河南省商丘市永城市实验中学2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟．
2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上．
3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚．
一、选择题(每小题3分，共30分)
1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式的识别，被开方数含有开不尽方的因数或因式，且不含分母，这样的二次根式是最简二次根式，根据此概念进行判断即可．掌握最简二次根式的概念是关键．
【详解】解：A、此二次根式再也不能化简了，故是最简二次根式，符合题意；
B、，故不是最简二次根式，不符合题意；
C、，故不是最简二次根式，不符合题意；
D、，故不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
2. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4B. 3，，5C. 5，12，13D. 4，4，8
【答案】C
【解析】
【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
【详解】解：A．，
以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．，
以3，，5为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．，
以5，12，13为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D．，
以4，4，8为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD⊥AB于D，则CD的长是( )

A. 5B. 7C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用勾股定理计算出AB的长，再根据三角形的面积公式计算出CD的长即可．
【详解】解：∵在Rt中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=
∵ ×AC×BC= ×CD×AB，
∴ ×3×4=×5×CD，
解得：CD=．
故选．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，以及三角形的面积，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 对角线相等的四边形是平行四边形
B. 一组对边平行，另一组对边相等四边形是平行四边形
C. 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴选项A不符合题意；
∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，
∴选项B不符合题意；
C、∵一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，
∴选项C不符合题意；
∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
5. 如图，在Rt△ABC中．∠B＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD.若BD＝2，则AC的长是( )
A. 4B. 8C. 4D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可
【详解】∵∠A=30°,∠B=90°
∴∠ACB=180°−30°−90°=60°
∵DE垂直平分斜边AC
∴AD=CD
∴∠A=∠ACD=30°
∴∠DCB=60°−30°=30°
∵BD=2
∴CD=4=AD
∴AB=4+2=6
在△BCD中,由勾股定理得：CB==2，
在△ABC中,由勾股定理得：AC==4
故选C
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质, 三角形内角和定理, 等腰三角形的性质, 含30度角的直角三角形, 勾股定理，需要灵活运用这些定理进行推理
6. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A. 当时，矩形
B. 当时，是菱形
C. 当是正方形时，
D. 当是菱形时，
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定和性质逐个分析判断即可．
【详解】解：A、当时，由有一个角为直角的平行四边形是矩形可得四边形是矩形，故该选项不符合题意；
B、当时，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形是菱形，故该选项不符合题意；
C、当是正方形时，由正方形的对角线可得，故该选项不符合题意；
D、当是菱形时，可得，不能得到，故该选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了矩形、菱形、正方形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
7. 以直角三角形的三边为边做正方形，三个正方形的面积如图，正方形A的面积为（ ）
A. 6B. 36C. 64D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据图形知道所求的A的面积即为正方形中间的直角三角形的A所在直角边的平方，然后根据勾股定理即可求解．
【详解】∵两个正方形的面积分别为8和14，
且它们分别是直角三角形的一直角边和斜边的平方，
∴正方形A的面积=14-8=6．
故选A．
【点睛】本题主要考查勾股树问题：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．
8. 如图，F是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AF，CF，并延长CF交AD于点E．若∠AFC＝140°，则∠DEC的度数为（ ）
A. 80°B. 75°C. 70°D. 65°
【答案】D
【解析】
【分析】利用正方形的性质，由“SAS”可证△ABF≌△CBF，依据全等三角形的对应角相等，可得∠AFB＝∠CFB＝70°，由三角形的外角性质可得到∠DEF的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABF＝∠CBF＝∠ABC＝45°，
在△ABF和△CBF中，
，
∴△ABF≌△CBF（SAS）；
∴∠AFB＝∠CFB，
又∵∠AFC＝140°，
∴∠CFB＝70°，
∵∠DFC+∠CFB＝180°，
∴∠DFC＝180°﹣∠CFB＝110°，
∵∠DEF+∠EDF＝∠DFC，
∴∠DEC＝∠DFC﹣∠EDF＝110°﹣45°＝65°，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及三角形外角的性质，证得△ABF≌△CBF(SAS)是解题的关键．
9. 当时，化简的结果是（ ）
A. 1B. C. aD.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查的是二次根式的化简和绝对值的化简，掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解题关键．
【详解】解：∵，
∴．
故选：B．
10. 如图，O是矩形对角线的交点，作，，连结．有下列说法：①四边形为菱形；②；③；④若，则．其中正确的是（ ）
A. ①③B. ①④C. ②④D. ③④
【答案】B
【解析】
【分析】①先证明四边形是平行四边形，再根据四边形是矩形，可得，进而即可解决问题；
②由，，，进而可以判断；
③由，得到，进而可以进行判断；
④设与交于点，证明是的垂直平分线，可得，然后证明，进而可以解决问题．
【详解】解：①，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
四边形为菱形；故①正确；
②∵四边形为菱形
∴
∵
∴，故②错误；
③∵四边形是矩形
∵
∴，故③错误；
④如图，设与交于点，
，
，
，
，
是矩形对角线的中点，
是的中点，
是的垂直平分线，
，
四边形为菱形，
，
四边形是矩形，
，，，
，
在和中，
，
，
，
．
说法正确的是①④．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．
二、填空题(每小题3分，共15分)
11. 如果代数式有意义，那么x的取值范围是________．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意可知：，
且，
故答案为：且．
12. 在，，中与可以合并的二次根式是___________．
【答案】
【解析】
【分析】将所给的二次根式进行化简即可得到答案．
【详解】，
，
，
则与可以合并的二次根式是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简与合并，掌握二次根式的化简方法是解题关键．
13. 若是整数，则正整数n的最小值为______．
【答案】5
【解析】
【分析】根据n是正整数，则也是正整数，则20n一定是一个完全平方数，首先把20n分解因数，确定20n是完全平方数时，正整数n的最小值即可．
【详解】解：∵，
∴正整数n的最小值为5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了算术平方根定义，理解是正整数的条件是解题的关键．
14. 如图，在中，、是对角线上两点，，，，则的大小为___________
【答案】21°.
【解析】
【分析】由直角三角形斜边中线的性质得DE＝AE＝EF，进而可得DC＝DE，设∠ADE＝x，则∠DAE＝x，进而可得∠DCE＝∠DEC＝2x，再根据平行线的性质可得 ∠ACB＝∠DAE＝x，再根据∠ACB+∠ACD＝∠BCD=63°，即可求得答案.
【详解】∵AE＝EF，∠ADF＝90°，
∴DE＝AE＝EF，
∴∠DAE=∠ADE，
又∵AE＝EF＝CD，
∴DC＝DE，
∴∠DEC=∠DCE，
设∠ADE＝x，则∠DAE＝x，
则∠DCE＝∠DEC＝2x，
又AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAE＝x，
由∠ACB+∠ACD＝∠BCD=63°，
得：x+2x＝63°，
解得：x＝21°，
∴∠ADE=21°，
故答案为21°.
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行四边形的性质等，正确把握相关性质是解题的关键.
15. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是___．
【答案】10
【解析】
【分析】由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．
【详解】
如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小.
∵四边形ABCD是正方形，
∴B、D关于AC对称，
∴PB=PD，
∴PB+PE=PD+PE=DE.
∵BE=2，AE=3BE，
∴AE=6，AB=8，
∴DE==10，
故PB+PE的最小值是10.
故答案为10.
三、解答题(共8题，共75分)
16. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）17
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算．掌握二次根式的运算法则是解题关键．
（1）利用二次根式的乘法运算计算即可；
（2）利用二次根式的除法运算法则计算即可；
（3）首先对每一项进行化简，然后合并同类项即可；
（4）利用平方差公式计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
．
17. 如图，一架梯子长2.5米，顶端A靠在垂直于地面的墙上，这时梯子下端B离墙角C的距离为1.5米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为0.9米，计算梯子顶端A下滑的距离．

