2021年山西中考模拟百校联考(一)数学试题
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这是一份2021年山西中考模拟百校联考(一)数学试题,共18页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
(满分120分,考试时间120分钟)
第Ⅰ卷 选择题(共30分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)
1.﹣的相反数是( )
A.8B.﹣8C.-D.
2.下列图形中,是轴对称图形的是( )
A.B.C.D.
3.下列运算正确的是( )
A.a2•a4=a8B.(2a+b)(2a﹣b)=2a2﹣b2
C.(﹣a2)3=﹣a6D.a4+a4=2a8
4.如图是由7个完全相同的小立方体搭成的立体图形,则它的左视图是( )
A.B.C.D.
5.21世纪以来我国经济总量规模扩大了10倍,取得了举世瞩目的成就,2020年我国国内生产总值首次突破1000000亿元,达到1016000亿元.数据1016000用科学记数法表示为( )
A.1.016×106B.1.016×105C.10.16×105D.1016×103
6.在一个不透明的袋子中装有黑、白两种颜色的球,这些球除颜色外完全相同.其中白球有5个,黑球有x个.从袋子中随机摸出一个球,记下颜色后,放回袋子中并摇匀.重复这一操作,经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.25附近,则x的值为( )
A.5B.10C.15D.20
7.如图,为了测量某风景区内一座凉亭AB的高度,小亮分别在凉亭对面的高台CD的底部C和顶部D处分别测得凉亭顶部A的仰角为45°和30°,已知高台CD为2m,则凉亭AB的高度为( )(结果保留一位小数,≈1.73)
A.4.7mB.4.8mC.8.1mD.8.2m
8.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,则下列结论中正确的是( )
A.a>0
B.当x>1时,y随x的增大而增大
C.c<0
D.3是方程ax2+bx+c=0的一个根
9.估计﹣1的值在( )
A.3.3和3.4之间B.3.4和3.5之间
C.3.5和3.6之间D.3.6和3.7之间
10.如图,在菱形ABCD中,AC=12,BD=16,动点P从点A出发,以每秒3个单位长度的速度向点B运动,直到点B时停止;动点Q同时从点C出发,以每秒2个单位长度的速度向点D运动,当点P停止运动时,点Q随之停止运动,连接PQ交AC于点H.那么在点P的运动过程中,线段QH的最小值是( )
A.B.C.D.
第Ⅱ卷 非选择题(共90分)
二、填空题(本大题共5个小题,每小题3分,共15分)
11.分解因式x2y﹣16y的结果为 .
12.不等式组的解集为 .
13.如图,在▱ABCD中,已知AD⊥DB,AC=10,AD=4,则BD的长是 .
14.山西太原万柏林区一线天旅游公路是太原市打造的一条“彩虹路”,每天都会吸引许多骑行爱好者.周日,小宇和小琦参加了某自行车队在该路段组织的骑行活动,小宇从某地出发5分钟后,小琦也从同一地点沿同一方向骑行,已知小宇和小琦骑行的平均速度分别为20千米/小时和25千米/小时,设小琦骑行x小时后追上小宇,则根据题意可列方程为 .
15.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E,过点B作⊙O的切线与AC的延长线交于点F,若AB=5,sin∠CBF=,则BF的长为 .
三、解答题(本大题共8个小题,共75分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(本题共2个小题,每小题5分,共10分)
计算:(1)(3)2﹣|﹣4|﹣(﹣)﹣2+(﹣4﹣2)0;
(2)(1﹣).
17.(本题7分)如图,在▱ABCD中,点E,F分别是AD,BC上的点,且DE=BF,分别过点E,F作EG⊥BD,FH⊥BD,垂足分别为G,H,连接EH,FG.请判断四边形HFGE的形状并说明理由.
18.(本题6分)某学校为了改进全校师生的饮水质量,需要安装A型净水器与B型净水器,已知每台A型净水器比B型净水器售价贵2000元,且安装A型净水器的数量是B型净水器数量的,学校分别购买A型与B型净水器的费用都是20万元.求每台A型净水器和每台B型净水器的售价分别为多少元?
