2023-2024学年福建省莆田七中、十一中、十五中等校高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

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这是一份2023-2024学年福建省莆田七中、十一中、十五中等校高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知命题p：∃x>0，2x>x2，则¬p是( )
A. ∃x>0，2x≤x2B. ∃x>0，2xC. ∀x>0，2x≤x2D. ∀x>0，2x2.函数f(x)= 1−x2+1x的定义域是( )
A. [−1,0)B. (0,1]C. (−1,0)∪(0,1]D. [−1,0)∪(0,1]
3.已知A={−1,0,1,3,5}，B={x|2x−3<0}，则A∩∁RB=( )
A. {0,1}B. {−1,1,3}C. {−1,0,1}D. {3,5}
4.函数f(x)=6x−lg2x的零点所在区间是( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (3,4)D. (4,+∞)
5.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标
中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是( )
A. f(x)=1|x−1|B. f(x)=1||x|−1|C. f(x)=1x2−1D. f(x)=1x2+1
6.已知a=0.32,b=20.3,c=lg 22，则( )
A. b7.若sin(π6+α)=13，则sin(5π6−α)−cs(2π3+α)=( )
A. 0B. 23C. 1+2 23D. 1−2 23
8.已知函数f(x)=ax−3+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x，y的方程mx+ny=4(m>0,n>0)，则2m+3n的最小值为( )
A. 4B. 6C. 12D. 24
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.对于实数a，b，c，下列说法正确的是( )
A. 若abc2，则a>b
C. 若a>0>b，则aba>b，ac−a10.在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(−1,m)(m>0)，则下列各式的值一定为负的是( )
A. sinα+csαB. sinα−csαC. sinαcsαD. sinαtanα
11.已知命题p：∀x∈R，x2+ax+4>0，则命题p成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的( )
A. a∈[−1,1]B. a∈(−4,4)C. a∈[−4,4]D. a∈{0}
12.关于函数f(x)=|xlg2(1−x2)||x−1|−1的性质的描述，正确的是( )
A. f(x)的定义域为(−1,0)∪(0,1)B. f(x)有一个零点
C. f(x)的图像关于原点对称D. f(x)的值域为(−∞,0)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若扇形的圆心角为2π3，半径为2，则扇形的面积为______.
14.函数f(x)=lg13(x2−5x+6)的单调递增区间为______.
15.已知函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数，则满足f(2x−1)16.已知函数f(x)=3sin(ωx−π6)(ω>0)和g(x)=3cs(2x+φ)的图象完全相同，若x∈[0,π2]，则f(x)的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
化简求值：
(1)0.2552×0.5−4−(338)−23−( 3−π)0+0.064−13+4(−2)4；
(2)lg 39+12lg25+lg2−lg49×lg38+2lg23−1+ln e.
18.(本小题12分)
已知集合A={x|(x+2)(5−x)≤0}，B={x|2a+1(1)若a=−2，求A∪B；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
19.(本小题12分)
已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点P(1,−m−1)，且csα= 55.
(1)求实数m的值；
(2)若m>0，求sin(3π+α)tan(π2−α)cs(α−π)cs(π2+α)的值.
20.(本小题12分)
设函数f(x)=sin(2x+φ)(−π<φ<0)，y=f(x)图象的一个对称中心是(π8,0).
(1)求φ的值；
(2)求f(x)的单调递增区间.
21.(本小题12分)
每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v=12lg3x100−lgx0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.(结果保留到整数位.参考数据：lg5≈0.70，31.4≈4.66)
(1)若x0=5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位.
(2)若雄鸟的飞行速度为1.3km/min，雌鸟的飞行速度为0.8km/min，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex+e−x.
(1)当x∈[0,+∞)时，试判断f(x)单调性并加以证明；
(2)若存在x∈[−ln2,ln3]，使得f(2x)−mf(x)+3≥0成立，求实数m的取值范围.(提示：a2x+a−2x=(ax+a−x)2−2(其中a>0且a≠1))
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意得¬p：∀x>0，2x≤x2.
