2024年湖南省株洲市石峰区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年湖南省株洲市石峰区中考数学一模试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，四象限B. 函数图象经过点，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列关系中，成反比例函数关系的是( )
A. 圆的面积S与它的半径r之间的关系
B. 用频率估计概率时，概率P与频率p的关系
C. 电压U一定时，电流I与电阻R之间的关系
D. 小明的身高h与年龄x之间的关系
2.关于反比例函数y=3x的图象及性质说法正确的是( )
A. 函数图象分别位于第二、四象限B. 函数图象经过点(−3,1)
C. 当x>0时，y随x的增大而增大D. 当−33.某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率P(单位：W)与做功的时间t(单位：s)存在反比例函数关系.如表是他们实验的几组数据：
则功率P(W)与做功的时间t(s)之间的函数关系式是( )
A. P=1200tB. P=1200tC. P=t1200D. P=120t
4.在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(0,5)，(6,1).若反比例函数y=kx的图象恰好经过线段AB的中点，则k的值是( )
A. −9B. 9C. −6D. 6
5.函数y=mx与y=mx2−m(m≠0)在同一直角坐标系中的大致图象可能是( )
A. B. C. D.
6.已知反比例函数y=kx的图象经过A(4,4)，B(2,4)，C(1,8)中的两点，则反比例函数的解析式为( )
A. y=−8xB. y=8xC. y=−16xD. y=16x
7.如果A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(7,y3)三点都在反比例函数y=−4x的图象上，其中x1A. y18.在平面直角坐标系中，将直线y=−2x沿y轴向上平移m(m>0)个单位长度得到直线l，直线l与反比例函数y=2x(x>0)的图象有一个交点，则m的值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
9.如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y=kx(k≠0,x>0)，若矩形ABCD的面积为10，则k的值为( )
A. 10B. 4 3C. 3 2D. 5
10.如图，一次函数y1=k1x+b的图象与反比例函数y2=k2x(k2>0)的图象交于点A(4,n)与点B(−1,−4).连接BO并延长交反比例函数于另一点C，过点C作y轴的平行线交直线AB于点D，连接OD，则CD的长为( )
A. 3B. 6C. 8D. 10
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若函数y=(m+1)xm2−4m−6是y关于x的反比例函数，则m= ______．
12.如图，点A在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，AB⊥x轴于点B，C为OB的中点，连接AO，AC，若△OAC的面积为6，则k的值为______．
13.如图是一台印刷机每年可印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间x(年)的关系图，点P在图象上，则当x=5年时，y= ______万册．
14.反比例函数y=−6x的图象与直线y=kx(k<0)相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，则x1y2+x2y1的值是______．
15.如图，直线y=13x+4与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A，与y轴正半轴交于点B，过点A作x轴的垂线，垂足为点C，已知OB：OC=4：3，则k的值为______．
16.已知直线l：y=kx+b(k≠0)与双曲线y=−1x交于点A(m1,n1)，B(m2,n2).
(1)若m1+m2=0，则n1+n2= ______；
(2)若m1+m2>0时，n1+n2>0，则k ______0，b ______0(填“>”“=”或“<”)．
三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
已知反比例函数y=3+ax，且当x=3时，y=−2．
(1)求a的值；
(2)在图中画出该函数图象．
18.(本小题6分)
某课外小组做气体实验时，对一定质量气体的压强p(单位：Pa)和体积V(单位：cm3)进行了测量，测量结果如图所示．
(1)求函数解析式；
(2)当气体体积为2.5cm3时，压强是多少？
19.(本小题7分)
如图，直线y=x+b与反比例函数y=kx(k>0)的图象交于A(3,k−2)，B两点．
