山西省介休市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1. 计算结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可作答．
【详解】解：
故选：A
2. 司机王师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，其中的常量是（ ）
A. 金额B. 数量C. 单价D. 金额和数量
【答案】C
【解析】
【分析】根据常量与变量的定义即可判断．本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型．
【详解】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，
单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，
故选：C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂相乘，积的乘方，完全平方公式，单项式除以单项式等内容，据此相关性质进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误；
C、，故该选项是错误的；
D、，故该选项是正确的；
故选：D
4. 下列图形中，由，能得到的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可得出答案．
【详解】解：A. 由，不能得到，此选项不符合题意；
B. 由，得到，不能得出，此选项不符合题意；
C. 由，不能得到，此选项不符合题意；
D. 由，能得到，此选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
5. 蓝鲸是迄今海洋中最大的生物，同时也是地球上体积最大的动物，平均体长约30米，重达200吨以上，而被命名为“H39”的原生动物则是世界上体积最小的动物，最大直径为0.0000003米．将数据0.0000003用科学记数法表示为（ ）

A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：数据0.0000003用科学记数法表示为米，
故选C．
6. 观察下列图形，从图1到图2可表示的乘法公式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，根据边长为的正方形剪掉边长为的正方形的面积和长方形的面积相等，进行判断即可．
【详解】解：图1：长方形的面积为：，
图2：剪掉边长为的正方形的面积为：，
所以从图1到图2可用式子表示为：．
故选：A．
7. 水滴进玻璃容器（滴水速度相同）实验中，水的高度随滴水时间变化的情况（下左图），下面符合条件的示意图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】判断各容器的水的高度随时间上升的快慢进行判断即可．
【详解】解：根据图象，水的高度随滴水时间变化，先上升的快，后上升的慢，
选项A、B、C中容器上下粗细均匀，水的高度随滴水时间变化，上升速度一致，不符合题意；
选项D中容器下细上粗，水的高度随滴水时间变化，先上升的快，后上升的慢，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查用图象表示变量间的关系，从图象中得到水的高度随时间上升的快慢以及各容器的结构是解答的关键．
8. 计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘多项式，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加，据此逐项分析，即可作答．
【详解】解：
故选：D
9. 折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学成为现代几何学的一个分支．按如图所示方法折纸，则下列说法不正确的是（ ）
A. 与互余B.
C. 平分 D. 与互补
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，补角与余角定义，先由折叠性质得出，结合，即可作答．
【详解】解：如图：
∵折叠
∴
∴平分
∴平分是错误的，
故C选项是错误的，符合题意；
∴
∴与互余，
故A、B选项是正确的，不符合题意；
∵
∴与互补
故D选项是正确的，不符合题意，
故选：C
10. 如图是一组有规律的图案，它们由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，按此规律摆下去，若第n个图案中有y个三角形，则y与n之间的关系式是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图形的变化发现规律，即可用含n的代数式表示，进而可得答案．
【详解】解：第1个图案有4个三角形，即；
第2个图案有7个三角形，即；
第3个图案有10个三角形，即；
…
按此规律摆下去，第n个图案有个三角形，即．
故选：A．
【点睛】本题考查了图形类规律探寻和用关系式表示变量之间的关系，根据前面几个图案中的三角形的个数找到规律是解题的关键.
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了单项式乘多项式，把单项式与多项式的每个式子相乘，即可作答．
【详解】解：
故答案为：
12. 如图，点P到一条笔直的公路共有四条路径，若要用相同速度从点P走到公路，最快到达的路径是选择沿线段去公路，这一选择用到的数学知识是______
【答案】垂线段最短
【解析】
【分析】根据垂线段最短求解即可．
【详解】解：∵，
∴根据垂线段最短得出最快到达的路径是选择沿线段去公路，
故答案为：垂线段最短．
【点睛】本题考查垂线段最短，熟知直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短是解答的关键．
13. 如图1是一款小型手推升降机，如图2是其平面示意图，其中，经测量：，则的度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，即，结合进行角的运算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
14. 我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料--纳米气凝胶，该材料导热率与温度（℃）的关系如表：
根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为___________℃．
【答案】
【解析】
【分析】根据表格中两个变量、的对应值以及变化规律可得答案．
【详解】根据题意，温度每增加℃，导热率增加，
所以，当导热率为时，温度为℃，
故答案为：．
【点睛】本题考查函数及其表示方法，理解函数的意义以及变量之间的变化规律是正确解答的关键．
15. 图1为某校八(1)(2)两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示八(1)(2)两个班级的基地面积．若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式因式分解，正方形的面积，根据，再根据，整体代入计算即可．
【详解】解：根据题意，得，，
∴
，
∵，，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）7．
【解析】
【分析】本题考查了幂的混合运算、负整数指数幂、零指数幂，乘方等内容，
（1）先进行幂的乘方、积的乘方，再运用单项式乘单项式，最后合并同类项，即可作答．
（2）先化简负整数指数幂、零指数幂，乘方，再进行加减运算，即可作答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17. （1）简便计算：
（2）先化简，再求值：
，其中．
【答案】（1）；（2）；
【解析】
【分析】本题考查平方差公式，整式的混合运算；
（1）利用平方差公式计算即可；
（2）先算括号里的整式运算，再算整式的除法进行化简，再代入求值即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
∵，
∴，
当，时，原式．
18. 如图，直线与相交于点O，P为直线上一点（不与点O重合）．
（1）尺规作图：过点P作直线，使成为的同位角（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）当时，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了复杂作图，平行线的判定与性质．
（1）根据平行线的性质作图；
（2）根据对顶角的性质及平行线的性质求解．
【小问1详解】
如图：即为所求；
【小问2详解】
∵直线与相交于点O，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
19. 阅读下列推理过程，完成相应任务：
任务：
上述推理过程中的“依据1”“依据2”“依据3”“依据4”分别指什么？
“依据1”：______；
“依据2”：______；
“依据3”：______；
“依据4”：______．
【答案】依据1：同位角相等，两直线平行
依据2：两直线平行，同位角相等
依据3：同角的余角相等
依据4：内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，垂直的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先根据垂直定义，得出，结合平行线的判定，得出，再进行角的等量代换以及角的运算，得出，即可作答．
【详解】证明：∵（已知），
∴（垂直的定义），
又∵（已知），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
∴（等量代换），
又∵（平角的定义）
∴，
又∵（已知），
∴（同角的余角相等），
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：依据1：同位角相等，两直线平行；依据2：两直线平行，同位角相等；依据3：同角的余角相等；依据4：内错角相等，两直线平行．
20. 综合实践小组探究香燃烧时剩余长度（cm）与燃烧时间（分）的关系下面是他们实验过程的示意图以及相关数据，请利用图中信息解答下列问题：

