2021-2022学年广东省深圳市福田区红岭中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年广东省深圳市福田区红岭中学高二（下）期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）函数的导数记为，则（1）等于
A．0B．1C．2D．3
2．（5分）的展开式中的常数项为
A．240B．C．72D．
3．（5分）现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用表示事件“抽到的两名医生性别相同”， 表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则
A．B．C．D．
4．（5分）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，若第行中从左至右只有第12个数为该行中的最大值，则
A．21B．22C．23D．24
5．（5分）某产品的销售收入（万元）是产量（千台）的函数，且函数解析式为，生产成本（万元是产量（千台）的函数，且函数解析式为，要使利润（利润收入成本）最大，则该产品应生产
A．6千台B．7千台C．8千台D．9千台
6．（5分）已知，，，则、、的大小关系为
A．B．C．D．
7．（5分）已知随机变量的分布列如下：
则的最大值为
A．B．3C．6D．5
8．（5分）若关于的不等式，对，恒成立，则实数的取值范围是
A．，B．，C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是
A．在内是增函数B．在内是增函数
C．在时取得极大值D．在时取得极小值
10．（5分）设，则下列说法正确的是
A．
B．
C．展开式中二项式系数最大的项是第5项
D．
11．（5分）下列命题中，正确的命题的序号为
A．已知随机变量服从二项分布，若，，则
B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变
C．设随机变量服从正态分布，若，则
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，且，则当时概率最大
12．（5分）已知函数，则下列结论正确的是
A．函数存在两个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．当时，方程有且只有两个实根
D．若，时，，则的最小值为2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）某学校为普及2022年北京冬奥会知识，现从4名男同学和2名女同学中选出3名同学担任宣讲员．如果至少有1名女同学参加，且这3名同学分别在周五、周六和周日进行宣讲，则不同的选派方案种数为 ．（结果用数字作答）
14．（5分）函数的单调递增区间是 ．
15．（5分）甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个白球、5个红球，乙箱中有8个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为5或6，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为1，2，3，4，从乙箱子中随机摸出1个球．则摸到红球的概率为 ．
16．（5分）已知函数为自然对数的底数）．若函数在上有三个不同的极值点，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知函数，在处有极值2．
（1）求，的值；
（2）若有3个不同实根，求的范围．
18．（12分）甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制（先赢3局的学校获胜，比赛结束）．约定比赛规则如下：先进行两局男生排球比赛，后进行女生排球比赛．按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，设各局比赛相互之间没有影响且无平局．
（1）求甲校以获胜的概率；
（2）记比赛结束时已比赛的局数为，求的分布列及数学期望．
19．（12分）已知函数．
（1）若函数的图象在处的切线方程为，求，的值；
（2）若函数在上是增函数，求实数的最大值．
20．（12分）某次考试中，英语成绩服从正态分布，，数学成绩的频率分布直方图如图．
（1）如果成绩大于135分的为特别优秀，则随机抽取的500名学生中本次考试英语、数学特别优秀的大约各多少人？（假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布）
（2）如果英语和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中英语特别优秀的人中随机抽取3人，设3人中两科同时特别优秀的有人，求的分布列和数学期望．
附公式：若，则，．
21．（12分）2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市！为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
（Ⅰ）在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求这3所学校参与“自由式滑雪”都超过40人的概率；
（Ⅱ）“单板滑雪”参与人数超过45人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记为选出可作“基地学校”的学校个数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到5次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
22．（12分）已知函数．
