2024年安徽省合肥市长丰县中考数学模拟试卷-普通用卷

这是一份2024年安徽省合肥市长丰县中考数学模拟试卷-普通用卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在−2，−13，0， 2这四个数中，最小的数是( )
A. −2B. −13C. 0D. 2
2.我国渤海深层油气田勘探再获新发现，新增油气探明储量超4000万立方米，其中数据4000万用科学记数法表示为( )
A. 4×103B. 4×107C. 4×108D. 0.4×106
3.下列运算正确的是( )
A. x2⋅x3=x5B. (x2)3=x5C. x6÷x2=x3D. x2+x3=x5
4.下列各式中，计算结果等于a5的是( )
A. a2+a3B. (a2)3C. 2a5−a5D. a10÷a2
5.如图，在△ABC中，∠B+∠C=110°，AM平分∠BAC，交BC于点M，MN//AB，交AC于点N，则∠AMN的大小是( )
A. 30°
B. 35°
C. 40°
D. 55°
6.苯丙酮尿症是常染色体上隐性基因控制的遗传病，主要表现为智力发育落后，生长发育受限和精神异常等.苯丙酮尿症由一对基因(A、a)控制，体内由成对基因AA、Aa控制的个体是正常的，而体内由成对基因aa控制的个体患病.设母亲和父亲的基因是Aa，那么他们的孩子不患苯丙酮尿症的概率是( )
A. 14B. 13C. 12D. 34
7.小明学习完生物遗传知识后，了解到双眼皮是由显性基因R决定的，单眼皮由隐形基因r决定的，若一个人体细胞中含显性基因R，则表现为双眼皮，不含显性基因R则为单眼皮，为了探究一对都是双眼皮(Rr)夫妇生出单眼皮孩子的可能性有多大，小明进行了模拟试验：用红色纸剪成大小一样的圆形纸片2张，分别写上R和r，装入写有“父亲”字的信封，用蓝色纸剪成大小一样的椭圆形纸片2张，分别写上R和r，装入写有“母亲”字的信封，现从两个信封各摸一张纸片组成孩子的性状基因对，则摸出的性状基因对是单眼皮的可能性是( )
A. 14B. 34C. 12D. 18
8.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD=60°，∠ADC=40°，则∠AED的度数为( )
A. 110°
B. 115°
C. 120°
D. 105°
9.如图，直线y= 3x−3与坐标轴交于点A、B，过点B作AB的垂线交x轴于点C，则点C的坐标为( )
A. (−3 3,0)
B. (−6,0)
C. (−2 3,0)
D. (− 3,0)
10.如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，BC=6，点P为AC边上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为( )
A. 3 6
B. 32 5
C. 32 6
D. 32
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.函数y= 2−x的自变量x的取值范围是 ．
12.因式分解：x3y−16xy= ______．
13.七巧板是我们祖先的一项伟大创造，被誉为“东方魔板”.在一次“美术制作”活动课上，小明用边长为4的正方形纸片制作了如图1所示的七巧板，并设计了一幅作品放入矩形ABCD中(如图2)，则AB的长为______．
14.如图，在平面直角坐标系中，△OAB是边长为4的等边三角形，反比例函数y=kx(k>0)的图象经过边OA的中点C．
(1)k= ______．
(2)若反比例函数y=kx的图象与边AB交于点D，则tan∠DOB= ______．
三、解答题：本题共10小题，共104分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算： 12+(2− 3)0−(1−sin60°)．
16.(本小题8分)
某校组织七年级学生到合肥市园博园研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位.求参加研学的学生人数．
17.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(0,1)，B(3,2)，C(1,4)均在小正方形网格的格点上．
(1)画出△ABC关于x轴的对称图形△A′B′C′(点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′)，并写出A′、B′、C′的坐标；
(2)在第三象限内的格点上找点D，连接A′D，B′D，使得∠A′DB′=45°.(保留作图痕迹，不写作法)
18.(本小题8分)
某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设.图1为有1块六边形地砖时，正方形地砖有6块，三角形地砖有6块；图2为有2块六边形地砖时，正方形地砖有11块，三角形地砖有10块；…．
