2024年江苏省盐城市大丰区中考数学模拟试卷（含解析）

这是一份2024年江苏省盐城市大丰区中考数学模拟试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.实数−2022的绝对值是
( )
A. −2022B. 2022C. 12022D. −12022
2.垃圾分类可以有效减少垃圾对环境的污染，因此我们应增强环保意识，积极参与垃圾分类，共享低碳生活．下列有关垃圾分类的图标，是轴对称图形的有( )
A. B. C. D.
3.计算−12ac22的结果是
( )
A. −12a2c4B. 12a2c2C. 14a2c4D. 14a2c2
4.为了发扬“中国航天精神”，年的4月24日设立为“中国航天日”.正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是( )
A. 航B. 天C. 精D. 神
5.如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，若OA=5，AB=8，则CD的长为
．( )
A. 5B. 4C. 3D. 2
6.一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是( )
A. 49B. 59C. 23D. 45
7.若x=2是关于x的一元二次方程x2+mx−2=0的一个根，则m的值为
( )
A. 1B. 3C. −1D. −3
8.方程x2+3x=1的根可视为函数y=x+3的图象与函数y=1x的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x3−2x2+x=3的实数根x所在的范围是
( )
A. 1二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.我国的北斗卫星导航系统BDS星座已部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为_______．
10.若二次根式 x−3在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________．
11.分解因式：2m2−18=_____．
12.如图所示，在⊙O中，直径AB=10，弦DE⊥AB于点C，连接DO.若OC=3，则DE的长为_____．
13.如图，点A,B,C,D在⊙O上，∠AOC=130∘，则∠ABC=__________°．
14.如果所示的地板由15块方砖组成，每一块方砖除颜色外完全相同，小球自由滚动，随机停在黑色方砖的概率为________．
15.小明参加“强国有我”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项的成绩分别是70分、90分、80分．若将三项得分依次按2:4:4的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为_____分．
16.已知▵ABC，动点P从点A出发，以每秒钟1个单位长度的速度沿A→B→C→A方向运动到点A处停止．设点P运动的运动时间为t秒，▵PAB的面积S关于t的函数图象如图所示，则▵ABC的边BC上的高等于___________________．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.计算：1− 20+−12023− 3tan60∘
四、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
解不等式x−23<7−x2，并把它的解集表示在数轴上．
19.(本小题8分)
先化简，再求值：x−32+x+2x−2+3x2−x，其中x=−2．
20.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，点D为BC边上中点，连接AD．
(1)尺规作图：作射线BF，使得∠CBF=∠C，且射线BF交AD的延长线于点E(不要求写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，连接CE，若AD=12BC，求证：四边形ABEC为矩形．
21.(本小题8分)
某校为了了解家长和学生的参与“防疫教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生做调查，把收集的数据分为以下4类情形：A.仅学生自己参与；B.家长和学生一起参与；C.仅家长自己参与；D.家长和学生都未参与，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)在这次抽样调查中，共调查了 __名学生？
(2)补全条形统计图，并在扇形统计图中计算C类所对应扇形的圆心角的度数 __；
(3)根据抽样调查结果，估计该校3200名学生中“家长和学生都参与”的人数．
22.(本小题8分)
4月18日上午7：30，2021盐城马拉松在盐城市盐南体育中心正式鸣枪开跑，共吸引了来自全国各地的约15000名选手同台竞技．本次马拉松共设三个项目：全程马拉松、半程马拉松、迷你马拉松．小乐和小观参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组中的一个．
(1)小乐被分配到半程马拉松项目组的概率为______．
(2)用树状图或列表法求小乐和小观被分到同一个项目组的概率．
23.(本小题8分)
