2024年通用版高考数学二轮复习专题3.6 对数与对数函数(教师版)

这是一份2024年通用版高考数学二轮复习专题3.6 对数与对数函数(教师版)，共40页。试卷主要包含了若，且，则__________，若，则＝___等内容，欢迎下载使用。


题型一对数的运算
例1．（2023·山东淄博·统考二模）设，满足，则__________.
【答案】/0.5
【分析】令，则，根据即可求解．
【详解】令，则，
所以，整理得，
解得(负值舍去)，所以.
故答案为：.
例2．（2023·天津·统考二模）已知，则（ ）
A．3B．5C．D．
【答案】A
【分析】根据指对运算化简，再根据对数运算法则计算的值.
【详解】，
.
故选：A.
练习1．（2021秋·高三课时练习）计算：lg43×=____．
【答案】/
【分析】利用对数换底公式化简计算即可.
【详解】原式.
故答案为：
练习2．计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对数的运算法则化简求值；
（2）根据对数的运算法则和对数的性质化简求值．
【详解】（1）；
（2）
．
练习3．（2021秋·高三课时练习）（多选）下列正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
【答案】BCD
【分析】利用对数和指数的运算可判断AB选项；利用指数与对数的互化可判断CD选项.
【详解】对于A选项，，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，因为，则，所以，，C对；
对于D选项，因为，则，所以，，D对.
故选：BCD.
练习4．（2023春·湖北·高一校联考期中）已知，则的值为_______________．
【答案】
【分析】代入求解分段函数的函数值.
【详解】∵，
∴
故答案为：.
练习5．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）已知，，若，则的值为（ ）
A．B．5C．D．25
【答案】D
【分析】利用指对数互化，及对数运算性质可得，结合已知列方程求n值.
【详解】由题设，，
所以，则，即.
故选：D
题型二换底公式的应用
例3．求下列各式的值．
(1) ．
(2)已知 ， ，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】根据对数运算规则以及换底公式计算即可.
【详解】（1）
；
（2） ..
例4．（2023·全国·高三专题练习）=______
【答案】
【分析】利用指数幂的运算性质和对数的运算性质计算即可求解.
【详解】原式=
=
．
故答案为：.
练习6．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）若，且，则__________．
【答案】
【分析】将条件中的指数式转化为对数式，求出，代入，利用对数的运算性质可得.
【详解】，且，
且，
，
，
，
.
故答案为：.
练习7．（2022秋·新疆喀什·高三校考阶段练习）若，则＝___．
【答案】1
【分析】先由求出，再根据换底公式，即可求出结果.
【详解】因为，所以，，因此，，
所以.
故答案为：1.
练习8．（2023秋·福建厦门·高三统考期末）已知,则＝（ ）
A．a+bB．2a-bC．D．
【答案】C
【分析】根据换底公式将写为,再用对数运算法则展开,将代入即可.
【详解】解:因为,而.
故选:C
练习9．（2022秋·江西景德镇·高三景德镇一中校考期末）（多选）已知，，且满足，，则的可能取值为（ ）
A．B．3C．D．9
【答案】BD
【分析】根据指对互化得和对数的运算性质得，代入得到关于的方程，解出即可.
【详解】，
则由可得,
，
即，
解得或，
或.
故选：BD.
练习10．（2022秋·山东青岛·高三校考期中）若，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用换底公式以及对数函数的单调性求解.
【详解】，
∵，，，∴，
故选：C．
题型三对数函数的概念
例5．（2022秋·高三课时练习）（多选）下列函数为对数函数的是（ ）
A．（，且） B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据对数函数的定义判断各选项即可.
【详解】形如（，且）的函数为对数函数，
对于A，由，且，可知，且，故A符合题意；
对于B，不符合题意；
对于C，符合题意；
对于D，不符合题意；
故选：AC.
例6．（2023秋·辽宁·高三辽河油田第二高级中学校考期末）若对数函数的图象过点，则__________．
【答案】
【分析】首先求解对数函数，再代入求值.
【详解】设对数函数（，且），因为函数图象过点，
所以，得，
所以.
