河南省周口市西华县青华中英文学校2023-2024学年八年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷共6页，三大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．
3．答卷前请将弥封线内的项目填写清楚．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可．
【详解】由题意得，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2. 若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（ ）
A. x＝0B. x＝1C. x＝2D. x＝3
【答案】D
【解析】
【分析】根据同类二次根式的定义得出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，
∴x+3＝2x，
解得：x＝3，
故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
①，②，③，④＝2，⑤，⑥=3
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】由二次根式的加减运算可判断①，由二次根式的化简可判断②，⑤，⑥，由二次根式的乘法可判断③，由二次根式的除法可判断④，从而可得答案．
【详解】解：不是同类二次根式，不能合并，故①不符合题意；
故②符合题意；
故③符合题意；
故④符合题意；
故⑤不符合题意；
故⑥不符合题意；
故正确的有3个，
故选C．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的加法，二次根式的乘法与除法，掌握“二次根式的化简与二次根式的加减乘除运算的运算法则”是解本题的关键．
4. 如图，在菱形中，，则菱形的周长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由菱形中，，，根据菱形的性质，可求得，，，然后由勾股定理求得的长，即可解答．
【详解】解：∵菱形中，，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴菱形的周长，
故选：D．
【点睛】此题考查了菱形的性质以及勾股定理，关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分．
5. 运动展风采，筑梦向未来．为进一步贯彻“双减”政策，落实“五育”并举，学校组织了秋季田径运动会．如图是运动会的颁奖台，3个长方体颁奖台的长均为，宽均为，1，2，3号台的高度分别是，，．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点A处沿表面爬到1号颁奖台的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意将长方体展成平面图，根据两点之间线段最短，由勾股定理即可求得蚂蚁爬行的最短路程．
【详解】解：将长方体部分展成平面图得：
由题意，，
故选：C．
【点睛】本题主要考查展开图求最短路径的问题，运用勾股定理求两点之间的距离是解题的关键．
6. 如图，在中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据，，得出，根据，平分，得出，进而推出是的中位线，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，平分，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
7. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A. 两组对边分别相等B. 两组对角分别相等
C. 两条对角线互相平分D. 两条对角线相等
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的性质和平行四边形的性质进行判断．
【详解】解：A.两组对边分别相等是矩形和平行四边形都具有的性质，故不符合题意；
B.两组对角分别相等是矩形和平行四边形都具有的性质，故不符合题意；
C.两组对角线互相平分是矩形和平行四边形都具有的性质，故不符合题意；
D.两条对角线相等是矩形具有而平行四边形不具有的性质，故符合题意．
故选D
【点睛】本题主要考查了矩形和平行四边形的性质，熟练掌握矩形和平行四边形的性质是解答本题的关键．
8. 如图，ABCD是一张长方形纸片，将AD，BC折起，使A、B两点重合于CD边上的P点，然后压平得折痕EF与GH．若PE＝8cm，PG＝6cm，EG＝10cm，则长方形纸片ABCD的面积为（ ）
A. 105.6cm2B. 110.4cm2C. 115.2cm2D. 124.8cm2
【答案】C
【解析】
【分析】根据翻折的性质及勾股定理得长方形的宽，然后由长方形的面积公式可得答案．
【详解】解：依题意，得AE＝PE＝8cm，BG＝PG＝6cm，
∴AB＝AE+EG+GB＝24cm，
∵
∴是直角三角形
∴∠EPG＝90°，
设EG边上的高为h
∴长方形的宽为h=6×8÷10＝4.8（cm），
故面积为24×4.8＝115.2（cm2）．
故选：C．
【点睛】此题考查的是翻折的性质，掌握其性质是解决此题关键．
9. 如图，菱形ABCD中，，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且，连接BE，分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：
①；②；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④，其中正确的结论是（ ）
A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ②③④
【答案】C
【解析】
【分析】①由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，证出OG是△ABD的中位线，得出OG=AB，①正确；
③先证明四边形ABDE是平行四边形，证出△ABD、△BCD是等边三角形，得出AB=BD=AD，因此OD=AG，得出四边形ABDE是菱形，③正确；
②连接FD，由等边三角形的性质和角平分线的性质得F到△ABD三边的距离相等，则S△BDF=S△ABF=2S△BOF=2S△DOF=S四边形ODGF，则S四边形ODGF=S△ABF，②错误；即可得出结论．
④∵连接CG，由O、G分别是AC，AD的中点，得到，则S△ACD＝4S△AOG，再由S△AOG＝S△BOG，得到S△ACD＝4S△BOG，故④正确；
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG＝AB，故①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴平行四边形ABDE是菱形，故③正确；
∵连接CG，
∵O、G分别是AC，AD的中点，
