河南省周口市西华县青华中英文学校2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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满分：120分
一．选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分）
1. 下列各式中，，，，，，其中一定是二次根式的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如（）的式子叫做二次根式，据此求解即可．
【详解】解：当x＜0时，不是二次根式；
是二次根式；
不是二次根式；
是二次根式；
不是二次根式；
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，熟知定义是解题的关键．
2. 下列各组数据为勾股数的是（ ）
A. B. C. 5，12，13D. 2，3，4
【答案】C
【解析】
【分析】根据股勾股数的定义：可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，进行判断即可．
【详解】解：A、不是正整数，不是勾股数；
B、不是正整数，不是勾股数；
C、5，12，13是正整数，且满足，是勾股数；
D、，不是勾股数；
故选：C．
【点睛】本题考查勾股数．熟练掌握勾股数的定义，是解题的关键．
3. 下列各组线段中，可以组成直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用勾股定理逆定理，进行计算逐一判断即可解答．本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴三角形不是直角三角形，
故A不符合题意；
∵，
∴三角形不是直角三角形，
故B不符合题意；
∵，
∴三角形不是直角三角形，
故C不符合题意；
∴三角形是直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
4. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式，根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、是最简二次根式；
B、，故不是最简二次根式；
C、，故不是最简二次根式；
D、，故不是最简二次根式；
故选A．
5. 下列二次根式化简后，能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简，合并同类二次根式；先利用二次根式的性质化简，再进行判断即可．
【详解】解：A.，不能与合并；
B.，能与合并；
C.，不能与合并；
D，不能与合并；
故选：B．
6. 如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边和的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断是否为直角，这样做的依据是（ ）
A. 勾股定理B. 勾股定理的逆定理
C. 三角形内角和定理D. 直角三角形的两锐角互余
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，如果，则可判断是直角三角形，由此可推断是否为直角．
【详解】解：先测量门的边和的长，再测量点A和点C间的距离，用勾股定理的逆定理判断：若满足，则可判断是直角三角形，即为直角；若，则不是直角．
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
7. 下列运算错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的除法、乘法、加法法则逐项运算，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项是正确的，但不符合题意；
B、，故该选项是错误的，符合题意；
C、，故该选项是正确的，但不符合题意；
D、，故该选项是正确的，但不符合题意；
故选：B
8. 将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于，两点，则的长是（ ）

A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，由含30度角直角三角形的性质可得，由勾股定理可得的长，即可得到结论．
【详解】解：如图，在中，，

∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，含角直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
9. 设a＝－，b＝－1，c＝，则a，b，c之间的大小关系是( )
A. c＞b＞aB. a＞c＞bC. b＞a＞cD. a＞b＞c
【答案】D
【解析】
【详解】a=－=（-1），b=-1；c===×（-1），
∵＞1＞，
∴a＞b＞c．
故选D．
10. 活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如已知△ABC中，∠A＝30°， AC＝3，∠A所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】分情况讨论，当△ABC是一个直角三角形时，当△AB1C是一个钝角三角形时，根据含30°的直角三角形的性质及勾股定理求解即可．
【详解】如图，当△ABC是一个直角三角形时，即，
，
；
如图，当△AB1C是一个钝角三角形时，
过点C作CD⊥AB1，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上，满足已知条件的三角形的第三边长为或，
故选：C．
【点睛】本题考查了根据已知条件作三角形，涉及含30°的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
二．填空题．（每小题3分，共15分）
11. 成立的条件是___________________.
【答案】x≥1
【解析】
【详解】分析：根据二次根式有意义的条件可得x+1≥0，x-1≥0，求出x的范围．
详解：由题意得，x+1≥0，x-1≥0，
解得：x≥-1，x≥1，
综上所述：x≥1．
故答案为x≥1．
点睛：本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式有意义的条件．
12. 命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是_____命题．（填入“真”或“假”）
【答案】假
【解析】
【详解】解：原命题的逆命题为：面积相等的两个三角形为全等三角形，则这个命题为假命题．
故答案为：假．
【点睛】本题考查了命题的真假性，解决此题的关键是会写出原命题的逆命题．
13. 如图，点E在正方形内，满足，，，则阴影部分的面积是________．
【答案】19
【解析】
【分析】根据勾股定理求出AB，分别求出△AEB和正方形ABCD的面积，即可求出答案．
【详解】解：∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=3，BE=4，由勾股定理得：AB=5，
∴正方形的面积是5×5=25，
∵△AEB的面积是AE×BE=×3×4=6，
∴阴影部分的面积是25-6=19，
故答案为：19．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，勾股定理的应用，主要考查学生的计算能力和推理能力．
14. 如图，一个圆柱形食品盒，它的高为，底面的周长为，点位于盒外底面的边缘．如果处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点处的食物，那么蚂蚁需要爬行的最短路程是______cm．