故答案为：
练习11．（2022·高三课时练习）下列函数是对数函数的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对数函数（且），其中为常数，为自变量．
对于选项A，符合对数函数定义；
对于选项B，真数部分是，不是自变量，故它不是对数函数；
对于选项C，底数是变量，不是常数，故它不是对数函数；
对于选项D，底数是变量，不是常数，故它不是对数函数．
故选：A．
练习12．（2021·高三课时练习）给出下列函数：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．其中是对数函数的是______．（将符合的序号全填上）
【答案】（1）（2）（3）
【分析】根据对数函数的定义判断．
【详解】（4）的系数不是1，（5）的真数不是x，（6）的真数不是x．
故答案为：（1）（2）（3）．
练习13．（2022·高三单元测试）下列函数中，是对数函数的是（ ）
A．y＝lgxa(x>0且x≠1)
B．y＝lg2x－1
C．
D．y＝lg5x
【答案】D
【分析】根据对数函数的定义判断．
【详解】A、B、C都不符合对数函数的定义，只有D满足对数函数定义．
故选：D.
练习14．（2022·江苏盐城·江苏省滨海中学校考模拟预测）写出满足条件“函数在上单调递增，且”的一个函数___________.
【答案】
【分析】根据已知确定函数形式，再结合单调性举练习．
【详解】是对数函数模型，满足条件.
故答案为：．
练习15．（2023·高三课时练习）若对数函数的图象过点，则此函数的表达式为______.
【答案】
【分析】将点代入对数解析式求出底数，即可求解.
【详解】设对数函数为，，因为对数函数的图象过点，所以，即，解得，所以.
故答案为：
题型四对数函数的图象问题
例7．（2023秋·山东德州·高一统考期末）华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数（且）的大致图象如图，则函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，求得，结合指数函数的图象与性质以及图象变换，即可求解.
【详解】由题意，根据函数的图象，可得，
根据指数函数的图象与性质，
结合图象变换向下移动个单位，可得函数的图象只有选项C符合.
故选：C.
例8．（2023·全国·高三专题练习）函数与的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可；
【详解】解：因为在定义域上单调递减，
又，所以在定义域上单调递减，
故符合条件的只有A；
故选：A
练习16．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高三铁路一中校考期末）（多选）如图是三个对数函数的图象，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】根据对数函数的图象可判断出，再判断各选项即可得．
【详解】由对数函数图象得，令，，由已知图象得，；而是增函数，.
故选：ABC．
练习17．（2022秋·江西鹰潭·高三贵溪市第一中学校考阶段练习）已知（且，且），则函数与的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先由求得，再将转化为，再利用反函数的性质即可得到正确选项B
【详解】由（且，且），
可得，则，则
则，又，则与互为反函数，
则与单调性一致，且两图像关于直线轴对称
故选：B
练习18．（2021秋·陕西汉中·高三校联考期中）已知，则函数与函数的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据参数对于指数函数以及对数函数的影响，结合对数函数性质，逐项检验，可得答案.
【详解】对于A、B、C，由图像可知，对于函数，可知，即，
由，则，即函数在上单调递增，故A、B错误，C正确；
对于D，由图像可知，对于函数，可知，即，
由，则，即函数在上单调递减，故D错误；
故选：C.
练习19．（2021秋·陕西汉中·高三校联考期中）函数的图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函数的图象与轴的交点是结合函数的平移变换得函数的图象与轴的公共点是，即可求解.
【详解】由于函数的图象可由函数的图象左移一个单位而得到，函数的图象与轴的交点是，
故函数的图象与轴的交点是，即函数的图象与轴的公共点是，显然四个选项只有A选项满足.
故选：A.
练习20．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）若函数的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【分析】作出函数的大致图象，结合图象可得，即可得解.
【详解】函数的图象关于对称，其定义域为，
作出函数的大致图象如图所示，
由图可得，要使函数的图象不过第四象限，
则，即，解得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
题型五对数型函数过定点问题
例9．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象恒过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的性质确定定点即可.
【详解】当时，即函数图象恒过.
故选：A
例10．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）已知函数恒过定点，则的最小值为（ ）．
A．B．C．3D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式常数“1”的代换即可求出结果.
【详解】由题意可知，
则，
当且仅当，时，
的最小值为，
故选:A．
练习21．（2022秋·上海金山·高三上海市金山中学校考期末）已知且，若函数与的图象经过同一个定点，则______.
【答案】3
【分析】由可得出函数所过定点，再由结合条件可得的值.
【详解】因为，
由，可得，，
即函数的图象经过定点；
因为，
由，可得，
即的图象经过定点，
所以，即.
故答案为：3.
练习22．（2022秋·高三单元测试）已知函数，则无论取何值，图象恒过的定点坐标__________.
【答案】
【分析】根据对数函数及幂函数的性质即可得解.
