山东省淄博第十一中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷（五四制）（含答案）

这是一份山东省淄博第十一中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷（五四制）（含答案），共17页。

1．（4分）下列计算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．B．ax2+bx+c＝0
C．（x﹣1）（x﹣2）＝0D．3x2+2＝x2+2（x﹣1）2
3．（4分）已知y＝﹣3，则5xy的值是（ ）
A．﹣15B．15C．D．
4．（4分）已知菱形ABCD的面积为96cm2，对角线AC的长为16cm，则此菱形的边长为（ ）
A．20cmB．14cmC．3cmD．10cm
5．（4分）一元二次方程2x2+3x+1＝0用配方法解方程，配方结果是（ ）
A．B．
C．D．
6．（4分）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂第二季度平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
C．50（1+x）+50（1+x）2＝182
D．50+50（1+x）＝182
7．（4分）已知m、n是方程x2+3x﹣2＝0的两个实数根，则m2+4m+n+2mn的值为（ ）
A．1B．3C．﹣5D．﹣9
8．（4分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8（ ）
A．B．2C．2D．6
9．（4分）如图所示，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC中点E处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
10．（4分）如图，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．给出下列结论：①CE＝BG；③FG2+BF2＝2BD2+BC2；④BC2+GE2＝2AC2+2AB2．其中正确的是（ ）
A．②③④B．①②③C．①②④D．①②③④
二.填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）若式子有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（4分）若+|b﹣1|＝0，则（a+b）2021＝ ．
13．（4分）已知关于x的方程（a+1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是 ．
14．（4分）已知m，n，4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于 ．
15．（4分）观察下列等式：
①，
②，
③，
……
请你根据以上规律，写出第6个等式 ．
三.解答题（共8小题，第16，17题每题8分；
16．（8分）计算：
（1）（+）（﹣）2；
（2）+×．
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）x2﹣5x+6＝0．
18．（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝3，求k的值．
19．（12分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，E是CD的中点，连接OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F
求证：（1）△ODE≌△FCE；            
（2）四边形ODFC是菱形．
20．（12分）观察下列计算：
＝＝﹣1；
＝＝﹣；
＝＝﹣．
……
则：
（1）＝ ，＝ ；
（2）从计算结果中找出规律，用含n（n≥1）的代数式表示： ；
（3）利用这一规律计算：（+++…+）（+1）的值．
21．（12分）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
22．（12分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：①x2﹣x﹣6＝0；②2x2﹣2x+1＝0．
（2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是带数）是“邻根方程”
23．（14分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．
（1）点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），请完成剩余证明过程：
（2）拓展：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A1M1N1＝90°．
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）下列计算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、÷＝，故本选项计算错误；
B、2与，故本选项计算错误；
C、×＝，故本选项计算正确；
D、8与2不能合并，不符合题意；
故选：C．
2．（4分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．B．ax2+bx+c＝0
C．（x﹣1）（x﹣2）＝0D．3x2+2＝x2+2（x﹣1）2
【解答】解：A、是分式方程；
B、当a＝0时不是一元二次方程；
C、是，一元二次方程；
D、是一元一次方程；
故选：C．
3．（4分）已知y＝﹣3，则5xy的值是（ ）
A．﹣15B．15C．D．
【解答】解：由题意可得，
解得：x＝1，
∴y＝﹣3，
