甘肃省天水市秦安县兴国镇初级中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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考试范围：第16章分式；考试时间：120分钟；
一、单选题（每小题3分）
1. 分式有意义，则x应满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式有意义的条件是解题关键．直接利用分式有意义则分母不为0，进而得出答案．
【详解】解：由题意得：，
，
故选：D．
2. 下列各式：，，，中，是分式的共有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的定义：形如，且B中含有字母，这样的式子叫做分式．注意π是常数，不是字母．掌握分式的定义是解题的关键．根据分式的概念依次判断即可．
【详解】解：，形式为，且B中含有字母，是分式；
，形式为，但B中不含字母，不是分式；
，形式为，且B中不含有字母，不是分式；
，形式为，且B中含有字母，是分式；
故一共有2个分式．
故选B
3. 化简的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查是分式的乘法运算，掌握运算法则是解本题的关键，先把能够分解因式的分子分解因式，再约分即可．
【详解】解：
；
故选B
4. 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查函数的定义：一般地，在某一变化过程中，有和两个变量，如果对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，那么就说是的函数．根据定义即可判断．
【详解】解：观察图象可知，C中的图象，当时，对于的每一个取值，都有两个与之对应的值，不符合函数的定义
故选：C
5. 如果将分式中的字母，的值分别扩大为原来的3倍，那么分式的值（）
A. 不改变B. 扩大为原来的3倍
C. 缩小为原来的6倍D. 缩小为原来的3倍
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分式的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质即可求解．
【详解】解：分式中的字母的值分别扩大为原来的3倍，
，
分式的值不改变，
故选：A．
6. 近几年，随着我国科技的快速发展，芯片技术已全面融入我们的生活中，其中的芯片应用最为广泛．数据“”用科学记数法表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
故选：．
7. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用合并同类项，积的乘方，负整数指数幂，完全平方公式计算即可．
【详解】解：，故选项A计算错误，不符合题意；
，故选项B计算错误，不符合题意；
，故选项C计算正确，符合题意；
，故选项D计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项，积的乘方，负整数指数幂，完全平方公式，熟记运算性质是解题的关键．
8. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式“”是解题关键．
【详解】解：
故选∶ B．
9. 《九章算术》中记载：“今有兔先走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止．问犬不止，复行几何步及之？”大意是说：兔子先出发100步，然后狗出发，狗跑了250步后，距离兔子还有30步，问：如果狗不停的话，再跑多少步可以追到兔子？若设如果狗不停的话，再跑x步可以追到兔子，则可列方程为（ ）
A. ＝B. ＝C. ＝D. ＝
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得狗与兔子的速度比为250：180，设狗再跑x步，可追上兔子，此时兔子跑的步数为：（x-30）步，根据题意列出方程，即可求解．
【详解】解：兔子先出发100步，狗跑了250步后距兔子30步，
∴兔子跑了250-100+30=180（步），
即狗与兔子的速度比为250：180，
设狗再跑x步，可追上兔子，此时兔子跑的步数为：（x-30）步，根据题意得：
＝．
故选：D
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意得到狗与兔子的速度比为250：180是解题的关键．
10. 按一定规律排列的单项式：则第 n 个单项式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查数字变化的规律，观察所给单项式的系数和次数，发现规律即可解决问题．
【详解】由题知，第一个可以看成，后面的单项式的系数依次增大倍，且单项式的系数依次，
所以第n个单项式的系数为：；
故选：A．
二、填空题（每小题4分）
11. 当______，分式的值为零．
【答案】-1
【解析】
【分析】根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0，列式求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
∴x＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了分式值为0的条件．用到的知识点为：分式的值为零，则分子为0，同时要考虑分母不为0这个条件．
12. 分式，的最简公分母是_______________．
【答案】x(x＋2)(x－2)
【解析】
【分析】根据确定最简公分母的方法是：取各分母系数的最小公倍数；凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母，先把分母因式分解，即可求出答案．
【详解】∵，，
∴，的最简公分母是x（x+2）（x-2）；
故答案为x（x+2）（x-2）．
【点睛】此题考查了最简公分母，关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握；确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
13. 函数的自变量的取值范围是 ________
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查求函数自变量的取值范围，根据算术平方根的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案．
【详解】解：由题意得：且，
解得：
故答案为：.