在某市双城同创的工作中，某社区计划对1200m2的区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为300m2区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．
(1)甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是多少？
(2)若甲队每天绿化费用为0.4万元，乙队每天绿化费用为0.15万元，且甲、乙两队施工的总天数不超过14天，则如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工费用最少？并求出最少费用．
24.(本小题8分)
如图，以AB为直径作⊙O，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，∠DCB=∠DAC，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若CD=4，DB=2，求AE的长．
25.(本小题8分)
LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新智能照明产品，当人进入感应范围内灯自动亮，离开感应范围灯灭．若在感应范围内有多个感应灯装置，那么人离哪个感应灯更近，这个感应灯就会亮，其它感应灯就不亮，这样既方便又节能．(说明：人到两个感应灯距离相等时，两个灯都亮)
(1)如图①，已知在▵ABC中，∠A=90∘,AB=6m,AC=8m，若在▵ABC的其中两个顶点B、C处分别装有感应灯，EF垂直平分BC，垂足为点F，交AC于点E，请求出在该三角形内能使感应灯C亮的区域面积；
(2)如图②，在▵ABC中，AB=AC=5m,BC=6m，AD为BC边上的高，在▵ABC的三个顶点处都装有感应灯，请求出在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积；
(3)如图③，在平面内五个散点A、B、C、D、E处装有自控灯，请用直尺和圆规在平面内作出能使感应灯上亮的区域图形．
26.(本小题8分)
定义：在平面内，将点A关于过点B的任意一条直线对称后得到点C，称点C为点A关于点B的线对称点．
理解：在直角坐标系中，已知点A2,0，
(1)点A关于直线y=x对称的点的坐标为_______；
(2)若点A、B关于直线y=2x对称，则OA与OB的数量关系为________；
(3)下列为点A关于原点的线对称点是_______.(填写序号，可多选)
①−2,0 ②− 2,− 2 ③1,− 3 ④1,2
运用：
(4)已知直线y=mx+b经过点2,4，当m满足什么条件时，该直线上始终存在点2,0关于原点的线对称点：
(5)已知抛物线y=−12x2+8，问：该抛物线上是否存在点0,0关于0,3的线对称点，若存在请求出点坐标，若不存在请说明理由．
27.(本小题8分)
已知▵ABC是等腰直角三角形，∠C=90∘,AC=BC．
(1)当AC=BC=6时，
①将一个直角的顶点D放至AB的中点处(如图①)，两条直角边分别交AC、BC于点E、F，请说明▵DEF为等腰直角三角形；
②将直角顶点D放至AC边的某处(如图②)，与另两边的交点分别为点E、F，若▵DEF为等腰直角三角形，且面积为4，求CD的长．
(2)若等腰Rt▵DEF三个顶点分别在等腰Rt▵ABC的三边上，等腰Rt▵DEF的直角边长为1时，求等腰Rt▵ABC的直角边长的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，解题的关键在于熟知正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．
【详解】解：实数−2022的绝对值是2022，
故选B．
2.【答案】A
【解析】【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：将A图沿过中心竖直的直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
图B、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
故选：A．
本题主要考查了轴对称图形的判断，掌握定义是解题的关键．即如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
3.【答案】C
【解析】【分析】根据积的乘方与幂的乘方求解即可．
【详解】解：−12ac22=14a2c4，
故选：C．
此题考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】【分析】根据正方体的表面展开图找出相对面的文字，即可解答．
【详解】解：原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是“天”，
故选：B．
本题考查了正方体相对面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】利用垂径定理和勾股定理计算即可求出答案．
【详解】解：∵OC⊥AB，
∴AD=BD=12AB=4，
在Rt▵OAD中，OD= OA2−AD2= 52−42=3，
∴CD=OC−OD=5−3=2．
故选：D．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了勾股定理．
6.【答案】B