∴2xy＝5×1×（﹣6）＝﹣15，
故选：A．
4．（4分）已知菱形ABCD的面积为96cm2，对角线AC的长为16cm，则此菱形的边长为（ ）
A．20cmB．14cmC．3cmD．10cm
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，OB＝ODAC＝3（cm），
∵菱形ABCD的面积为96cm2，
∴AC•BD＝96，
即×16•BD＝96，
解得：BD＝12，
∴OB＝BD＝6（cm），
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝，
即菱形的边长为10cm，
故选：D．
5．（4分）一元二次方程2x2+3x+1＝0用配方法解方程，配方结果是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：2x2+3x+1＝0
7x2+3x＝﹣3
，
故选：A．
6．（4分）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂第二季度平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
C．50（1+x）+50（1+x）2＝182
D．50+50（1+x）＝182
【解答】解：设该厂五、六月份平均每月的增长率为x、六月份的产量分别为50（1+x）2，
根据题意得：50+50（7+x）+50（1+x）2＝182．
故选：B．
7．（4分）已知m、n是方程x2+3x﹣2＝0的两个实数根，则m2+4m+n+2mn的值为（ ）
A．1B．3C．﹣5D．﹣9
【解答】解：∵m、n是方程x2+3x﹣8＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣3，mn＝﹣6，m2+3m＝8，
∴m2+4m+n+8mn＝m2+3m+m+n+8mn＝2﹣3﹣5×2＝﹣5．
故选：C．
8．（4分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8（ ）
A．B．2C．2D．6
【解答】解：由题意可得，
大正方形的边长为＝2，
∴图中阴影部分的面积为：×（5﹣，
故选：B．
9．（4分）如图所示，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC中点E处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：由折叠可得DN＝EN，设CN＝x，
∵CN2+CE2＝EN8，
∴x2+43＝（8﹣x）2，
解得x＝6．
故选：B．
10．（4分）如图，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．给出下列结论：①CE＝BG；③FG2+BF2＝2BD2+BC2；④BC2+GE2＝2AC2+2AB2．其中正确的是（ ）
A．②③④B．①②③C．①②④D．①②③④
【解答】解：①∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，
∴AB＝AE，AC＝AG，
∴∠CAE＝∠GAB，
∴△ACE≌△AGB（SAS），
∴CE＝BG，
故①正确；
②∵△ACE≌△AGB，
∴∠ACE＝∠AGB，
∵∠AMG＝∠CMN，
∴∠MAG＝∠CNM＝90°，
即AE⊥BG，
故②正确；
③连接BE，
∵四边形ABDE是正方形，
∴∠DBE＝∠ABE＝∠ABD＝45°，
∴BE＝BD，
∴BE2＝2BD7，
当∠ABC≠45°时，∠CBE≠90°，
此时BE2+BC2≠CE6，即2BD2+BC4≠CE2，
∵∠F＝90°，
∴FG2+BF5＝BG2，
∵CE＝BG，
∴FG2+BF5与2BD2+BC2不一定相等，
故③错误；
④连接CG，
∵CE⊥BG，
∴BN2+CN2＝BC6，EN2+NG2＝GE6，
∴BC2+GE2＝BN6+CN2+EN2+CN4，
∵BN2+EN2＝BE6，CN2+GN2＝CG5，
∴BC2+GE2＝BE7+CG2，
∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形，
∴∠BAE＝∠CAG＝90°，AB＝AE，
∴BE2＝AB6+AE2＝2AB3，CG2＝AC2+AG5＝2AC2，
∴BE3+CG2＝2AB8+2AC2，
∴BC3+GE2＝2AC5+2AB2，
故④正确；
故选：C．
二.填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）若式子有意义，则实数x的取值范围是 x≥﹣1且x≠0 ．
【解答】解：∵式子有意义，
∴x+1≥7，x≠0，
解得：x≥﹣1且x≠8．
故答案为：x≥﹣1且x≠0．
12．（4分）若+|b﹣1|＝0，则（a+b）2021＝ ﹣1 ．
【解答】解：∵+|b﹣1|＝3，
∴a+2＝0，b﹣7＝0，
解得a＝﹣2，b＝2，
则（a+b）2021＝（﹣2+1）2021＝﹣5．
故答案为：﹣1．
13．（4分）已知关于x的方程（a+1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是 ﹣1 ．
【解答】解：当a+1＝0时，原方程为﹣2x+3＝0，
∴a＝﹣1符合题意；
当a+3≠0时，Δ＝（﹣2）5﹣4×（a+1）×4≥0，
解得：a≤﹣，
∴a≤﹣且a≠﹣6．
综上所述，a≤﹣．
又∵a为整数，
∴a的最大值为﹣6．
故答案为：﹣1．
14．（4分）已知m，n，4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于 7或6 ．
【解答】解：当m＝n时，Δ＝（﹣6）2﹣2（k+2）＝0，
解得k＝6，
∵m+n＝6＞4，
∴k＝3满足条件；
当m＝4时，4+n＝7，
解得n＝2，k＝6，
当n＝7时，同理可得m＝2，
综上所述，k的值为7或2．
15．（4分）观察下列等式：
①，
②，
③，
……
