2022-2023学年陕西省渭南市蒲城中学高二（下）月考数学试卷（6月份）（含解析）

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这是一份2022-2023学年陕西省渭南市蒲城中学高二（下）月考数学试卷（6月份）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知函数f(x)=f′(π4)sinx+csx，则f(x)在x=π4处的导数是( )
A. −1− 2B. 1+ 2C. −1+ 2D. 1− 2
2.已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2)，且P(X<4)=0.84，则P(2A. 0.16B. 0.32C. 0.68D. 0.84
3.下列命题中正确的为( )
①散点图可以直观的判断两个变量是否具有线性相关关系；
②经验回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；
③样本相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个变量线性相关性越弱；
④同一组样本数据中，决定系数R2越大的模型拟合效果越好
A. ①②B. ②④C. ①④D. ③④
4.某班将5名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加劳动锻炼，每个社区至少分配一名同学，则甲社区恰好分配2名同学共有种不同的方法．( )
A. 30B. 48C. 120D. 60
5.某市2018年至2022年新能源汽车年销量y(单位：千台)与年份代号x的数据如下表：
若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的经验回归直线方程为y =7x+7.5，则表中m的值为( )
A. 25B. 28C. 30D. 32
6.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织出的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天织布多少？”这个问题体现了古代对数列问题的研究．某数学爱好者对于这道题作了以下改编：有甲、乙两位女子，需要合作织出40尺布．两人第一天都织出一尺，以后几天中，甲女子每天织出的布都是前一天的2倍，乙女子每天织出的布都比前一天多半尺，则两人完成织布任务至少需要( )
A. 2天B. 3天C. 4天D. 5天
7.芯片是科技产品中的重要元件，其形状通常为正方形.生产芯片的原材料中可能会存在坏点，而芯片中出现坏点即报废，通过技术革新可以减小单个芯片的面积，这样在同样的原材料中可以切割出更多的芯片，同时可以提高芯片生产的产品良率．产品良率=切割得到的无坏点的芯片数切割得到的所有芯片数×100%.在芯片迭代升级过程中，每一代芯片的面积为上一代的12.图1是一块形状为正方形的芯片原材料，上面有4个坏点，若将其按照图2的方式切割成4个大小相同的正方形，得到4块第3代芯片，其中只有一块无坏点，则由这块原材料切割得到第3代芯片的产品良率为25%.若将这块原材料切割成16个大小相同的正方形，得到16块第5代芯片，则由这块原材料切割得到第5代芯片的产品良率为( )
A. 50%B. 62.5%C. 75%D. 87.5%
8.已知空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在BC上，且MB=2MC，N为OA中点，则MN等于( )
A. 12a−23b+13cB. 12a−23b−13c
C. −12a−13b+12cD. 12a−13b−23c
9.若二项式(2x+ x)n(n∈N*)展开式中含有常数项，则n的最小值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
10.设0则当m在(0,1)上增大时( )
A. D(ξ)单调递增，最大值为12B. D(ξ)先增后减，最大值为13
C. D(ξ)单调递减，最小值为29D. D(ξ)先减后增，最小值为16
11.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与双曲线y23−x2=1有相同的渐近线，过双曲线C右焦点F的直线l与双曲线C相交于M，N两点，弦MN的中点为G(6,6)，点P是双曲线C右支上的动点，点A是以点F为圆心，1为半径的圆上的动点，点B是圆x2+y2−6y+5=0上的动点，则|PA|+|PB|的最小值为
( )
A. 5B. 4C. 3D. 2
12.若存在x0∈[-1,2]，使不等式x0+(e2−1)lna≥2aex0+e2x0−2成立，则a的取值范围是
( )
A. [12e,e2]B. [1e2,e2]C. [1e2,e4]D. [1e,e4]
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在等比数列{an}中，a2+a4=1，a3+a5=3，则a5+a7等于．
14.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，a+b+c∈(0,1)，且a+b+c=1，已知他投篮一次得分的数学期望为2，则2a+13b的最小值为______．