∴，
∴S△ACD＝4S△AOG，
∵，
∴S△AOG＝S△BOG，
∴S△ACD＝4S△BOG，故④正确；
连接FD，如图：
∵△ABD是等边三角形，AO平分∠BAD，BG平分∠ABD，
∴F到△ABD三边的距离相等，
∴S△BDF＝S△ABF＝2S△BOF＝2S△DOF＝S四边形ODGF，
∴S四边形ODGF＝S△ABF，故②错误；
正确的是①③④，
故选C．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及三角形面积等知识，综合运用以上知识是解题的关键．
10. 如图所示，四边形的对角线，互相垂直，若，，则的长为（ ）
A. 2.5B. 3C. 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】在中，，在中，，再根据即可得出答案．
【详解】解：在中，，
在中，，
∴
，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理，正确利用勾股定理是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 已知，当x分别取1，2，3，……，2023时，所对应y值的总和是___．
【答案】2029
【解析】
【分析】根据，依题意，分，两种情况讨论，求得的值，进而求得答案．
【详解】解：∵，
∴当时，，
∴，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴，
当x分别取1，2，3，…，2023时，所对应y值的总和是．
故答案为：2029．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，化简绝对值，整式的加减，代数式求值，分类讨论是解题的关键．
12. 已知为有理数，分别表示的整数部分和小数部分，且，则_________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：因为2＜＜3，所以2＜＜3，故m=2，n=-2=3-．
把m=2，n=3-代入amn+bn2=1得，2（3-）a+（3-）2b=1
化简得（6a+16b）-（2a+6b）=1，
等式两边相对照，因为结果不含，
所以6a+16b=1且2a+6b=0，解得a=1.5，b=-0.5．
所以2a+b=3-0.5=2.5．
考点：1.二次根式的混合运算；2.估算无理数的大小．
13. 如图，点A在线段BG上，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，面积分别是10和19，则△CDE的面积为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形的面积公式，已知边CD的长，求出CD边上的高即可．过E作EH⊥CD，易证△ADG与△HDE全等，求得EH，进而求△CDE的面积．
【详解】解：过E作EH⊥CD于点H．
∵∠ADG+∠GDH=∠EDH+∠GDH，
∴∠ADG=∠EDH．
又∵DG=DE，∠DAG=∠DHE．
∴△ADG≌△HDE．
∴HE=AG．
∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，面积分别是5和9．即AD2=5，DG2=9．
∴在直角△ADG中，
AG=,
∴EH=AG=3．
∴△CDE的面积为CD·EH=××3=．
故答案为.
【点睛】考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、正方形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解决本题的关键．
14. 如图，一根长16cm的牙刷置于底面直径为6cm、高8cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是_____．
【答案】6≤h≤8．
【解析】
【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．
【详解】解：当牙刷与杯底垂直时h最大，h最大＝16﹣8＝8cm．
当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图所示：此时，AB＝cm，
故h＝16﹣10＝6cm．
故h的取值范围是6≤h≤8．
故答案是：6≤h≤8．
【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
15. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，点E是DC的中点，作BF⊥AD，垂足F在线段AD上，连结EF，BE，则下列结论正确的是 _____．（将正确的结论的序号填在横线上）①EF＝BE；②∠CBE＝∠ABC；③△ABF的面积等于△BEF的面积的2倍；④∠CEF＝3∠DFE．
【答案】①②④
【解析】
【分析】由垂直的定义得到∠AFB＝90°，根据平行线的性质即可得到∠AFB＝∠CBF＝90°，延长FE交BC的延长线与M，根据全等三角形的性质得到EF＝EM＝FM，根据直角三角形的性质得到BE＝FM，等量代换的EF＝BE，故①正确；由题意得到EC＝BC，从而得到∠CEB＝∠CBE，然后根据平行四边形的对边平行得到∠CEB＝∠EBA，从而得到∠CBE＝∠ABE，故②正确；由于S△BEF＝S△BME，BM＞AF，所以S△ABF＜2S△BEF，故③错误；设∠EFB＝x，则∠FBE＝x，根据角的和差得到∠CEF＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，∠DFE＝90°﹣x，则∠CEF＝3∠DFE，故④正确．
【详解】解：延长FE交BC的延长线与M，
∵AD∥BM，
∴∠DFE＝∠M，
在△DFE与△CME中，
，
∴△DFE≌△CME（AAS），
∴EF＝EM＝FM，
∵BF⊥AD，
∴∠AFB＝90°，
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF＝90°，
∵∠FBM＝90°，
∴BE＝FM，
∴EF＝BE，故①正确；
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在▱ABCD中，AB＝2AD，
∴DE＝CE＝BC，
∴∠CEB＝∠CBE，
∵AB∥CD，
∴∠CEB＝∠EBA，
∴∠CBE＝∠ABE，
∴∠CBE＝∠ABC，故②正确；
∵EF＝EM，
∴S△BEF＝S△BME，
∵BM＞AF，
∴S△ABF＜2S△BEF，
故③错误；
设∠EFB＝x，则∠FBE＝x，
∴∠CBE＝∠CEB＝90°﹣x，
∴∠FEB＝180°﹣2x，
∴∠CEF＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠DFE＝90°﹣x，
∴∠CEF＝3∠DFE，
故④正确，
故答案为：①②④．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△DEF≌△CME是解题关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）0．