(1)求k，b的值；
(2)根据函数图象，求当x+b>kx时，x的取值范围．
20.(本小题7分)
在平面直角坐标系中，双曲线y=kx(x>0)分别与直线y=2x+1和x=3交于A，B两点，点A的坐标为(1,3)，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做“整点”．
(1)求双曲线的解析式；
(2)若双曲线与两条直线围成的区域(不含边界上的点)为P，试求区域P内的整点个数．
21.(本小题8分)
小明学习正比例函数y=kx(k≠0)和反比例函数y=kx(k≠0)时，见到如下“叠合”函数y=ax+bx(a⋅b≠0)，其中函数图象经过(−1,0)，(2,32)两点，请帮小明完成以下问题：
(1)求该“叠合”函数的表达式；
(2)如图是该函数图象的一部分，完成表格中的数据，并补全y关于x的函数图象；
(3)下列结论：①该函数图象关于直线y=x对称；②该函数图象关于直线y=−x对称；③当x>0时，y随x的增大而增大；④当函数值y≥0时，x的取值范围是−1≤x<0或x≥1.其中结论正确的是______(填序号)．
22.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，等边△AOB的边长为2，顶点A在x轴上，延长OB至点C.使OB=BC，过点C作CD/​/BA交x轴于点D，反比例函数y1=k1x(x>0)经过点B交CD于点E，反比例函数y2=k2x(x>0)经过点C．
(1)求反比例函数y1，y2的解析式；
(2)连接BE，BD，计算△BED的面积．
23.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在x轴上，OC在y轴上，OA=4，OC=2，点D是BC边上的动点(不与B，C重合)，反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过点D，且与AB交于点E，连接OD，OE，DE．
(1)若点D的横坐标为1．
①求k的值；
②点P在x轴上，当△ODE的面积等于△ODP的面积时，试求点P的坐标；
(2)延长ED交y轴于点F，连接AC，判断四边形AEFC的形状，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、圆的面积S与半径r的关系，即S=πr2，是二次函数关系，故不符合题意；
B、用频率估计概率时，概率P与频率p的关系为P=p，不是反比例函数关系，故不符合题意；
C、电压U一定时，电流I与电阻R之间的关系为I=UR，电流I与电阻R之间的关系是反比例函数关系，故符合题意；
D、小明的身高h与年龄x之间没有特定关系，故不符合题意；
故选：C．
根据题意写出关系式，根据反比例函数的定义判断即可．
本题考查的是反比例函数的定义，形如y=kx(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．
2.【答案】D
【解析】解：A、k=3>0，则图象位于第一、三象限，故不符合题意；
B、当x=−3时，y=−1，所以图象经过点(−3,−1)，故不符合题意；
C、当x>0时，图象在第一象限，y随x的增大而减小，故不符合题意；
D、当−3∵当x=−3时，y=−1，当x=−1时，y=−3，
∴当−3故选：D．
根据反比例函数图象和性质即可逐一分析即可．
本题考查反比例函数的图象和性质，准确理解反比例函数的性质是解题关键．
3.【答案】A
【解析】解：设功率P(单位：W)与做功的时间t(单位：s)的函数解析式为P=kt(k≠0)，
把t=10，P=120代入解析式得：120=k10，
解得：k=1200，
∴功率P(单位：W)与做功的时间t(单位：s)的函数解析式为P=1200t．
故选：A．
先设出P与t的函数解析式，再把表中一组数据代入解析式即可．
本题考查反比例函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
4.【答案】B
【解析】解：∵点A，B的坐标分别为(0,5)，(6,1)，C为AB的中点时，
∴点C的坐标为(0+62,5+12)，即(3,3)，
∴3=k3，
∴k=9，
故选：B．
先计算出C的坐标，再利用待定系数法即可求出答案．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出AB的中点C的坐标．
5.【答案】D
【解析】解：由解析式y=mx2+m可得：抛物线对称轴x=0；
A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得m<0，则抛物线开口方向应该向下，故A不符合题意；
B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得m>0，则抛物线开口方向应该向上，故B不符合题意；
C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得m>0，则抛物线开口方向应该向上，故C不符合题意；