15.如图，在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和，若第n+1行中的三个连续的数之比是2：3：4，则n的值是______．
16.已知函数f(x)=xelnx,x>1,−xx−1,0≤x<1．若关于x的方程f2(x)−(m+1)f(x)+2=0恰好有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
某校用随机抽样的方法调查学生参加校外补习情况，得到的数据如表：
(1)从中任取一名学生，记A=“该生参加了校外补习”，B=“该生成绩为优秀”，求P(B)及P(B|A)；
(2)能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为学生成绩优秀或良好与校外补习有关？
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax+b+csx(a,b∈R)，若f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=12x+2．
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)在[0,2π]上的最大值．
19.(本小题12分)
进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q(p>q)，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为12，恰有一人答对的概率为512．
(1)求p和q的值；
(2)试求两人共答对3道题的概率．
20.(本小题12分)
如图，在四棱锥S−ABCD中，平面SAD⊥平面ABD，∠ASD=∠BAD=∠BCD=90°.SA=SD= 2，AB= 2BC= 2CE= 2SF=1．
(Ⅰ)求证：EF//平面SAB；
(Ⅱ)求点E到平面SAB的距离；
(Ⅲ)求平面SAB与平面SBC的夹角．
21.(本小题12分)
随着现代化进程的不断推进，作为可持续发展代表之一的新能源汽车行业在近几年飞速崛起．某新能源汽车零部件工厂统计了某天甲、乙两组工人(每组10人)生产A型工件的个数，如表所示：
(1)若分别从甲、乙两组工人中各抽取一人，求被抽取到的两人这天生产A型工件个数均不低于130的概率；
(2)从这天甲、乙两组工人生产A型工件个数不低于130的工人中随机抽出3人进行质量评估，记这3人中乙组工人数为X，求X的分布列和数学期望．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=12x2−(m+1)x+lnx(m∈R)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，且x1答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为f(x)=f′(π4)sinx+csx，
所以f′(x)=f′(π4)csx−sinx，
所以f′(π4)= 22f′(π4)− 22，
所以f′(π4)=−1− 2．
故选：A．
先对函数求导，然后把x=π4代入即可求解．
本题主要考查了函数的求导运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵随机变量X服从正态分布N(3,σ2)，且P(X<4)=0.84，
∴P(3∴P(2故选：C．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查了正态分布的对称性，掌握正态分布的对称性是解决正态分布概率的关键，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查散点图、回归直线、变量间的相关关系、决定系数，属于基础题．
结合散点图，回归直线，样本相关系数r，决定系数R2的相关知识逐项分析即可判断．
【解答】
解：对于①，散点图可以直观的判断两个变量是否具有线性相关关系，故正确；
对于②，回归直线也可能不过任何一个样本数据点，故错误；
对于③，样本相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个变量线性相关性越强，故错误；
对于④，同一组样本数据中，决定系数R2越大的模型拟合效果越好，故正确．
故选：C．
4.【答案】D
【解析】解：根据题意，分2步分析：
①先5人中选出2人，安排到甲社区，有C52=10种方法，
②将剩下3人分成2组，安排到乙、丙社区，有C32A22=6种方法，
则有6×10=60种安排方法；
故选：D．
根据题意，分2步分析：①先5人中选出2人，安排到甲社区，②将剩下3人分成2组，安排到乙、丙社区，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：依题意，x−=1+2+3+44=2.5，y−=15+20+m+354=70+m4，
于是回归直线y =7x+7.5经过点(2.5,70+m4)，则70+m4=7×2.5+7.5，解得m=30，
故选：C．
根据数表求出样本的中心点，再代入回归直线方程计算作答．
本题主要考查线性回归方程的性质，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了等差数列与等比数列的求和公式的应用，属于基础题．