(1)按照规律，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加______块，三角形地砖会增加______块；
(2)若铺设这条小路共用去a块六边形地砖，分别用含a的代数式表示正方形地砖、三角形地砖的数量；
(3)当a=25时，求此时正方形地砖和三角形地砖的总数量．
19.(本小题10分)
如图，点A，B是某条河上一座桥的两端，某数学兴趣小组用无人机从点A竖直上升到点C时，测得点C到桥的另一端点B的俯角为28°，无人机由点C继续竖直上升10米到点D，测得桥的另一端点B的俯角为37°，求桥AB的长.(结果精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin28°≈0.47，cs28°≈0.88，tan28°≈0.53)
20.(本小题10分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，BC=CD，过点C作CE，使得CD=CE，交AD的延长线于点E．
(1)求证：AB=AE．
(2)若AD=DE=2，求CD的长．
21.(本小题12分)
某校举行体能测试，测试后，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图．

请你根据统计图信息，解答下列问题．
(1)参加体能测试的学生共有______名；在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角的度数为______；图中m的值为______．
(2)补全条形统计图．
(3)等级为D的学生中有4名来自九年级(1)班，这4名学生中有两名是女生.李老师准备从这4名学生中随机选出2名学生，请用画树状图或列表的方法求出所选的学生恰好是一男一女的概率．
22.(本小题13分)
已知抛物线y=a2x2−2a2x−3a2(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，直线y=ax+b经过点A．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)若直线y=ax+b与抛物线y=a2x2−2a2x−3a2的对称轴交于点E．
①若点E为抛物线的顶点，求a的值；
②若点E在第四象限并且在抛物线的上方，记△ACE的面积为S1，记△ABE的面积为S2，S=S2−S1，求S与a的函数表达式，并求出S的最大值．
23.(本小题13分)
已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴的负半轴交于点C，且OB=OC，连接BC．
(1)求抛物线的解析式．
(2)P是抛物线上位于BC下方的一动点，且点P的横坐标为t．
①求△AOP的最大面积．
②是否存在一点P，使S四边形ACPB=32S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
24.(本小题14分)
如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，且与y轴相交于点C(0,5)．
(1)求抛物线y=x2+bx+c的表达式；
(2)如图2，点A，B在x轴上(B在A的右侧)，且OA=t(0①求DF的长(用含t的代数式表示)；
②若△CDF的面积记作S1，△EDF的面积记作S2，记S2−S1=S，则S是否有最大值，若有请求出，若没有，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵|−2|=2，|−13|=13，
∴2>13，
∴−2<−13，
在−2，−13，0， 2这四个数中，
∵−2<−13<0< 2，
∴最小的数是−2，
故选：A．
根据负数小于0，0小于正数，两个负数比较，绝对值大的反而小，即可解答．
本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：4000万=40000000=4×107．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数，当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】A
【解析】解：A、x2⋅x3=x5，故此选项正确；
B、(x2)3=x6，故此选项错误；
C、x6÷x2=x4，故此选项错误；
D、x2+x3，无法计算，故此选项错误；
故选：A．
直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】C
【解析】解：由题意，
对于A选项，a2与a3不是同类项，不能合并，
∴A选项不符合题意．
对于B选项，(a2)3=a6≠a5，
∴B选项不符合题意．
对于C选项，2a5−a5=a5，
∴C选项符合题意．
对于D选项，a10÷a2=a8≠a5，
∴D选项不符合题意．
故选：C．