【详解】因为函数恒过点，
且函数恒过点，
所以函数的图象恒过的定点.
故答案为：.
练习23．（2022秋·河南开封·高一校考阶段练习）函数的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则＝________.
【答案】27
【分析】由对数函数与幂函数的性质求解，
【详解】令，得，此时，故定点，
设，则，得，故，
故答案为：27
练习24．（2023春·湖南·高三校联考期中）幂函数的图象过点，则函数恒过定点___________.
【答案】
【分析】根据幂函数过点求出，再由对数函数的性质求出所过定点.
【详解】因为幂函数的图象过点，
所以，解得，
即，当时，，
所以函数恒过定点.
故答案为：
练习25．（2022秋·青海西宁·高三西宁五中校考期末）已知函数，（，且）恒过定点，且满足，其中m，n是正实数，则的最小值是（ ）
A．16B．6C．D．
【答案】A
【分析】通过可得定点，代入等式得，然后通过展开可求最小值.
【详解】令，得，此时，
为，
，
，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：A
题型六对数函数的定义域和值域问题
例11．（2023·湖北·校联考三模）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用根式及对数函数的定义建立不等式组，解不等式组得到定义域即可.
【详解】由，得，解得，
所以函数的定义域为.
故选：D．
例12．（2023·全国·高三专题练习）设，则值域是_______
【答案】
【分析】根据换元法可先求出的表达式，然后借助二次函数，对数函数，复合函数的性质进行求解.
【详解】设，则，于是.
设，根据二次函数性质，时，关于单调递减；
根据对数函数性质，在定义域上递增.
于是由复合函数单调性的性质，在上单调递减，
而，于是值域是：.
故答案为：
练习26．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】化简集合，根据交集的概念可求出结果.
【详解】由，得，得，得，
由，得或，得，
所以.
故选：A
练习27．（2023秋·湖北武汉·高三武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）函数的值域为_______________.
【答案】
【分析】求出的取值范围，结合对数函数的基本性质可求得函数的值域.
【详解】因为，对于函数，则有，
所以，.
故答案为：.
练习28．（2023秋·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考期末）已知函数，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对数的运算性质化简，从而得出值域．
【详解】．故的值域为．
故选：B．
练习29．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由函数有意义的条件，求解函数定义域.
【详解】函数有意义，则有，即
解得，所以函数的定义域是.
故选：D
练习30．（2023春·河南信阳·高三统考开学考试）（多选）已知函数，则（ ）
A．的定义域为B．的图象关于轴对称
C．的值域为D．是减函数
【答案】AC
【分析】由，解出不等式解集即为的定义域，即可判断A；根据函数奇偶性的定义即可判断B；化简函数为，进而判断D；求出的值域，进而判断C.
【详解】由，即，解得，
所以函数的定义域为，故A正确；
又，
所以函数为奇函数，故B错误；
又，
因为函数在上为增函数，
所以函数在上为增函数，故D错误；
又，所以，即，
所以，即，
所以，
故函数的值域为，故C正确.
故选：AC.
题型七利用对数的单调性解不等式或比较大小
例13．（浙江省S9联盟2022-2023学年高一下学期期中数学试题）已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据对数运算的性质，以及对数函数的单调性，得出和的关系，即可得出答案.
【详解】因为，，，
所以，.
故选：C.
例14．（2023·天津·高三专题练习）集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数定义域求出，再根据交集定义即可求出．
【详解】因为，解得，且，
所以，
所以，
故选：A．
练习31．（2022秋·高三课时练习）已知，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【分析】根据对数函数的单调性求解即可.
【详解】因为函数在上单调递减，
由，
得，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
练习32．（吉林省长春市2023届高一下学期5月四模数学试题）已知，，，则a，b，c的大小关系为__________．
【答案】
【分析】由对数函数及指数函数单调性得到，，，从而得到大小关系.
【详解】因为在上单调递减，，
故且，所以，
因为在R上单调递减，，
所以，
，
故.
故答案为：
练习33．（安徽省皖北县中联盟2023届高三5月联考数学试题）已知集合，，则集合（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，将集合化简，然后结合交集的运算即可得到结果.
【详解】由题知，且，
又，则或.
故选：B.
练习34．（2023·全国·校联考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用指对数函数的性质判断参数的大小关系即可.
【详解】因为在上单调递减，所以，即．
因为在上单调递增，所以，即．
因为在上单调递增，所以，即．
综上，．
故选：D
练习35．（2018·北京·高三强基计划）已知函数，若实数m满足，则实数m的取值范围是____________．
【答案】
【分析】利用函数的单调性可求参数的取值范围.