D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得m>0，则抛物线开口方向应该向上，与y轴的交点在y轴的负半轴上，故D符合题意．
故选：D．
本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：(1)先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；(2)根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．
6.【答案】B
【解析】解：把A(4,4)，B(2,4)，C(1,8)分别代入y=kx得，
k=4×4=16，k=1×8=8，k=24=8，
∴反比例函数y=8x经过B，C两点，
故选：B．
把A(4,4)，B(2,4)，C(1,8)代入数y=kx求得k的值，即可得到结论．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵反比例函数y=−4x中，k=−4<0，
∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．
∵x1∴A(x1,y1)，B(x2,y2)，在第二象限，点C(7,y3)在第四象限，
∴y3故选：B．
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：由平移可得直线l的解析式为：y=−2x+m，
令−2x+m=2x，
整理得，2x2−mx+2=0，
∵直线l与反比例函数y=2x(x>0)的图象有一个交点，
∴Δ=(−m)2−4×2×2=0，
解得m=4或m=−4(舍)．
∴m的值为4．
故选：C．
根据题意可得出直线l的解析式，联立，得出一元二次方程，令Δ=0，即可得出m的值．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系等相关知识，得出关于x的一元二次方程是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】设A(m,km)，
∴AB=km，
∵矩形的面积为10，
∴BC=10km=10mk，
∴矩形ABCD对称中心的坐标为：
矩形对称中心的坐标为：(m+12×10mk,12×km)，即(m+5mk,k2m)
∵对称中心在y=kx的图象上，
∴k2m=km+5mk，
∴mk−5m=0，
∴m(k−5)=0，
∴m=0(不符合题意，舍去)或k=5，
故选：D．
设A点的坐标为(m,km)则根据矩形的性质得出矩形中心的坐标为：(m+12×10mk,12×km)，即(m+5mk,k2m)，进而可得出BC的长度．然后将坐标代入函数解析式即可求出k的值．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy为定值是解答此题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵反比例函数y2=k2x(k2>0)的图象交于点A(4,n)与点B(−1,−4)，
∴k2=4n=−1×(−4)，
∴k2=4，n=1，
∴A(4,1)，
把A、B的坐标代入y1=k1x+b得4k1+b=1−k1+b=−4，
解得k1=1b=−3，
∴直线AB为y=x−3，
∵B(−1,−4)，
∴C(1,4)，
∵CD/​/y轴，
∴D(1,−2)，
∴CD=4+2=6，
故选：B．
利用待定系数法求得反比例函数的解析式即可求得点A的坐标，进一步求得直线AB的解析式，利用反比例函数的中心对称性求得C的坐标，即可求得D点的坐标，从而求得CD的长度．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性，求得直线AB的解析式以及C点的坐标是解题的关键．
11.【答案】5
【解析】解：根据反比例函数的定义，得m2−4m−6=−1，且m+1≠0，
解得m=5或m=−1(舍去)，
∴m=5．
故答案为：5．
根据反比例函数的定义作答即可．
本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是本题的关键．
12.【答案】−24
【解析】解：由题意可知，S△OAC=6，BC=OC，
∴S△AOB=2S△OAC=12，
又∵丨k丨=2S△AOB=24，且反比例函数图象在第二象限，
∴k=−24．
故答案为：−24．
根据反比例函数k值的几何意义解答即可．
本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是关键．
13.【答案】8
【解析】解：由图象可知，一台印刷机每年可印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间(年)成反比例函数，
设函数解析式为：y=kx(x>0,k>0)，
将P(1,40)代入所设解析式得：
40=k1，解得：k=40，
∴反比例函数解析式为：y=40x，
当x=5时，y=405=8(万册)，
故答案为：8．