（1）讨论在上的单调性；
（2）若，，求正数的取值范围．
2021-2022学年广东省深圳市福田区红岭中学高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）函数的导数记为，则（1）等于
A．0B．1C．2D．3
【答案】
【分析】利用导数的计算公式及其运算法则即可得出．
【解答】解：由函数可得：，
则（1），
故选：．
【点评】本题考查了导数的计算公式及其运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（5分）的展开式中的常数项为
A．240B．C．72D．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值，即可求得展开式中的常数项．
【解答】解：的展开式的通项公式为，
令，求得，可得展开式中的常数项为，
故选：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
3．（5分）现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用表示事件“抽到的两名医生性别相同”， 表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】条件概率，先求出事件数，再求出事件数，利用古典概型概率公式求解．
【解答】解：由题意可得：事件基本事件数，；
事件的基本事件数，；
所以．
故选：．
【点评】本题考查统计与概率，条件概率的计算，属于基础题．
4．（5分）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，若第行中从左至右只有第12个数为该行中的最大值，则
A．21B．22C．23D．24
【答案】
【分析】由题意可知，第行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数，再利用二项式的系数的性质可求得结果．
【解答】解：由题意可知，第行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数．
因为只有第12项的二项式系数最大，
所以为偶数，故，解得，
故选：．
【点评】本题考查杨辉三角，考查学生的推理能力，属于基础题．
5．（5分）某产品的销售收入（万元）是产量（千台）的函数，且函数解析式为，生产成本（万元是产量（千台）的函数，且函数解析式为，要使利润（利润收入成本）最大，则该产品应生产
A．6千台B．7千台C．8千台D．9千台
【答案】
【分析】设利润为，可得，．利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可得出结论．
【解答】解：设利润为，则，．
，
可得时，，此时函数单调递增；时，，此时函数单调递减．
（千台）时，函数取得极大值即最大值，利润最大．
故选：．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．（5分）已知，，，则、、的大小关系为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】构造函数，利用导数可知，当时，函数单调递减，再利用单调性即可得到，，的大小关系．
【解答】解：构造函数，
，
当时，，函数单调递减，
又，
（e）（3）（4），
即，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了利用函数的单调性比较大小，考查了构造函数的思想，是基础题．
7．（5分）已知随机变量的分布列如下：
则的最大值为
A．B．3C．6D．5
【答案】
【分析】根据分布列的性质，求出的值，再结合期望与方差的公式，即可求解．
【解答】解：由题意可得，，解得，
，
，
当时，其最大值为，
故的最大值为，
，
的最大值为．
故选：．
【点评】本题主要考查期望与方差的公式，属于中档题．
8．（5分）若关于的不等式，对，恒成立，则实数的取值范围是
A．，B．，C．D．
【答案】
【分析】当易知不等式恒成立，当，时转化为恒成立，构造利用导数研究最值，即可求的范用．
【解答】解：当时，上不等式恒成立，符合题设，
当，时，恒成立，令，则，
令，则，即递减，
，即，故递减，则，
．
综上，的取值范围，．
故选：．
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的运算能力，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是
A．在内是增函数B．在内是增函数
C．在时取得极大值D．在时取得极小值
【答案】
【分析】利用导函数的图象，对四个选项逐一分析可得答案．
【解答】解：由导函数的图象可知，
当，，时，，当，，时，，
所以在区间，上单调递减，在，上单调递增，
故错误，正确，
由图知在时和时取得极小值，在时取得极大值，故错误，正确；
故选：．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了数形结合思想的应用，考查识图能力与逻辑推理能力，属于中档题．
10．（5分）设，则下列说法正确的是
A．
B．
C．展开式中二项式系数最大的项是第5项
D．
【答案】
【分析】利用赋值法以及二项式定理求出对应系数进行判断即可．
【解答】解：令，得，故正确，
令，得，
即，故正确，
展开式共11项，二项式系数最大的是第6项，故错误，
，，则成立，故正确，
故选：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，利用赋值法进行求解是解决本题的关键，是基础题．
11．（5分）下列命题中，正确的命题的序号为
A．已知随机变量服从二项分布，若，，则
B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变
C．设随机变量服从正态分布，若，则