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）根据单项式乘以多项式和完全平方公式进行展开化简即可；
（2）依次化简每一项，再进行加减运算．
【详解】解：（1）原式．
（2）原式．
17. 已知：如图，在四边形中，，为对角线的中点，为的中点，为的中点．求证：．

【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理证得是等腰三角形，然后由等腰三角形的性质证得结论．
【详解】证明：是中点，是中点，
是的中位线，
，
中点，是中点，
是的中位线，
，
，
，
是等腰三角形，
．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质．注意：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
18. 一个零件的形状如图所示，按规定应为直角，工人师傅测得，，，，．请你帮他看一下，这个零件符合要求吗？为什么？
【答案】这个零件符合要求，理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．由勾股定理，得出，进而得到，证明是直角三角形，即可求解．
【详解】解：这个零件符合要求，理由如下：
如图，连接．
，，，
，
，，
，
是直角三角形，
，
这个零件符合要求．
19. 阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为： 其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．
应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．
【答案】12，13或3，4．
【解析】
【详解】试题分析：由n=1，得到a= （m2﹣1）①，b=m②，c=（m2+1）③，根据直角三角形有一边长为5，分情况，列方程即可得到结论．
试题解析：当n=1，a=（m2﹣1）①，b=m②，c=（m2+1）③，
∵直角三角形有一边长为5，
∴Ⅰ、当a=5时，（m2﹣1）=5，解得：m=±（舍去），
Ⅱ、当b=5时，即m=5，代入①③得，a=12，c=13，
Ⅲ、当c=5时，（m2+1）=5，解得：m=±3，
∵m＞0，
∴m=3，代入①②得，a=4，b=3，
综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4．
20. 已知，，满足．
（1）求，，的值；
（2）判断以，，为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．
【答案】（1），，
（2）能，直角三角形，
【解析】
【分析】（1）根据绝对值，算术平方根和平方的非负性求解即可；
（2）根据三角形三边关系和勾股定理逆定理判断即可．
【小问1详解】
∵，，满足，
∴，，，
∴，，．
【小问2详解】
∵，，，
∴，
∴以，，为边能构成三角形．
∵，
∴此三角形是直角三角形，且两直角边边长分别为和，
∴此三角形的面积为：．
【点睛】本题考查非负数的性质，三角形三边关系和勾股定理逆定理．熟练掌握上述知识是解题关键．
21. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）8
【解析】
【分析】（1）证明即可；
（2）如图，设交于点证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可解决问题．
【小问1详解】
证明：由作图可知，平分，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
；
小问2详解】
解：如图，设交于点．

由作图可知：，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，
在中，，
，
．
故答案为．
【点睛】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22. 如图，一根笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上，一端在墙面处，另一端在地面处，墙角记为点．
（1）若米，米，竹竿的顶端沿墙下滑米，那么点将向外移动多少米（保留根号）？
（2）若，则顶端下滑的距离与底端外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端下滑的距离与底端外移的距离的大小．
【答案】（1）点B将向外移动米
（2）不可能相等，顶端下滑的距离大于底端外移的距离
【解析】
【分析】本题考查勾股定理应用，
（1）利用勾股定理可求解的长，即可求得的长，再利用勾股定理可求解，进而可求解；
（2）设，顶端下滑的距离为，底端外移的距离为，利用勾股定理可得，由偶次方的非负性可得，进而可求解；
掌握勾股定理是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点将向外移动米；
【小问2详解】
不可能相等．理由如下：
设，从处沿墙AC下滑的距离为米，点向外移动的距离为米，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，都正数，
∴，即，
∴顶端下滑的距离与底端外移的距离不可能相等，顶端下滑的距离大于底端外移的距离．
23. 已知，如图1，在中，，．点D是的中点，点E在延长线上，且．保持不动，将从图1的位置开始，绕点C顺时针旋转得到、D，E的对应点分别为、．
（1）求证：；
（2）如图2，当点落在边上时，连接，判断此时四边形的形状，并说明理由；
（3）在旋转过程中，当时，请直接写出此时旋转角的度数及B，两点间的距离．
【答案】（1）见解析；
（2）四边形平行四边形，理由见解析；
（3），．
【解析】
【分析】（1）由点D是的中点得，再由含角的直角三角形的性质得，即可得出结论；
（2）由旋转的性质得，，，则是等边三角形，得，再证，即可得出结论；
（3）由平行线的性质得，则，过作于M，则，然后求出，，即可解决问题；
【小问1详解】
∵点D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
四边形是平行四边形，理由如下：
由旋转的性质得：，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
【小问3详解】
由（1）可知，，，，，
∴，
由旋转的性质得：，
∵，
∴，
∴，
即旋转角，
过作于M，，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即B、两点间的距离为2；
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定、旋转变换的性质、含角的直角三角形的性质、平行线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键．