19.(本题10分)第七次全国人口普查期间,某中学为了提高学生对人口普查的认识,在全校开展了主题为“人口普查,人人有责”的知识竞赛活动,共有1200名学生参加了此次竞赛(满分为100分),学校从中随机抽取了部分参赛学生的成绩,整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图,请根据图表信息解答以下问题:
(1)本次调查随机抽取了 个参赛学生的成绩;所抽取参赛学生成绩的中位数所在的“组别”是 ;
(2)补全频数分布直方图;
(3)估计全校1200名学生中,知识竞赛成绩达到“优秀(90≤x≤100)”的有 名;
(4)成绩前四名的学生中有两名男生和两名女生,若从这四名学生中选两人为该校的人口普查知识宣传员,求恰好选中一名男生和一名女生的概率.
20.(本题9分)如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2分别与x轴,y轴交于点A,B,与双曲线y=(k≠0)在第一象限交于点E(n,3),以线段AB为边作矩形ABCD,使顶点C在x轴正半轴上,顶点D在第三象限内.
(1)求k的值;
(2)求D的坐标,判断点D是否在双曲线y=(k≠0)的图象上,并说明理由.
21.(本题8分)请阅读以下材料并完成相应的任务:
(1)任务一:请你将“托勒密定理”的证明过程补充完整;
(2)任务二:如图2,已知Rt△ABC内接于⊙O,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,CD平分∠ACB交⊙O于点D,求CD的长.
22.(本题12分)综合与实践
问题情境
在综合与实践课上,数学老师出示了一道思考题:
如图,在正方形ABCD中,P是射线BD上一动点,以AP为直角边在AP边的右侧作等腰直角三角形APE,使得∠APE=90°,AP=PE,且点E恰好在射线CD上.
独立思考
(1)如图1,当点P在对角线BD上,点E在CD边上时,那么BP与CE之间的数量关系是 ;
探索发现
(2)当点E在正方形ABCD外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请在图2与图3中选择一种情况进行证明;若不成立,请说明理由;
问题解决
(3)如图4,在正方形ABCD中,AB=2,当P是对角线BD的延长线上一动点时,连接BE,若BE=6,求△BPE的面积.
23.(本题13分)综合与探究
如图1,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D,OA=OC=3.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)判断△ACD的形状并说明理由;
(3)如图2,N是AC下方的抛物线上的一个动点,且点N的横坐标为n,求△CAN面积S与n的函数关系式及S的最大值;
(4)在抛物线上是否存在一点N,使得∠NAB=∠ABC,若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
2021年山西中考模拟百校联考(一)
选择题答案速查
9.C
【解析】∵4.52=20.25,4.62=21.16,∴4.5<<4.6,∴4.5﹣1<﹣1<4.6﹣1,即3.5<<3.6.
10.B
【解析】在菱形ABCD中,CD∥AB,∴CQ∥AP,∴△CQH∽△APH.设点P运动的时间为t(秒),则CQ=2t,AP=3t,∴,∴QH=PQ.当PQ⊥CD时,即当PQ与菱形ABCD的高相等时,PQ的长最小.设菱形ABCD的高为h.∵∠COD=90°,DO=BD=8,CO=AC=6,∴CD==10,∴10h=×12×16,解得h=,∴.
11.y(x+4)(x﹣4)
12.﹣2≤x<4.
13.6
【解析】如图,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO=AC,DO=BO.∵AC=10,∴AO=5.∵AD⊥DB,∴∠ADB=90°,AD=4,∴DO==3,∴BD=6.
14.25x=20x+20×
15.
【解析】连接AE,过C点作CH⊥BF,如图,∵BF为切线,∴AB⊥BF,∴∠ABF=90°.∵AB为直径,∴∠AEB=90°.∵AB=AC,∴BE=CE.∵∠BAE+∠ABE=90°,∠ABE+∠CBF=90°,∴∠BAE=∠CBF,∴sin∠BAE=sin∠CBF=.在Rt△ABE中,∵sin∠BAE==,∴BE=,∴BC=2BE=2.在Rt△BCH中,∵sin∠CBH==,∴CH=×2=2,∴BH==4.∵CH∥AB,
∴△FCH∽△FAB,∴=,即=,解得FB=.
16.(1)原式=18﹣4﹣9+1=6.
(2)原式=•=.
17.四边形HFGE是平行四边形.