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，且，则当时概率最大
【答案】
【分析】对：利用二项分布的期望与方差公式，列出方程求解即可判断；对：根据方差公式可知方差恒不变；对：根据正态分布的对称性即可求解；对：根据二项分布概率的性质求解即可判断．
【解答】解：对：因为随机变量服从二项分布，，，
所以，，解得，故选项错误；
对：根据方差公式，为常数），可得将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变，故选项正确；
对：因为随机变量服从正态分布，由，可得，利用正态分布的对称性可得，故选项正确；
对：因为在10次射击中，击中目标的次数满足，
所以对应的概率，
当，时，，
令，解得，
因为时，
所以当时，概率最大，故选项正确．
故选：．
【点评】本题主要考查二项分布的性质，正态分布的性质，方差的性质等知识，属于中等题．
12．（5分）已知函数，则下列结论正确的是
A．函数存在两个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．当时，方程有且只有两个实根
D．若，时，，则的最小值为2
【答案】
【分析】利用导数分析函数的图象的可能情况，即可得到结论．
【解答】解：，令，解得或，
当或时，，故函数在，上单调递减，当时，，故函数在上单调递增，
且函数有极小值，有极大值，当时，，当时，，
故作函数草图如下，
由图可知，选项正确，选项错误．
故选：．
【点评】本题主要考查导数在函数问题中的运用，考查数形结合思想，属于基础题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）某学校为普及2022年北京冬奥会知识，现从4名男同学和2名女同学中选出3名同学担任宣讲员．如果至少有1名女同学参加，且这3名同学分别在周五、周六和周日进行宣讲，则不同的选派方案种数为 96 ．（结果用数字作答）
【答案】96
【分析】先在4名男同学和2名女同学中选出3名同学，再将这这3名同学安排在周五、周六和周日进行2022年北京冬奥会知识宣讲求解即可．
【解答】解：先在4名男同学和2名女同学中选出3名同学，则至少有1名女同学的选法有种，再将这这3名同学安排在周五、周六和周日进行2022年北京冬奥会知识宣讲，
则不同的选派方案种数为，
故答案为：96．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步原理，属基础题．
14．（5分）函数的单调递增区间是 ．
【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．
【解答】解：，，
，
令，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．
15．（5分）甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个白球、5个红球，乙箱中有8个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为5或6，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为1，2，3，4，从乙箱子中随机摸出1个球．则摸到红球的概率为 ．
【答案】．
【分析】分别求出从甲箱，乙箱摸出红球的概率，并求和，即可求解．
【解答】解：掷到点数为1，2，3，4的概率为，从乙箱子摸到红球的概率为，
掷到点数为5，6的概率为，从甲箱子摸到红球的概率为，
故摸出红球的概率．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及互斥事件的概率加法公式，属于基础题．
16．（5分）已知函数为自然对数的底数）．若函数在上有三个不同的极值点，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】原题转化为在，有两个不同的根，且，令，根据函数的单调性求出的范围即可．
【解答】解：为自然对数的底数），
，
依题意，可知在，上有三个不同的根，
是的一个根，
在，有两个不同的根，
令，，
，时，单调递增，时，单调递减，
（1），，（2），
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了转化与化归思想及构造法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知函数，在处有极值2．
（1）求，的值；
（2）若有3个不同实根，求的范围．
【答案】（1），．
（2）．
【分析】（1）求导得，由函数，在处有极值2，得，进而可得，解得，，即可得出答案．
（2）由（1）知，求导，分析的正负，进而可得的单调性，极值，即可得出答案．
【解答】解：（1），
因为函数，在处有极值2，
所以，即，
解得，．
（2）由（1）知，
，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
所以，
（1），
若有3个不同实根，
则，
所以的取值范围为．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
18．（12分）甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制（先赢3局的学校获胜，比赛结束）．约定比赛规则如下：先进行两局男生排球比赛，后进行女生排球比赛．按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，设各局比赛相互之间没有影响且无平局．
（1）求甲校以获胜的概率；
（2）记比赛结束时已比赛的局数为，求的分布列及数学期望．
【答案】（1）．（2）的分布列为：
．
【分析】（1）分前两局男排比赛中甲全胜，第三局比赛甲负，第四局比赛甲胜，前两局男排比赛中甲1胜1负，第三局比赛甲胜，第四局比赛甲胜两种情况讨论，再求和，即可求解．
