专题03 立体几何（文）——【备考2023】高考数学大题精练 （全国通用）（原卷版+解析版）

专题03 立体几何（文） 

立体几何大题在高考中位于18或者19题位置，并且长时间位于第19题位置，是高考中占据重要位置的“过关”型大题，考察知识点的重点难点很稳定，以中等偏难为主。文科立体几何大题，主要考察空间点线面关系的证明与体积的求解，考察线线、线面、面面平行与垂直的证明，考察点到面的距离和几何体的表面积与体积求解。主要涉及到空间点线面相互关系的转化与计算，多把空间关系转化为平面关系再进行计算求解证明。

常考题型：空间平行关系的证明，空间垂直关系的证明，求几何体的体积，点到面的距离及其应用，复杂几何体“斜棱柱”综合应用，翻折题型

一、空间平行关系的证明

例题、如图，多面体ABCDEF的面ABCD是正方形，其中心为M．平面平面ABCD，，，．

(1)求证：平面AEFB；

(2)在内（包括边界）是否存在一点N，使得平面CEF？若存在，求点N的轨迹，并求其长度；若不存在，请说明理由．

证明平行主要证明线面平行，常见思维：

1.利用平移法做出平行四边形

2.利用中位线做出平行四边形

3.利用平行原理做出过直线的平面，证明面面平行，再转而得到线面平行

（陕西省宝鸡教育联盟2022-2023学年高三下学期教学质量检测（五）文科数学试题）如图，在三棱柱中，平面平面ABC，四边形是边长为2的菱形，为等边三角形，，E为BC的中点，D为的中点，P为线段AC上的动点．

(1)若平面，请确定点在线段上的位置；

(2)若点为的中点，求三棱锥的体积．

1.（四川省雅安市2023届高三第一次诊断性考试数学（文）试题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面ABC，，，E，F分别为棱AB和的中点.

(1)在棱上是否存在一点D，使得平面EFC？若存在，确定点D的位置，并给出证明；若不存在，试说明理由；

(2)求三棱锥的体积.

2.（上海市闵行区2023届高三一模数学试题）如图，已知圆柱的底面半径为1，正△ABC内接于圆柱的下底面圆O，点是圆柱的上底面的圆心，线段是圆柱的母线．

(1)求点C到平面的距离；

(2)在劣弧上是否存在一点D，满足平面？若存在，求出∠BOD的大小；若不存在，请说明理由．

1.(2022年高考全国甲卷数学（文）真题)小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．

(1)证明：平面；

(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．

2.(全国普通高等学校招生统一考试文科数学（辽宁卷）

如图，

（I）求证

（II）设

二、空间垂直关系的证明

例题、(河南省郑州市2023届高三第一次质量预测文科数学试题如图，在四棱锥中，底面ABCD，⊥，，，，点E为棱PC的中点．

(1)证明：平面⊥平面PCD；

(2)求四棱锥的体积；

证明垂直，核心思维在于证明线面垂直：

1“三垂线定理”这个是最常用的模型

2.可以用垂面法来证明线面垂直，寻找垂面是关键。

3.面面垂直，主要在于寻找其中一个平面板的垂线（及其平行线）

如图，三棱柱中，侧面为矩形，是边长为2的菱形，，．

(1)证明：平面平面；

(2)若，求三棱柱的体积．

（上海市上海中学2022届高三下学期高考模拟3数学试题）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，点在平面内的射影为A，且，为中点.

(1)证明：平面

(2)证明：平面平面.

1.（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，.

（1）求三棱锥的体积；

（2）已知D为棱上的点，证明：.

2.（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．

（1）证明：平面平面；

（2）若，求四棱锥的体积．

三、求几何体的体积

例题、已知两个四棱锥与的公共底面是边长为4的正方形，顶点，在底面的同侧，棱锥的高，，分别为AB，CD的中点，与交于点E，与交于点F.

(1)求证：点E为线段的中点；

(2)求这两个棱锥的公共部分的体积.

求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．对于空间中垂直关系（线线、线面、面面）的证明经常进行等价转化.

（陕西省铜川市王益中学2023届高三下学期一模文科数学试题）如图，四棱锥中，底面，，且．

(1)求证：；

(2)若四棱锥的体积为1，求四棱锥的表面积．

1.（上海市七宝中学2022届高三下学期高考模拟数学试题）如图，在四棱锥中，底面是矩形，垂直于平面，，，，点、分别在线段、上，其中是中点，，连接．

(1)当时，证明：直线平行于平面；

(2)当时，求三棱锥的体积．

2.（四川省营山县第二中学2023届高三第六次高考模拟检测数学（文科）试题）如图，，，为圆柱底面圆周上的三个不同的点，，，分别为圆柱的三条母线，且底面圆的半径为

(1)若是底面圆的一条直径，证明：.

(2)若，且四边形的周长为，求三棱锥体积的最大值.

1.（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）如图，四面体中，，E为AC的中点．

(1)证明：平面平面ACD；

(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．

2.（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．

（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；

（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积.

