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
练习38．（2022秋·江西吉安·高三吉安一中校考期中）已知平面向量，，，，满足，，，若，则的取值范围是________．
练习39．（2023春·北京·高三北京市第一六六中学校考阶段练习）已知向量满足，则的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
练习40．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，且，则的最大值是_______；最小值是________．
题型一
求数量积
题型二
求两个向量的夹角
题型三
求投影向量
题型四
垂直关系的判断及应用
题型五
向量的模
题型六
数量积的最值、范围问题（基底法）
题型七
数量积的最值、范围问题（坐标法）
题型八
数量积的最值、范围问题（数形结合法）