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    2021年山西中考模拟百校联考(一)数学试题

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    2021年山西中考模拟百校联考(一)数学试题

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    这是一份2021年山西中考模拟百校联考(一)数学试题,共18页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    (满分120分,考试时间120分钟)
    第Ⅰ卷 选择题(共30分)
    一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)
    1.﹣的相反数是( )
    A.8B.﹣8C.-D.
    2.下列图形中,是轴对称图形的是( )
    A.B.C.D.
    3.下列运算正确的是( )
    A.a2•a4=a8B.(2a+b)(2a﹣b)=2a2﹣b2
    C.(﹣a2)3=﹣a6D.a4+a4=2a8
    4.如图是由7个完全相同的小立方体搭成的立体图形,则它的左视图是( )
    A.B.C.D.
    5.21世纪以来我国经济总量规模扩大了10倍,取得了举世瞩目的成就,2020年我国国内生产总值首次突破1000000亿元,达到1016000亿元.数据1016000用科学记数法表示为( )
    A.1.016×106B.1.016×105C.10.16×105D.1016×103
    6.在一个不透明的袋子中装有黑、白两种颜色的球,这些球除颜色外完全相同.其中白球有5个,黑球有x个.从袋子中随机摸出一个球,记下颜色后,放回袋子中并摇匀.重复这一操作,经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.25附近,则x的值为( )
    A.5B.10C.15D.20
    7.如图,为了测量某风景区内一座凉亭AB的高度,小亮分别在凉亭对面的高台CD的底部C和顶部D处分别测得凉亭顶部A的仰角为45°和30°,已知高台CD为2m,则凉亭AB的高度为( )(结果保留一位小数,≈1.73)
    A.4.7mB.4.8mC.8.1mD.8.2m
    8.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,则下列结论中正确的是( )
    A.a>0
    B.当x>1时,y随x的增大而增大
    C.c<0
    D.3是方程ax2+bx+c=0的一个根
    9.估计﹣1的值在( )
    A.3.3和3.4之间B.3.4和3.5之间
    C.3.5和3.6之间D.3.6和3.7之间
    10.如图,在菱形ABCD中,AC=12,BD=16,动点P从点A出发,以每秒3个单位长度的速度向点B运动,直到点B时停止;动点Q同时从点C出发,以每秒2个单位长度的速度向点D运动,当点P停止运动时,点Q随之停止运动,连接PQ交AC于点H.那么在点P的运动过程中,线段QH的最小值是( )
    A.B.C.D.
    第Ⅱ卷 非选择题(共90分)
    二、填空题(本大题共5个小题,每小题3分,共15分)
    11.分解因式x2y﹣16y的结果为 .
    12.不等式组的解集为 .
    13.如图,在▱ABCD中,已知AD⊥DB,AC=10,AD=4,则BD的长是 .
    14.山西太原万柏林区一线天旅游公路是太原市打造的一条“彩虹路”,每天都会吸引许多骑行爱好者.周日,小宇和小琦参加了某自行车队在该路段组织的骑行活动,小宇从某地出发5分钟后,小琦也从同一地点沿同一方向骑行,已知小宇和小琦骑行的平均速度分别为20千米/小时和25千米/小时,设小琦骑行x小时后追上小宇,则根据题意可列方程为 .
    15.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E,过点B作⊙O的切线与AC的延长线交于点F,若AB=5,sin∠CBF=,则BF的长为 .
    三、解答题(本大题共8个小题,共75分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
    16.(本题共2个小题,每小题5分,共10分)
    计算:(1)(3)2﹣|﹣4|﹣(﹣)﹣2+(﹣4﹣2)0;
    (2)(1﹣).
    17.(本题7分)如图,在▱ABCD中,点E,F分别是AD,BC上的点,且DE=BF,分别过点E,F作EG⊥BD,FH⊥BD,垂足分别为G,H,连接EH,FG.请判断四边形HFGE的形状并说明理由.
    18.(本题6分)某学校为了改进全校师生的饮水质量,需要安装A型净水器与B型净水器,已知每台A型净水器比B型净水器售价贵2000元,且安装A型净水器的数量是B型净水器数量的,学校分别购买A型与B型净水器的费用都是20万元.求每台A型净水器和每台B型净水器的售价分别为多少元?