理由:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD.
∵EG⊥BD,FH⊥BD,
∴∠DGE=∠EGH=∠BHF=∠FHG=90°,
∴EG∥FH.
∵DE=BF,
∴△DGE≌△BHF(AAS),
∴GE=HF,
∴四边形HFGE是平行四边形.
18.设每台B型净水器的售价为x元,则每台A型净水器的售价为(x+2000)元,
根据题意,列方程得=×,
解得x=8000,
经检验,x=8000是原方程的解,且符合题意,
∴x+2000=10000.
答:每台A型净水器的售价是10000元,每台B型净水器的售价是8000元.
19.(1)50 D
(2)补全频数分布直方图如下:
(3)480
(4)画树状图如下:
共有12个等可能的结果,恰好选中一名男生和一名女生的结果有8个,
∴恰好选中一名男生和一名女生的概率为=.
20.(1)∵点E(n,3)在直线y=x+2上,
∴3=n+2,解得n=2,
∴点E的坐标为(2,3).
∵点E在双曲线y=上,
∴k=2×3=6.
(2)对于y=x+2,
当x=0时,y=2,
当y=0,x+2=0,解得x=﹣4,
∴A(﹣4,0),B(0,2),
∴OA=4.OB=2.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=∠D=90°.
∵BO⊥AC(x轴⊥y轴),
∴∠AOB=90°,
∴∠ABO+∠CBO=∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠BAO=∠CBO,
∴△ABO∽△BCO,
∴,即,
∴OC=1,
∴点C的坐标为(1,0).
线段CD可以由线段AB向下平移2个单位,向右平移一个单位得到,可得点D(﹣3,﹣2).
在y=中,当x=﹣3时,y=﹣2,
∴点D在双曲线y=的图象上.
21.(1)补全证明:∴,
∴AC•DP=AB•DC②,
∴①+②得:AC•BP+AC•DP=AD•BC+AB•DC,
∴AC•(BP+DP)=AD•BC+AB•DC,
即AC•BD=AD•BC+AB•DC.
(2)∵∠ACB=90°,AC=6,BC=8,
∴∠ADB=90°,AB==10.
∵CD平分∠ACB交⊙O于点D,
∴∠BCD=∠ACD,
∴BD=AD.
∵∠ADB=90°,
∴∠ABD=45°,
∴BD=AD=AB•sin45°=5.
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴AB•CD=AC•BD+AD•BC,即10CD=6×+8×5,
∴CD=7.
22.(1)CE=BP.
解法提示:如图1,连接AC.
∵四边形ABCD是正方形,AB=DA,∠BAD=∠ABC=90°,
∴∠ABP=∠ACE=∠BAC=45°,
∴COS∠BAC=.
∵Rt△APE是等腰直角三角形,
∴∠PAE=∠AEP=45°,
∴∠BAC﹣∠CAP=∠PAE﹣∠CAP,
∴∠BAP=∠CAE,
∴△ABP∽△ACE,
∴,
∴,即CE=BP.
(2)(1)中的结论还成立.
选题图2证明如下:
如图2,连接AC.
∵四边形ABCD是正方形,AB=BC=CD=DA,∠BAD=∠ABC=90°,
∴∠ABP=∠ACE=∠BAC=45°,
∴COS∠BAC=.
∵Rt△APE是等腰直角三角形,
∴∠PAE=∠AEP=45°,
∴∠BAC+∠CAP=∠PAE+∠CAP,
∴∠BAP=∠CAE,
∴△ABP∽△ACE,
∴,
∴,即CE=BP.
选择图3证明如下:
如图3,连接AC,
∵四边形ABCD是正方形,AB=BC=CD=DA,∠BAD=∠ABC=90°,
∴∠ABP=∠ACE=∠BAC=45°,
∴COS∠BAC=.
∵Rt△APE是等腰直角三角形,
∴∠PAE=∠AEP=45°,
∴∠BAP=∠BAC+∠CAP,∠CAE=∠PAE+∠CAP,
∴∠BAP=∠CAE,
∴△ABP∽△ACE,
∴,
∴,即CE=BP.
(3)如图4,连接AC交BD于点F,过点E作EG⊥BP交直线BP于点G.