根据图象推断为反比例函数，待定系数法求出反比例函数解析式，将x=5代入解析式求出y值即可．
本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求出函数解析式是解答本题的关键．
14.【答案】12
【解析】解：∵A(x1,y1)，B(x2,y2)两点关于原点对称，
∴x1=−x2，y1=−y2，
把A(x1,y1)代入反比例函数解析式得：x1⋅y1=−6，
∴x1y2+x2y1=−x1y1−x2y2=6+6=12．
故答案为：12．
根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握得到坐标特征是关键．
15.【答案】15
【解析】解：∵直线y=13x+4与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A，与y轴正半轴交于点B，
∴B(0,4)，
∵OB：OC=4：3，
∴OC=3，即C(3,0)，
当x=3时，y=13x+4=5，
∴A(3,5)，
∵点A在反比例函数图象上，
∴k=3×5=15．
故答案为：15．
根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键．
16.【答案】0 < >
【解析】解：(1)由m1+m2=0可知，m1=−m2，点A(m1,n1)，B(m2,n2)在反比例函数图象上，
∴n1=1m1=−1−m2=1m2，n2=−1m2，
∴n1+n2=0，
故答案为：0．
(2)∵反比例函数图象在第二、四象限，且m1+m2>0时，n1+n2>0，
∴点A(m1,n1)，B(m2,n2)在不同的象限，
设A(m1,n1)在第二象限，B(m2,n2)在第四象限，则m1<0，n1>0，n2<0，且丨m2丨>丨m1丨，丨n1丨>丨n2丨，
∴直线y=kx+b(k≠0)经过第一、二、四象限，
∴k<0，b>0．
故答案为：<；>．
(1)根据题意可知m1=−m2，将点A、B坐标代入反比例函数解析式即可得到结果；
(2)根据题意得到点A(m1,n1)，B(m2,n2)在不同的象限，设A(m1,n1)在第二象限，B(m2,n2)在第四象限，则m1<0，n1>0，n2<0，且丨m2丨>丨m1丨，丨n1丨>丨n2丨，则直线y=kx+b(k≠0)经过第一、二、四象限，据此得到结果．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式．
17.【答案】解：(1)把x=3，y=−2代入y=3+ax得，−2=3+a3，
解得a=−9；
(2)由(1)知反比例函数的解析式为y=−6x，
∴当x=−6，−3，−2，2，3，6时，y=1，2，3，−3，−2，−1，
描点，连线，则该函数图象如图所示．
【解析】(1)将x=3，y=−2代入解析式求解．
(2)根据函数解析式及表格作图．
本题主要考查待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象的画法，熟练掌握反比例函数图象的画法是关键．
18.【答案】解：(1)设函数的解析式为p=kV，
将点(2,3)的坐标代入上式得：3=k2，
解得k=6，
∴p=6V(V>0)；
(2)当V=2.5cm3时，
p=62.5=2.4，
∴当气体体积为2.5cm3时，压强是2.4Pa．
【解析】(1)用待定系数法可得反比例函数的解析式；
(2)结合(1)，令V=2.5cm3，求出p的值即可．
本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出反比例函数的解析式．
19.【答案】解：(1)将点A(3,k−2)代入反比例函数y=kx中得k=3(k−2)，
解得k=3，
∴A(3,1)，将点A坐标代入直线解析式得：1=3+b，
解得：b=−2．
(2)由(1)可知，反比例函数解析式为：y=3x，一次函数解析式：y=x−2，
令3x=x−2，解得x=3或−1．
∴B(−1,−3)，
根据图像可知当x+b>kx时，x的取值范围为：−13．
【解析】(1)将点A(3,k−2)代入反比例函数求出k，将A(3,1)，将点A坐标代入直线解析式求出b值即可；
(2)根据图像直接写出不等式的解集即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)∵点A在双曲线y=kx(x>0)上，
∴k=1×3=3，
∴双曲线的解析式为y=3x(x>0)；
(2)∵双曲线y=3x(x>0)与直线x=3交于B，
∴当x=3时，y=1，
∴B(3,1)，
在区域P内x的取值范围为1在一次函数y=2x+1中，当x=2时，y=2×2+1=5，
在反比例函数y=3x(x>0)中当x=2时，y=32=1.5，
∴在区域P内y的取值范围为1.5∴整点有(2,2)，(2,3)(2.4)，
∴区域P内的整点个数为3．
【解析】(1)把点A(1,3)代入y=kx(x>0)得到k=3，于是得到双曲线的解析式为y=3x(x>0)；
(2)由双曲线y=3x(x>0)与直线x=3交于B，得到B(3,1)，求得在区域P内x的取值范围为1本题考查待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象上点的坐标特征，理解“整点坐标”的实际意义是正确解答的前提．
