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新高考艺术生40天突破数学90分讲义第10讲导数之单调性、最值、极值(原卷版+解析)
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这是一份新高考艺术生40天突破数学90分讲义第10讲导数之单调性、最值、极值(原卷版+解析)，共50页。
一．函数单调性与导函数符号的关系
一般地，函数的单调性与其导数正负有以下关系：在某个区间内，如果，那么函数在该区间内单调递增；如果，那么函数在该区间内单调递减.
二．求可导函数单调区间的一般步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；
（3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；
（4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性.
注①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数.
②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：
单调递增；
单调递增；
单调递减；
单调递减.
三．函数极值的概念
设函数在点处连续且，若在点附近的左侧，右侧，则为函数的极大值点；若在附近的左侧，右侧，则为函数的极小值点.
函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大.极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.
四．求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.
注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.
为可导函数的极值点；但为的极值点.
五．函数的最大值、最小值
若函数在闭区间上的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
六．求函数的最大值、最小值的一般步骤
设是定义在区间上的函数，在可导，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行：
（1）求函数在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
【典型例题】
例1．（2021·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高三期中（文））已知函数．若图象上的点处的切线斜率为．
（1）求a，b的值；
（2）的极值．
例2．（2021·陕西礼泉·高三开学考试（文））设，函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性.
例3．（2022·全国·高三专题练习）有三个条件：①函数的图象过点，且；②在时取得极大值；③函数在处的切线方程为，这三个条件中，请选择一个合适的条件将下面的题目补充完整（只要填写序号），并解答本题．
题目：已知函数存在极值，并且______．
（1）求的解析式；
（2）当时，求函数的最值
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间和极值；
（2）若函数在区间上取得最小值4，求的值.
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．讨论的单调性.
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，讨论的单调性；
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）f(x)是定义在R上的奇函数，且，为的导函数，且当时，则不等式f（x﹣1）＞0的解集为（ ）
A．（0，1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，1）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则在下列区间上为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则关于的结论正确的是（ ）
A．在区间上为减函数
B．在处取得极小值
C．在区间上为增函数
D．在处取得极大值
4．（2022·全国·高三专题练习）已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．和B．和
C．D．
6．（2022·全国·高三专题练习）若函数在点处的切线方程为，则函数的增区间为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图像如图所示，那么函数的图像最有可能的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022·江苏·高三专题练习）下列关于函数的结论中，正确结论是（ ）
A．是极大值，是极小值；
B．没有最大值，也没有最小值；
C．有最大值，没有最小值；
D．有最小值，没有最大值.
9．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数有极值，则c的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·全国·高三专题练习）若函数，则（ ）
A．既有极大值，也有极小值B．有极小值，无极大值
C．有极大值，无极小值D．既无极大值，也无极小值
11．（2022·全国·高三专题练习）若函数可导，则“有实根”是“有极值”的（ ）．
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12．（2022·全国·高三专题练习） 如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
13．（2022·全国·高三专题练习）函数在处有极值10，则a，b的值为（ ）
A．，，或，B．，，或，
C．，D．，
14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数有两个不同的极值点，则满足条件的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
15．（2022·全国·高三专题练习）设函数，则的（ ）
A．极小值点为，极大值点为B．极小值点为，极大值点为
C．极小值点为，极大值点为D．极小值点为，极大值点为
16．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
17．（2022·全国·高三专题练习）若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
18．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数在区间上存在最小值，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
19．（2022·全国·高三专题练习）若函数，在区间上单调，则实数m的取值范围可以是（ ）
A．B．
C．D．
20．（2022·全国·高三专题练习）下图是函数的导函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．是的极小值点
C．是的极小值点
D．是的极大值点
21．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（ ）
A．
B．函数在上递增，在上递减
C．函数的极值点为，
D．函数的极大值为
22．（2022·全国·高三专题练习）己知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的（ ）
A．在时取极小值B．在时取极大值
C．是极小值点D．是极小值点
23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．时，取得最大值D．时，取得最小值
三、填空题
24．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若的单调递减区间是，则实数的值为________.
25．（2022·全国·高三专题练习）函数在区间（-1,1）上为单调减函数，则的取值范围是__________．
26．（2022·全国·高三专题练习）若函数在定义域内是增函数，则实数的最小值为______.
27．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是___________.
28．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数在处取得极小值，则的极大值为__________
29．（2022·全国·高三专题练习）函数的极值点是___________.
30．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=x3＋3mx2＋nx＋m2在x=－1时有极值0，则m＋n=________.
31．（2022·全国·高三专题练习（理））函数的最小值为______.
四、解答题
32．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，．若，求函数的单调区间.
33．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(其中常数)，讨论的单调性；
34．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，讨论的单调性；
35．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（），讨论函数的单调性.
36．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，讨论的单调性
37．（2022·全国·高三专题练习）设函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）令，讨论的单调性.
38．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．讨论函数的单调性.
39．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数的极大值.
40．（2022·全国·高三专题练习）设函数，其中．
（Ⅰ）当时，在时取得极值，求；
（Ⅱ）当时，若在上单调递增，求的取值范围；
41．（2022·全国·高三专题练习）已知函数
（1）求函数的极值；
（2）若函数在上的最小值为2，求它在该区间上的最大值．
42．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
43．（2021·天津市第一零二中学高三期中）设函数．
（1）求在处的切线方程；
（2）求的极大值点与极小值点；
（3）求在区间上的最大值与最小值．
44．（2021·宁夏·银川一中高三阶段练习（文））已知函数（）．
（1）讨论的单调区间；
（2）求在上的最大值．
45．（2021·山东·高三阶段练习）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求在区间上的最大值．
46．（2021·北京交通大学附属中学高三开学考试）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）求函数的单调区间和极值；
（3）函数在区间上的最大值和最小值；
（4）若在区间上，函数总有最小值，求出的取值范围；
（5）在函数的图像上是否一定存在两条互相垂直的切线？（本问直接写出结论，不需写理由）
第10讲 导数之单调性、最值、极值
【知识点总结】
一．函数单调性与导函数符号的关系
一般地，函数的单调性与其导数正负有以下关系：在某个区间内，如果，那么函数在该区间内单调递增；如果，那么函数在该区间内单调递减.
二．求可导函数单调区间的一般步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；
（3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；
（4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性.
注①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数.
②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：
单调递增；
单调递增；
单调递减；
单调递减.
三．函数极值的概念
设函数在点处连续且，若在点附近的左侧，右侧，则为函数的极大值点；若在附近的左侧，右侧，则为函数的极小值点.
函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大.极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.
四．求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.
注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.
为可导函数的极值点；但为的极值点.
五．函数的最大值、最小值
若函数在闭区间上的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
六．求函数的最大值、最小值的一般步骤
设是定义在区间上的函数，在可导，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行：
（1）求函数在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
【典型例题】
例1．（2021·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高三期中（文））已知函数．若图象上的点处的切线斜率为．
（1）求a，b的值；
（2）的极值．
【详解】
（1）解：，
，
；
（2）解：由（1）得
，令，得
或，，
的极大值为，极小值为.