【详解】，故为奇函数，
当时，均为增函数，且函数值非负，
故在上单调递增，所以在上单调递增，
从而题中不等式等价于
故答案为：
题型八由对数函数的单调性求参数
例15．（2023春·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）已知是R上的单调递增函数，则实数a的值可以是（ ）
A．4B．C．D．8
【答案】AC
【分析】根据分段函数单调性列出不等式组，解出后结合选项即可选出结果.
【详解】解：因为是R上的单调递增函数，
所以，解得，即，
故选项A正确，选项D错误；
因为，且，
所以选项B错误，选项C正确.
故选：AC
例16．（2023春·河南平顶山·高三汝州市第一高级中学校联考阶段练习）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性、结合对数型复合函数的单调性列不等式求解作答.
【详解】函数在上单调递增，
依题意，，，且在上单调递增，
因此，解得，
所以a的取值范围是.
故答案为：
练习36．（2023秋·湖南常德·高三汉寿县第一中学校考期末）已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据复合函数的单调性的性质，结合对数型函数的性质、二次函数的性质进行求解即可.
【详解】二次函数的对称轴为，
因为函数在区间上单调递减，
所以有，
故选：A
练习37．（2023·高三课时练习）已知在上是严格减函数，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【分析】由题意利用复合函数的单调性，结合对数函数和一次函数的性质，求得实数a的取值范围.
【详解】已知在上是严格减函数，
由，函数在上是严格减函数，所以函数在定义域内是严格增函数，则有，
又函数在上最小值，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：
练习38．（2023春·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）已知函数，且满足对任意的实数，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】依题意可得是R上的减函数，从而得到不等式组，求解即可.
【详解】由题意可得：是R上的减函数，
则，解得，
故实数a的取值范围是.
故选：C.
练习39．（2023秋·山东济宁·高三统考期末）已知且，若函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】确定在上是减函数，根据复合函数单调性得到，再考虑定义域得到，得到答案.
【详解】在上是减函数，在上是减函数，故，
考虑定义域：，故，
综上所述：.
故选：B
练习40．（2023春·新疆阿克苏·高三校考阶段练习）已知且，函数，满足时，恒有成立，那么实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由函数单调性的定义可得函数在上单调递增，结合分段函数、对数函数的单调性，列出不等式即可得解.
【详解】因为函数满足时，恒有成立，
即函数满足时，恒有成立，
所以函数在上单调递增，
所以，解得.
故选：D.
题型九对数函数的最值问题
例17．（2022秋·江苏常州·高三常州市第一中学校考开学考试）已知，，设函数，_____.
【答案】/
【分析】首先求出函数的定义域，再求出的解析式，令，则，将函数转化为关于的二次函数，再根据二次函数的性质计算可得.
【详解】解：因为，，，
由，，
所以=，
令，，则在上单调递增，
，，
；
故答案为：
例18．（2023·全国·高三专题练习）若函数有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的性质可得且，则，即可求出的大致范围，再令的根为、且，，，对分两种情况讨论，结合二次函数、对数函数的单调性判断即可；
【详解】解：依题意且，所以，解得或，综上可得，
令的根为、且，，，
若，则在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；
若，则在定义域上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在取得最小值，所以；
故选：A
练习41．（2023·高三课时练习）函数的最小值是______．
【答案】－2
【分析】首先求真数部分的值域，再根据函数的单调性求函数的最小值.
【详解】设，
所以，
是单调递减函数，
所以当时，函数取得最小值，最小值是.
故答案为：
练习42．（2023春·四川达州·高二四川省万源中学校考开学考试）已知，且，则的最大值为___________．
【答案】2
【分析】利用基本不等式得到，从而得到.
【详解】因为，且，所以，
即，当且仅当时等号成立，
所以．
故答案为：2
练习43．（2023秋·山东青岛·高一统考期末）已知函数且的图象过点.
(1)求的值及的定义域；
(2)求在上的最大值；
(3)若，比较与的大小.