【解析】【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．
【详解】解：观察这个图可知：黑色区域(5块)的面积占总面积(9块)的59，
∴它最终停留在黑砖上的概率是59．
故选：B．
本题考查了几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率．
7.【答案】C
【解析】【分析】将x=2代入方程x2+mx−2=0得到关于m的方程求解即可．
【详解】解：将x=2代入方程x2+mx−2=0
得：4+2m−2=0，解得：m=−1．
故选：C．
本题主要考查了一元二次方程的根的定义，将已知方程的一个根代入方程得到新的方程是解答本题关键．
8.【答案】B
【解析】【分析】根据题意分析可得方程x3−2x2+x=3的实数根是函数y1=x2−2x+1和y=3x的图象交点的横坐标，画图草图，结合图像求值即可得出结论．
【详解】解：∵方程x3−2x2+x=3，
∴x2−2x+1=3x，
∴方程x3−2x2+x=3的实数根是函数y1=x2−2x+1和y=3x的图象交点的横坐标，
这两个函数的图象如图所示，则它们的交点在第一象限，
当x=1时，y1=0，y=3，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
当x=2时，y1=1，y=32，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
当x=3时，y1=4，y=1，此时抛物线的图象在反比例函数上方；
∴方程x3−2x2+x=3的实根x所在范围为2故选：B．
本题考查了运用图象法求一元二次方程的近似根，难度中等．解决本题的关键是得到所求的方程为一个二次函数和一个反比例函数的解析式的交点的横坐标．
9.【答案】2.15×107
【解析】【分析】本题考查了科学记数法：把一个大于10的数表示成a×10n的形式(a大于或等于1且小于10，n是正整数)；n的值为小数点向左移动的位数．
根据科学记数法的定义，计算求值即可；
【详解】解：21500000=2.15×107，
故答案为：2.15×107．
10.【答案】x≥3
【解析】【分析】根据二次根式被开方数的非负性求出答案．
【详解】解：由题意得x−3≥0，解得x≥3，
故答案为：x≥3．
此题考查了二次根式的非负性，熟记二次根式的被开方数大于等于零的性质是解题的关键．
11.【答案】2m+3m−3/2m−3m+3
【解析】【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：2m2−18
=2(m2−9)
=2(m+3)(m−3)．
故答案为：2(m+3)(m−3)．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12.【答案】8
【解析】【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，先由垂径定理得到CE=2CD，再利用勾股定理求出CD=4即可得到答案．
【详解】解：∵在⊙O中，直径AB=10，
∴OD=12AB=5，
∵DE⊥AB，
∴CE=2CD，
在Rt▵DOC中，由勾股定理得CD= OD2−OC2=4，
∴CE=2CD=8，
故答案为：8．
13.【答案】115
【解析】【分析】先作出弧AC所对的圆周角∠D，如图，根据圆周角定理得到∠D=12∠AOC=65∘，然后根据圆内接四边形的性质求∠ABC的度数．
【详解】解：∵∠D为弧AC所对的圆周角，
∴∠D=12∠AOC=130∘2=65∘，
∵∠D+∠ABC=180∘，
∴∠ABC=180∘−65∘=115∘．
故答案为：115．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质．
14.【答案】13
【解析】【分析】用概率公式直接求解即可；
【详解】解：总共15块方砖，黑色的方砖有5块；
故当小球自由滚动时，随机停在黑色方砖的概率为：515=13．
故答案为：13．
本题主要考查简单概率求解，掌握概率公式是解题的关键．
15.【答案】82
【解析】【分析】根据加权平均数的公式计算，即可求解．
【详解】解：小明的最终比赛成绩为70×22+4+4+90×42+4+4+80×42+4+4=82分．
故答案为：82
本题主要考查了求加权平均数，熟练掌握加权平均数的公式是解题的关键．
16.【答案】4或125
【解析】【分析】由图象可知，AB的长度为4，BC+AC=8，当点P与点C重合时，▵PAB的面积最大为6，即▵ABC的面积为6，求出AB边上的高为3，再分三种情况讨论求解即可．
【详解】解：由题意，得：当点P在AB上时，▵PAB的面积为0，当点P从B→C运动时，▵PAB的面积逐渐增大，当点P与点C重合时，▵PAB的面积最大，即为▵ABC的面积，当点P从C→A运动时，▵PAB的面积逐渐减小，当点P与A重合时，▵PAB的面积为0，
∵动点P以每秒钟1个单位长度的速度运动，
∴由图象可知：AB=4，BC+CA=12×1−4×1=8，S▵ABC=6，
∴AC=8−BC，
设点C到AB的距离为h，
则：S▵ABC=12AB⋅h=6，
∴h=3，
①当BC=3或AC=3时，此时▵ABC为直角三角形，S▵ABC=6，满足题意，
∴当BC=3时，BC边上的高即为AB的长为：4，
当AC=3时，此时BC=5，
设BC上的高为h1，则：S▵ABC=12BC⋅h1=6，
∴h1=125；
②当▵ABC，AB边上的高在三角形外部时，如图，

