2024苏州高一下学期期中考试数学含解析

这是一份2024苏州高一下学期期中考试数学含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.i是虚数单位，则复数(3−i)(4−i)在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知单位向量a，b的夹角为2π3，则|a−b|=( )
A. 1B. 2C. 3D. 3
3.i是虚数单位，则z=11−i的共轭复数是( )
A. 12+12iB. 12−12iC. 1−iD. 1+i
4.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=1，A=135∘，则b+csinB+sinC的值为( )
A. 24B. 22C. 2D. 2 2
5.已知向量a=(3,−4)，b=(2,0)，则a在b上的投影向量为( )
A. (3,0)B. (32,0)C. 3D. 6
6.下列命题正确的是( )
A. AB−AC=BC
B. 若向量a=(2023,2024)，把a向右平移2个单位，得到的向量的坐标为(2025,2024)
C. 在△ABC中，AB⋅AC>0是△ABC为锐角三角形的充要条件
D. 在△ABC中，若λ为任意实数，且CP=λ(|CB|⋅CA+|CA|⋅CB)，则P点的轨迹经过△ABC的内心
7.苏州国际金融中心为地处苏州工业园区湖东CBD核心区的一栋摩天大楼，曾获2020年度CTBUH全球高层建筑卓越奖.建筑整体采用“鲤鱼跳龙门”之“鱼”作为象征主题，以“鱼跃龙门”为设计理念，呈鲤鱼飞跃之势寓意繁荣昌盛，大楼面向金鸡湖，迎水展开，如鱼尾般曼妙的弧线，从水面沿裙房一直延伸至主塔楼.某测量爱好者在过国际金融中心底部(当作点Q)一直线上位于Q同侧两点A，B分别测得金融中心顶部点P的仰角依次为30∘，45∘，已知AB的长度为330米，则金融中心的高度约为( )
A. 350米B. 400米C. 450米D. 500米
8.在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，BF=13BC，AF与BE交于点G，若BA=a，BC=b，则BG=( )
A. 27a+17bB. 17a+27bC. 25a+15bD. 15a+25b
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.在△ABC中，下列说法正确的是( )
A. 若A>B>C，则sinA>sinB>sinC
B. 若A>B>C，则sin2A>sin2B>sin2C
C. 若A>B>C，则csAC，则cs2A|PA|
C. ∠CPD的取值范围是[π6,π3]D. |PC|的取值范围是[1, 3]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知a，b为两个不共线的非零向量，若ka+b与a−2b共线，则k的值为__________.
13.△ABC中，若sin(A+π4)=−35，则sin(A−π12)=__________.
14.已知△ABC的外接圆半径为1，则AB⋅BC的最大值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z在复平面上对应点在第一象限，且|z|= 2，z2的虚部为2.
(1)求复数z;
(2)设复数z、z2、z−z2在复平面上对应点分别为A、B、C，求AB⋅AC的值.
16.(本小题15分)
已知向量OA，OB不共线，点P满足OP=xOA+yOB，x，y∈R.
证明：(1)若x=y=12，则点P是线段AB的中点;
(2)x+y=1是A、B、P三点共线的充要条件.
17.(本小题15分)
在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C满足：A在x轴的正半轴上，C的横坐标是−7 210，|OA|=|OB|=|OC|=1，OA⋅OB= 55.记∠AOB=α，∠AOC=β，α是锐角，β是钝角.
(1)求cs(α−β)的值;
(2)求β−2α的值.
18.(本小题17分)
如图，在平面四边形ABCD中，已知AD=1，CD=2，△ABC为等边三角形.记∠ADC=α.
(1)若α=π3，求△ABD的面积;
(2)若α∈(π2,π)，求△ABD的面积的取值范围.
19.(本小题17分)
某高一数学研究小组，在研究边长为1的正方形ABCD某些问题时，发现可以在不作辅助线的情况下，用高中所学知识解决或验证下列有趣的现象.
若P，Q分别为边AB，DA上的动点，当△APQ的周长为2时，PQ有最小值(图1)、∠PCQ为定值(图2)、C到PQ的距离为定值(图3).请你分别解以上问题.
(1)如图1，求PQ的最小值;
(2)如图2，证明：∠PCQ为定值;
(3)如图3，证明：C到PQ的距离为定值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】本题考查复数的代数形式的乘除运算，复数的代数表示及其几何意义，是基础题.