    19.(本题10分)第七次全国人口普查期间,某中学为了提高学生对人口普查的认识,在全校开展了主题为“人口普查,人人有责”的知识竞赛活动,共有1200名学生参加了此次竞赛(满分为100分),学校从中随机抽取了部分参赛学生的成绩,整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图,请根据图表信息解答以下问题:
    (1)本次调查随机抽取了 个参赛学生的成绩;所抽取参赛学生成绩的中位数所在的“组别”是 ;
    (2)补全频数分布直方图;
    (3)估计全校1200名学生中,知识竞赛成绩达到“优秀(90≤x≤100)”的有 名;
    (4)成绩前四名的学生中有两名男生和两名女生,若从这四名学生中选两人为该校的人口普查知识宣传员,求恰好选中一名男生和一名女生的概率.
    20.(本题9分)如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2分别与x轴,y轴交于点A,B,与双曲线y=(k≠0)在第一象限交于点E(n,3),以线段AB为边作矩形ABCD,使顶点C在x轴正半轴上,顶点D在第三象限内.
    (1)求k的值;
    (2)求D的坐标,判断点D是否在双曲线y=(k≠0)的图象上,并说明理由.
    21.(本题8分)请阅读以下材料并完成相应的任务:
    (1)任务一:请你将“托勒密定理”的证明过程补充完整;
    (2)任务二:如图2,已知Rt△ABC内接于⊙O,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,CD平分∠ACB交⊙O于点D,求CD的长.
    22.(本题12分)综合与实践
    问题情境
    在综合与实践课上,数学老师出示了一道思考题:
    如图,在正方形ABCD中,P是射线BD上一动点,以AP为直角边在AP边的右侧作等腰直角三角形APE,使得∠APE=90°,AP=PE,且点E恰好在射线CD上.
    独立思考
    (1)如图1,当点P在对角线BD上,点E在CD边上时,那么BP与CE之间的数量关系是 ;
    探索发现
    (2)当点E在正方形ABCD外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请在图2与图3中选择一种情况进行证明;若不成立,请说明理由;
    问题解决
    (3)如图4,在正方形ABCD中,AB=2,当P是对角线BD的延长线上一动点时,连接BE,若BE=6,求△BPE的面积.
    23.(本题13分)综合与探究
    如图1,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D,OA=OC=3.
    (1)求抛物线的函数表达式;
    (2)判断△ACD的形状并说明理由;
    (3)如图2,N是AC下方的抛物线上的一个动点,且点N的横坐标为n,求△CAN面积S与n的函数关系式及S的最大值;
    (4)在抛物线上是否存在一点N,使得∠NAB=∠ABC,若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
    2021年山西中考模拟百校联考(一)
    选择题答案速查
    9.C
    【解析】∵4.52=20.25,4.62=21.16,∴4.5<<4.6,∴4.5﹣1<﹣1<4.6﹣1,即3.5<<3.6.
    10.B
    【解析】在菱形ABCD中,CD∥AB,∴CQ∥AP,∴△CQH∽△APH.设点P运动的时间为t(秒),则CQ=2t,AP=3t,∴,∴QH=PQ.当PQ⊥CD时,即当PQ与菱形ABCD的高相等时,PQ的长最小.设菱形ABCD的高为h.∵∠COD=90°,DO=BD=8,CO=AC=6,∴CD==10,∴10h=×12×16,解得h=,∴.
    11.y(x+4)(x﹣4)
    12.﹣2≤x<4.
    13.6
    【解析】如图,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO=AC,DO=BO.∵AC=10,∴AO=5.∵AD⊥DB,∴∠ADB=90°,AD=4,∴DO==3,∴BD=6.
    14.25x=20x+20×
    15.
    【解析】连接AE,过C点作CH⊥BF,如图,∵BF为切线,∴AB⊥BF,∴∠ABF=90°.∵AB为直径,∴∠AEB=90°.∵AB=AC,∴BE=CE.∵∠BAE+∠ABE=90°,∠ABE+∠CBF=90°,∴∠BAE=∠CBF,∴sin∠BAE=sin∠CBF=.在Rt△ABE中,∵sin∠BAE==,∴BE=,∴BC=2BE=2.在Rt△BCH中,∵sin∠CBH==,∴CH=×2=2,∴BH==4.∵CH∥AB,
    ∴△FCH∽△FAB,∴=,即=,解得FB=.
    16.(1)原式=18﹣4﹣9+1=6.
    (2)原式=•=.
    17.四边形HFGE是平行四边形.
    理由:∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴AD∥BC,
    ∴∠ADB=∠CBD.
    ∵EG⊥BD,FH⊥BD,
    ∴∠DGE=∠EGH=∠BHF=∠FHG=90°,
    ∴EG∥FH.
    ∵DE=BF,
    ∴△DGE≌△BHF(AAS),
    ∴GE=HF,
    ∴四边形HFGE是平行四边形.