故选：C.
根据存在量词命题的否定判断即可．
本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：要使函数f(x)有意义，则应有1−x2≥0x≠0，
解得−1≤x≤1且x≠0，
所以函数f(x)的定义域为[−1,0)∪(0,1].
故选：D.
根据题意列出不等式组，求解即可得出答案．
本题考查了根据函数解析式求定义域问题，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：∵B={x|2x−3<0}={x|x<32}，
∴∁RB={x|x≥32}，
∵A={−1,0,1,3,5}，
∴A∩∁RB={3,5}，
故选：D.
先求出集合B，再根据集合的基本运算即可求解．
本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．
根据连续函数f(x)=6x−lg2x，可得f(3)，f(4)的函数值的符号，由此得到函数f(x)=6x−lg2x的零点所在的区间．
【解答】
解：∵连续减函数f(x)=6x−lg2x，
∴f(3)=2−lg23>0，f(4)=64−lg24<0，
∴函数f(x)=6x−lg2x的零点所在的区间是(3,4)，
故选C.
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数图象的识别，可从函数的性质或特殊点(范围)的函数取值进行思考，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．
先由函数的定义域可排除选项A和D，再由x∈(0,1)时，f(x)与0的大小关系，可得解．
【解答】
解：函数的定义域为{x|x≠±1}，排除选项A和D，
当x∈(0,1)时，f(x)>0，
但在选项C中，由于x2<1，所以f(x)<0，可排除选项C，
故选：B.
6.【答案】D
【解析】解：因为c=lg 22=2，0所以a故选：D.
先利用对数运算化简c，在利用指数函数的单调性比较即可．
本题考查三个数的大小的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
7.【答案】B
【解析】解：因为sin(π6+α)=13，
则sin(5π6−α)−cs(2π3+α)=sin[π−(π6+α)]−cs[π2+(π6+α)]=sin(π6+α)−[−sin(π6+α)]=13−(−13)=23.
故选：B.
由已知利用诱导公式即可化简求解．
本题考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=ax−3+1的图象横过定点A，
所以A(3,2)，将点A代入方程可得3m+2n=4，
所以2m+3n=14(2m+3n)(3m+2n)=14(6+6+4nm+9mn)≥14×(12+2 4nm⋅9mn)=6，
当且仅当4nm=9mn，即m=23，n=1时等号成立．
故选：B.
根据函数f(x)=ax−3+1的图象恒过定点A得到A(3,2)，然后代入方程得到3m+2n=4，最后利用基本不等式求最值即可．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A，∵a0，b−a>0，∴1a−1b=b−aab>0，即1a>1b，故A错误，
对于B，∵ac2>bc2，c2>0，∴a>b，故B正确，
对于C，∵a>0>b，∴a2>ab，故C正确，
对于D，取c=−1，a=−2，b=−3，则ac−a=−2，bc−b=−32，且−2<−32，故D错误，
故选：BC.
利用不等式的性质逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】CD
【解析】解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(−1,m)(m>0)，
∴sinα=m m2=1>0，csα=−1 m2+1<0，tanα=−m<0，
∵m>0，
∴sinα−csα>0，sinαcsα<0，sinαtanα<0，
sinα+csα的符号不确定，
∴一定为负值的是CD.
故选：CD.
由已知角终边上的点可得sinα=m m2+1，csα=−1 m2+1，tanα=−m，结合诱导公式判断各项的正负，由此能求出结果．
本题考查三角函烤的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
命题p：∀x∈R，x2+ax+4>0⇔△<0，解得a范围，进而得出结论．
【解答】
解：命题p：∀x∈R，x2+ax+4>0，
∴△=a2−16<0，解得：−4则命题p成立的一个充分不必要条件可以是：a∈[−1,1]，或a∈{0}.
故选：AD.