由题意得数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，{bn}是以1为首项，以12为公差的等差数列，然后结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解．
【解答】
解：设甲，乙每天织布分别记为数列{an}，{bn}，
由题意得数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，{bn}是以1为首项，以12为公差的等差数列，
故n+14n(n−1)+1−2n1−2≥40，
即n2+3n+2n+2≥164，
经检验n=5时符合题意．
故选：D．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查归纳推理，考查运算求解能力，属于基础题．
依题意将原材料进行切割，得到有坏点的芯片数，即可判断．
【解答】
解：依题意将这块原材料如下切割得到第5代芯片，其中12块无坏点，4块有坏点，
故第5代芯片的产品良率为1216×100%=75%．
故选：C．
8.【答案】D
【解析】解：OA=a，OB=b，OC=c，点M在BC上，且MB=2MC，N为OA中点，
则MN=MC+CO+ON=13BC+CO+ON=13(OC−OB)−OC+12OA=12OA−13OB−23OC=12a−13b−23c．
故选：D．
根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解．
本题主要考查空间向量及其线性运算，属于基础题．
9.【答案】A
【解析】【分析】
设二项式通项，待定系数计算即可．
本题考查二项式定理，属于基础题．
【解答】
设(2x+ x)n(n∈N*)的通项为Tr+1=Cnr(2x−1)n−r(x12)r⇒Tr+1=Cnr⋅2n−rx32r−n，
若有常数项，则只需n=32r，而n∈N*，显然n的最小值为3，此时r=2．
故选：A．
10.【答案】D
【解析】解：由分布列的性质可得，a3+13+2a−13=1，解得a=1，
E(ξ)=0+m3+13=m+13，
D(ξ)=(m+13)2×13+(m−m+13)2×13+(1−m+13)2×13=29(m2−m+1)=29[(m−12)2+34]，
由二次函数性质可知，D(ξ)在(0,12)上单调递减，在(12,1)上单调递增，
故当m=12时，D(ξ)有最小值16．
故选：D．
根据已知条件，结合分布列的性质，求出a，再结合期望与方差的公式，即可求解．
本题主要考查分布列的性质，以及期望与方差的公式，属于基础题．
11.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查点差法求双曲线的方程，考查双曲线的性质，考查最小距离的问题，属中档题．
由已知可得b= 3a，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，由点差法可得kMN=y1−y2x1−x2=3，可得6−06−c=3，可求c，圆x2+y2−6y+5=0表示圆心为M(0,3)，半径为2，(|PA|+|PB|)min=|PF|+|PM|−1−2，计算可求最小值．
【解答】
解：由双曲线y23−x2=1知渐近线方程为y=± 3x，
又双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与双曲线y23−x2=1有相同的渐近线，
∴ba= 3，∴b= 3a，∴双曲线方程为3x2−y2=3a2，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
∴3x12−y12=3a2，3x22−y22=3a2，
∴3(x1+x2)(x1−x2)−(y1+y2)(y1−y2)=0，
又弦MN的中点为G(6,6)，
∴36(x1−x2)−12(y1−y2)=0，∴kMN=y1−y2x1−x2=3，设F(c,0)，
∴6−06−c=3，解得c=4，∴a2+3a2=c2=16，解得a2=4，
所以双曲线的方程为x24−y212=1，
由圆x2+y2−6y+5=0的方程可得x2+(y−3)2=4，
圆心为M(0,3)，半径为2，
(|PA|+|PB|)min=|PF|+|PM|−1−2≥|MF|−3= 32+42−3=2．
当且仅当M，F，P三点共线时取等号．
故选：D．
12.【答案】D
【解析】解：因为x0+(e2−1)lna≥2aex0+e2x0−2成立，
即(e2−1)lna−(e2−1)x0≥2aex0−2，
即(e2−1)lna−(e2−1)lnex0≥2aex0−2，
即(e2−1)lnaex0≥2aex0−2，
令t=aex0，
即有(e2−1)lnt−2t+2≥0，
因为x0∈[−1,2]，所以t∈[ae2,ae−1]，
令f(t)=(e2−1)lnt−2t+2，则原问题等价于存在t∈[ae2,ae−1]，使得f(t)≥0成立，
因为f′(t)=e2−1t−2=e2−1−2tt，
令f′(t)<0，即e2−1−2t<0，解得t>e2−12，
令f′(t)>0，即e2−1−2t>0，解得0所以f(t)在(0,e2−12)上单调递增，在(e2−12,+∞)上单调递减，
又因为f(1)=0，f(e2)=(e2−1)lne2−2e2+2=2e2−2−2e2+2=0，
而1所以当1≤t≤e2时，f(t)≥0，
若存在t∈[ae2,ae−1]，使得f(t)≥0成立，
只需ae2≤e2且ae−1≥1，解得a≤e4且a≥1e，
所以1e≤a≤e4，
故a的取值范围为[1e,e4].