依据题意，根据同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项的法则逐项判断即可得解．
本题主要考查了同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，解题时需要熟练掌握并理解．
5.【答案】B
【解析】解：∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠BAC=180°−(∠B+∠C)=180°−110°=70°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠BAM=12∠BAC=35°，
∵MN/​/AB，
∴∠AMN=∠BAM=35°，
故选：B．
先根据已知条件和三角形的内角和为180°，求出∠BAC的度数，再根据已知条件和角平分线的定义，求出∠BAM，最后根据MN//AB，求出∠AMN即可．
本题主要考查了三角形内角和定理和平行线的性质，解题关键是熟练掌握三角形三个内角的和是180°和平行线的性质．
6.【答案】D
【解析】解：列表如下：
共有4种等可能的结果，其中他们的孩子不患苯丙酮尿症的结果有3种，
∴他们的孩子不患苯丙酮尿症的概率为34．
故选：D．
列表可得出所有等可能的结果数以及他们的孩子不患苯丙酮尿症的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有4种等可能的结果，其中不含显性基因R有1种结果，
∴摸出的性状基因对是单眼皮的概率为14．
故选：A．
根据树状图得出所有等可能的结果数，然后利用概率公式即可求出答案．
本题考查了模拟试验以及树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】A
【解析】解：如图所示，连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ADC=40°，
∴∠BDC=50°，
又∵∠ABD=∠ACD=60°，
∴∠AED=∠ABD+∠BDC=110°，
故选：A．
连接BD，先由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB=90°，进而得到∠BDC=50°，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠ABD=∠ACD=60°，即可利用三角形外角的性质得到∠AED=∠ABD+∠BDC=110°．
本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于90°．
9.【答案】A
【解析】解：∵直线y= 3x−3与坐标轴交于点A、B，
∴A( 3,0),B(0,−3)，
∴AO= 3,OB=3，
∴tan∠ABO=OAOB= 33，
∵CB⊥AB，CO⊥OB，
∴∠ACB=90°−∠BAO=∠ABO，
∴tan∠ACB=tan∠ABO=OBOC= 33，
解得OC=3 3，
∴C(−3 3,0)，
故选：A．
直线y= 3x−3与坐标轴交于点A、B，得到A( 3,0),B(0,−3)，结合CB⊥AB，得到∠ACB=∠ABO，利用正切函数计算OC即可．
本题考查了图象与坐标轴的交点，正切函数的应用，熟练掌握直角三角形的特征和正切函数是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：连接BP，取BP的中点G，连接EG、FG，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴∠BEP=∠BFP=90°，
∴EG=GF=BG=12BP，
∴∠BEG=∠EBG，∠BFG=∠FBG，
∴∠EGF=∠BEG+∠EBG+∠BFG+∠FBG=2(∠EBG+∠FBG)=2∠B=2×45°=90°，
∴△EGF为等腰直角三角形，
∴EF= EG2+FG2= (12BP)2+(12BP)2= 22BP，
∴当BP⊥AC时，BP取最小值，此时，EF的值也最小，
∵∠C=60°，
∴BPBC=sinC=sin60°，
∴BP=BC⋅sin60°=6× 32=3 3，
∴BP的最小值为3 3，
此时，EF的最小值为 22×3 3=32 6，
故选：C．
连接BP，取BP的中点G，连接EG、FG，先证明△EGF为等腰直角三角形，得到EF= 22BP，进而可知当BP⊥AC时EF最小，利用三角函数求出BP的最小值即可求解，
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，垂线段最短，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
11.【答案】x≤2
【解析】解：依题意，得2−x≥0，
解得x≤2．
故答案为：x≤2．
求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
