高考 大题03 立体几何（7大题型）（原卷及解析版）

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立体几何是高考数学的必考内容，在大题中一般分两问，第一问考查空间直线与平面的位置关系证明；第二问考查空间角、空间距离等的求解。考题难度中等，常结合空间向量知识进行考查。2024年高考有很大可能延续往年的出题方式。
题型一：空间异面直线夹角的求解
（2023·上海长宁·统考一模）如图，在三棱锥中，平面平面为的中点.
（1）求证：；
（2）若，求异面直线与所成的角的大小.
1．（2023·江西萍乡·高三统考期中）如图，在正四棱台中，分别是的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，且正四棱台的侧面积为9，其内切球半径为，为的中心，求异面直线与所成角的余弦值.
2．（2023·辽宁丹东·统考二模）如图，平行六面体的所有棱长都相等，平面平面ABCD，AD⊥DC，二面角的大小为120°，E为棱的中点．
（1）证明：CD⊥AE；
（2）点F在棱CC1上，平面BDF，求直线AE与DF所成角的余弦值．
题型二：空间直线与平面夹角的求解
（2024·安徽合肥·统考一模）如图，三棱柱中，四边形均为正方形，分别是棱的中点，为上一点.
（1）证明：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
1．（2024·内蒙古赤峰·高三校考开学考试）如图，在三棱台中，，，．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
2．（2024·浙江温州·高三统考期末）如图，以AD所在直线为轴将直角梯形ABCD旋转得到三棱台，其中，．
（1）求证：；
（2）若，求直线AD与平面CDF所成角的正弦值．
题型三：空间平面与平面夹角的求解
（2024·江苏扬州·高三统考开学考试）如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，，，，平面平面．
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成角的余弦值．
1．（2024·河南郑州·高三校联考阶段练习）如图，在长方中，，E为的中点，.
（1）求的长；
（2）求二面角的余弦值.
2．（2024·山东济南·高三济南一中校联考开学考试）如图，在四棱柱中，底面和侧面均是边长为2的正方形.
（1）证明：.
（2）若，求二面角的余弦值.
题型四：空间点、线、面间的距离求解
（2024·四川·校联考一模）如图，在四棱锥中，，，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）已知，且，求点D到平面的距离．
1．（2024·陕西西安·高三统考期末）如图，在圆锥中，是圆的直径，且是边长为4的等边三角形，为圆弧的两个三等分点，是的中点.
（1）证明：平面.
（2）求点到平面的距离.
2．（2023·河南·校联考二模）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面间的距离.
题型五：空间几何体的体积求解
（2024·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考开学考试）如图，在四面体中，
（1）证明：
（2）若，求四面体的体积
1．（2023·四川·校联考三模）如图所示，直角梯形和三角形所在平面互相垂直，，，，，异面直线与所成角为45°.

（1）求证：平面平面；
（2）若点在上，当面积最小时，求三棱锥的体积.
2．（2023·天津西青·西青区杨柳青第一中学校考模拟预测）如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，，，四边形为正方形，平面平面，为的中点，，垂足为．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的正切值；
（3）求三棱锥的体积．
题型六：空间几何体的翻折问题
（2024·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考开学考试）如图，在矩形中，，．沿对角线折起，形成一个四面体，且．
（1）是否存在，使得，同时成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（2）求当二面角的正弦值为多少时，四面体的体积最大．
1．（2024·湖南·长沙一中校联考模拟预测）如图1，在五边形中，连接对角线，，，，将三角形沿折起，连接，得四棱锥（如图2），且为的中点，为的中点，点在线段上.
（1）求证：平面平面；
（2）若平面和平面的夹角的余弦值为，求线段的长.
2．（2023·河北衡水·高三衡水中学校考阶段练习）如图①，在中，分别为的中点，以为折痕，将折起，使点到的位置，且，如图②.
（1）设平面平面，证明：平面；
（2）若是棱上一点（不含端点），过三点作该四棱锥的截面与平面所成的锐二面角的正切值为，求该截面将四棱锥分成上下两部分的体积之比.