【答案】1.3米
【解析】
【分析】根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意可知，在中，，
由勾股定理可知，
所以，
在中，，，，
由勾股定理可知，
所以，
米，
答：梯子顶端A下滑的距离为1.3米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，运用勾股定理求得和的长是解决问题的关键．
18. 如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC和∠ACB的角平分线交于D点，E、F、G、H分别是线段AB、AC、BD、CD的中点．
（1）求∠BDC的度数；
（2）证明：四边形EGHF为平行四边形．
【答案】（1）125°；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠ABC+∠ACB＝110°根据角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据三角形中位线的定理得到EF∥BC，GH∥BC，且EF＝BC，GH＝BC，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：（1）∵∠BAC＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝110°
∵BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB，
∴，，
∴
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝125°；
（2）证明：∵E、F、G、H分别是AB、AC、BD、CD的中点，
∴EF，GH分别为ABC和DBC的中位线
∴EFBC，GH∥BC，且EF＝BC，GH＝BC，
∴EFGH，EF＝GH
∴四边形EGHF为平行四边形．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
19. 如图，某居民小区有一块形状为长方形绿地，长为米，宽为米，现要在长方形绿地中修建两个形状、大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为 米，宽为 米．
（1）求长方形的周长（结果化为最简二次根式）．
（2）除去修建花坛的地方，其他位置全部修建为通道，通道上要铺上造价为26 元/平方米的地砖．要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少钱?
【答案】（1）长方形的周长为米
（2）要铺完整个通道，则购买地砖需要花费元
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键．
（1）根据长方形的周长公式计算即可；
（2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可．
【小问1详解】
解：（米），
∴长方形的周长为米．
【小问2详解】
（平方米），
则（元），
∴要铺完整个通道，则购买地砖需要花费元．
20. 先阅读材料，然后回答问题．
在进行二次根式化同时，我们有时会遇到形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简：①；②；③．
以上这种化简的方法叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
④
（1）请用不同的方法化简．
（2）化简：．
【答案】（1）方法见解析，结果为
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键．
（1）仿照题意进行分母有理化即可；
（2）先根据分母有理化的方法推出，再把所求式子按照上述形式进行裂项，然后合并化简即可．
【小问1详解】
解：
；
；
【小问2详解】
解：
，
∴
．
21. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由向移动，已知点为海港，，，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．