例2．（2021·陕西礼泉·高三开学考试（文））设，函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性.
【详解】
（1）解：当时，，定义域为，
，
，
曲线在点处的切线方程为，即为.
（2）解：因为，定义域为，所以，
当时，恒成立，
函数在上单调递增；
当时，令，解得，令，解得，
故函数在上单调递增，在上单调递减.
综上可得：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
例3．（2022·全国·高三专题练习）有三个条件：①函数的图象过点，且；②在时取得极大值；③函数在处的切线方程为，这三个条件中，请选择一个合适的条件将下面的题目补充完整（只要填写序号），并解答本题．
题目：已知函数存在极值，并且______．
（1）求的解析式；
（2）当时，求函数的最值
【详解】
选①：
（1），所以，故；
（2）由，
所以单调递增，故，．
选②：
因为，所以
由题意知，解得，
故，
经检验在时取得极大值，故符合题意，所以，
（2），令，所以或，所以
或时，，单调递增；时，，单调递减；因此在单调递减，在单调递增，则，，，所以，；
选③：
由题意知，又因为，
所以，解得，
所以，
（2），所以单调递增，故，．
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间和极值；
（2）若函数在区间上取得最小值4，求的值.
【详解】
（1）当时，，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的递增区间，递减区间，极小值，无极大值
（2）
①当时，，在单调递增，
，解得不满足，故舍去
②当时，时，，单调递减
时，，单调递增
，
解得，不满足，故舍去
③当时，，在单调递减，
，
解得，满足
综上：
【点睛】
本题考查利用导数求函数的单调区间和极值，以及利用导数研究函数的单调性，属综合基础题.
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．讨论的单调性.
【详解】
由题意，函数的定义域为，且，
若时，在上恒成立，所以在上单调递增；
若时，令，即，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
即函数在上是减函数，在是增函数.
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，讨论的单调性；
【详解】
，记，
当时，，，所以在上单调递增；
当时，，令，所以且，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上可知：时，的单调递增区间为；时，的单调递增区间为，，单调递减区间为
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）f(x)是定义在R上的奇函数，且，为的导函数，且当时，则不等式f（x﹣1）＞0的解集为（ ）
A．（0，1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，1）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
【答案】A
【分析】
根据导数的符号可得函数的单调性，结合函数的奇偶性可得不等式的解集．
【详解】
因为时，故在为增函数，
而为上的奇函数，故在为增函数，
因为，故.
又即为或或，
故或或无解，
故或，故不等式解集为.
故选：A．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则在下列区间上为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
求导函数，由确定增区间．
【详解】
因为，由得或．
增区间为，
故选：B．
3．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则关于的结论正确的是（ ）
A．在区间上为减函数
B．在处取得极小值
C．在区间上为增函数
D．在处取得极大值
【答案】B
【分析】
函数的单调性、极值与导数的关系判断．
【详解】
由图知，或时，，时，，
因此在和上递减，在上递增，是极小值，是极大值．只有B正确．
故选：B．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据符号法则将不等式转化为两个不等式组，结合图象即可解出．
【详解】
原不等式等价于或，结合的图象可得，
或，解得或或．
故选：D．
5．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．和B．和
C．D．
【答案】D
【分析】
先求出函数的定义域，再对函数求导，然后由导数大于零，可求出函数的增区间
【详解】
函数的定义域为，
由，得，
令，得，
所以函数的增区间为，
故选：D
6．（2022·全国·高三专题练习）若函数在点处的切线方程为，则函数的增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
首先将代入得到切点为，求导得到，从而得到，解方程组得到，再利用导数求解单调区间即可.
【详解】
将代入得到，所以切点为.
因为，
所以，
所以，
当时，，为增函数.
所以函数的增区间为.
故选：C
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图像如图所示，那么函数的图像最有可能的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
由导函数图象可知原函数的单调区间，从而得到答案．
【详解】
由导函数图象可知，在（-∞，-2），（0，+∞）上单调递减，
在（-2，0）上单调递增，
故选：A．
8．（2022·江苏·高三专题练习）下列关于函数的结论中，正确结论是（ ）
A．是极大值，是极小值；
B．没有最大值，也没有最小值；
C．有最大值，没有最小值；
D．有最小值，没有最大值.
【答案】C
【分析】
先函数进行求导，在令解出，再结合导函数的符号分析出极大值与极小值.
【详解】
由，得，令，则，解得或，当或时，，当时，，所以是极小值，是极大值，所以A错误；
因为是极小值，且当时，恒成立，而是极大值,也是最大值，所以有最大值，没有最小值，所以C正确，BD错误.
故选：C
9．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数有极值，则c的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
求导得，则，由此可求答案．
【详解】
解：由题意得，
若函数有极值，则，
解得，
故选：A．
10．（2022·全国·高三专题练习）若函数，则（ ）
A．既有极大值，也有极小值B．有极小值，无极大值
C．有极大值，无极小值D．既无极大值，也无极小值
【答案】B
【分析】
利用导数判断单调性，再判定极值即可.
【详解】
依题意，；令，解得，故当时，，当时，，故当时，函数有极小值，且函数无极大值，
故选：B．
11．（2022·全国·高三专题练习）若函数可导，则“有实根”是“有极值”的（ ）．
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
结合极值与充分、必要条件的知识确定正确选项.
【详解】
，但在零点左侧和右侧都同时大于零或者小于零时在零点处无极值，
但有极值则在极值处一定等于.
所以“有实根”是“有极值”的必要不充分条件.
故选：A
12．（2022·全国·高三专题练习） 如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】
根据极值点的定义，结合导函数的图象判断即可.
【详解】
由导函数f′(x)的图象知
在x＝－2处f′(－2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝－2是极大值；
在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，x＝－1是极小值；
在x＝－3处f′(2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝2是极大值；
所以f(x)的极小值点的个数为1，
故选：A
【点睛】
本题主要考查极值点的定义以及数形结合思想的应用，属于基础题.
13．（2022·全国·高三专题练习）函数在处有极值10，则a，b的值为（ ）
A．，，或，B．，，或，
C．，D．，
【答案】C
【分析】
对求导，根据在处有极值10，建立方程组，解出a、b，再进行检验即可得到答案.
【详解】
因为，所以，
由题意可得：，解得：或.
当时，，
在x=1的左右两侧正负相反，所以在处有极值，符合题意；
当时，恒成立，
所以在处无极值，应舍去；
故选：C
14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数有两个不同的极值点，则满足条件的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
求出导函数，由有两个不等的正实根（转化为一元二次方程有两个不等正实根）可得参数范围．
【详解】
解：函数，定义域为，
则
因为函数有两个不同的极值点
所以有两个不同的正实数根，
则有，解得
所以满足条件的取值范围为
故选：D.
15．（2022·全国·高三专题练习）设函数，则的（ ）
A．极小值点为，极大值点为B．极小值点为，极大值点为
C．极小值点为，极大值点为D．极小值点为，极大值点为
【答案】A
【分析】
利用导数分析函数的单调性，由此可得出结论.
