上海市闵行区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分，每题只有一个选项正确）
1. 下列各数中，是有理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了有理数的概念，立方根，算术平方根知识．有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数；对各数进行判断即可．
【详解】解：，
∴有理数是，
故选：D．
2. 近似数是精确到（ ）
A. 百分位B. 十分位C. 百位D. 千位
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法和近似数的知识，解题关键是将科学记数法表示的近似数还原成数字形式．精确度由近似数的最后一位有效数字在该数中所处的位置决定，将科学记数法表示的近似数还原成数字形式，再确定精确到哪位即可．
【详解】解：，最后一位有效数字0在55000中处于百位，
所以，近似数是精确到百位．
故选：C．
3. 下列运算从左到右，结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的有关运算以及算术平方根和分数指数幂的求解，解题的关键熟练掌握相关运算法则．根据二次根式的有关运算以及算术平方根和分数指数幂的运算法则，对选项逐个判断即可．
【详解】解：A、，故该选项正确；
B、，故该选项错误；
C、，故该选项错误；
D、，故该选项错误；
故选：A．
4. 如图，可以判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定，内错角相等，两直线平行，即可解答．
【详解】解：A、∵，∴，故该选项错误；
B、根据，不能判定，故该选项错误；
C、∵，∴，故该选项正确；
D、根据，不能判定，故该选项错误；
故选：C．
5. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补
B. 点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度
C. 如果两条直线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行
D 经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质、平行线的判定、点到直线的距离等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据平行线的判定、平行线的性质以及点到直线的距离定义逐项分析即可．
【详解】解：A. 两条平行直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补，故原说法错误，不符合题意；
B. 点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度，该说法正确，符合题意；
C.两条平行直线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行，故原说法错误，不符合题意；
D.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误，不符合题意．
故选：B．
6. 如图，平分平分，则的度数用含的式子表示为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线．
根据角平分线得出过H作过E作证出即可得结论；
【详解】平分平分
过H作过E作
故选：B．
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7. 比较大小：______（请填写“>”、“<”或“=”）．
【答案】
【解析】
【分析】先将两个无理数平方后比大小，进而可得两个无理数的大小．
【详解】解：，，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数比大小．解题的关键在于熟练掌握无理数比大小的方法．
8. 要使得代数式有意义，那么的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题关键．根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件求解即可．
【详解】解：若代数式有意义，
则有且，
解得且．
故答案为：且．
9. 不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解不等式，二次根式的运算．根据解不等式的步骤求解，最后将分母进行有理化，即可解答．
【详解】解：
解得：
故答案为：．
10. 把写成幂的形式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分数指数幂，根据分数指数幂的定义进行求解，即可得到答案．
【详解】解：
故答案为：．
11. 已知实数、在数轴上的对应点如图所示，化简：_____________．
【答案】
【解析】
【分析】先去根号，得到，然后去绝对值可得．
【详解】
∵根据数轴得：＜0，b＞0，且＞
∴＜0
∴
故答案为：
【点睛】本题考查二次根式的化简和绝对值的化简，注意，在化简二次根式的过程中，得到的结果一定是非负数，故式子中有字母表示时，需要添加绝对值符号．
12. 清代袁枚的一首诗（苔）中的诗句：“白日不到处，青春恰自来，若花如米小，也学恃丹开”．若苔花的花粉直径约为0.000085米，则数据0.000085用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义即可得．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义(将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法)是解题关键．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
13. 已知：、分别是整数部分和小数部分，那么的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的知识点是无理数整数部分的有关计算、已知字母的值求代数式的值、运用平方差公式进行运算，解题关键是通过比较大小的方法判断无理数的整数部分．
先找出的整数部分和小数部分，分别代入后运用平方差公式即可求解．
【详解】解：，
，
，
即，
的整数部分为，小数部分为，
即，，
，
，
，
．
故答案：．
14. 已知与的两边分别平行，且比的3倍少，那么的度数是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题关键是分情况讨论，正确画出图形，避免遗漏．根据题意，画出不同的图形进行分情况讨论求解即可．
【详解】解：分两种情况讨论：
①如下图，
∵与的两边分别平行，
∴，，
∴，
又∵，
解得；
②如下图，
∵与的两边分别平行，
∴，，
∴，
又∵，
解得．
故答案为：或．
15. 如图，直线AC和FD相交于点B，下列判断：①∠GBD和∠HCE是同位角；②∠ABD和∠ACH是同位角；③∠FBC和∠ACE是内错角；④∠FBC和∠HCE是内错角；⑤∠GBC和∠BCE是同旁内角．其中正确的是____．（填序号）
【答案】②③⑤
【解析】
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义判断即可.
【详解】①中∠GBD和∠HCE没有任何关系，故①错；
②中∠ABD和∠ACH是直线FD与直线CH被直线AC所截形成的同位角，故②对；
③中∠FBC和∠ACE是直线FD与直线CE被直线AC所截形成的内错角，故③对；
④中∠FBC和∠HCE没有任何关系，故④错；
⑤中∠GBC和∠BCE是直线BG与直线CE被直线AC所截形成的同旁内角，故⑤对；
综上正确的有：②③⑤.
【点睛】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角的定义，解题的关键是能够熟练地掌握同位角、内错角、同旁内角的定义即可.