题型七：空间动点存在性问题的探究
（2024·上海黄浦·高三大同中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，E为AD的中点．
（1）求证：；
（2）在线段PC上是否存在点M，使得平面PEB？请说明理由
1．（2024·广东梅州·统考一模）已知三棱柱中，，，且，，侧面底面，是的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）在棱上是否存在点，使得与平面的所成角为60°.如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由.
2．（2024·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若
（1）求与平面所成角的正切值；
（2）在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
1．（2024·内蒙古赤峰·高三校考开学考试）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，.
（1）证明：平面.
（2）若，求三棱锥的体积.
2．（2024·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）如图，四棱锥中，，，．
（1）证明：；
（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
3．（2024·吉林·校联考模拟预测）如图，在直四棱柱中，底面为矩形，，高为，O，E分别为底面的中心和的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．
4．（2024·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，E，F分别为DC，BC的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为45°．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）边BC上是否存在点M，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段BM的长；若不存在，请说明理由．
5．（2024·北京·高三北京市第一六一中学校考开学考试）如图，多面体中，四边形为矩形，，，，，，．
（1）求证：⊥；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求出的值，使得，且到平面距离为．
6．（2023·辽宁大连·高三育明高中校考期中）如图，在中，，，，．将沿折起，使点到达点的位置．
（1）请在答题纸的图中作出平面与平面的交线，并指出这条直线（不必写出作图过程）；
（2）证明：平面平面；
（3）若直线和直线所成角的大小为，求四棱锥的体积．
1．（2023·北京·统考高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．
（1）求证：平面PAB；
（2）求二面角的大小．
2．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．
（1）求证：//平面；
（2）若，求三棱锥的体积．
3．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱柱中，平面．
（1）证明：平面平面；
（2）设，求四棱锥的高．
4．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1．
（1）证明：；
（2）已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值．
5．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面BEF；
（3）求二面角的正弦值.
6．（2023·天津·统考高考真题）如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，
（1）求证：//平面；
（2）求平面与平面所成夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
7．（2023·全国·统考高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．
（1）证明：；
（2）点在棱上，当二面角为时，求．
8．（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
（1）证明：；
（2）点F满足，求二面角的正弦值．
1、求异面直线所成角一般步骤：
（1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．
（2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角．
（3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．
（4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．
2、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：
（1）直接平移法(可利用图中已有的平行线)；
（2）中位线平移法；
（3）补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
3、异面直线所成角：若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则.
1、垂线法求线面角（也称直接法）：
（1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O；
（2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；
（3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。
3、公式法求线面角（也称等体积法）：
用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。
公式为：sinθ=ℎl，其中θ是斜线与平面所成的角，ℎ是垂线段的长，l是斜线段的长。
方法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为S射影，
平面和平面所成的二面角的大小为，则COSθ=S射影S.这个方法对于无棱二面角的求解很简便。
4、直线与平面所成角：设是直线的方向向量，是平面的法向量，直线与平面的夹角为.则.
1、几何法
（1）定义法（棱上一点双垂线法）：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．
（2）三垂线法（面上一点双垂线法）：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角
（3）垂面法（空间一点垂面法）：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
（4）射影面积法求二面角
2、向量法：若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则.
1、几何法求点面距
1、定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度；
2、等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离；
3、转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离．
2、向量法求空间距离：
（1）点面距：已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点,过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为
（2）直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。
（3）两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。
1、处理空间几何体体积的基本思路
（1）转：转换底面与高，将原本不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的高转换为容易看出并容易求解的高；
（2）拆：将一个不规则的几何体拆成几个规则的几何体，便于计算；
（3）拼：将小几何体嵌入一个大几何体中，如有时将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原乘一个四棱柱，还台位锥，这些都是拼补的方法。
2、求体积的常用方法
（1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算；
（2）割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算；
（3）等体积法：选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面作为三棱锥的底面进行等体积变换
翻折问题的两个解题策略
1、确定翻折前后变与不变的关系：画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决
2、确定翻折后关键点的位置：所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算
借助于空间直角坐标系，把几何对象上动态点的坐标用参数(变量)表示，将几何对象坐标化，这样根据所要满足的题设要求得到相应的方程或方程组．若方程或方程组在题设范围内有解，则通过参数的值反过来确定几何对象的位置；若方程或方程组在题设范围内无解，则表示满足题设要求的几何对象不存在．