（1）求海港到直线的距离；
（2）台风中心由向移动的过程中，海港受台风影响吗？为什么？
【答案】（1）海港到直线的距离为
（2）海港受台风影响，理由见详解
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理先求出长度，再运用等面积法即可求解；
（2）根据台风半径与长度的大小比较，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴是直角三角形，
∴（），
如图所示，过点作于点，

∴，
∴（），
∴海港到直线的距离为．
【小问2详解】
解：由（1）可知，海港到直线的距离为，
∵以台风中心为圆心周围以内为受影响，如图所示，以点为圆心，以为半径作圆，

∵，
∴海港受台风影响．
【点睛】本题主要考查直角三角形的勾股定理，点到直线的最短距离的运用，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
22. 如图，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H．
(1)求证：四边形AGPH是矩形；
(2)在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．

【答案】(1)证明见解析；(2)见解析.
【解析】
【分析】（1）根据“矩形的定义”证明结论；
（2）连结AP．当AP⊥BC时AP最短，结合矩形的两对角线相等和面积法来求GH的值．
【详解】（1）证明∵AC=9 AB=12 BC=15，
∴AC2=81，AB2=144，BC2=225，
∴AC2+AB2=BC2，
∴∠A=90°．
∵PG⊥AC，PH⊥AB，
∴∠AGP=∠AHP=90°，
∴四边形AGPH是矩形；
（2）存在．理由如下：
连结AP．
∵四边形AGPH是矩形，
∴GH=AP．
∵当AP⊥BC时AP最短．
∴9×12=15•AP．
∴AP=．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质．解答（2）题时，注意“矩形的对角线相等”和“面积法”的正确应用．
23. 如图，在中，，，，点D从点C出发沿CA方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是秒（）．过点作于点F，连接DE，EF．
（1）求证：；
（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值，如果不能，说明理由；
（3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）t=10； （3）当t=或12时，△DEF为直角三角形，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）由题意得∠BCA=30°，CD=4tcm，AE=2tcm，再由含30°角的直角三角形的性质得DF=DC=2tcm， 即可得到AE=DF；
（2）由AE=AD，得四边形AEFD为菱形，得2t=60-4t，进而求得t的值；
（3）分∠EDF=90°、∠DEF=90°两种情况，根据直角三角形的性质列出算式，计算即可．
【小问1详解】
证明：由题意可知CD=4tcm，AE=2tcm，
∵∠B=90°，∠A=60°，
∴∠C=30°，
∴DF=DC=2t cm．
∵AE=2t cm，DF=2t cm，
∴AE=DF．
【小问2详解】
解：∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴．
∵AE=DF，，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴要使平行四边形AEFD为菱形，则需AE=AD，
即2t=60-4t，
解得t=10，
∴当t=10时，四边形AEFD为菱形，
故答案为：10．
【小问3详解】
当∠EDF=90°时，如图①，
∵DF⊥BC，AB⊥BC，
∴，
∴四边形DFBE为矩形．
∴
∴AD=2AE，即60-4t=2t×2，
解得，t=，
当∠DEF=90°时，如图②，
∵，
∴DE⊥AC，
∴．
∴AE=2AD，即2t=2×（60-4t），
解得，t=12，
综上所述，当t=或12时，△DEF为直角三角形．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．