四、点到面的距离及其应用

例题、（江西省五市九校协作体2023届高三第一次联考文科数学试题变式题16-20）如图，D，O是圆柱底面的圆心，是底面圆的内接正三角形，为圆柱的一条母线，P为的中点，Q为的中点，

(1)若，证明：平面；

(2)设，圆柱的侧面积为，求点B到平面的距离.

求点面距的求解方法比较多，常用的技巧：

（1）若直接能够确定点在平面的射影，可考虑用直接法，找出点面距.一般在一些规则的几何体中，顶点在底面的射影比较容易确定.如有时要利用两个平面垂直的性质，在其中一个平面内作两个平面交线的垂线即得；

（2）如果能够构造出三棱锥，要找的点面距恰好是三棱锥的高，此时利用等体积法比较简单，但是应该明确另一个顶点到对应底面的距离和底面面积两个量，才能顺利求解，计算过程较为麻烦，但是不用添加辅助线找垂线段.

（3）若不易找出射影位置，可考虑利用转移的方法，即把不易求的点到平面的距离借助转移手法，变为求另外一点到平面的距离，然后通过这两点到平面的距离的数量关系求得所求距离的方法，常用的手段有平行转移和等比例转移.

（四川省乐山市高中2023届高三第一次调查研究考试文科数学试题）如图，在四棱锥中，平面，底面满足，且，，三角形的面积为

(1)画出平面和平面的交线，并说明理由

(2)求点到平面的距离

1.（宁夏六盘山高级中学2023届高三上学期期末考试数学（文）试题）如图，多面体中，四边形为菱形，平面，且.

(1)求证：；

(2)求点到平面的距离.

2.（陕西省咸阳市乾县第一中学2023届高三下学期一模文科数学试题）如图，直三棱柱中，，为上的中点.

(1)证明：平面平面;

(2)若，求点到平面的距离.

1.（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.

（1）证明：MN∥平面C1DE；

（2）求点C到平面C1DE的距离．

2.如图，四棱锥中，底面为矩形，面，为的中点．

（1）证明：平面;

（2）设，，三棱锥的体积 ，求A到平面PBC的距离．

五、复杂几何体：斜棱柱综合应用

例题、（河南省商丘市部分学校2022-2023学年高中毕业班阶段性测试（三）文科数学试题）如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，侧棱的长为，，分别是棱，的中点，平面平面，且．

(1)求证：；

(2)若三棱柱的侧面积为，求它的体积．

对于文科而言，复杂的几何体之一“斜棱柱”，一般条件中必有面面垂直，借助于面面垂直，可构建线面垂直，以及线线垂直，也能借此求解出斜棱柱的高等其他数据。

如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．

（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；

（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱锥B–EB1C1F的体积．

1.（四川省南充高级中学2023届高考模拟检测七文科数学试题）如图， 在平行六面体中，分别是的中点， 侧面平面．

(1)求证：平面;

(2)试求三棱锥 体积．

2.（四川省成都市2023届高三诊断性检测数学（文科）试题）由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示．四边形为正方形，为与的交点，为的中点，平面．

（1）证明：平面；

（2）设是的中点，证明：平面平面．

1.（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））在平行六面体中，,．

求证：（1）；

（2）．

2.（普通高等学校招生考试数学试题（上海卷））如图所示，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点，交于点．

（1）求证：；

（2）在任意中有余弦定理：．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．

六、综合应用：翻折型

例题、某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”（如图2）.

(1)若O是四边形对角线的交点，求证：平面；

(2)若，求三棱锥的体积.

翻折题型，翻折前在同一个平面内，点、线之间相对位置关系不变。

解答翻折题时，要先研究翻折前的平面图形，然后对应平线图形研究翻折后的立体图形，寻找折叠前后图形中的不变量是解决问题的关键之一。要通过表面，截面，展开，射影等等手段，将空间中能够的条件尽量集中在同一平面中

（四川省雅安市2023届高三零诊考试数学（文）试题）如图①，为边长为6的等边三角形，E，F分别为AB，AC上靠近A的三等分点，现将沿EF折起，使点A翻折至点P的位置，满足，如图②所示．

(1)若H为PC上靠近P的一个三等分点，求证：直线平面PBE；

(2)求四棱锥的体积．

1.（贵州省贵阳市2023届高三下学期适应性考试（一）数学（文）试题）如图①，在梯形中，，E为中点，现沿将折起，如图②，其中F，G分别是的中点．

(1)求证：平面；

(2)若，求点B到平面的距离．

2.（2023届高三全国学业质量联合检测2月大联考文科数学试题）如图①，在平面四边形中，，，．将沿着折叠，使得点到达点的位置，且二面角为直二面角，如图②．已知分别是的中点，是棱上的点，且与平面所成角的正切值为．

(1)证明：平面平面；

(2)求四棱锥的体积．

1.（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））图1是由矩形和菱形组成的一个平面图形，其中， ，将其沿折起使得与重合，连结，如图2.

（1）证明图2中的四点共面，且平面平面；

（2）求图2中的四边形的面积.

2.（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷））如图，在平行四边形中，，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且．

（1）证明：平面平面；

（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．