【详解】
，则，
函数的定义域为，由可得，由可得或.
所以，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.
因此，函数的极小值点为，极大值点为.
故选：A
16．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
求导，求得其最大值点，再根据在区间上有最大值，由最大值点的横坐标是
中的元素求解.
【详解】
因为函数，
所以，
当或时，，当时，，
所以当时，取得最大值，
又，且在区间上有最大值，
所以，
解得，
所以实数的取值范围是
故选：D
17．（2022·全国·高三专题练习）若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
在区间内有最小值，可转化为的导函数在区间有变号零点，再根据二次函数的零点分布，即可求解.
【详解】
由，若函数在区间内有最小值.此时函数必定存在极值点，由，设，为一元二次方程的两根，有不妨设，故只需要即可，令，有，解得.
故选：C.
18．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数在区间上存在最小值，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
求导，可得的单调区间和极值点，根据题意，可得，经检验符合题意，即可得答案.
【详解】
函数的导函数为，
令，得或，
故在上单调递增，在上单调递减，
则为极小值点，为极大值点.
由在区间上存在最小值，
可得，解得，
此时，
因此实数m的取值范围是，
故选：D.
二、多选题
19．（2022·全国·高三专题练习）若函数，在区间上单调，则实数m的取值范围可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】
先求函数的定义域及导数，求出单调区间，结合所给区间列出关于的不等关系，结合选项可求正确答案.
【详解】
定义域为，；
由得函数的增区间为；
由得函数的减区间为；
因为在区间上单调，
所以或
解得或；
结合选项可得A,C正确.
故选：AC.
20．（2022·全国·高三专题练习）下图是函数的导函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．是的极小值点
C．是的极小值点
D．是的极大值点
【答案】CD
【分析】
根据的图象，得到函数的单调性，结合单调性和函数极值点的概念，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，根据的图象，可得当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，所以A不正确；
不是函数的极值点，所以B不正确；
是函数的极小值点，所以C正确；
是函数的极大值点，所以D正确.
故选：CD.
21．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（ ）
A．
B．函数在上递增，在上递减
C．函数的极值点为，
D．函数的极大值为
【答案】ABD
【分析】
对A，B由导数与函数单调性的关系，即可判断，， 的大小以及的单调性，对C，D由极值的定义即可判断.
【详解】
解：由题图知可，当时，，
当时，，当时，，
所以在上递增，
在上递减，在上递增，
对A，，故A错误；
对B，函数)在上递增，在上递增，在上递减，故B错误；
对C，函数的极值点为，，故C正确；
对D，函数的极大值为，故D错误.
故选：ABD.
22．（2022·全国·高三专题练习）己知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的（ ）
A．在时取极小值B．在时取极大值
C．是极小值点D．是极小值点
【答案】AC
【分析】
由导函数的图像判断导数的正负，再通过导函数的零点左右两侧的导函数的正负来确定函数的极值和极值点
【详解】
解：由导函数的图像可得，
当时，其左边的导数小于零，右边的导数大于零，所以在时取极小值，所以A正确，
当时，其左边的导数小于零，右边的导数大于零，所以是极小值点，所以C正确，
而和，左右两边的导数值同号，所以和不是函数的极值点，所以BD错误，
故选：AC
23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．时，取得最大值D．时，取得最小值
【答案】AB
【分析】
由图象可确定的单调性，结合单调性依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】
由图象可知：当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减；
对于A，，，A正确；
对于B，，，B正确；
对于C，由单调性知为极大值，当时，可能存在，C错误；
对于D，由单调性知，D错误.
故选：AB.
三、填空题
24．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若的单调递减区间是，则实数的值为________.
【答案】
【分析】
求出函数的导数，得到关于的方程，解出即可
【详解】
解：由，得，
因为的单调递减区间是，所以的解集为，
所以是方程的一个根，
所以，解得，
故答案为：
25．（2022·全国·高三专题练习）函数在区间（-1,1）上为单调减函数，则的取值范围是__________．
【答案】
【详解】
在上恒成立，根据二次函数图像可知，应满足，解得.
26．（2022·全国·高三专题练习）若函数在定义域内是增函数，则实数的最小值为______.
【答案】
【分析】
求出，考虑且不恒为零时实数的取值范围即可.
【详解】
的定义域为，，
因为在上为增函数，故在上恒成立，且不恒为零.
在上恒成立等价于在上恒成立，
故即，
而当，当且仅当时有，故不恒为零.
的最小值为. 填.
【点睛】
一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则且不恒为零．
27．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
首先求出函数的导函数，依题意在恒成立，参变分离，即在恒成立，令，利用导数说明其单调性，即可求出其最大值，即可得解；
【详解】
解：因为，所以，因为函数在区间上单调递增，所以在恒成立，
即在恒成立，
令，，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以
所以，即
故答案为：
28．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数在处取得极小值，则的极大值为__________
【答案】
【分析】
求导函数，求出极大值点，最后代入原函数可求得极大值.
【详解】
由题意得，，
，解得，
， ，
在上单调递增，在上单调递减，
的极大值为.
故答案为：
29．（2022·全国·高三专题练习）函数的极值点是___________.
【答案】1
【分析】
利用导数判断单调性，即可求出极值点.
【详解】
的定义域为，，
所以令，解得，令，解得，
所以为的极值点.
故答案为：1.
【点睛】
求极值（极值点）需研究函数的单调性：①；②在左右两侧单调性相反.
30．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=x3＋3mx2＋nx＋m2在x=－1时有极值0，则m＋n=________.
【答案】11
【分析】
对函数进行求导，根据函数在有极值，可以得到，代入求解可得或，经检验，即可求出结果.
【详解】
依题意可得，联立可得或；
当时函数，
，所以函数在上单调递增，故函数无极值，所以舍去；所以，所以.
故答案为：11.
【点睛】
本题主要考查函数在某点取得极值的性质：若函数在取得极值，则．反之结论不成立，即函数有，函数在该点不一定是极值点，（还得加上在两侧有单调性的改变），本题属于基础题．
31．（2022·全国·高三专题练习（理））函数的最小值为______.
【答案】1
【分析】
由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.
【详解】
由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
四、解答题
32．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，．若，求函数的单调区间.
【答案】答案见解析
【分析】
求出函数f(x)定义域并求出其导数，分，两类确定不等式、的解集即可.
【详解】
解：，
，
当时，令，得：；令，得；
当时，令，得：或，
令，得；
因此，当时，在递增，在递减；
当时，在，递减；在递增．
33．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(其中常数)，讨论的单调性；
【答案】当时，在单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减．
【分析】
对函数进行求导，根据一元二次方程的判别式，结合导数的性质进行求解即可.
【详解】
，
记，，
①当，即时，，故，所以在单调递增．
②当，即当时，有两个实根，，
注意到， 且对称轴，故，
所以当或时，，，单调递增；
当时，，，单调递减．
综上所述，当时，在单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
34．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，讨论的单调性；
【答案】当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增．
【分析】
对函数进行求导，根据导数的性质，结合一元二次方程根之间的大小关系、函数的定义域分类讨论进行求解即可.
