云南省昆明市部分学校2024届高三下学期二模考试数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 （ ）
A. B. 1C. D. i
2. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知直线与圆相交于两点，若，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
4. 高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，成绩都在内，估计所有参赛同学成绩的第75百分位数为（ ）

A. 65B. 75C. 85D. 95
5. 已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ）
A. eB. 1C. D.
6. 已知四棱锥底面是边长为2的正方形，侧棱长都等于2，则该四棱锥的内切球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，过原点的直线与椭圆交于两点，椭圆上异于的点满足，，，则椭圆的离心率为（ ）

A. B. C. D.
8. 甲、乙等6人去三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，若甲、乙两人不去同一景区游览，则不同的游览方法的种数为（ ）
A. 342B. 390C. 402D. 462
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 已知函数，则（ ）
A.
B.
C. 在上单调递减
D. 的图象向左平移个单位长度后关于轴对称
10. 在中，为的中点，点在线段上，且，将以直线为轴顺时针转一周围成一个圆锥，为底面圆上一点，满足，则（ ）
A.
B. 在上的投影向量是
C. 直线与直线所成角的余弦值为
D. 直线与平面所成角的正弦值为
11. 已知非常数函数的定义域为，且，则（ ）
A. B. 或
C. 是上的增函数D. 是上的增函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，若，则______.
13. 在中，内角所对的边分别为，若成等比数列，且，则_______，_______．
14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作一条渐近线的垂线交双曲线的左支于点，已知，则双曲线的渐近线方程为_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知是等差数列，，且成等比数列．
（1）求通项公式；
（2）若数列满足，且，求的前项和．
16. 如图，在直三棱柱中，已知.

（1）当时，证明：平面.
（2）若，且，求平面与平面夹角余弦值.
17. 为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类.已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为.
（1）设小明同学在两次借阅过程中借阅“期刊杂志”的次数为X，求X的分布列与数学期望；
（2）若小明同学第二次借阅“文献书籍”，试分析他第一次借哪类图书的可能性更大，并说明理由.
18. 已知是抛物线上任意一点，且到的焦点的最短距离为.直线与交于两点，与抛物线交于两点，其中点在第一象限，点在第四象限.
（1）求抛物线的方程.
（2）证明：
（3）设的面积分别为，其中为坐标原点，若，求.
19. 已知函数.
（1）判断的单调性；
（2）当时，求函数的零点个数.