14. 关于分式的说法：①当取时，这个分式有意义，则．②当时，分式的值一定为零．③若这个分式的值为零，则．④当取任何值时，分式有意义，则．其中正确的有________．（填序号）
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据分式的定义，性质，化简方法即可求解．
【详解】解：①当取时，这个分式有意义，指的是分母不能为零，则，故符合题意；
②当时，分式的值一定为零，若，则分式无意义，故不符合题意；
③若这个分式的值为零，则，且分母不能为零，则，符合题意；
④当取任何值时，分式有意义，则，则，故符合题意；
综上所述，正确的有①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查分式的基础知识，掌握分式的定义，分式的性质，方程的知识是解题的关键．
15. 一辆货车送货上山，并按原路下山，上山速度为a千米/时，下山速度为b千米/时，求货车上、下山的平均速度是________．
【答案】千米/时
【解析】
【分析】本题考查了列代数式，读懂题意，得到平均速度的等量关系是解决本题的关键，根据平均速度总路程总时间，设单程的路程为x，表示出货车上山下山的总时间，把相关数值代入化简即可．
【详解】解：设单程的路程为x，
上山的时间为小时，下山的时间为小时，
货车上、下山的平均速度是千米/时，
故答案为：千米/时．
16. 若关于x方程的解是x＝1，则m的值是________．
【答案】－
【解析】
【分析】根据方程的解的定义，把x=1代入原方程，原方程左右两边相等，从而原方程转化为含有m的新方程，解此新方程可以求得m的值．
【详解】把x=1代入原方程得，
去分母得，10m+15=4m-4
解得，m=-．
故答案为-.
【点睛】解题关键是要掌握方程的解的定义，由已知解代入原方程得到新方程，然后解答．
三、解答题（每小题4分）
17. 计算：
（1）；
（2）
（3）；
（4）；
【答案】（1）5 （2）
（3）0 （4）
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算及分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）利用实数的混合运算法则进行计算即可；
（2）利用负指数幂及同底数数幂、幂的乘方运算法则进行计算即可；
（3）利用分式的混合运算法则进行计算即可；
（4）利用分式的混合运算法则进行计算即可．
【小问1详解】
原式，
；
【小问2详解】
原式，
；
【小问3详解】
原式，
，
；
【小问4详解】
原式
18. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）无解
【解析】
分析】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
（1）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；
（2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【小问1详解】
，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程根；
【小问2详解】
，
，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的增根，
原方程无解．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，3．
【解析】
【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
当时，
原式．
20. 高铁的蓬勃发展为我们的出行带来了便捷． 已知某市到天津的路程约为，一列动车组列车的平均速度是普快列车的倍，运行时间比普快列车少，求该列动车组列车的平均速度．
（1）设普快列车的速度为，则用含的式子把表格补充完整：
（2）列出方程，完成本题解答．
【答案】（1）；；；
（2）该列动车组列车的平均速度
【解析】
【分析】本题考查分式的方程的知识，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，即可．
（1）根据动车组列车的平均速度是普快列车的倍，设普快列车的速度为，则动车组列车的速度为：；根据路程等于速度乘以时间，即可；
（2）根据动车组运行时间比普快列车少，列出方程，即可．
【小问1详解】
设普快列车的速度为
∵动车组列车的平均速度是普快列车的倍
∴动车组列车的速度为：；
∴动车组列车运行的时间为：；普快列车运行的时间为：，
故答案为：，；，．
【小问2详解】
∵动车组运行时间比普快列车少，
∴，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意，
∴列动车组列车的平均速度．
21. 解方程：
①的解是；
②的解是；
③的解是；
④的解是 ；
（1）请完成上面的填空；
（2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解 ；
（3）请你用一个含正整数 的式子表述上述规律，并写出它的解?