【答案】10
【解析】
【分析】把圆柱侧面展开，在中，根据题意求得长，利用勾股定理求解即可．
【详解】把圆柱侧面展开，在中，根据题意得，

根据勾股定理，得，
故答案为：10．
15. 古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为，设，则三角形的面积．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为，则三角形的面积．若一个三角形的三边长分别为2，，则这个三角形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算和代数式求值，直接代入“秦九韶公式”，计算即可．
【详解】解：由题可得：三角形的三边长分别为2，，
代入可得：，
故答案为：．
三．解答题．（本大题8小题，共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算；
（1）先算二次根式的乘法，同时利用二次根式的性质化简，然后计算二次根式的减法即可；
（2）先利用二次根式的性质化简，同时把除法变成乘法，然后计算即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
17. 如图，已知，，，请问是直角三角形吗？请说出你的理由．

【答案】是直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】首先根据勾股定理求出，然后利用勾股定理的逆定理得到进而证明即可．
【详解】解：是直角三角形，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∵ ，
，
∴，
∴直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
18. 已知a、b满足等式 ．
（1）求出a、b的值分别是多少？
（2）试求 的值．
【答案】（1）a=3，b=﹣9；（2）﹣6．
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的定义得2a﹣6≥0且9﹣3a≥0；（2）根据二次根式的性质，先化简，再加减.
【详解】（1）由题意得，2a﹣6≥0且9﹣3a≥0，
解得a≥3且a≤3，
所以，a=3，
b=﹣9
（2），
= ，
=6﹣9﹣3，
=﹣6．
【点睛】熟记二次根式的意义和加减法则.
19. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小格的顶点叫做格点，其中格点A已在网格中标出，以格点为顶点按下列要求画图（不需要写画法）．
（1）在图中画一个，使其三边长分别为，，
（2）在（1）的条件下，BC边上的高为_________．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理，画出图形即可；
（2）过点作于 ．首先证明，再利用面积法解决问题即可．
【小问1详解】
解：如图所示，，，，即为所求；
【小问2详解】
解∶过点作于 ，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题属于几何变换综合题，三角形面积，勾股定理以及逆定理等知识，学会利用面积法解决问题是解题的关键．
20. 已知．
（1）______，______；
（2）求的值．
【答案】（1）4，1 （2）
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值以及分式的化简求值．
（1）根据二次根式的运算法则代入求解即可；
（2）先对原式进行化简，再代入求值即可．
【小问1详解】
∵，
∴，，
故答案为：4，1；
【小问2详解】
解：原式
.
21. 位于沈阳周边的红河峡谷漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面高度为8m的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子AC的长为17m，工作人员以0.7米/秒的速度拉绳子，经过10秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离AD的长是多少？
【答案】游船移动的距离AD的长是9米
【解析】
【分析】根据条件先计算经过10秒拉回绳子的长，然后计算出绳子CD的长，在中，在中，，即可求出最终结果．
【详解】解：工作人员以0.7米/秒的速度拉绳子，
经过10秒拉回绳子米，
开始时绳子AC的长为17m，
拉了10秒后，绳子CD的长为17-7=10米，
在中，
米，
在中，
米，
AD=15-6=9米，
答：游船移动的距离AD的长是9米．
【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，属于综合题，难度一般，熟练掌握勾股定理解三角形是解决本题的关键．
22. 定义：如图，点M，N把线段分割成．若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点．
（1）已知点M，N把线段分割成，若，，，则点M，N 是线段的勾股分割点吗？请说明理由；
（2）已知点M，N是线段的勾股分割点，且为直角边，若，求的长．
【答案】（1）点M，N是线段的勾股分割点，见解析
（2）的长为8或10
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，即可判断点M，N是线段的勾股分割点；
（2）设，则，分3种情况，分类讨论：①当是最长边时，，②当是最长边时，，③当是最长边时，这种情况不存在；分别进行求解，即可．
【小问1详解】
点M，N是线段勾股分割点，理由如下：
∵，
又∵ ，
∴，
∴以为边的三角形是直角三角形，
∴点M，N是线段的勾股分割点；
【小问2详解】
设，
则，
①当是斜边时，
∵点M，N是线段的勾股分割点，
∴，
∴，
解得：；
②当是斜边时，
∵点M，N是线段的勾股分割点，
∴，
∴，
解得：
综上所述，或10
【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理的应用，根据题意，分类讨论，利用勾股定理列出方程，是解题的关键.
23. 阅读下列材料，并解决问题：
【观察发现】
因为，
所以；
因为，
所以．
【建立模型】
形如的化简（其中为正整数），只要找到两个正整数，使，，那么．
【问题解决】
（1）化简：①______；
②______；
（2）已知正方形的边长为，现有一个长为，宽为的长方形，当它们的面积相等时，求正方形的边长；
（3）已知，则代数式的值为______．
【答案】（1）①，②
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题以完全平方公式为背景，考查复合二次根式的化简．读懂模型是解决问题的关键．
（1）根据模型解释，找到使，成立的两个正整数m、n即可求解；
（2）由题意得即可求解，
（3）先计算，，代入原式化简计算，最后利用材料方法对化简后的式子变形，开方即可．
【小问1详解】
解：①令，，
解得：或，
，
故答案为：；
②，
令，，
解得：或，
，
故答案为：；
【小问2详解】
由题意得：，
，
令，，
解得：或，
，
，
解得：；
【小问3详解】
∵，
∴，，
∴
令，，
解得：或，
∴，
故答案为：．