【详解】
，，
①当时，恒成立，在上单调递增，
②当时，令，则，令，则，
在上单调递减，在上单调递增，
综上：当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增．
35．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（），讨论函数的单调性.
【答案】答案见解析.
【分析】
求导，分，讨论求函数的单调性
【详解】
的定义域为，且．
当时，，则在上单调递增．
当时，若，则，在上单调递增；
若，则，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
36．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，讨论的单调性
【答案】答案见解析
【分析】
根据的正负性，结合导数分类讨论进行求解即可.
【详解】
函数的定义域为(0，+∞)，，
当时，，则在上递增，
当时﹐由得，
由，得，由，得，
于是有在上递增，在上递减,
综上所述：当时，在上递增，当时﹐在上递增，在上递减.
37．（2022·全国·高三专题练习）设函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）令，讨论的单调性.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）答案见解析.
【分析】
（1）对函数求导后，由导函数的正负来确定函数的单调区间；
（2）由题意得（），对函数求导，然后分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间
【详解】
（1）
当时
令得或（舍）
当时，；时，
于是的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由题意得
于是
①当时
在恒成立
②当时
在恒成立；在恒成立
综上所述当时，在上单调递增
当时，在单调递减，在单调递增.
38．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．讨论函数的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】
由题设知定义域为(0,＋∞)、，讨论参数判断的符号，即可确定的单调性.
【详解】
解：的定义域是，
，
对于，
①△即时，
在恒成立，故在递减，
②△时，时，令，
解得：（舍，，
故时，，时，，
故在递增，在递减，
时，令，
解得：，，
故时，，时，，
时，，
故在递减，在递增，在递减；
综上：时，在递减，
时，在递增，在递减，
时，在递减，在递增，在递减．
39．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数的极大值.
【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）.
【分析】
（1）求函数的导函数，求和的解，从而求出函数的单调区间；（2）由函数的单调性，确定函数的极大值点，代入求出极大值.
【详解】
解：（1）因为，所以，
令，则或，令，则
所以的单调增区间为，减区间为；
（2）由（1）可知：时，有极大值为.
40．（2022·全国·高三专题练习）设函数，其中．
（Ⅰ）当时，在时取得极值，求；
（Ⅱ）当时，若在上单调递增，求的取值范围；
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）求函数的导数利用求解；
（Ⅱ）根据函数的单调性可得在上恒成立，利用二次函数的最值求解.
【详解】
（Ⅰ）当时，，
依题意有，故，
此时，
取得极大值，所以；
（Ⅱ）当时，，
若在上单调递增，
则在上恒成立，
设，
只需，即.
41．（2022·全国·高三专题练习）已知函数
（1）求函数的极值；
（2）若函数在上的最小值为2，求它在该区间上的最大值．
【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）.
【分析】
（1）对函数求导，得到，用导数的方法判断函数单调性，即可确定极值；
（2）由（1）先确定函数在上的单调性，再由题中条件，得出，进而可求出最大值.
【详解】
（1）
，或
当变化时，，的变化情况如下表：
则极大值为，极小值为；
（2）由（1）知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减
又，，
所以最小值为，即，
最大值在或处取，，，
所以在上的最大值为．
【点睛】
本题主要考查导数的方法求函数极值，以及最值，属于常考题型.
42．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为和；（2）最大值为；最小值为．
【分析】
（1）根据函数的单调性与导数之间的关系，即可求解；
（2）根据在区间上的单调性即可求解.
【详解】
解：（1），
令，得，
与的变化情况如下：
的单调递减区间为，单调递增区间为和；
（2）由（1）知，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
在区间上的最大值为；
在区间上的最小值为，
，且，
在区间上的最小值为．
43．（2021·天津市第一零二中学高三期中）设函数．
（1）求在处的切线方程；
（2）求的极大值点与极小值点；
（3）求在区间上的最大值与最小值．
【答案】
（1）；
（2）极小值点为，极大值点为；
（3），.
【分析】
（1）求导后，利用导数几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程；
（2）根据导数的正负可确定单调性，结合单调性可确定所求极值点；
（3）由（2）可得在上的单调性，由单调性可求得最值.
（1）
由题意得：，则，
又，
在处的切线方程为，即；
（2）
令，解得：或，
则变化情况如下表：
的极小值点为，极大值点为；
（3）
由（2）知：在上单调递减，在上单调递增；
又，，，
，.
44．（2021·宁夏·银川一中高三阶段练习（文））已知函数（）．
（1）讨论的单调区间；
（2）求在上的最大值．
【答案】
（1）答案见解析
（2）
【分析】
（1）直接求导，根据的取值范围分情况讨论；
（2）分情况讨论函数在的单调性及最值情况.
（1）
解：定义域，
①，在上单减；
②，在上单增，单减；
（2）
解：由（1）知：①时，在单减，；
②时，在单增，；
③时，在单增，单减，；
综合.
45．（2021·山东·高三阶段练习）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求在区间上的最大值．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【分析】
（1）求导后，分别在和的情况下，根据的正负得到函数单调性；
（2）分别在、和三种情况下，得到在上的单调性，由单调性可确定最大值点，代入可得最大值.
【详解】
（1）由题意得：定义域为，，
①当时，，在上单调递增；
②当时，令得：，
列表如下：
在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，由（1）知：
①当，即时，在上单调递减，则；
②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
；
③当，即时，在上单调递增，则；
综上所述：.
46．（2021·北京交通大学附属中学高三开学考试）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）求函数的单调区间和极值；
（3）函数在区间上的最大值和最小值；
（4）若在区间上，函数总有最小值，求出的取值范围；
（5）在函数的图像上是否一定存在两条互相垂直的切线？（本问直接写出结论，不需写理由）
【答案】（1）或；（2）在单调递减区间为，单调递增区间为；取得极小值，极小值为，无极大值；（3）取得最小值，取得最大值；（4）；（5）存在.
【分析】
（1）根据题意，解一元二次不等式，即可求得不等式的解集；
（2）求导，根据导数与函数单调性的关系，即可求得的单调区间和极值；
（3）由（2）列表即可求得的最值；
（4）根据导数与单调性的关系，绘出大致图象，根据题意即可求得的取值范围；
（5）根据导数的几何意义，即可判断.
【详解】
解：（1）因为，所以，得，解得或，
所以不等式的解集为或；
（2）由，，.
所以和在区间上随变化的情况如下：
所以在单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，取得极小值，极小值为，无极大值；
（3）由（2）可知，当时，取得最小值，当时，取得最大值；
（4），
所以和随变化的情况如下：
由于在区间上，总有最小值，
所以由图可知，
所以的取值范围为；
（5）存在.