16. 如图，一艘补给船从点出发沿北偏东方向航行，给点处的船补给物品后，向左进行了的转弯，然后沿着方向航行，那么此时这艘补给船的航行方向为北偏西______度．
【答案】35
【解析】
【分析】本题主要考查了方向角、平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用相关知识．利用平行线的性质求得，然后根据求解即可．
【详解】解：如下图，
根据题意，可知，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：35．
17. 对于整数，定义为不大于的最大整数，例如：，，，对26进行如下操作：26，即对26进行两次操作后变成2．若对整数进行上述两次操作后变为4，那么的最大值为______．
【答案】624
【解析】
【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，熟知估算无理数大小的方法是解题的关键．由的定义为不大于的最大整数，624进行两次操作后变为4，625进行两次操作后变为5，即可获得答案．
【详解】解：∵，，
∴对624进行两次操作后可变为4，
又∵，，
∴进行两次操作后可变为4的所以整数中，最大的是624，
即的最大值为624．
故答案为：624．
18. 将一副三角板按如图所示重叠放置，其中和的两个角的顶点重合在一起，若将三角板绕点旋转，在旋转过程中，当时，______度．
【答案】75或105##105或75
【解析】
【分析】本题主要考查了垂直的定义、平面内角的运算等知识，解题关键是分情况讨论，避免遗漏．根据题意作出图形，分两种情况讨论并求解即可．
【详解】解：根据题意，可知，，，
分两种情况讨论：
①如下图，当点在延长线上时，
∵，
∴，
∴；
②如下图，当点在延长线上时，
∵，
∴，
∴．
综上所述，或．
故答案为：75或105．
三、计算题（本大题共5题，每题5分，满分25分）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先去括号，然后合并同类二次根式即可．
【详解】解：原式
．
20. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据二次根式混合运算法则求解即可．
【详解】解：原式
．
21. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式运算、利用平方差公式进行运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据二次根式运算法则，结合平方差公式进行求解即可．
【详解】解：原式
．
22. 用幂的运算性质计算：
【答案】1
【解析】
【分析】根据分数指数幂和根式转化即可解答.
【详解】解：原式= ，故答案为1.
【点睛】本题考查了分数指数幂和根式的转化，准确计算是解题的关键.
23. 已知，求的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了非负数的性质、代数式求值以及平方根的知识，正确确定的值是解题关键．首先根据非负数的性质确定的值，进而可得，然后根据平方根的定义和性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的平方根为．
四、简答题（本大题3题，每题8分，满分24分）
24. 如图，在中，按下列要求画图并解答：
（1）过点A画出直线的垂线，交直线于点D．
（2）用直尺和圆规作出的边的垂直平分线，分别交直线于点E、F，那么点F到直线的距离是线段______的长．（保留作图痕迹）
（3）过点D画出直线的平行线，交直线于点G，那么线段与线段长度的大小关系是：______．（填“＞”、“＜”或“=”）
【答案】（1）见解析 （2）见解析，点F到直线的距离是线段的长
（3）
【解析】
【分析】本题考查作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质等；
（1）根据题意画出即可；
（2）分别以点A、B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线即可；
（3）根据题意画平行线即可．
【小问1详解】
解：如图所示，为所求作的垂线，
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
点F到直线的距离是线段的长；
【小问3详解】
解：
∵，，，
∴
25. 如图，已知，垂足为D，，垂足为F，，请补充完成的推理过程．
解：因为，（已知），
所以，（____________），
所以（等量代换），
所以______，（____________），
所以（两直线平行，同旁内角互补）．
因为（已知），
所以______（____________），
所以______（____________），
所以（____________）．
【答案】垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】
【分析】本题考查了平行线性质和判定，垂直定义，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之即为平行线的判定．根据垂直的定义证明，从而利用平行线的性质可得，，即可证明．
【详解】解：因为，（已知），
所以，（垂直的定义），
所以（等量代换），
所以（同位角相等，两直线平行），
所以（两直线平行，同旁内角互补）．
因为（已知），
所以（等量代换），
所以（内错角相等，两直线平行），
所以（两直线平行，同位角相等）．
26. 如图，是线段上的一点，已知，，且，试说明．（写出依据）
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、平角等知识，正确作出辅助线是解题关键．过点作，易得，进而证明，结合题意可得，易得，可证明，再证明，然后可知，根据“两直线平行，同旁内角互补”即可证明结论．
【详解】证明：如下图，过点作，
∴（两直线平行，内错角相等），
∵（已知条件），
∴（等量代换），
∵（已知条件），
∴（垂直的定义），
∴（平角的定义），
∴（等量代换），
∵（已知条件），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（平行于同一直线的两条直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
五、解答题（本大题共1题，1分+2分+4分+2分，满分9分）
27. 已知直线，点、在直线上，点、在直线上，连接、，平分，平分，且、所在直线交于点．
图1 图2 图2（备用图）
（1）如图1：
①如果，，那么的度数为______；
②如果设，，那么的度数为______．
（用含有、的式子表示）
（2）如图2：
①试说明；
②设线段与线段的交点为点，线段与线段的交点为点，如果，那么的度数为______．
【答案】（1）①；②
（2）①见详解；②
【解析】
【分析】（1）①过点作，根据角平分线的定义和平行线的性质可得，再证明，，进而可得，然后由求解即可；②过点作，根据角平分线的定义和平行线的性质可得，再证明，，然后由即可获得答案；
（2）①过点作，根据角平分线的定义和平行线的性质可得，再证明，，进而证明结论；②利用平行线的性质、角平分线的定义以及三角形外角的定义和性质证明， ，然后由求解即可．
【小问1详解】
解：①如下图，过点作，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∵，平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
②如下图，过点作，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∵，平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：①；②；
【小问2详解】
①证明：如下图，过点作，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如下图，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行的判定与性质、角平分线、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键．