21.【答案】−32 0 32 83 154 ③④
【解析】解：(1)把(−1,0)，(2,32)代入y=ax+bx(a⋅b≠0)，
得−a−b=02a+b2=32，解得a=1b=−1，
∴该“叠合”函数的表达式为y=x−1x；
(2)完成表格中的数据如下：
补全y关于x的函数图象如图：
；
(3)观察图象：
①该函数图象关于直线y=x对称，错误；
②该函数图象关于直线y=−x对称，错误；
③当x>0时，y随x的增大而增大，正确；
④当函数值y≥0时，x的取值范围是−1≤x<0或x≥1，正确．
故答案为：③④．
(1)把(−1,0)，(2,32)两点代入y=ax+bx(a⋅b≠0)，利用待定系数法即可求解；
(2)利用解析式计算填表即可，然后描点、连线画出函数的图象；
(3)利用函数的图象判断即可．
本题主要考查待定系数法求函数的解析式，叠合”函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
22.【答案】解：(1)过点B作BF⊥OA，垂足为F，如图：

∵等边△AOB的边长为2，
∴OF=AF=1，BF= 3，
∴B(1, 3)，
∵OB=BC，
∴C(2,2 3)，
把点B(1, 3)，C(2,2 3)分别代入y1=k1x(x>0)和y2=k2x(x>0)得： 3=k11，2 3=k22，
解得k1= 3，k2=4 3；
∴y1= 3x，y2=4 3x；
(2)连接AE，如图：

∵AB/​/CD，OB=BC，
∴OA=AD=2，S△ADE=S△BDE，
∴D(4,0)，
由C(2,2 3)，D(4,0)可得直线CD解析式为y=− 3x+4 3，
联立y=− 3x+4 3y= 3x，
解得x=2+ 3y=2 3−3或x=2− 3y=2 3+3(舍去)，
∴E(2+ 3,2 3−3)，
∴S△ADE=12AD⋅yD=12×2×(2 3−3)=2 3−3=S△BDE，
∴△BED的面积为2 3−3．
【解析】(1)过点B作BF⊥OA，垂足为F，由等边△AOB的边长为2，可得OF=AF=1，BF= 3，B(1, 3)，而OB=BC，知C(2,2 3)，即可得y1= 3x，y2=4 3x；
(2)连接AE，由AB/​/CD，OB=BC，得OA=AD=2，S△ADE=S△BDE，D(4,0)，求出直线CD解析式为y=− 3x+4 3，联立y=− 3x+4 3y= 3x，解得E(2+ 3,2 3−3)，故S△ADE=12AD⋅yD=12×2×(2 3−3)=2 3−3=S△BDE．
本题考查反比例函数图象上点坐标的特征，涉及待定系数法，三角形面积等，解题的关键是掌握待定系数法，能求出点E的坐标．
23.【答案】解：(1)①∵四边形ABCO是矩形，
∴∠BCO=∠B=∠AOC=90°，
∵OC=2，点D的横坐标为1，
∴D(1,2)，
∵反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过点D，
∴k=1×2=2；
②∵OC=2，D(1,2)，
∴CD=1，
∵D，E都在反比例函数y=kx的图象上，
∴S△COD=S△AOE=1，
∵OA=4，
∴AE=12，
∴S△ODE=2×4−12×1×2−12×4×12−12×32=154，
∵点P在x轴上，
∴设P(x,0)，
∴S△ODP=12×|x|×2=154，
解得：x=±155，
∴P(154,0)或(−154,0)；
(2)连接AC，四边形AEFC是平行四边形，理由如下：

由题意得：D(k2,2)，E(4,k4)，
设EF的函数解析式为：y=ax+b，
则2=k2a+bk4=4a+b，
解得a=−12b=8+k4，
∴OF=8+k4，
∴CF=OF−2=k4=AE，
又∵CF/​/AE，
∴四边形AEFC是平行四边形．
【解析】(1)①根据矩形的性质得到∠BCO=∠B=∠AOC=90°，求得D(1,2)，把D(1,2)代入y=kx(k>0,x>0)即可得到结论；
②由D，E都在反比例函数y=kx的图象上，得到S△COD=S△AOE=1，根据三角形的面积公式得到S△ODE=2×4−12×1×2−12×4×12−12×32=154，设P(x,0)，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
(2)连接AC，根据题意得到D(k2,2)，E(4,k4)，设EF的函数解析式为y=ax+b，解方程得到OF=8+k4，求得CF=OF−2=k4=AE，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
本题主要考查反比例函数与几何综合，掌握反比例函数图象上的点的坐标的特征，矩形的性质是解题的关键．t(单位：s)
10
20
30
40
50
P(单位：W)
120
60
40
30
24
x
…
12
1
2
3
4
…
y
…
______
______
______
______
______
…
x
…
12
1
2
3
4
…
y
…
−32
0
32
83
154
…