－1
（－1，3）
3
＋
0
－
0
＋
0
2
0
0
极小值
极大值
↗
↘
↗
极小值
极大值
＋
－
递增
极大值
递减
0
1
2
﹣
0
+
0
↓
↑
1
+
0
﹣
0
+
↑
↓
↑
一．函数单调性与导函数符号的关系
一般地，函数的单调性与其导数正负有以下关系：在某个区间内，如果，那么函数在该区间内单调递增；如果，那么函数在该区间内单调递减.
二．求可导函数单调区间的一般步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；
（3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；
（4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性.
注①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数.
②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：
单调递增；
单调递增；
单调递减；
单调递减.
三．函数极值的概念
设函数在点处连续且，若在点附近的左侧，右侧，则为函数的极大值点；若在附近的左侧，右侧，则为函数的极小值点.
函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大.极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.
四．求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.
注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.
为可导函数的极值点；但为的极值点.
五．函数的最大值、最小值
若函数在闭区间上的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
六．求函数的最大值、最小值的一般步骤
设是定义在区间上的函数，在可导，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行：
（1）求函数在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
【典型例题】
例1．（2021·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高三期中（文））已知函数．若图象上的点处的切线斜率为．
（1）求a，b的值；
（2）的极值．
例2．（2021·陕西礼泉·高三开学考试（文））设，函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性.
例3．（2022·全国·高三专题练习）有三个条件：①函数的图象过点，且；②在时取得极大值；③函数在处的切线方程为，这三个条件中，请选择一个合适的条件将下面的题目补充完整（只要填写序号），并解答本题．
题目：已知函数存在极值，并且______．
（1）求的解析式；
（2）当时，求函数的最值
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间和极值；
（2）若函数在区间上取得最小值4，求的值.
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．讨论的单调性.
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，讨论的单调性；
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）f(x)是定义在R上的奇函数，且，为的导函数，且当时，则不等式f（x﹣1）＞0的解集为（ ）
A．（0，1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，1）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则在下列区间上为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则关于的结论正确的是（ ）
A．在区间上为减函数
B．在处取得极小值
C．在区间上为增函数
D．在处取得极大值
4．（2022·全国·高三专题练习）已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．和B．和
C．D．
6．（2022·全国·高三专题练习）若函数在点处的切线方程为，则函数的增区间为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图像如图所示，那么函数的图像最有可能的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022·江苏·高三专题练习）下列关于函数的结论中，正确结论是（ ）
A．是极大值，是极小值；
B．没有最大值，也没有最小值；
C．有最大值，没有最小值；
D．有最小值，没有最大值.
9．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数有极值，则c的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·全国·高三专题练习）若函数，则（ ）
A．既有极大值，也有极小值B．有极小值，无极大值
C．有极大值，无极小值D．既无极大值，也无极小值
11．（2022·全国·高三专题练习）若函数可导，则“有实根”是“有极值”的（ ）．
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12．（2022·全国·高三专题练习） 如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
13．（2022·全国·高三专题练习）函数在处有极值10，则a，b的值为（ ）
A．，，或，B．，，或，
C．，D．，
14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数有两个不同的极值点，则满足条件的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
15．（2022·全国·高三专题练习）设函数，则的（ ）
A．极小值点为，极大值点为B．极小值点为，极大值点为
C．极小值点为，极大值点为D．极小值点为，极大值点为
16．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
17．（2022·全国·高三专题练习）若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
18．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数在区间上存在最小值，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
19．（2022·全国·高三专题练习）若函数，在区间上单调，则实数m的取值范围可以是（ ）
A．B．
C．D．
20．（2022·全国·高三专题练习）下图是函数的导函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．是的极小值点
C．是的极小值点
D．是的极大值点
21．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（ ）
A．
B．函数在上递增，在上递减
C．函数的极值点为，
D．函数的极大值为
22．（2022·全国·高三专题练习）己知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的（ ）
A．在时取极小值B．在时取极大值
C．是极小值点D．是极小值点
23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．时，取得最大值D．时，取得最小值
三、填空题
24．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若的单调递减区间是，则实数的值为________.
25．（2022·全国·高三专题练习）函数在区间（-1,1）上为单调减函数，则的取值范围是__________．
26．（2022·全国·高三专题练习）若函数在定义域内是增函数，则实数的最小值为______.
27．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是___________.
28．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数在处取得极小值，则的极大值为__________
29．（2022·全国·高三专题练习）函数的极值点是___________.
30．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=x3＋3mx2＋nx＋m2在x=－1时有极值0，则m＋n=________.
31．（2022·全国·高三专题练习（理））函数的最小值为______.
四、解答题
32．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，．若，求函数的单调区间.
33．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(其中常数)，讨论的单调性；
34．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，讨论的单调性；
35．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（），讨论函数的单调性.
36．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，讨论的单调性
37．（2022·全国·高三专题练习）设函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）令，讨论的单调性.
38．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．讨论函数的单调性.
39．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数的极大值.
40．（2022·全国·高三专题练习）设函数，其中．
（Ⅰ）当时，在时取得极值，求；
（Ⅱ）当时，若在上单调递增，求的取值范围；
41．（2022·全国·高三专题练习）已知函数
（1）求函数的极值；
（2）若函数在上的最小值为2，求它在该区间上的最大值．
42．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
43．（2021·天津市第一零二中学高三期中）设函数．
（1）求在处的切线方程；
（2）求的极大值点与极小值点；
（3）求在区间上的最大值与最小值．
44．（2021·宁夏·银川一中高三阶段练习（文））已知函数（）．
（1）讨论的单调区间；
（2）求在上的最大值．
45．（2021·山东·高三阶段练习）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求在区间上的最大值．
46．（2021·北京交通大学附属中学高三开学考试）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）求函数的单调区间和极值；
（3）函数在区间上的最大值和最小值；
（4）若在区间上，函数总有最小值，求出的取值范围；
（5）在函数的图像上是否一定存在两条互相垂直的切线？（本问直接写出结论，不需写理由）
第10讲 导数之单调性、最值、极值
【知识点总结】
一．函数单调性与导函数符号的关系
一般地，函数的单调性与其导数正负有以下关系：在某个区间内，如果，那么函数在该区间内单调递增；如果，那么函数在该区间内单调递减.
二．求可导函数单调区间的一般步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；
（3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；
（4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性.
注①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数.
②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：
单调递增；
单调递增；
单调递减；
单调递减.
三．函数极值的概念
设函数在点处连续且，若在点附近的左侧，右侧，则为函数的极大值点；若在附近的左侧，右侧，则为函数的极小值点.
函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大.极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.
四．求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.
注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.
为可导函数的极值点；但为的极值点.
五．函数的最大值、最小值
若函数在闭区间上的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
六．求函数的最大值、最小值的一般步骤
设是定义在区间上的函数，在可导，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行：
（1）求函数在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
【典型例题】
例1．（2021·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高三期中（文））已知函数．若图象上的点处的切线斜率为．
（1）求a，b的值；
（2）的极值．
【详解】
（1）解：，
，
；
（2）解：由（1）得
，令，得
或，，
的极大值为，极小值为.
例2．（2021·陕西礼泉·高三开学考试（文））设，函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性.