设BC=x，则：AC=8−x，设BD=a，
则：x2=32+a28−x2=4+a2+32，解得：x=3a=0(负值舍掉)，
即：BC=3，BC⊥AB，
或：

同法可得：AC=3，AC⊥AB，
③当AB边上的高在三角形内部时，
或
同②法可得：BC=3，BC⊥AB，或AC=3，AC⊥AB，
综上，▵ABC只能为直角三角形，BC=3或BC=5，
∴▵ABC的边BC上的高等于4或125；
故答案为：4或125．
本题考查动点的函数图象问题．从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键．属于中考填空中常见的压轴题．
17.【答案】解：原式=1+−1− 3× 3=−3
【解析】【分析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可．
本题主要考查了实数的混合计算，零指数幂和特殊角三角函数值，熟知相关计算法则是解题的关键．
18.【答案】解：去分母得：2x−2<37−x，
去括号得：2x−4<21−3x，
移项得：2x+3x<21+4，
合并同类项得：5x<25，
系数化为1得：x<5，
画出图如图所示：


【解析】【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
本题主要考查了解一元一次不等式以及数轴的基本知识，熟练掌握解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，是解题的关键．
19.【答案】解：原式=x2−6x+9+x2−4+6x−3x2
=−x2+5
当x=−2时，原式=−−22+5=1．

【解析】【分析】先根据整式混合运算法则化简，再把x的值代入化简式计算即可．
本题考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握整式混合运算法则，完全平方公式与平方差公式的运用．
20.【答案】(1)解：如图所示：
∴射线BF为所作射线，且延长AD交射线BF于点E．
(2)证明：如图，连接EC，
∵∠CBF=∠C，
∴AC/​/BE，
∵在△ADC和▵EDB中
∠CBF=∠CBD=DC∠ADC=∠EDB,
∴▵ADC≌▵EDBASA，
∴AC=BE，AD=ED=12AE，
∴四边形ABEC为平行四边形，
∵AD=12BC，
∴AE=BC，
∴四边形ABEC为矩形．

【解析】【分析】(1)作∠CBF=∠ACB，作出射线BF，且延长AD交射线BF于点E；
(2)根据∠CBF=∠C，得出AC/​/BE，证明△ADC≌▵EDB，得到AC=BE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进而根据对角线相等得出结论即可．
本题考查作图，作相等的角，三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定，正确作出射线BF是解答本题的关键．
21.【答案】(1)解：这次抽样调查中，调查的学生人数为40÷20%=200(名)，
故答案为：200；
(2)200−40−30−10=120(名)，补全条形统计图如图所示：
在扇形统计图C类所对应的圆心角度数为：360∘×30200=54∘，
故答案为：54∘；
(3)3200×120200=1920(名)，
答：该校3200名学生中“家长和学生都参与”的有1920人．

【解析】【分析】(1)根据A类人数及占比即可得出总人数；
(2)根据条形统计图得出B类人数，即可补全条形统计图，再由C类人数及总人数求出圆心角即可；
(3)总人数乘以B类所占的比即可．
题目主要考查条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体及求扇形圆心角等，理解题意，根据条形统计图与扇形统计图获取相关信息是解题关键．
22.【答案】解：(1)依题意得：小智被分配到欢乐跑项目组的概率为13；
(2)记马拉松、半程马拉松、欢乐跑这三个项目分别为A、B、C，
画树状图为：
共有9种等可能的结果，小乐和小观被分到同一个项目组的3种情况．
∴P(小乐和小观被分到同一个项目组)=13．

【解析】【分析】(1)直接利用概率公式计算可得；
(2)先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出其中小智和小慧被分到同一个项目组的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
23.【答案】(1)解：设乙工程队每天能完成绿化的面积为xm2，
根据题意得300x−3002x=3，
解得：x=50，
经检验x=50是原分式方程的解，
∴2x=100，
答：甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是100m2，50m2；
(2)设安排甲队工作a天，乙队工作b天，
由题意得：100a+50b=1200，
整理得：b=24−2a，
∵a+b≤24，
∴a+24−2a≤14，
∴a≥10，
费用W=0.4a+0.15b=0.4a+0.1524−2a=0.1a+3.6，
当a=10时，W最少=0.1×10+3.6=4.6(万元)，
答：安排甲队工作10天，乙队工作4天，施工费用最少，最少费用为4.6万元．