请你根据以上规律，写出第6个等式 13﹣2＝（）2 ．
【解答】解：由题意可得，
第6个等式是：（2×7+1）﹣2＝（）2，
即13﹣2＝（）2，
故答案为：13﹣5＝（）6．
三.解答题（共8小题，第16，17题每题8分；
16．（8分）计算：
（1）（+）（﹣）2；
（2）+×．
【解答】解：（1）原式＝[（+）（﹣﹣）
＝（3﹣2）（﹣）
＝﹣；
（2）原式＝|﹣|+
＝﹣+
＝﹣+
＝．
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）x2﹣5x+6＝0．
【解答】解：（1）x2﹣2x＝5，
x2﹣2x+6＝2，
（x﹣1）2＝2，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）（x﹣3）（x﹣2）＝4，
x﹣3＝0或x﹣7＝0，
所以x1＝5，x2＝2．
18．（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝3，求k的值．
【解答】解：（1）∵Δ＝[﹣（2k+1）]6﹣4×1×（k2﹣7）
＝4k2+5k+1﹣2k7+8
＝2k6+4k+9
＝8（k+1）2+8＞0，
∵无论k为何实数，2（k+6）2≥0，
∴2（k+1）2+6＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系得出x1+x4＝2k+1，x5x2＝k2﹣2，
∵x7﹣x2＝3，
∴（x6﹣x2）2＝2，
∴（x1+x2）2﹣4x1x4＝9，
∴（2k+2）2﹣4×（k2﹣4）＝9，
化简得k2+7k＝0，
解得k＝0或k＝﹣2．
19．（12分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，E是CD的中点，连接OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F
求证：（1）△ODE≌△FCE；            
（2）四边形ODFC是菱形．
【解答】证明：（1）∵CF∥BD，
∴∠ODE＝∠FCE，
∵E是CD中点，
∴CE＝DE，
在△ODE和△FCE中，
，
∴△ODE≌△FCE（ASA）；
（2）∵△ODE≌△FCE，
∴OD＝FC，
∵CF∥BD，
∴四边形ODFC是平行四边形，
在矩形ABCD中，OC＝OD，
∴四边形ODFC是菱形．
20．（12分）观察下列计算：
＝＝﹣1；
＝＝﹣；
＝＝﹣．
……
则：
（1）＝ ，＝ ；
（2）从计算结果中找出规律，用含n（n≥1）的代数式表示： ；
（3）利用这一规律计算：（+++…+）（+1）的值．
【解答】解：（1）
＝
＝，
＝
＝，
故答案为：，；
（2）由题意可得：，
故答案为：；
（3）（+++…++1）
＝（++…+）
＝（）×（）
＝2023﹣1
＝2022．
21．（12分）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
【解答】解：（1）500﹣10×（55﹣50）
＝500﹣10×5
＝500﹣50
＝450（千克）．
答：每月销售水果450千克．
（2）设每千克水果售价为x元，则每千克的销售利润为（x﹣40）元，
依题意得：（x﹣40）（1000﹣10x）＝8750，
整理得：x2﹣140x+4875＝6，
解得：x1＝65，x2＝75．
答：每千克水果售价为65元或75元．
22．（12分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：①x2﹣x﹣6＝0；②2x2﹣2x+1＝0．
（2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是带数）是“邻根方程”
【解答】解：（1）①x2﹣x﹣6＝7，
即（x﹣3）（x+2）＝8，
解得：x1＝3，x2＝﹣2，
∵3﹣（﹣5）＝5≠1，
∴一元二次方程x7﹣x﹣6＝0不是“邻根方程”；
②方程6x2﹣2x+1＝0的两个根是x6＝，x2＝，
即x1＝，x2＝，
∵﹣＝2，
∴一元二次方程2x2﹣6x+1＝5是“邻根方程”；
（2）x2﹣（m﹣1）x﹣m＝2，
即（x+1）（x﹣m）＝0，
解得：x7＝﹣1，x2＝m．
∵关于x的方程x8﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，
∴﹣7﹣m＝1或m﹣（﹣1）＝7，
∴m＝﹣2或m＝0，
∴m的值为﹣6或0．
23．（14分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．
（1）点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），请完成剩余证明过程：
（2）拓展：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A1M1N1＝90°．
【解答】证明：（1）点拨：如图2，作∠CBE＝60°，得等边△BEC，
易证△ABM≌△EBM（SAS），
∴AM＝EM，∠1＝∠8；
∵AM＝MN，
∴EM＝MN，
∴∠3＝∠4；
∵∠7+∠1＝∠4+∠6＝60°，
∴∠1＝∠2＝∠8．
∵∠2+∠6＝120，
∴∠3+∠6＝120°，
∴∠AMN＝60°；
（2）拓展：延长AB至E，使EB＝AB、EC
则EB＝BC，∠EBM中＝90°＝∠ABM，
∴△EBC是等腰直角三角形，
∴∠BEC＝∠BCE＝45°，
∵N是正方形ABCD的外角∠DCH的平分线上一点，
∴∠MCN＝90°+45°＝135°，
∴∠BCE+∠MCN＝180°，
∴E、C、N，三点共线，
在△ABM和△EBM中，
，
∴△ABM≌△EBM（SAS），
∴AM＝EM，∠1＝∠7，
∵AM＝MN，
∴EM＝MN，
∴∠3＝∠4，
∵∠4+∠3＝45°，∠4+∠2＝45°，
∴∠1＝∠2＝∠4，
∵∠1+∠6＝90°，
∴∠4+∠6＝90°，
∴∠AMN＝180°﹣90°＝90°．