（2）的可能取值为3，4，5，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
【解答】解：（1）甲校以获胜的情况有：
①前两局男排比赛中甲全胜，第三局比赛甲负，第四局比赛甲胜，
概率为：，
②前两局男排比赛中甲1胜1负，第三局比赛甲胜，第四局比赛甲胜，
概率为：，
甲校以获胜的概率为．
（2）的可能取值为3，4，5，
，，，
的分布列为：
数学期望．
【点评】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
19．（12分）已知函数．
（1）若函数的图象在处的切线方程为，求，的值；
（2）若函数在上是增函数，求实数的最大值．
【分析】本题第（1）题先对函数求导，再根据在处的切线斜率可得到参数的值，然后代入，求出的值，则即可得出；第（2）题根据函数在上是增函数，可得，即恒成立，再进行参变分离，构造函数，对进行求导分析，找出最小值，即实数的最大值．
【解答】解：（1）由题意，函数．
故，
则，
由题意，知，即．
又，则．
，即．
．
（2）由题意，可知，即恒成立，
恒成立．
设，则．
令，解得．
令，解得．
令，解得．
在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值．
．
，
故的最大值为．
【点评】本题主要考查利用某点处的一阶导数分析得出参数的值，参变量分离方法的应用，不等式的计算能力．本题属中档题．
20．（12分）某次考试中，英语成绩服从正态分布，，数学成绩的频率分布直方图如图．
（1）如果成绩大于135分的为特别优秀，则随机抽取的500名学生中本次考试英语、数学特别优秀的大约各多少人？（假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布）
（2）如果英语和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中英语特别优秀的人中随机抽取3人，设3人中两科同时特别优秀的有人，求的分布列和数学期望．
附公式：若，则，．
【答案】（1）英语成绩特别优秀的有10人，数学成绩特别优秀的有12人；
（2）分布列见解析，数学期望为．
【分析】（1）根据参考数据，求得英语成绩在大于135的概率，再乘以500求得人数；
根据频率分布直方图，求得数学成绩特别优秀的频率，再求频数即可；
（2）根据题意求得的取值，结合题意分别求得对应概率，再求数学期望即可．
【解答】解：（1），，，
，故英语成绩特别优秀的有人．
由频率分布直方图知，数学成绩特别优秀的频率为，
故数学成绩特别优秀的有人．
（2）依题意：，1，2，3，
，，
，，
其分布列为：
．
【点评】本题主要考查离散型随机变量及其分布列，超几何分布的计算等知识，属于中等题．
21．（12分）2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市！为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
（Ⅰ）在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求这3所学校参与“自由式滑雪”都超过40人的概率；
（Ⅱ）“单板滑雪”参与人数超过45人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记为选出可作“基地学校”的学校个数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到5次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
【答案】．
的分布列为：
．
．
【分析】根据已知条件，结合古典概型的概率公式，即可求解．
的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
根据已知条件，结合二项分布的概率公式，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，这10所学校中参与“自由式滑雪”都超过40人的学校有4所，
设 “从10所学校中选出的3所学校参与“自由式滑雪”都超过40人”，
所以．
（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2，3，
因为参加“单板滑雪”人数在45人以上的学校共4所，
所以，，，，
所以的分布列为：
所以．
（Ⅲ）小明同学在一轮测试中为“优秀”的概率为，
小明在轮测试中获“优秀”次数满足，
由，解得，
所以理论上至少要进行20轮测试．
【点评】本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，考查期望公式，属于中档题．
22．（12分）已知函数．
（1）讨论在上的单调性；
（2）若，，求正数的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）求出的最大值，得到关于的函数，结合函数的单调性求出的范围即可．
【解答】解：（1），，
当时，，在上单调递减，
当时，若，；若，，
在，上单调递减，在上单调递增，
当时，，在上单调递减．
当时，若，；若，，
在上单调递减，在上单调递增，
综上可知，当时，在上单调递减；
当时，在，上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2），当时，；当时，，
（a），
，，
，即，
设，，
当时，；当时，，
，
，，．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/3/20 0:09:25；用户：初中数学；邮箱：szjmjy@xyh.cm；学号：298415651
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