    18.设每台B型净水器的售价为x元,则每台A型净水器的售价为(x+2000)元,
    根据题意,列方程得=×,
    解得x=8000,
    经检验,x=8000是原方程的解,且符合题意,
    ∴x+2000=10000.
    答:每台A型净水器的售价是10000元,每台B型净水器的售价是8000元.
    19.(1)50 D
    (2)补全频数分布直方图如下:
    (3)480
    (4)画树状图如下:
    共有12个等可能的结果,恰好选中一名男生和一名女生的结果有8个,
    ∴恰好选中一名男生和一名女生的概率为=.
    20.(1)∵点E(n,3)在直线y=x+2上,
    ∴3=n+2,解得n=2,
    ∴点E的坐标为(2,3).
    ∵点E在双曲线y=上,
    ∴k=2×3=6.
    (2)对于y=x+2,
    当x=0时,y=2,
    当y=0,x+2=0,解得x=﹣4,
    ∴A(﹣4,0),B(0,2),
    ∴OA=4.OB=2.
    ∵四边形ABCD是矩形,
    ∴∠ABC=∠D=90°.
    ∵BO⊥AC(x轴⊥y轴),
    ∴∠AOB=90°,
    ∴∠ABO+∠CBO=∠ABO+∠BAO=90°,
    ∴∠BAO=∠CBO,
    ∴△ABO∽△BCO,
    ∴,即,
    ∴OC=1,
    ∴点C的坐标为(1,0).
    线段CD可以由线段AB向下平移2个单位,向右平移一个单位得到,可得点D(﹣3,﹣2).
    在y=中,当x=﹣3时,y=﹣2,
    ∴点D在双曲线y=的图象上.
    21.(1)补全证明:∴,
    ∴AC•DP=AB•DC②,
    ∴①+②得:AC•BP+AC•DP=AD•BC+AB•DC,
    ∴AC•(BP+DP)=AD•BC+AB•DC,
    即AC•BD=AD•BC+AB•DC.
    (2)∵∠ACB=90°,AC=6,BC=8,
    ∴∠ADB=90°,AB==10.
    ∵CD平分∠ACB交⊙O于点D,
    ∴∠BCD=∠ACD,
    ∴BD=AD.
    ∵∠ADB=90°,
    ∴∠ABD=45°,
    ∴BD=AD=AB•sin45°=5.
    ∵四边形ABCD内接于⊙O,
    ∴AB•CD=AC•BD+AD•BC,即10CD=6×+8×5,
    ∴CD=7.
    22.(1)CE=BP.
    解法提示:如图1,连接AC.
    ∵四边形ABCD是正方形,AB=DA,∠BAD=∠ABC=90°,
    ∴∠ABP=∠ACE=∠BAC=45°,
    ∴COS∠BAC=.
    ∵Rt△APE是等腰直角三角形,
    ∴∠PAE=∠AEP=45°,
    ∴∠BAC﹣∠CAP=∠PAE﹣∠CAP,
    ∴∠BAP=∠CAE,
    ∴△ABP∽△ACE,
    ∴,
    ∴,即CE=BP.
    (2)(1)中的结论还成立.
    选题图2证明如下:
    如图2,连接AC.
    ∵四边形ABCD是正方形,AB=BC=CD=DA,∠BAD=∠ABC=90°,
    ∴∠ABP=∠ACE=∠BAC=45°,
    ∴COS∠BAC=.
    ∵Rt△APE是等腰直角三角形,
    ∴∠PAE=∠AEP=45°,
    ∴∠BAC+∠CAP=∠PAE+∠CAP,
    ∴∠BAP=∠CAE,
    ∴△ABP∽△ACE,
    ∴,
    ∴,即CE=BP.
    选择图3证明如下:
    如图3,连接AC,
    ∵四边形ABCD是正方形,AB=BC=CD=DA,∠BAD=∠ABC=90°,
    ∴∠ABP=∠ACE=∠BAC=45°,
    ∴COS∠BAC=.
    ∵Rt△APE是等腰直角三角形,
    ∴∠PAE=∠AEP=45°,
    ∴∠BAP=∠BAC+∠CAP,∠CAE=∠PAE+∠CAP,
    ∴∠BAP=∠CAE,
    ∴△ABP∽△ACE,
    ∴,
    ∴,即CE=BP.
    (3)如图4,连接AC交BD于点F,过点E作EG⊥BP交直线BP于点G.