12.【答案】AC
【解析】解：函数f(x)=|xlg2(1−x2)||x−1|−1，
故函数的定义域满足|x−1|−1≠0 1−x2>0 ，解得−1对于B：由f(x)=0，得lg2(1−x2)=0，解得x=0，由于x=0时，对于函数f(x)没意义，故函数没有零点，故B错误；
对于C：由函数的定义域(−1,0)∪(0,1)，f(x)=|xlg2(1−x2)||x−1|−1=|xlg2(1−x2)|−x，满足f(−x)=−f(x)，
故函数为奇函数，故C正确；
对于D：当x∈(0,1)时，f(x)=|xlg2(1−x2)||x−1|−1=|xlg2(1−x2)|−x=lg2(1−x2)∈(−∞,0)，
由于函数为奇函数，故函数的值域为(−∞,0)∪(0,+∞)，故D错误；
故选：AC.
直接利用函数的性质，函数的定义域，函数的值域，函数的奇偶性的应用判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：函数的性质，函数的定义域，函数的值域函数的奇偶性，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
13.【答案】4π3
【解析】解：∵扇形的圆心角为2π3，半径为2，
∴扇形的面积为S=12×××22×2π3=4π3.
故答案为：4π3.
由已知利用扇形的面积公式即可计算得解．
本题主要考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题．
14.【答案】(−∞,2)
【解析】解：令t=x2−5x+6>0，求得函数的定义域为{x|x<2或x>3}，且f(x)=lg13t，
故本题即求函数t在定义域内的减区间．
再利用二次函数的性质可得函数t在定义域{x|x<2或x>3}内的减区间为(−∞,2)，
故答案为：(−∞,2).
令t=x2−5x+6>0，求得函数的定义域，根据f(x)=lg13t，本题即求函数t在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t在定义域内的减区间．
本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．
15.【答案】[12,23)
【解析】解：∵函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数，
f(2x−1)∴2x−1≥02x−1<13，解得12≤x<23.
∴满足f(2x−1)故答案为：[12,23).
由函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数，利用f(2x−1)本题考查不等式的解集的求法，是基础题，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
16.【答案】[−32,3]
【解析】解：由已知可得，ω=2，
则f(x)=3sin(2x−π6)，
∵x∈[0,π2]，∴2x−π6∈[−π6,5π6]，
则sin(2x−π6)∈[−12,1]，f(x)=3sin(2x−π6)∈[−32,3]，
故答案为：[−32,3].
由f(x)和g(x)的图象完全相同可得，两个函数的周期相同，可求出ω，进而得出函数f(x)的解析式，再根据x的取值范围，结合正弦函数的性质，求出f(x)的取值范围．
本题考查三角函数的图象和性质，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)原式=2−5×24−49−1+52+2=12−49−1+52+2=329.
(2)原式=4+1−lg23×3lg32+32+12=4+1−3+2=4.
【解析】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，属于基础题．
(1)利用有理数指数幂的运算性质求解．
(2)利用对数的运算性质求解．
18.【答案】解：(1)(x+2)(5−x)≤0，可得x≤−2或x≥5，
所以A={x|x≤−2或x≥5}.
当a=−2时，B={x|−3所以A∪B={x|x<−1或x≥5}.
(2)由“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，
又A={x|x≤−2或x≥5}，B={x|2a+1当B=⌀，有2a+1≥3a+5，即a≤−4，显然满足；
当B≠⌀时，有2a+1<3a+5，即a>−4.
若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，
则有a>−43a+5≤−2或a>−42a+1≥5，
解得−4综上所述，a∈(−∞,−73]∪[2a,+∞).
【解析】(1)解不等式得出A，代入a=−2得出B，进而根据并集的运算求解，即可得出答案；
(2)根据已知可推得BA，分B=⌀以及B≠⌀，根据集合的包含关系列出不等式组，求解即可得出答案．
本题主要考查集合的运算，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由题意可得x=1,y=−m−1,r= 12+(m+1)2，
∴csα= 55=1 12+(m+1)2，整理得(m+1)2=4，
解得m=1或m=−3；
(2)∵m>0，∴由(1)可得m=1，
则csα= 55,sinα=−2 55，
∴sin(3π+α)tan(3π2−α)cs(α−π)cs(π2+α)=−sinα−csα−sinα−csα(−sinα)=−1sinα= 52.