【解析】【分析】(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积为xm2，根据题意列出分式方程求解即可；
(2)设安排甲队工作a天，乙队工作b天，根据题意列出不等式求解，然后利用一次函数的性质求解即可．
题目主要考查分式方程的应用，一次函数的应用及其性质，熟练掌握分式方程及一次函数的应用是解题关键．
24.【答案】(1)证明：连接OC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，即∠BCO+∠ACO=90°，
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAD，
又∵∠DCB=∠CAD，
∴∠ACO=∠DCB，
∴∠DCB+∠BCO=90°，即∠DCO=90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)解：∵∠DCO=90°，OC=OB，
∴OC2+CD2=OD2，
∴OB2+42=(OB+2)2，
∴OB=3，
∴AB=6，AD=8，
∵AE⊥AD，AB是⊙O的直径，
∴AE是⊙O的切线，
∵CD是⊙O的切线，
∴AE=CE，
∵在Rt△ADE中，AD2+AE2=DE2，
∴82+AE2=(4+AE)2，
∴AE=6．

【解析】【分析】(1)连接OC，根据圆周角定理的推论得到∠ACB=90°，即∠BCO+∠ACO=90°，求得∠ACO=∠DCB，得到∠DCO=90°，根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；
(2)根据勾股定理求出OB=3，可得AB=6，AD=8，根据切线长定理得到AE=CE，在Rt△ADE中，利用勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论、切线长定理和勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】(1)解：∵∠A=90∘,AB=6m,AC=8m，
∴BC= AB2+AC2=10m，
∵EF垂直平分BC，
∴∠EFC=90∘,FC=12BC=5m，
∴tanC=ABAC=EFFC，即：68=EF5，
解得：EF=154，
∴▵EFC的面积为：12×154×5=758m2，
∴该三角形内能使感应灯B亮的区域面积为758m2；
(2)解：在▵ABC中，AB=AC=5m,BC=6m，AD为BC边上的高，
∴AD⊥BC,BD=CD=12BC=3m，即AD垂直平分BC，
∴AD上任意一点到点B与点C的距离都相等，
在Rt▵ABD中，由勾股定理，得AD= AB2−BD2= 52−32=4m，
∴tan∠BAD=BDAD=34，
∴BD=3m，
∴S▵ABD=12BD⋅AD=12×3×4=6m2，
作AB的垂直平分线EF，交AD于点E，如图：
则EF上任一点到点A与点B的距离都相等，AF=AF=BF=52m，
∴由题意可知：在该三角形内能使感应灯B亮的区域是四边形BDEF，
在Rt▵AEF中，EF=AF⋅tan∠BAD=52×34=158m，
∴S▵AEF=12AF⋅EF=12×52×158=7532m2，
∴S四边形BDEF=S▵ABD−S▵AEF=6−7532=11732m2，
∴在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积为11732m2．
(3)觖：分别以AB、BD、CD、AC为直径画圆，围成区域(实线所围区域)即为所求．

【解析】【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识：
(1)先求出AB、EF的值，即可求出▵EFC的面积；
(2)先找出感应灯B亮的区域，然后求出面积；
(3)分别以AB、BD、CD、AC为直径画圆，围成区域即为所求．
26.【答案】(1)解：如图，A，A′关于直线y=x对称，
∴∠AOT=∠A′OT=45∘，
∴A′在y轴上，OA′=OA=2，
∴A′0,2；
(2)如图，
∵点A、B关于直线y=2x对称，
∴直线y=2x是线段AB的垂直平分线，
∴OA=OB；
(3)如图，描点；
∵A2,0，H1,− 3，取AH的中点J，连接OJ，
∴OH= 12+ 32=2，
∴OH=OA，而OJ=OJ，AJ=HJ，
∴▵OJH≌▵OJA，
∴∠OJH=∠OJA=90∘，
∴直线OJ是线段AH的垂直平分线；故③符合题意；
同理可得：②− 2,− 2符合题意，④1,2不符合题意；
而①−2,0显然符合题意；
故①②③符合题意；
(4)如图，设T为点2,0关于原点的线对称点，则OT=OA=2，
∴T在以O为圆心，半径为2的圆上，
当QT为⊙O的切线时，切点为T，与x轴的交点为D，
则OT⊥DQ，∠AQO=∠AQO，QA=QT=4，
∴▵DTO∽▵DAQ，
∴DTAD=OTAQ=ODQD，即DT2+OD=24=OD4+DT，可得OD=103；
∴D−103,0，
∵直线QT为y=mx+b，
∴2m+b=4−103m+b=0，解得：m=34b=52,
∴0(5)如图，记N0,3，若该抛物线上存在点0,0关于0,3的线对称点M，
∴NM=NO，
设Mx,−12x2+8，
∴x2+−12x2+8−32=32，
整理得：x2−82=0，
解得：x=±2 2，此时−12x2+8=4，
∴线对称点M的坐标为：2 2,4或−2 2,4．