故选：D．
由x0+(e2−1)lna≥2aex0+e2x0−2成立，可得(e2−1)lnaex0≥2aex0−2，令t=aex0，构造函数f(t)=(e2−1)lnt−2t+2，从而问题转化为存在t∈[ae2,ae−1]，使得f(t)≥0成立，求导判断单调性求得当1≤t≤e2时，f(t)≥0，，进而得到ae2≤e2且ae−1≥1，即可求解．
本题考查了转化思想、导数的综合运用，构造函数是解答本题的关键，属于中档题．
13.【答案】27
【解析】【分析】
本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题．
由已知结合等比数列的性质即可求解．
【解答】
解：因为等比数列{an}中，a2+a4=1，a3+a5=3，
故q=a3+a5a2+a4=3，
则a5+a7=(a2+a4)q3=27．
故答案为：27．
14.【答案】163
【解析】解：因为一位篮球运动员投篮一次得3分概率为a，得2分概率为b，不得分的概率为c，
且a，b，c∈(0,1)，a+b+c=1，
已知他投篮一次得分的数学期望为2，
所以3a+2b=2，
此时2a+13b=12(2a+13b)(3a+2b)=12(4ba+ab+6+23)≥12(2 4ba⋅ab+6+23)=163，
当且仅当4ba=ab，即b=14，a=12时，等号成立，
所以2a+13b的最小值为163．
故答案为：163．
由题意，得到3a+2b=2，再结合基本不等式即可求得2a+13b的最小值．
本题考查了离散型随机变量的期望与基本不等式，属于中档题．
15.【答案】34
【解析】解：根据题意得第n+1行的数分别为：Cn0,Cn1,Cn2,…,Cnn，
设第n+1行中从第m+1项开始，连接的三个数之比为2：3：4，
则CnmCnm+1=23Cnm+1Cnm+2=34，∴m+1n−m=23m+2n−m−1=34，∴5m−2n+3=07m−3n+11=0，
解得n=34．
故答案为：34．
先根据题意，设第n+1行中从第m+1项开始，连接的三个连续的数之比为2：3：4，列方程组，能求出结果．
本题考查杨辉三角形的应用、组合数的性质及运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】(2,+∞)
【解析】解：当x>1时，f′(x)=lnx−1e(lnx)2．
∴f(x)在(1,e)上单调递减，在(e,+∞)上单调递增．
∴x=e时，f(x)取得极小值f(e)=ee⋅1=1．
当0≤x<1时，f(x)=−xx−1=−x−1+1x−1=−1−1x−1．
根据图像的平移变化可以作出f(x)的函数图像如图所示：
设f2(x)−(m+1)f(x)+2=0的两根为f1(x)，f2(x)．
由f2(x)−(m+1)f(x)+2=0恰好有四个不相等的实数根．
则方程的一根在区间[0,1)上，另一根在区间(1,+∞)上．
不妨设0≤f1(x)<1，f2(x)>1．
根据二次函数零点分布可得：△>01−(m+1)+2<0，即m2+2m−7>0m>2．
故m的取值范围为(2,+∞)．
故答案为：(2,+∞)．
判断函数的单调性，作出f(x)的函数图像，根据方程f2(x)−(m+1)f(x)+2=0恰好有四个不相等的实数根．
可知方程的一根在区间[0,1)上，另一根在区间(1,+∞)上，根据二次函数零点分布可得△>01−(m+1)+2<0，解不等式组即可求解．
本题主要考查函数的零点和函数的图像，属于难题．
17.【答案】解：(1)由给定的数表得P(A)=5+15+7+38+52+29+11=30100=310，P(B)=11100=0.11，P(AB)=3100，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=31003010=110；
(2)由已知得2×2列联表：
零假设为H0：学生成绩优秀或良好与校外补习无关联，
则χ2=100×(10×40−20×30)230×70×40×60=5063≈0.794<2.706=x0.1，
根据小概率值α=0.1的χ2的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，
所以可以认为H0成立，即认为学生成绩优秀或良好与校外补习无关．
【解析】(1)根据表中数据求出P(A)，P(B)，P(AB)，再利用条件概率的概率公式求解；
(2)先得到2×2列联表，计算χ2的值，再与临界值比较即可．
本题主要考查了条件概率的概率公式，考查了独立性检验的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)f′(x)=a−sinx，
