2024年上海市长宁区高三一模数学试卷及答案

这是一份2024年上海市长宁区高三一模数学试卷及答案，共11页。
1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．
2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．
3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1. 已知集合，，则 .
2. 复数满足（为虚数单位），则 .
3. 不等式的解集为 .
4. 设向量，，若，则 .
5. 将4个人排成一排，若甲和乙必须排在一起，则共有 种不同排法.
6. 物体位移和时间满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为 .
7．现利用随机数表法从编号为00，01，02，，18，19的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为 .
95226000 49840128 66175168 39682927 43772366 27096623
92580956 43890890 06482834 59741458 29778149 64608925
8. 在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值（单位：）定义为.其中为声场中某点的声强度，其单位为，为基准值.若，则其相应的声强级为 .
9. 若向量，，则在方向上的投影向量为_______．
10．若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围 ．
11. 若函数在上是严格单调函数，则实数的取值范围为 .
12. 设，记函数在区间上的最大值为，若对任意，都有，则实数的最大值为 .
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ）.
A.； B. ； C.； D..
14．“”是“事件 与事件互相独立”（ ）.
A．充分不必要条件； B．必要不充分条件；
C．充要条件； D．既不充分也不必要条件.
15. 设点是以原点为圆心的单位圆上的动点，它从初始位置出发，沿单位圆按逆时针方向转动角后到达点，然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角到达. 若点的横坐标为，则点的纵坐标（ ）.
A．； B．； C．； D．.
16. 豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐. 将三角形豆腐悬空挂在发酵空间内，记发酵后毛豆腐所构成的几何体为.若忽略三角形豆腐的厚度，设，,，点在△内部.假设对于任意点，满足的点都在内，且对于内任意一点，都存在点，满足，则的体积为（ ）.
A.； B.； C.； D..
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.
已知等差数列的前项和为，公差.
（1）若，求的通项公式；
（2）从集合中任取3个元素，记这3个元素能成等差数列为事件，求事件发生的概率.
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.
如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．
（1）求证：；
（2）若，，，求异面直线与所成的角的大小．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.
汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心.如图1，某汽车四轮中心分别为A、B、C、D，向左转向，左前轮转向角为，右前轮转向角为，转向中心为O. 设该汽车左右轮距AB为米，前后轴距AD为米.
（1）试用、和表示；
（2）如图2，有一直角弯道，M为内直角顶点，EF为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮A、D与路边FS相距2米.试依据如下假设，对问题*做出判断，并说明理由.
假设：= 1 \* GB3①转向过程中，左前轮转向角的值始终为；= 2 \* GB3②设转向中心O到路边EF的距离为，若且，则汽车可以通过，否则不能通过；= 3 \* GB3③，.
问题*：可否选择恰当转向位置，使得汽车通过这一弯道？
图1 图2
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.
已知椭圆，、为的左、右焦点，点在上，直线与圆相切.
（1）求△的周长；
（2）若直线经过的右顶点，求直线的方程；
（3）设点在直线上，为原点，若，求证：直线与圆相切.
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.
若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数的“约束函数”.已知函数是函数的“约束函数”.
（1）若，判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若，，求实数的取值范围；
（3）若为严格减函数，，且函数的图像是连续曲线，求证：是上的严格增函数.
参考答案和评分标准
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1. ；2. ；3. ；4. 2；5.12；6. 80；
7．14；8. 130；9.；10．；11. ；12..
11解：，
因为，所以在上是严格减函数，
当时，恒成立，所以在上恒成立，
因为我是，所以
12解：设，
因为，所以
所以
得
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.A；14.C；15. D；16.B
16解：该几何体由一下几部分组成：
一个底面与平行高为2的三棱柱；底面为半径为1的半圆，高分别3、4、5的三个圆柱；一个半径为1的球.
所以该几何体的体积为
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.
已知等差数列的前项和为，公差.
（1）若，求的通项公式；
（2）从集合中任取3个元素，记这3个元素能成等差数列为事件，求事件发生的概率.
解：（1）因为，所以， ……..2分
得， …….4分
所以. …….6分
（2）随机实验样本空间中样本点的个数为， ……..3分
事件所含样本点分两类，
公差为的有4个，公差为的有2个， ……..6分
所以事件发生的概率. …….8分
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.
如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．
（1）求证：；
（2）若，，，求异面直线与所成的角的大小．
（1）证明：因为，为的中点，
所以， …….2分
因为平面平面，
所以平面， …….4分
因为平面，所以. …….6分
（2）由（1）知平面，
作，因为，所以，
进而可以、、分别为轴、轴和轴正方向，建立坐标系，…..3分
因为，，
所以可设，，，， …..6分
因为，
设异面直线与所成的角为，
则，所以 ……8分
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.
汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心.如图，某汽车四轮中心分别为A、B、C、D，向左转向，左前轮转向角为，前右轮转向角为，转向中心为O. 设该汽车左右轮距AB为米，前后轴距AD为米.
（1）试用、和表示；
（2）如图2，有一直角弯道，M为内直角顶点，EF为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮A、D与路边FS相距2米.试依据如下假设，对问题*做出判断，并说明理由.
假设：= 1 \* GB3①转向过程中，左前轮转向角的值始终为；= 2 \* GB3②设转向中心O到路边EF的距离为，若且，则汽车可以通过，否则不能通过；= 3 \* GB3③，.
问题*：可否选择恰当转向位置，使得汽车通过这一弯道？
解：（1）由已知，， …….2分
所以，，……..4分
进而. …….. 6分
（2）以EF和FS分别为轴和轴建立坐标系，
则.，
，……..2分
设，，，
， ……..4分
由，得，进而，
由，得，…….6分
所以当时，且，此时汽车可以通过弯道.
答：选择恰当转向位置，汽车可以通过弯道. …….8分
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.
已知椭圆，、为的左、右焦点，点在上，直线与圆相切.
（1）求△的周长；
（2）若直线经过的右顶点，求直线的方程；
（3）设点在直线上，为原点，若，求证：直线与圆相切.
解：（1）设椭圆的聚焦为，长轴长为，短轴长为，
则，，所以， ……..2分
所以，
得△的周长为. ……..4分
（2）椭圆的右顶点为，
所以可设直线的方程为， ……..2分
因为圆与直线相切，
所以， ……..4分
解得，直线的方程为. …….6分
（3）设，，
因为，所以， …….2分
当时，，
由，得，，
直线方程为，与圆相切， …….4分
当时，直线的方程为
则原点到直线的距离为， …….6分
因为，，
所以．
此时直线与圆相切． ……8分
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.
若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数的“约束函数”.已知函数是函数的“约束函数”.
（1）若，判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若，，求实数的取值范围；
（3）若为严格减函数，，且函数的图像是连续曲线，求证：是上的严格增函数.
证明：（1）函数为偶函数. ……2分
因为对任意，都有，
所以，
得，所以为偶函数. ………4分
（2）解：设
因为是上的严格增函数，所以，
进而，
所以，，
设，，
则与均为上的严格增函数， …….3分
，恒成立
因为，，所以，得，
当时，恒成立，
所以. ………..6分
（3）设，因为是严格减函数，所以，
而，所以
所以对任意，都有（*） ……2分
= 1 \* GB3 ①首先证明，当时，，
假设存在，且，
设，则，，
所以存在，使得，
得，与结论*矛盾，
所以不存在，使得
同理也不存在，使得，
所以当时，. ……5分
= 2 \* GB3 ②再证明，当时，，
假设存在，使得，
则
设，则，，
所以存在，使得，
得，与结论*矛盾，
所以假设不成立，即对任意，都有
所以函数是区间上的增函数 ……8分