【详解】
（1）解：当时，，定义域为，
，
，
曲线在点处的切线方程为，即为.
（2）解：因为，定义域为，所以，
当时，恒成立，
函数在上单调递增；
当时，令，解得，令，解得，
故函数在上单调递增，在上单调递减.
综上可得：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
例3．（2022·全国·高三专题练习）有三个条件：①函数的图象过点，且；②在时取得极大值；③函数在处的切线方程为，这三个条件中，请选择一个合适的条件将下面的题目补充完整（只要填写序号），并解答本题．
题目：已知函数存在极值，并且______．
（1）求的解析式；
（2）当时，求函数的最值
【详解】
选①：
（1），所以，故；
（2）由，
所以单调递增，故，．
选②：
因为，所以
由题意知，解得，
故，
经检验在时取得极大值，故符合题意，所以，
（2），令，所以或，所以
或时，，单调递增；时，，单调递减；因此在单调递减，在单调递增，则，，，所以，；
选③：
由题意知，又因为，
所以，解得，
所以，
（2），所以单调递增，故，．
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间和极值；
（2）若函数在区间上取得最小值4，求的值.
【详解】
（1）当时，，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的递增区间，递减区间，极小值，无极大值
（2）
①当时，，在单调递增，
，解得不满足，故舍去
②当时，时，，单调递减
时，，单调递增
，
解得，不满足，故舍去
③当时，，在单调递减，
，
解得，满足
综上：
【点睛】
本题考查利用导数求函数的单调区间和极值，以及利用导数研究函数的单调性，属综合基础题.
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．讨论的单调性.
【详解】
由题意，函数的定义域为，且，
若时，在上恒成立，所以在上单调递增；
若时，令，即，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
即函数在上是减函数，在是增函数.
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，讨论的单调性；
【详解】
，记，
当时，，，所以在上单调递增；
当时，，令，所以且，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上可知：时，的单调递增区间为；时，的单调递增区间为，，单调递减区间为
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）f(x)是定义在R上的奇函数，且，为的导函数，且当时，则不等式f（x﹣1）＞0的解集为（ ）
A．（0，1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，1）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
【答案】A
【分析】
根据导数的符号可得函数的单调性，结合函数的奇偶性可得不等式的解集．
【详解】
因为时，故在为增函数，
而为上的奇函数，故在为增函数，
因为，故.
又即为或或，
故或或无解，
故或，故不等式解集为.
故选：A．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则在下列区间上为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
求导函数，由确定增区间．
【详解】
因为，由得或．
增区间为，
故选：B．
3．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则关于的结论正确的是（ ）
A．在区间上为减函数
B．在处取得极小值
C．在区间上为增函数
D．在处取得极大值
【答案】B
【分析】
函数的单调性、极值与导数的关系判断．
【详解】
由图知，或时，，时，，
因此在和上递减，在上递增，是极小值，是极大值．只有B正确．
故选：B．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据符号法则将不等式转化为两个不等式组，结合图象即可解出．
【详解】
原不等式等价于或，结合的图象可得，
或，解得或或．
故选：D．
5．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．和B．和
C．D．
【答案】D
【分析】
先求出函数的定义域，再对函数求导，然后由导数大于零，可求出函数的增区间
【详解】
函数的定义域为，
由，得，
令，得，
所以函数的增区间为，
故选：D
6．（2022·全国·高三专题练习）若函数在点处的切线方程为，则函数的增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
首先将代入得到切点为，求导得到，从而得到，解方程组得到，再利用导数求解单调区间即可.
【详解】
将代入得到，所以切点为.
因为，
所以，
所以，
当时，，为增函数.
所以函数的增区间为.
故选：C
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图像如图所示，那么函数的图像最有可能的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
由导函数图象可知原函数的单调区间，从而得到答案．
【详解】
由导函数图象可知，在（-∞，-2），（0，+∞）上单调递减，
在（-2，0）上单调递增，
故选：A．
8．（2022·江苏·高三专题练习）下列关于函数的结论中，正确结论是（ ）
A．是极大值，是极小值；
B．没有最大值，也没有最小值；
C．有最大值，没有最小值；
D．有最小值，没有最大值.
【答案】C
【分析】
先函数进行求导，在令解出，再结合导函数的符号分析出极大值与极小值.
【详解】
由，得，令，则，解得或，当或时，，当时，，所以是极小值，是极大值，所以A错误；
因为是极小值，且当时，恒成立，而是极大值,也是最大值，所以有最大值，没有最小值，所以C正确，BD错误.
故选：C
9．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数有极值，则c的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
求导得，则，由此可求答案．
【详解】
解：由题意得，
若函数有极值，则，
解得，
故选：A．
10．（2022·全国·高三专题练习）若函数，则（ ）
A．既有极大值，也有极小值B．有极小值，无极大值
C．有极大值，无极小值D．既无极大值，也无极小值
【答案】B
【分析】
利用导数判断单调性，再判定极值即可.
【详解】
依题意，；令，解得，故当时，，当时，，故当时，函数有极小值，且函数无极大值，
故选：B．
11．（2022·全国·高三专题练习）若函数可导，则“有实根”是“有极值”的（ ）．
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
结合极值与充分、必要条件的知识确定正确选项.
【详解】
，但在零点左侧和右侧都同时大于零或者小于零时在零点处无极值，
但有极值则在极值处一定等于.
所以“有实根”是“有极值”的必要不充分条件.
故选：A
12．（2022·全国·高三专题练习） 如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】
根据极值点的定义，结合导函数的图象判断即可.
【详解】
由导函数f′(x)的图象知
在x＝－2处f′(－2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝－2是极大值；
在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，x＝－1是极小值；
在x＝－3处f′(2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝2是极大值；
所以f(x)的极小值点的个数为1，
故选：A
【点睛】
本题主要考查极值点的定义以及数形结合思想的应用，属于基础题.
13．（2022·全国·高三专题练习）函数在处有极值10，则a，b的值为（ ）
A．，，或，B．，，或，
C．，D．，
【答案】C
【分析】
对求导，根据在处有极值10，建立方程组，解出a、b，再进行检验即可得到答案.
【详解】
因为，所以，
由题意可得：，解得：或.
当时，，
在x=1的左右两侧正负相反，所以在处有极值，符合题意；
当时，恒成立，
所以在处无极值，应舍去；
故选：C
14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数有两个不同的极值点，则满足条件的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
求出导函数，由有两个不等的正实根（转化为一元二次方程有两个不等正实根）可得参数范围．
【详解】
解：函数，定义域为，
则
因为函数有两个不同的极值点
所以有两个不同的正实数根，
则有，解得
所以满足条件的取值范围为
故选：D.
15．（2022·全国·高三专题练习）设函数，则的（ ）
A．极小值点为，极大值点为B．极小值点为，极大值点为
C．极小值点为，极大值点为D．极小值点为，极大值点为
【答案】A
【分析】
利用导数分析函数的单调性，由此可得出结论.