∵四边形ABCD是正方形,AB=2,
∴BC=AB=2,∠BAD=90°,AC⊥BD,
∴∠ABD=45°,∠AFB=∠AFD=90°,
∴∠BAC=45°,∠FAP+∠APF=90°,
∴AF=BF,
∴BF=AF=AB•sin45°=2.
在Rt△APE中,∠APE=90°,AP=PE,
∴∠APF+∠EPG=90°,
∴∠FAP=∠EPG.
∵EG⊥BG,
∴∠AFP=∠PGE=90°,
∴△FAP≌△GPE(AAS),
∴FP=EG,PG=AF=2.
在Rt△EGB中,由勾股定理得,BE2=BG2+EG2,
设FP=EG=x,
∴,解得,(舍去),
∴S△BPE===16﹣4.
23.(1)∵OA=OC=3,
∴C(0,﹣3),A(﹣3,0).
∵抛物线y=x2+bx+c经过点A,C,
∴,解得,
∴抛物线的表达式是y=x2+2x﹣3.
(2)△ACD是直角三角形.
理由:∵y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4,
∴顶点D(﹣1,﹣4).
如图1,设抛物线的对称轴与x轴交于点E,过C作CF⊥DE于点F.
∵A(﹣3,0),B(1,0),C(0,﹣3),D(﹣1,﹣4),
∴OA=OC=3,OB=1,AB=4,AE=2,DE=4,CF=1,DF=1,
∴AC2=OA2+OC2=32+32=18,
AD2=AE2+DE2=22+42=20,
CD2=CF2+DF2=12+12=2,
∴AD2=AC2+CD2,
∴△ACD是直角三角形,且∠ACD=90°.
(3)设直线AC的表达式为y=kx+d,
将A(﹣3,0),C(0,﹣3)分别代入,
得,解得,
∴直线AC的表达式为y=﹣x﹣3.
如图2,过点N作NG⊥x轴于点G,交直线AC于点M.
∵点N的横坐标为n,
∴点N(n,n2+2n﹣3),点M(n,﹣n﹣3),
∴NM=(﹣n﹣3)﹣(n2+2n﹣3)=﹣n2﹣3n,
∴S△ANC=S△ANM+S△CNM=NM•AG+NM•OG=NM•(AG+OG),
=NM•AO=(﹣n2﹣3n)×3=﹣n2﹣n=﹣(n+)2+.
∵a=﹣<0,
∴当n=﹣时,S△ANC的最大值是.
(4)存在.点N的坐标为(﹣2,﹣3)或(4,21).
解法提示:当点N在A点左侧时,∠NAB为钝角.
当点N在A,B两点之间时,点N与点C关于x=﹣1对称,
∴N点的坐标为(﹣2,﹣3).
当点N在B点右侧时,过点A作直线l∥BC.
可求得BC的表达式为y=3x﹣3,
∴设直线l的表达式为y=3x+c.
将A(﹣3,0)代入,得c=9,
∴直线l的表达式为y=3x+9,
联立,
可得点N的坐标为(4,21).
综上可知,点N的坐标为(﹣2,﹣3)或(4,21).
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组别
分数/分
频数
A
70≤x<75
2
B
75≤x<80
6
C
80≤x<85
10
D
85≤x<90
a
E
90≤x<95
16
F
95≤x≤100
4
托勒密(Ptlemy)(公元90年﹣公元168年),希腊著名的天文学家、地理学家、数学家和光学家,在数学方面,他论证了四边形的特性,即著名的托勒密定理.
托勒密定理:圆内接四边形中,两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和.
如图1,已知⊙O内接四边形ABCD,
求证:AC•BD=AB•CD+AD•BC.
证明:如图1,在BD上取一点P,连接CP,使∠PCB=∠DCA,即使∠1=∠2.
∵在⊙O中,∠3与∠4所对的弧都是,
∴∠3=∠4.
∴△ACD∽△BCP.
∴=.
∴AC•BP=AD•BC.①
又∵∠2=∠1,
∴∠2+∠7=∠1+∠7.
即∠ACB=∠DCP.
∵在⊙O中,∠5与∠6所对的弧都是,
∴∠5=∠6.
∴△ACB∽△DCP.
…
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
C
C
B
A
C
A
D
C
B
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