    ∵四边形ABCD是正方形,AB=2,
    ∴BC=AB=2,∠BAD=90°,AC⊥BD,
    ∴∠ABD=45°,∠AFB=∠AFD=90°,
    ∴∠BAC=45°,∠FAP+∠APF=90°,
    ∴AF=BF,
    ∴BF=AF=AB•sin45°=2.
    在Rt△APE中,∠APE=90°,AP=PE,
    ∴∠APF+∠EPG=90°,
    ∴∠FAP=∠EPG.
    ∵EG⊥BG,
    ∴∠AFP=∠PGE=90°,
    ∴△FAP≌△GPE(AAS),
    ∴FP=EG,PG=AF=2.
    在Rt△EGB中,由勾股定理得,BE2=BG2+EG2,
    设FP=EG=x,
    ∴,解得,(舍去),
    ∴S△BPE===16﹣4.
    23.(1)∵OA=OC=3,
    ∴C(0,﹣3),A(﹣3,0).
    ∵抛物线y=x2+bx+c经过点A,C,
    ∴,解得,
    ∴抛物线的表达式是y=x2+2x﹣3.
    (2)△ACD是直角三角形.
    理由:∵y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4,
    ∴顶点D(﹣1,﹣4).
    如图1,设抛物线的对称轴与x轴交于点E,过C作CF⊥DE于点F.
    ∵A(﹣3,0),B(1,0),C(0,﹣3),D(﹣1,﹣4),
    ∴OA=OC=3,OB=1,AB=4,AE=2,DE=4,CF=1,DF=1,
    ∴AC2=OA2+OC2=32+32=18,
    AD2=AE2+DE2=22+42=20,
    CD2=CF2+DF2=12+12=2,
    ∴AD2=AC2+CD2,
    ∴△ACD是直角三角形,且∠ACD=90°.
    (3)设直线AC的表达式为y=kx+d,
    将A(﹣3,0),C(0,﹣3)分别代入,
    得,解得,
    ∴直线AC的表达式为y=﹣x﹣3.
    如图2,过点N作NG⊥x轴于点G,交直线AC于点M.
    ∵点N的横坐标为n,
    ∴点N(n,n2+2n﹣3),点M(n,﹣n﹣3),
    ∴NM=(﹣n﹣3)﹣(n2+2n﹣3)=﹣n2﹣3n,
    ∴S△ANC=S△ANM+S△CNM=NM•AG+NM•OG=NM•(AG+OG),
    =NM•AO=(﹣n2﹣3n)×3=﹣n2﹣n=﹣(n+)2+.
    ∵a=﹣<0,
    ∴当n=﹣时,S△ANC的最大值是.
    (4)存在.点N的坐标为(﹣2,﹣3)或(4,21).
    解法提示:当点N在A点左侧时,∠NAB为钝角.
    当点N在A,B两点之间时,点N与点C关于x=﹣1对称,
    ∴N点的坐标为(﹣2,﹣3).
    当点N在B点右侧时,过点A作直线l∥BC.
    可求得BC的表达式为y=3x﹣3,
    ∴设直线l的表达式为y=3x+c.
    将A(﹣3,0)代入,得c=9,
    ∴直线l的表达式为y=3x+9,
    联立,
    可得点N的坐标为(4,21).
    综上可知,点N的坐标为(﹣2,﹣3)或(4,21).
    声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2023/2/9 20:44:47;用户:13721408350;邮箱:13721408350;学号:21861305
    组别
    分数/分
    频数
    A
    70≤x<75
    2
    B
    75≤x<80
    6
    C
    80≤x<85
    10
    D
    85≤x<90
    a
    E
    90≤x<95
    16
    F
    95≤x≤100
    4
    托勒密(Ptlemy)(公元90年﹣公元168年),希腊著名的天文学家、地理学家、数学家和光学家,在数学方面,他论证了四边形的特性,即著名的托勒密定理.
    托勒密定理:圆内接四边形中,两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和.
    如图1,已知⊙O内接四边形ABCD,
    求证:AC•BD=AB•CD+AD•BC.
    证明:如图1,在BD上取一点P,连接CP,使∠PCB=∠DCA,即使∠1=∠2.
    ∵在⊙O中,∠3与∠4所对的弧都是,
    ∴∠3=∠4.
    ∴△ACD∽△BCP.
    ∴=.
    ∴AC•BP=AD•BC.①
    又∵∠2=∠1,
    ∴∠2+∠7=∠1+∠7.
    即∠ACB=∠DCP.
    ∵在⊙O中,∠5与∠6所对的弧都是,
    ∴∠5=∠6.
    ∴△ACB∽△DCP.

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    9
    10
    D
    C
    C
    B
    A
    C
    A
    D
    C
    B

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