【详解】
，则，
函数的定义域为，由可得，由可得或.
所以，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.
因此，函数的极小值点为，极大值点为.
故选：A
16．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
求导，求得其最大值点，再根据在区间上有最大值，由最大值点的横坐标是
中的元素求解.
【详解】
因为函数，
所以，
当或时，，当时，，
所以当时，取得最大值，
又，且在区间上有最大值，
所以，
解得，
所以实数的取值范围是
故选：D
17．（2022·全国·高三专题练习）若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
在区间内有最小值，可转化为的导函数在区间有变号零点，再根据二次函数的零点分布，即可求解.
【详解】
由，若函数在区间内有最小值.此时函数必定存在极值点，由，设，为一元二次方程的两根，有不妨设，故只需要即可，令，有，解得.
故选：C.
18．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数在区间上存在最小值，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
求导，可得的单调区间和极值点，根据题意，可得，经检验符合题意，即可得答案.
【详解】
函数的导函数为，
令，得或，
故在上单调递增，在上单调递减，
则为极小值点，为极大值点.
由在区间上存在最小值，
可得，解得，
此时，
因此实数m的取值范围是，
故选：D.
二、多选题
19．（2022·全国·高三专题练习）若函数，在区间上单调，则实数m的取值范围可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】
先求函数的定义域及导数，求出单调区间，结合所给区间列出关于的不等关系，结合选项可求正确答案.
【详解】
定义域为，；
由得函数的增区间为；
由得函数的减区间为；
因为在区间上单调，
所以或
解得或；
结合选项可得A,C正确.
故选：AC.
20．（2022·全国·高三专题练习）下图是函数的导函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．是的极小值点
C．是的极小值点
D．是的极大值点
【答案】CD
【分析】
根据的图象，得到函数的单调性，结合单调性和函数极值点的概念，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，根据的图象，可得当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，所以A不正确；
不是函数的极值点，所以B不正确；
是函数的极小值点，所以C正确；
是函数的极大值点，所以D正确.
故选：CD.
21．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（ ）
A．
B．函数在上递增，在上递减
C．函数的极值点为，
D．函数的极大值为
【答案】ABD
【分析】
对A，B由导数与函数单调性的关系，即可判断，， 的大小以及的单调性，对C，D由极值的定义即可判断.
【详解】
解：由题图知可，当时，，
当时，，当时，，
所以在上递增，
在上递减，在上递增，
对A，，故A错误；
对B，函数)在上递增，在上递增，在上递减，故B错误；
对C，函数的极值点为，，故C正确；
对D，函数的极大值为，故D错误.
故选：ABD.
22．（2022·全国·高三专题练习）己知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的（ ）
A．在时取极小值B．在时取极大值
C．是极小值点D．是极小值点
【答案】AC
【分析】
由导函数的图像判断导数的正负，再通过导函数的零点左右两侧的导函数的正负来确定函数的极值和极值点
【详解】
解：由导函数的图像可得，
当时，其左边的导数小于零，右边的导数大于零，所以在时取极小值，所以A正确，
当时，其左边的导数小于零，右边的导数大于零，所以是极小值点，所以C正确，
而和，左右两边的导数值同号，所以和不是函数的极值点，所以BD错误，
故选：AC
23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．时，取得最大值D．时，取得最小值
【答案】AB
【分析】
由图象可确定的单调性，结合单调性依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】
由图象可知：当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减；
对于A，，，A正确；
对于B，，，B正确；
对于C，由单调性知为极大值，当时，可能存在，C错误；
对于D，由单调性知，D错误.
故选：AB.
三、填空题
24．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若的单调递减区间是，则实数的值为________.
【答案】
【分析】
求出函数的导数，得到关于的方程，解出即可
【详解】
解：由，得，
因为的单调递减区间是，所以的解集为，
所以是方程的一个根，
所以，解得，
故答案为：
25．（2022·全国·高三专题练习）函数在区间（-1,1）上为单调减函数，则的取值范围是__________．
【答案】
【详解】
在上恒成立，根据二次函数图像可知，应满足，解得.
26．（2022·全国·高三专题练习）若函数在定义域内是增函数，则实数的最小值为______.
【答案】
【分析】
求出，考虑且不恒为零时实数的取值范围即可.
【详解】
的定义域为，，
因为在上为增函数，故在上恒成立，且不恒为零.
在上恒成立等价于在上恒成立，
故即，
而当，当且仅当时有，故不恒为零.
的最小值为. 填.
【点睛】
一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则且不恒为零．
27．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
首先求出函数的导函数，依题意在恒成立，参变分离，即在恒成立，令，利用导数说明其单调性，即可求出其最大值，即可得解；
【详解】
解：因为，所以，因为函数在区间上单调递增，所以在恒成立，
即在恒成立，
令，，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以
所以，即
故答案为：
28．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数在处取得极小值，则的极大值为__________
【答案】
【分析】
求导函数，求出极大值点，最后代入原函数可求得极大值.
【详解】
由题意得，，
，解得，
， ，
在上单调递增，在上单调递减，
的极大值为.
故答案为：
29．（2022·全国·高三专题练习）函数的极值点是___________.
【答案】1
【分析】
利用导数判断单调性，即可求出极值点.
【详解】
的定义域为，，
所以令，解得，令，解得，
所以为的极值点.
故答案为：1.
【点睛】
求极值（极值点）需研究函数的单调性：①；②在左右两侧单调性相反.
30．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=x3＋3mx2＋nx＋m2在x=－1时有极值0，则m＋n=________.
【答案】11
【分析】
对函数进行求导，根据函数在有极值，可以得到，代入求解可得或，经检验，即可求出结果.
【详解】
依题意可得，联立可得或；
当时函数，
，所以函数在上单调递增，故函数无极值，所以舍去；所以，所以.
故答案为：11.
【点睛】
本题主要考查函数在某点取得极值的性质：若函数在取得极值，则．反之结论不成立，即函数有，函数在该点不一定是极值点，（还得加上在两侧有单调性的改变），本题属于基础题．
31．（2022·全国·高三专题练习（理））函数的最小值为______.
【答案】1
【分析】
由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.
【详解】
由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
四、解答题
32．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，．若，求函数的单调区间.
【答案】答案见解析
【分析】
求出函数f(x)定义域并求出其导数，分，两类确定不等式、的解集即可.
【详解】
解：，
，
当时，令，得：；令，得；
当时，令，得：或，
令，得；
因此，当时，在递增，在递减；
当时，在，递减；在递增．
33．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(其中常数)，讨论的单调性；
【答案】当时，在单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减．
【分析】
对函数进行求导，根据一元二次方程的判别式，结合导数的性质进行求解即可.
【详解】
，
记，，
①当，即时，，故，所以在单调递增．
②当，即当时，有两个实根，，
注意到， 且对称轴，故，
所以当或时，，，单调递增；
当时，，，单调递减．
综上所述，当时，在单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
34．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，讨论的单调性；
【答案】当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增．
【分析】
对函数进行求导，根据导数的性质，结合一元二次方程根之间的大小关系、函数的定义域分类讨论进行求解即可.