【答案】(1)，定义域为；
(2)最大值是，
(3)．
【分析】（1）由求得，由对数函数的定义得定义域；
（2）函数式化简为只含有一个对数号，然后由二次函数性质及对数函数性质得最大值；
（3）指数式改写为对数式，然后比较的大小，并由已知得出的范围，在此范围内由的单调性得大小关系．
【详解】（1）由已知，，
，定义域为；
（2），
，，则，
所以，时取等号，
最大值为；
（3），，
，，
，，
所以，，则，，
∵，所以，，即，
，，
所以，，
∵在上是增函数，又在时是减函数，
∴在上是减函数，
∴．
练习44．（2023·全国·高三专题练习）设函数的最大值为M，最小值为N，则的值为________．
【答案】2
【分析】构造函数，证明它是奇函数，利用奇函数的最大值和最小值互为相反数可得结论．
【详解】由已知得，
因为，
所以，
易知函数的定义域为，因此函数是奇函数．
令，则,为奇函数，
则的最大值和最小值满足．
因为，，所以．
故答案为：2．
练习45．（2022秋·湖南邵阳·高三校考阶段练习）已知函数，则有（ ）
A．最小值B．最大值
C．最小值D．最大值
【答案】B
【分析】利用双勾函数的单调性求出的最小值，再利用对数函数的单调性可求得函数的最大值，即可得出结论.
【详解】，令，，
任取、且，则，，
所以，，
则，所以，函数在上单调递增，故当时，，
所以，，
又因为函数为减函数，故，
故选：B.
题型十对数函数的实际应用
例19．（2023春·四川宜宾·高三校考阶段练习）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为：．年月日，我国汶川发生了里氏级大地震，它所释放出来的能量约是年月日我国泸定发生的里氏级地震释放能量的（ ）倍．（参考数据：，，）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设里氏级、里氏级地震释放的能量分别为、，利用对数的运算性质可求得的值.
【详解】设里氏级、里氏级地震释放的能量分别为、，
则，即，
所以，.
故选：B.
例20．（2021秋·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考期末）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度（分贝）由公式（，为非零常数）给出，其中为声音能量.当声音强度，，满足时，声音能量，，满足的等量关系式为_________；当人们低声说话，声音能量为时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为时，声音强度为40分贝，当声音强度大于60分贝时属于噪音.火箭导弹发射时的噪音分贝数在区间内，此时声音能量数值的范围是_________.
【答案】
【分析】由得，，利用对数的运算化简可得；根据题意列方程组解出，，从而，再利用对数函数的单调性解不等式即可.
【详解】①由题知，，
当时，有，
整理得，，
因为，所以.
②由题知，，即，
解得，，
所以.
由，得，，
因为函数为上的增函数，所以，
故火箭导弹发射时的噪音分贝数在区间内，此时声音能量数值的范围是.
故答案为：；.
练习46．（2021秋·黑龙江鸡西·高三鸡西市第一中学校校考期中）（多选）声强级（单位：）与声强（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位：）．下列选项中正确的是（ ）
A．闻阈的声强级为
B．此歌唱家唱歌时的声强范围（单位：）
C．如果声强变为原来的倍，对应声强级也变为原来的倍
D．声强级增加，则声强变为原来的倍．
【答案】ABD
【分析】根据已知条件先计算出，然后再根据的变化确定的变化确定正确选项．
【详解】因为，时，，带入公式得，
A：时，，故A正确；
B：由题意，即，因此，解得，故B正确；
C：当变为时，代入有，故C错误；
D：设声强变为原来的倍，则，解得，故D正确；
故选：ABD．
练习47．（2023·全国·高三专题练习）中西方音乐的不同发展与其对音阶的研究有密切的关系，中国传统音阶是五声音阶：宫､商､角､徵､羽；西方音阶是七声音阶“D､Re､Mi､Fa､Sl､La､Si”.它们虽然不同，却又极其相似，最终发展的结果均是将一个完整的八度音阶分成了12个半音，即“十二平均律”.从数学的角度来看，这12个半音的频率成公比为的等比数列.已知两个音高，的频率分别为，，且满足函数关系：，已知两个纯五度音高的频率比，则它们相差的半音个数________.(其中，，结果四舍五入保留整数部分).
【答案】7
【分析】根据指数和对数的互化，结合对数的运算性质求解即可.
【详解】由题意可知，
所以，
即，
故，
故答案为：7
【点睛】本题主要考查指数和对数的互化，属于基础题，关键就是在求解过程中要熟练应用对数的运算性质，考查学生的基本功计算能力.
练习48．（2021秋·高三课时练习）《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1000个不同汉字任意排列，大约有种方法，设这个数为N，则的整数部分为（ ）
A．2566B．2567C．2568D．2569
【答案】B
【分析】由题意，得到，结合对数的运算性质，即可判定，得到答案.