由(3−i)(4−i)=11−7i，由此能求出复数在复平面内对应的点所在的象限．
【解答】解：∵(3−i)(4−i)=11−7i，
在复平面内对应的点(11,−7)位于第四象限，
故选：D.
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了向量的数量积，是基础题
利用向量的数量积计算得结论.
【解答】解： 两个单位向量a⇀,b⇀的夹角为2π3，
则a⇀−b⇀= a⇀2−2a⇀⋅b⇀+b⇀2= 2−2×1×1×(−12)= 3，
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查复数的运算以及共轭复数的定义，属于基础题.
根据复数的四则运算计算出z=12+12i，即可得到z的共轭复数.
【解答】解：复数z=11−i=1+i2=12+12i，
则复数的共轭复数z=12−12i.
故选B.
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了正弦定理的应用，考查了计算能力，属于基础题.
在△ABC中，由正弦定理得asinA= 2，进行求解即可得．
【解答】解：在△ABC中，由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=1sin135∘= 2，
∴b+csinB+sinC= 2.
5.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了投影向量的计算，向量数量积的坐标运算，向量模的坐标表示，属于较易题．
求得a⋅b=6， |b|=2，利用投影向量的定义即可求解.
【解答】解：∵a=(3,−4)，b=(2,0)，
∴a⋅b=6， |b|=2，
∴则 a 在 b 上的投影向量为 a⋅b|b|b|b|=32b=(3,0)
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了向量的减法运算，向量平行(共线)关系的坐标表示，向量数量积的坐标运算，充分条件及其判断和向量的加法运算，属于基础题.
利用向量的减法运算对A进行判断，利用向量平行(共线)关系的坐标表示对B进行判断，利用向量数量积的坐标运算，结合充分条件的判断对C进行判断，利用向量的加法运算，结合平面几何知识对D进行判断，从而得结论.
【解答】
解：对于A.因为AB−AC=CB，故A错误；
对于B.因为向量a=(2023,2024)，所以把a向右平移2个单位，得到的向量的坐标为(2023,2024)，故B错误；
对于C.在△ABC中，当A=C=π6时，满足AB⋅AC>0，但△ABC是钝角三角形，
因此充分性不成立，故C错误；
对于D.在△ABC中，因为CP=λ(|CB|⋅CA+|CA|⋅CB)=λCB⋅CACACA+CBCBλ∈R，
所以点P的轨迹是∠ACB的平分线所在直线，因此P点的轨迹经过△ABC的内心，故D正确.
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查解三角形在实际问题中的运用，属于基础题.
设金融中心的高度为h，则htan60 ∘−htan45 ∘=330，解方程得出结论.
【解答】
解：设金融中心的高度为h，则htan60 ∘−htan45 ∘=330，
所以h≈450.
故选C.
8.【答案】B
【解析】【分析】
根据题意先设BG=λBE，AG=μAF，然后再根据向量线性运算算出AG=12λ−1a+λb，AG=−μa+13μb，再利用向量相等的概念，得到关于λ，μ的方程．即可求解
本题考查了平面向量的线性运算，同时考查了计算求解能力，属于基础题．
【解答】
解：设BG=λBE，AG=μAF，
∵BA=a，BC=b，
∴BE=BC+CE=b+12a，
∴BG=λBE=λb+12a=λb+12λa，
∴AG=AB+BG=−a+λBE=12λ−1a+λb，
∵BF=13BC，BC=b，
∴AF=AB+BF=−a+13b，
∴AG=μAF=−μa+13μb，
∴12λ−1=−μ13μ=λ，解得λ=27μ=67.
∴BG==λb+12λa=17a+27b.
故选B
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查正弦定理，考查和差化积公式，属于一般题.
对于A，由正弦定理及大角对大边即可判断；对于B，取A=75∘,B=60∘,C=45∘即可判断；对于C，根据余弦定理的单调性即可判断；对于D，根据和差化积公式即可判断.
【解答】
解：对于A，由正弦定理可得a>b>c⇒2RsinA>2RsinB>2RsinC
⇒sinA>sinB>sinC，
结合大角对大边得A>B>C⇒a>b>c，
故A>B>C⇒a>b>c⇒ sinA>sinB>sinC，故A正确;
对于B，取A=75∘,B=60∘,C=45∘，满足A>B>C，
但sin2C=sin90∘=1，故sin2C>sin2A，sin2C>sin2B，故B错误；
对于C，0