由题意得f(0)=b+1=2f′(0)=a=12，
所以a=12，b=1；
(2)由(1)得f′(x)=12−sinx，f(x)=12x+1+csx，
因为x∈[0,2π]，
当0≤x≤π6时，f′(x)≥0，函数单调递增，当π6故当x=π6时，函数取得极大值f(π6)=1+π12+ 32，
又f(0)=2，f(2π)=2+π，
故函数f(x)在[0,2π]上的最大值为2+π．
【解析】本题主要考查了导数的几何意义及导数与单调性及最值关系的应用，属于中档题．
(1)先对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解a，b；
(2)结合导数分析函数的单调性，然后结合单调性与最值关系可求函数的最大值．
19.【答案】解：(1)设A={甲同学答对第一题}，B={乙同学答对第一题}，
则P(A)=p，P(B)=q，
设C={甲、乙二人均答对第一题}，D={甲、乙二人恰有一人答对第一题}，
则C=AB，D=AB−+A−B，
∵二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，
∴A与B相互独立，AB−与A−B相互互斥，
∴P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=pq，
P(D)=P(AB−+A−B)=P(AB−)+P(A−B)=P(A)(1−P(B))+(1−P(A))P(B)，
由题意得：pq=12p(1−q)+q(1−p)=512，
解得p=34q=23或p=23q=34，
∵p>q，∴p=34，q=23．
(2)设Ai={甲同学答对了i道题}，Bi={乙同学答对了i道题}，i=0，1，2，
由题意得：
P(A1)=14×34+34×14=38，P(A2)=34×34=916，
P(B1)=23×13+13×23=49，P(B2)=23×23=49，
设E={甲乙二人共答对3道题}，则E=A1B2+A2B1，
∴P(E)=P(A1B2)+P(A2B1)=38×49+916×49=512，
∴甲乙两人共答对3道题的概率为512．
【解析】(1)设A={甲同学答对第一题}，B={乙同学答对第一题}，则P(A)=p，P(B)=q，设C={甲、乙二人均答对第一题}，D={甲、乙二人恰有一人答对第一题}，则C=AB，D=AB−+A−B，则P(C)=P(AB)=P(A)P(B)，P(D)=P(AB−+A−B)=P(AB−)+P(A−B)，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式列出方程组，能求出p和q的值．
(2)设Ai={甲同学答对了i道题}，Bi={乙同学答对了i道题}，i=0，1，2，设E={甲乙二人共答对3道题}，则E=A1B2+A2B1，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出甲乙两人共答对3道题的概率．
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】证明：(Ⅰ)由已知可得：BD= 5，，
如图以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，D(0,2,0)，S(0,1,1)，B(1,0,0)，F(0)，
设C(x,y,0)，则由CB= 22，CD=3 22，
可得方程组，解得，
可得，由于CE= 22，可得E(1,1,0)，
所以，设平面SAB的法向量n=(x,y,z)，
由n⋅SA=0n⋅AB=0，解得平面SAB的法向量是n=(0,1,−1)，
∴n⋅EF=0，EF不在平面SAB内，
故EF//平面SAB．
解：(Ⅱ)设点E到平面SAB的距离为d，
∵由AE=(1,1,0)，∴d=|AE⋅n||n|= 22，
点E到平面SAB的距离是 22．
(Ⅲ)设平面SBC的法向量为m=(x,y,z)，
由m⋅SB=0m⋅SC=0，可得平面SBC的法向量为m=(1,−1,2)，
设平面SAB与平面SBC的夹角为θ．
则csθ=|n⋅m||n||m|= 32，则θ=30°，
故平面SAB与平面SBC的夹角为30°．
【解析】(Ⅰ)建立空间直角坐标系，写出EF的方向向量和平面SAB的法向量，通过计算其向量垂直来证明线面平行；
(Ⅱ)利用向量法求点到面的距离；
(Ⅲ)利用法向量的夹角求二面角．
本题主要考查点到平面的距离和二面角的平面角，属于中档题．
21.【答案】解：(1)设事件A为“被抽取到的两人这天生产A型工件个数均不低于130”，
则由表格可得，甲、乙组工人(每组10人)中，生产A型工件个数均不低于130的人数分别为6和4，