【详解】由题可知，．
因为，所以，
所以的整数部分为2567．
故选：B.
【点睛】本题主要考查了对数的有关运算及性质的应用，其中解答中认真审题，根据对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力．
练习49．（2022秋·辽宁大连·高三大连八中校考阶段练习）我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannn）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率的公式，其中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中叫做信噪比．根据此公式，在不改变的前提下，将信噪比从99提升至，使得大约增加了60%，则的值大约为（ ）（参考数据：）
A．1559B．3943C．1579D．2512
【答案】C
【解析】由题意可得的方程，再由对数的运算性质求解即可．
【详解】由题意得：，
则，，
故选：C
练习50．（2022·高三单元测试）人们常用里氏震级表示地震的强度，表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为，2021年1月4日四川省乐山市犍为县发生里氏级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏级地震，则后者释放的能量大约为前者的（ ）倍．(参考数据：)
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设前者、后者的里氏震级分别为，前者、后者释放出的能量分别为、，根据已知关系式列式相减，利用对数运算法则可得．
【详解】设前者、后者的里氏震级分别为，前者、后者释放出的能量分别为、，则其满足关系和，
两式作差可以得到，
即，所以，
故选：C．
题型十一反函数
例21．（2023·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知，分别是方程和的根，若，实数a，，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】D
【分析】根据对称性求得，结合换元法以及基本不等式求得正确答案.
【详解】；.
函数与函数的图象关于直线对称，
由解得，设，
则，即，
，
令，则，
则
，
当且仅当时等号成立.
故选：D
例22．（2022秋·高三课时练习）（多选）关于函数与函数说法正确的有（ ）
A．互为反函数
B．的图像关于原点对称
C．必有一交点
D．的图像关于对称
【答案】AD
【分析】根据指对数函数同底互为反函数及反函数性质判断即可.
【详解】与函数是互为反函数，图像关于对称，故AD选项正确;
的图像不关于原点对称，故B选项错误;
当时,没有交点，故C选项错误;
故选:AD.
练习51．（2020秋·上海宝山·高三上海市行知中学校考期中）若关于的函数（，）的反函数是其本身，则_________
【答案】1
【分析】根据反函数的定义求原函数的反函数，列方程求.
【详解】函数的定义域为
因为，所以函数的值域为，
在的前提下解方程可得，
所以函数的反函数为，
由已知可得，
故答案为：1.
练习52．（2023秋·北京·高三校考期末）已知函数的图像与的图像关于直线对称，则（ ）
A．B．10C．12D．
【答案】C
【分析】由题意知两个函数互为反函数，求出的解析式，代值化简即可.
【详解】因为函数的图像与的图像关于直线对称，
所以函数与函数互为反函数，
所以，所以，
故选：C.
练习53．（2021秋·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）设定义域为的函数、都有反函数，且函数和图像关于直线对称，若，则__
【答案】
【分析】根据函数和图像关于直线对称列式，求得的值.
【详解】依题意，令，由于函数和图像关于直线对称，
故，的反函数是，而，故，解得，即
故答案为:
练习54．（2022秋·河北邢台·高三邢台市第二中学校考期末）若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调减区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用反函数的性质及复合函数单调性的性质求解即可.
【详解】∵函数与的图象关于直线对称，
∴函数是的反函数，则，
∴，
由，解得，
所以的定义域为，
令，，
在上单调递增，在上单调递减，
又在上单调递减，
∴的单调减区间为.
故选：D.
练习55．（2023秋·山东菏泽·高三山东省东明县第一中学校考期末）若，分别是方程，的根，则（ ）
A．2022B．2023C．D．
【答案】B
【分析】由于的图象与图象关于直线对称，而直线也关于直线对称，利用对称性，结合数形结合，再利用中点坐标公式可求出的值.
【详解】由题意可得是函数的图象与直线交点的横坐标，是函数图象与直线交点的横坐标，
因为的图象与图象关于直线对称，而直线也关于直线对称，
所以线段的中点就是直线与的交点，
由，得，即线段的中点为，
所以，得，
故选：B
题型一
对数的运算
题型二
换底公式的应用
题型三
对数函数的概念
题型四
对数函数的图象问题
题型五
对数型函数过定点问题
题型六
对数函数的定义域和值域问题
题型七
利用对数的单调性解不等式或比较大小
题型八
由对数函数的单调性求参数
题型九
对数函数的最值问题
题型十
对数函数的实际应用
题型十一
反函数