（1）将表格中空缺的数据补充完整；
（2）根据表中信息，分析香燃烧过程中剩余长度y（cm）随燃烧时间（分）的变化规律（写出一个结论即可）；
（3）香剩余长度（cm）与燃烧时间（分）之间的关系式为______．
【答案】（1）4 （2）香燃烧过程中剩余长度y（cm）随燃烧时间x（分）的增加而减少
（3）
【解析】
小问1详解】
由题意可知，燃烧时间为分钟时，剩余长度为；
故答案为：．
【小问2详解】
由表格数据可知，香燃烧过程中剩余长度随燃烧时间分的增加而减少．
【小问3详解】
由题意可知，香每燃烧分钟，剩余长度减少，
所以香的剩余长度与燃烧时间分之间的关系式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数的实际应用，在求函数解析式时要注意根据实际情况确定自变量的取值范围，除了根据燃烧时间与剩余长度之间的关系来求解析式，还可以运用待定系数法来求函数解析式．
21. 如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知，若，，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，延长到点C，根据求出，得到，再根据得到．
【详解】解：如图：延长到点C，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
22. 如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题：

（1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．
方法1：______，
方法2：______；
（2）从中你得到什么等式？______；
（3）运用你发现的结论，解决下列问题：
①已知，，求的值；
②已知，求的值．
【答案】（1），
（2）
（3）①；②－20.
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，用不同方法表示同一部分的面积是得出关系式的关键.
（1）方法1可采用两个正方形的面积和，方法2可以用大正方形的面积减去两个长方形的面积；
（2）由（1）中两种方法表示的面积是相等的，从而得出结论；
（3）①由（2）的结论，代入计算即可；
②设，，则，，求即可．
【小问1详解】
解：
方法1，阴影部分面积是两个正方形的面积和，即，
方法2，从边长为的大正方形面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即，
故答案为：，；
【小问2详解】
在（1）两种方法表示面积相等可得，，
故答案为：；
【小问3详解】
①∵，∴，
又∵，
∴；
②设，，则，，
∴原式
答：的值为．
23. 综合与实践：
问题情境：
如图，直线，一副三角尺按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．
问题解决：
（1）求的度数．
（2）如图②，若将三角形绕点B以每秒4度的速度逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为（；
①在旋转过程中，若边，求t的值；
②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒3度的速度顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）请直接写出当边时，求t的值．
【答案】（1）；（2）①t的值为；②满足条件的t的值为或．
【解析】
【分析】（1）利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题．
（2）①首先证明，由此构建方程即可解决问题．
②分两种情形：如图③中，当时，延长交于．根据构建方程即可解决问题．如图③中，当时，延长交于．根据构建方程即可解决问题．
本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义是解题的关键．
【详解】解：（1）如图①中，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
（2）①如图②中，
，
，
，
，
，
，
在旋转过程中，若边，的值为；
②如图③中，当时，延长交于，
∵，
，
，，
，
，
；
如图③中，当时，延长交于，
∵，
，
，，
，
，
．
综上所述，满足条件的的值为或．温度（℃）
导热率
如图，点E、F分别在上，于点．
求证：．
证明：∵（已知），
∴（垂直的定义），
又∵（已知），
∴（ “依据1” ），
∴（ “依据2” ），
∴（等量代换），
又∵（平角的定义）
∴，
又∵（已知），
∴（ “依据3” ），
∴（ “依据4” ）．
燃烧时间/分
剩余长度/