【详解】
，，
①当时，恒成立，在上单调递增，
②当时，令，则，令，则，
在上单调递减，在上单调递增，
综上：当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增．
35．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（），讨论函数的单调性.
【答案】答案见解析.
【分析】
求导，分，讨论求函数的单调性
【详解】
的定义域为，且．
当时，，则在上单调递增．
当时，若，则，在上单调递增；
若，则，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
36．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，讨论的单调性
【答案】答案见解析
【分析】
根据的正负性，结合导数分类讨论进行求解即可.
【详解】
函数的定义域为(0，+∞)，，
当时，，则在上递增，
当时﹐由得，
由，得，由，得，
于是有在上递增，在上递减,
综上所述：当时，在上递增，当时﹐在上递增，在上递减.
37．（2022·全国·高三专题练习）设函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）令，讨论的单调性.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）答案见解析.
【分析】
（1）对函数求导后，由导函数的正负来确定函数的单调区间；
（2）由题意得（），对函数求导，然后分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间
【详解】
（1）
当时
令得或（舍）
当时，；时，
于是的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由题意得
于是
①当时
在恒成立
②当时
在恒成立；在恒成立
综上所述当时，在上单调递增
当时，在单调递减，在单调递增.
38．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．讨论函数的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】
由题设知定义域为(0,＋∞)、，讨论参数判断的符号，即可确定的单调性.
【详解】
解：的定义域是，
，
对于，
①△即时，
在恒成立，故在递减，
②△时，时，令，
解得：（舍，，
故时，，时，，
故在递增，在递减，
时，令，
解得：，，
故时，，时，，
时，，
故在递减，在递增，在递减；
综上：时，在递减，
时，在递增，在递减，
时，在递减，在递增，在递减．
39．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数的极大值.
【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）.
【分析】
（1）求函数的导函数，求和的解，从而求出函数的单调区间；（2）由函数的单调性，确定函数的极大值点，代入求出极大值.
【详解】
解：（1）因为，所以，
令，则或，令，则
所以的单调增区间为，减区间为；
（2）由（1）可知：时，有极大值为.
40．（2022·全国·高三专题练习）设函数，其中．
（Ⅰ）当时，在时取得极值，求；
（Ⅱ）当时，若在上单调递增，求的取值范围；
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）求函数的导数利用求解；
（Ⅱ）根据函数的单调性可得在上恒成立，利用二次函数的最值求解.
【详解】
（Ⅰ）当时，，
依题意有，故，
此时，
取得极大值，所以；
（Ⅱ）当时，，
若在上单调递增，
则在上恒成立，
设，
只需，即.
41．（2022·全国·高三专题练习）已知函数
（1）求函数的极值；
（2）若函数在上的最小值为2，求它在该区间上的最大值．
【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）.
【分析】
（1）对函数求导，得到，用导数的方法判断函数单调性，即可确定极值；
（2）由（1）先确定函数在上的单调性，再由题中条件，得出，进而可求出最大值.
【详解】
（1）
，或
当变化时，，的变化情况如下表：
则极大值为，极小值为；
（2）由（1）知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减
又，，
所以最小值为，即，
最大值在或处取，，，
所以在上的最大值为．
【点睛】
本题主要考查导数的方法求函数极值，以及最值，属于常考题型.
42．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为和；（2）最大值为；最小值为．
【分析】
（1）根据函数的单调性与导数之间的关系，即可求解；
（2）根据在区间上的单调性即可求解.
【详解】
解：（1），
令，得，
与的变化情况如下：
的单调递减区间为，单调递增区间为和；
（2）由（1）知，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
在区间上的最大值为；
在区间上的最小值为，
，且，
在区间上的最小值为．
43．（2021·天津市第一零二中学高三期中）设函数．
（1）求在处的切线方程；
（2）求的极大值点与极小值点；
（3）求在区间上的最大值与最小值．
【答案】
（1）；
（2）极小值点为，极大值点为；
（3），.
【分析】
（1）求导后，利用导数几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程；
（2）根据导数的正负可确定单调性，结合单调性可确定所求极值点；
（3）由（2）可得在上的单调性，由单调性可求得最值.
（1）
由题意得：，则，
又，
在处的切线方程为，即；
（2）
令，解得：或，
则变化情况如下表：
的极小值点为，极大值点为；
（3）
由（2）知：在上单调递减，在上单调递增；
又，，，
，.
44．（2021·宁夏·银川一中高三阶段练习（文））已知函数（）．
（1）讨论的单调区间；
（2）求在上的最大值．
【答案】
（1）答案见解析
（2）
【分析】
（1）直接求导，根据的取值范围分情况讨论；
（2）分情况讨论函数在的单调性及最值情况.
（1）
解：定义域，
①，在上单减；
②，在上单增，单减；
（2）
解：由（1）知：①时，在单减，；
②时，在单增，；
③时，在单增，单减，；
综合.
45．（2021·山东·高三阶段练习）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求在区间上的最大值．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【分析】
（1）求导后，分别在和的情况下，根据的正负得到函数单调性；
（2）分别在、和三种情况下，得到在上的单调性，由单调性可确定最大值点，代入可得最大值.
【详解】
（1）由题意得：定义域为，，
①当时，，在上单调递增；
②当时，令得：，
列表如下：
在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，由（1）知：
①当，即时，在上单调递减，则；
②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
；
③当，即时，在上单调递增，则；
综上所述：.
46．（2021·北京交通大学附属中学高三开学考试）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）求函数的单调区间和极值；
（3）函数在区间上的最大值和最小值；
（4）若在区间上，函数总有最小值，求出的取值范围；
（5）在函数的图像上是否一定存在两条互相垂直的切线？（本问直接写出结论，不需写理由）
【答案】（1）或；（2）在单调递减区间为，单调递增区间为；取得极小值，极小值为，无极大值；（3）取得最小值，取得最大值；（4）；（5）存在.
【分析】
（1）根据题意，解一元二次不等式，即可求得不等式的解集；
（2）求导，根据导数与函数单调性的关系，即可求得的单调区间和极值；
（3）由（2）列表即可求得的最值；
（4）根据导数与单调性的关系，绘出大致图象，根据题意即可求得的取值范围；
（5）根据导数的几何意义，即可判断.
【详解】
解：（1）因为，所以，得，解得或，
所以不等式的解集为或；
（2）由，，.
所以和在区间上随变化的情况如下：
所以在单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，取得极小值，极小值为，无极大值；
（3）由（2）可知，当时，取得最小值，当时，取得最大值；
（4），
所以和随变化的情况如下：
由于在区间上，总有最小值，
所以由图可知，
所以的取值范围为；
（5）存在.
－1
（－1，3）
3
＋
0
－
0
＋
0
2
0
0
极小值
极大值
↗
↘
↗
极小值
极大值
＋
－
递增
极大值
递减
0
1
2
﹣
0
+
0
↓
↑
1
+
0
﹣
0
+
↑
↓
↑
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