P(A)= C61C41C101C101=24100=625，
故被抽取到的两人这天生产A型工件个数均不低于130的概率为625；
(2)依题意，甲、乙组工人(每组10人)中，生产A型工件个数均不低于130的人数分别为6和4，所以X所有可能的取值为0，1，2，3，
则P(X=0)=C63C103=16，P(X=1)=C62C41C103=12，P(X=2)=C61C42C103=310，P(X=3)=C43C103=130，
所以X的分布列为
所以E(X)=0×16+1×12+2×310+3×130=65．
【解析】本题考查离散型随机变量及其分布列，属于中档题．
(1)根据题意，分别找出甲、乙组工人(每组10人)中，生产A型工件个数均不低于130的人数，再根据概率公式求解即可；
(2)根据题意，X所有可能的取值为0，1，2，3，分别计算对应概率，写出分布列和期望即可．
22.【答案】解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，
f′(x)=x+1x−(m+1)=x2−(m+1)x+1x，令g(x)=x2−(m+1)x+1(该函数与f′(x)同号)，
当m+1≤0，即m≤−1时，f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，故此时f(x)是增函数；
当m+1>0(m+1)2−4>0，即m>1时，g(x)=0有两个正根，x1=m+1− m2+2m−32，或x2=m+1+ m2+2m−32，显然x1此时f(x)的单调递增区间为(0,x1)，(x2,+∞)，单调递减期间为(x1,x2)；
同理当−1综上可知：当m≤1时，f(x)是增函数；m>1时，g(x)=0的两根为：x1=m+1− m2+2m−32，或x2=m+1+ m2+2m−32，
此时f(x)的单调递增区间为(0,x1)，(x2,+∞)，单调递减期间为(x1,x2).
(2)由(1)知，f′(x)=x+1x−(m+1)=x2−(m+1)x+1x，再令g(x)=x2−(m+1)x+1(
当m>1，f(x)的两个极值点为g(x)=0的两个互异实根x1，x2，
且x1+x2=m+1，x1·x2=1，则x1+1x1=m+1∈(2,103]，即2显然x1≠1，由x1+1x1≤103整理得3x12−10x1+3≤0，解得13≤x1<1，
而f(x1)−f(x2)=12(x12−x22)+(m+1)(x2−x1)+lnx1−lnx2，
将x1+x2=m+1代入上式整理得f(x1)−f(x2)=−12(x12−x22)+lnx1−lnx2，再将x2=1x1代入上式得：
f(x1)−f(x2)=−12(x12−1x12)+2lnx1，13≤x1<1，
令h(x)=−12x2+12x2+2lnx，13≤x1<1，
h′(x)=−x−1x3+2x<0在x∈[13,1)上恒成立，故h(x)在[13,1)上单调递减，
h(x)max=h(13)=409−2ln3，h(x)>h(1)=0，且h(x)≠0，
即f(x1)−f(x2)的取值范围为(0,409−2ln3].
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值以及函数的值域问题，属于难题．
(1)求出导数f′(x)，然后讨论f′(x)在(0,+∞)上的符号即可；
(2)求出导数的两个根，并结合韦达定理找到根与系数m之间的关系，然后将f(x1)−f(x2)表示为关于x1的函数，再求值域即可．年份
2019
2020
2021
2022
年份代号x
1
2
3
4
年销量y
15
20
m
35
ξ
0
m
1
P
a3
13
2a−13
不及格[0,60)
及格[60,75)
良好[75,90)
优秀[90,100]
学生人数
8
52
29
11
参加校外补习人数
5
15
7
3
α
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
甲组
134
132
136
130
128
122
124
130
133
121
乙组
134
134
130
127
129
123
123
126
135
119
参加校外补习
不参加校外补习
合计
成绩优秀或良好
10
30
40
成绩不为优秀且良好
20
40
60
合计
30
70
100
X
0
1
2
3
P
16
12
310
130

2022-2023学年陕西省渭南市蒲城中学高二（下）月考数学试卷（6月份）（含解析）

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