【解析】(1)由已知借助于余弦函数的定义列式求解m值；
(2)由(1)可得sinα，csα的值，结合三角函数的诱导公式可得sin(3π+α)tan(π2−α)cs(α−π)cs(π2+α)的值．
本题考查任意角的三角函数的定义，考查诱导公式的应用，是基础题．
20.【答案】解：(1)∵y=f(x)图象的一个对称中心是(π8,0).
∴sin(2×π8+φ)=0，
∴2×π8+φ=kπ，k∈Z，
∴φ=kπ−π4，k∈Z，
又∵−π<φ<0，
∴φ=−π4；
(2)由(1)得函数f(x)=sin(2x−π4)，
由2x−π4∈[−π2+2kπ,π2+2kπ]，k∈Z得：
x∈[−π8+kπ,3π8+kπ]，k∈Z
即f(x)的单调递增区间为[−π8+kπ,3π8+kπ]，k∈Z.
【解析】(1)将(π8,0)代入可得φ=kπ−π4，k∈Z，结合−π<φ<0，可得φ的值；
(2)由2x−π4∈[−π2+2kπ,π2+2kπ]，k∈Z，可得f(x)的单调递增区间．
本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，熟练掌握正弦型函数的图象和性质，是解答的关键．
21.【答案】解：(1)将x0=5，v=0代入函数v=12lg3x100−lgx0，得12lg3x100−lg5=0，
因为lg5≈0.70，所以lg3x100=21g5≈1.40，所以x100≈4.66，
所以x=466.
故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为466个单位．
(2)设雄鸟每分钟的耗氧量为x1，雌鸟每分钟耗氧量为x2，由题意可得：1.3=12lg3x1100−lgx00.8=12lg3x2100−lgx0，
两式相减可得：12=12lg3x1x2，
所以x1x2=3，
故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍．
【解析】(1)将x0=5，v=0代入函数解析式，求出x的值即可答案；
(2)设出雄鸟每分钟的耗氧量和雌鸟每分钟耗氧量，得到方程组，两式相减后得到x1x2=3，得到答案．
本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)函数f(x)=ex+e−x在[0,+∞)上单调递增，证明如下：
任取x1，x2∈[0,+∞),且x1则f(x2)−f(x1)=ex2+e−x2−(ex1+e−x1)=ex2−ex1+ex1−ex2ex1⋅ex2=(ex2−ex1)(ex1+x2−1ex1+x2)，
由x1，x2∈[0,+∞)得，ex2−ex1>0，ex2+x1−1>0，即f(x2)>f(x1).
即函数f(x)=ex+e−x在[0,+∞)上单调递增．
(2)f(−x)=e−x+e−(−x)=ex+e−x=f(x)，即f(x)为偶函数．
由(1)可知，函数f(x)在[−ln2,0]上单调递减，在[0,ln3]上单调递增．
又f(−ln2)=52所以2≤f(x)≤103，
f(2x)−mf(x)+3=(e2x+e−2x)−m(ex+e−x)+3=(ex+e−x)2−m(ex+e−x)+1，
令t=ex+e−x，则存在∃t∈[2,103]，使得t2−mt+1≥0成立，即m≤t2+1t=t+1t成立．
令g(t)=t+1t，由对勾函数的单调性可知，g(t)在[2,103]上单调递增．
故g(t)max=g(103)=10930，
所以m≤g(t)max,m∈(−∞,10930].
【解析】(1)由定义结合指数的运算求解即可；
(2)由f(x)的奇偶性以及单调性得出2≤f(x)≤103，f(2x)−mf(x)+3=(ex+e−x)2−m(ex+e−x)+1，令t=ex+e−x，得出m≤t+1t，由对勾函数的单调性得出t+1t的最大值，进而得出实数m的取值范围．
本题考查函数单调性的判断，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想以及运算求解能力，属于中档题．