【解析】【分析】(1)画出图形，判断对称点A′的位置，再利用垂直平分线的性质可得答案；
(2)画出图形，利用线段的垂直平分线的性质可得答案；
(3)如图，由A2,0，H1,− 3，取AH的中点J，连接OJ，可得OH= 12+ 32=2，可得▵OJH≌▵OJA，证明∠OJH=∠OJA=90∘，可得直线OJ是线段AH的垂直平分线；故③符合题意；②− 2,− 2符合题意，④1,2不符合题意；而①−2,0显然符合题意；从而可得答案；
(4)如图，设T为点2,0关于原点的线对称点，则OT=OA=2，T在以O为圆心，半径为2的圆上，当QT为⊙O的切线时，切点为T，与x轴的交点为D，则OT⊥DQ，∠AQO=∠AQO，QA=QT=4，证明▵DTO∽▵DAQ，求解OD=103；再求解一次函数的解析式即可得到答案；
(5)如图，记N0,3，若该抛物线上存在点0,0关于0,3的线对称点M，则NM=NO，设Mx,−12x2+8，可得x2+−12x2+8−32=32，再解方程即可．
本题考查的是轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，求解一次函数的解析式，二次函数的性质，圆的性质，切线的性质，勾股定理的应用，新定义的含义，理解新定义再确定合适的方法解题是关键．
27.【答案】(1)①证明：过点D作DG⊥AC于G，DH⊥BC于H，连接CD，
∵▵ABC是等腰直角三角形，AC=BC，点D是AB的中点，
∴CD⊥AB,CD=AD=BD,∠ACD=∠BCD，
∵DG⊥AC,DH⊥BC，
∴DG=DH，
∵∠ACB=∠EDF=90∘，
∴∠DEC+∠DFC=180∘，
∵∠DEC+∠DEG=180∘，
∴∠DEG=∠DFC，
又∵∠DGC=∠DHC=90∘，
∴▵DEG≌▵DHFAAS，
∴DE=DF，
∴▵DEF是等腰直角三角形；
②如图，过点F作FN⊥AC于N，
∵▵DEF为等腰直角三角形，
∴DE=DF,∠FDE=90∘，
∴∠ADF+∠CDE=90∘=∠CDE+∠CED，
∴∠ADF=∠CED，
又∵∠FND=∠C=90∘，
∴▵FND≌▵DCEAAS，
∴NF=DC，
∵∠C=90∘,AC=BC，
∴∠A=∠B=45∘，
∵FN⊥AC，
∴∠A=∠AFN=45∘，
∴▵AFN是等腰直角三角形，
∴AN=NF，
设AN=NF=CD=x，则ND=6−2x，
∵▵DEF为等腰直角三角形的面积为4，
∴12×DE2=4，
∴DF2=8，
∵DN2+NF2=DF2，
∴6−2x2+x2=8，
∴x=2或145，
∴CD=2或145；
(2)解：设等腰Rt△DEF的直角顶点为D，
若D在AB上，如图3，
取EF的中点Q，连接CQ,DQ，
则CQ=12EF,DQ=12EF，
∵▵DEF是直角边长为1的等腰直角三角形∠EDF=90∘，
∴EF= 2，
∴CQ=DQ= 22，
∴CQ+DQ= 2，
∴当C、Q、D共线时，CD最长，则CD= 2，
∴在等腰Rt▵ABC∠C=90∘中，当CD⊥AB时，AC的长最大，AC最大为2：
若D在直角边上，如图4，过点E分别作GE⊥CA于点E，EH⊥CB于H，
设GE=a=CD,DG=b,AC=BC=s，
则2a+b=sa2+b2=1,
∴a2+s−2a2=1，
∴5a2−4sa+s2−1=0，
∴Δ=20−4s2≥0，
解得s≤ 5，
当s取最大值时，a=2 55,b= 55，
∴AC的最大值为 5，
综上，AC的最大值为 5．

【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质等知识：
(1)①由“AAS”可证▵DEG≌▵DHF，可得DE=DF，即可求解；
②由“AAS”可证▵FND≌▵DCE，可得NF=DC，由勾股定理可求解；
(2)分点D在AB上和点D在AC或BC的上，由直角三角形的性质和勾股定理可求解．