【答案】（1）
（2）的解是；
（3）的解是．
【解析】
【分析】本题考查分式方程的解以及规律的探索，熟练掌握分式方程的解的求法并观察出方程的解与分子的关系是解题的关键．
（1）由题意把方程两边都乘以把分式方程化为整式方程，然后求解即可；
（2）由题意先观察①②③④中的方程及其解，根据前四个方程的规律可得第⑤个方程及其解；
（3）根据题干中各个方程的规律，可写出含正整数n的方程，求解即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
经检验，为方程的解，
故答案为：．
小问2详解】
解：由题意得：⑤的解是；
故答案为：的解是；
【小问3详解】
解：由题意得：第个式子及其解为：的解是．
22. 若关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围．
【答案】且
【解析】
【分析】根据分式方程的求解方法，注意分母不为零，且解为非负数的条件．
【详解】解：方程两边都乘以，得：，
解得：，
∵，即：，
∴，
又∵分式方程的解为非负数，
∴，
∴
∴的取值范围是且．
【点睛】本题主要考查解分式方程和一元一次不等式，解题的关键是注意分式方程隐含的分母不为零．
23. 关于x的分式方程
（1）若方程的增根为，求m的值；
（2）若方程有增根，求m的值；
（3）若方程无解，求m的值.
【答案】（1）
（2）或
（3）1或或
【解析】
【分析】（1）根据分式方程的性质先去分母，再移项并合并同类项，结合题意，通过求解一元一次方程，即可得到答案；
（2）根据分式方程增根的性质，首先得方程的增根为或，再通过计算即可得到答案；
（3）结合（1）的结论，根据分式方程和一元一次方程的性质计算，即可得到答案.
【小问1详解】
∵，
去分母得：，
移项并合并同类项，得：，
当方程的增根为时，，
∴；
【小问2详解】
当方程有增根时，方程的增根为或，
当时，，
当时，，
解得：，
∴或；
【小问3详解】
∵
当方程无增根，且时，方程无解，
∴得，
当方程有增根，且时，，方程无解，
当方程有增根，且时，，方程无解，
∴当或或时，方程无解．
【点睛】本题考查了分式方程的知识；解题的关键是熟练掌握分式方程的性质，从而完成求解.
24. 已知4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0，且xyz≠0，求的值．
【答案】-13
【解析】
【分析】由已知条件可组成一个关于“”的二元一次方程组，解方程组可得到用含“”的式子表达的“”，代入后边的式子，化简可得其值．
【详解】解：由题意可得： ，解得： ,
∵，
∴，
∴
25. 阅读下面材料，解答后面的问题．
解方程：－＝0.
解：设y＝，则原方程可化为y－＝0，方程两边同时乘y，得y2－4＝0，解得y1＝2，y2＝－2.
经检验，y1＝2，y2＝－2都是方程y－＝0的解．
当y＝2时，＝2，解得x＝－1；当y＝－2时，＝－2，解得x＝.
经检验，x1＝－1，x2＝都是原分式方程的解．所以原分式方程的解为x1＝－1，x2＝.
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
(1)若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为________________；
(2)若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为________________；
(3)模仿上述换元法解方程：－－1＝0.
【答案】（1）；（2）；（3）x＝－.
【解析】
【分析】（1）将所设的y代入原方程即可；
（2）将所设的y代入原方程即可；
（3）利用换元法解分式方程，设y＝，将原方程化为y−＝0，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可．
【详解】（1）将y＝代入原方程，则原方程化为−＝0；
（2）将y＝代入方程，则原方程可化为y−＝0；
（3）原方程可化为－＝0，设y＝，则原方程可化为y－＝0，
方程两边同时乘y，得y2－1＝0，解得y1＝1，y2＝－1，
经检验，y1＝1，y2＝－1都是方程y－＝0的解；
当y＝1时，＝1，该方程无解；当y＝－1时，＝－1，解得x＝－，
经检验，x＝－是原分式方程的解，
所以原分式方程的解为x＝－.
【点睛】本题考查了分式方程的解法，关键是如何换元，题目比较好，有一定的难度．
路程
速度
时间
动车组列车
普快列车