12.【答案】xy(x−4)(x+4)
【解析】解：x3y−16xy
=xy(x2−16)
=xy(x−4)(x+4)．
故答案为：xy(x−4)(x+4)．
先提取公因式，后用公式法分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式，公式法分解因式是解题的关键．
13.【答案】3 2+3
【解析】如图，由七巧板的切割方法可知，EF= 22×2= 2，
∵AE等于以EF为腰的等腰直角三角形底边上的高，
∴AE=EF 2=1，
FH=4× 22= 2，HB=2，
∴AB=AE+EF+FH+HB=1+ 2+2 2+2=3 2+3．
故答案为：3 2+3．
由七巧板的切割方法可推出AE、EF、FH、HB的长，从而得出AB的长．
本题考查了正方形的性质，七巧板的特征，熟记七巧板的切割方法是解题的关键．
14.【答案】 3 7 3−12
【解析】解：(1)如图，作AE⊥x轴，CF⊥x轴，垂足分别为E、F，
∵△OAB为等边三角形，
∴OE=2，AE=2 3，
∴S△OAE=12×2×2 3=2 3，
∵C是OA的中点，
∴OCOA=12，
∴S△OCFS△OAE=(12)2，
∴S△OCF= 32，
∵k=2S△OCF= 32×2= 3，
故答案为： 3；
(2)设直线AD的解析式为y=mx+n．
根据题意，得点A(2,2 3)，B(4,0)，
∴2m+n=2 34m+n=0，
解得：m=− 3n=4 3，
∴直线AD的解析式为y=− 3x+4 3，
联立，得y=− 3x+4 3y= 3x，
解得 x=2+ 3或x=2− 3(舍去)，
∴点D(2+ 3,2 3−3)，
∴tan∠DOB=2 3−32+ 3=7 3−12．
故答案为：(1) 3；(2)7 3−12．
(1)根据反比例函数k值的几何意义，求出三角形OCF面积即可得到k值；
(2)先求出直线AD解析式，联立方程组解出点D的坐标，再根据三角函数求出tan∠DOB即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键．
15.【答案】解：原式=2 3+1−1+ 32
=5 32．
【解析】先计算二次根式的化简，零指数幂和特殊角的三角函数值，再计算加减法即可．
此题主要考查了实数运算，熟练掌握二次根式的化简，零指数幂和特殊角的三角函数值是解题关键．
16.【答案】解：设每辆车能乘坐x人，
根据题意，得4x+30=5x−10，
解得x=40，
故4x+30=190(人)，
答：参加研学的学生有190人．
【解析】设每辆车能乘坐x人，根据题意，得4x+30=5x−10，解方程即可．
本题考查了一元一次方程的应用，租车问题，正确找到等量关系是解题的关键．
17.【答案】解：(1)根据A(0,1)，B(3,2)，C(1,4)，得到关于x轴对称的△A′B′C′的三个顶点坐标分别为A′(0,−1)，B′(3,−2)，C′(1,−4)，画图如下：

则△A′B′C′即为所求．
(2)根据题意，画图如下：

则点D即为所求．
【解析】(1)根据A(0,1)，B(3,2)，C(1,4)，得到关于x轴对称的△A′B′C′的三个顶点坐标分别为A′(0,−1)，B′(3,−2)，C′(1,−4)，画图即可．
(2)以AB为边构造正方形即可．
本题考查了坐标系中作图，对称作图，作已知角等于定角，熟练掌握作图的基本要领是解题的关键．
18.【答案】5 4
【解析】解：(1)由所给图形可知，
图1中三角形地砖块数为：6=1×4+2，正方形地砖块数为：6=1×5+1，六边形地砖块数为：1；
图2中三角形地砖块数为：10=2×4+2，正方形地砖块数为：11=2×5+1，六边形地砖块数为：2；
图3中三角形地砖块数为：14=3×4+2，正方形地砖块数为：16=3×5+1，六边形地砖块数为：3；
…，
所以图n中三角形地砖块数为(4n+2)块，正方形地砖块数为(5n+1)块，六边形地砖块数为n块；
由此可见，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加5块，三角形地砖会增加4块．
故答案为：5，4．
(2)由(1)发现的规律可知，
当铺设这条小路共用去a块六边形地砖时，
用去正方形地砖的块数为(5a+1)块，用去三角形地砖的块数为(4a+2)块．
(3)当a=25时，
5a+1=5×25+1=126(块)，
4a+2=4×25+2=102(块)，
所以126+102=228(块)，
即此时正方形地砖和三角形地砖的总数量为228块．
(1)根据所给图形，依次求出图形中正方形和三角形地砖的块数，发现规律即可解决问题．
(2)根据(1)中发现的规律即可解决问题．
(3)根据(1)中发现的规律即可解决问题．
本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现三角形、正方形和六边形地砖块数变化的规律是解题的关键．
19.【答案】解：如图：

由题意得：DE//CF//AB，
∴∠ABC=∠FCB=28°，∠ABD=∠EDB=37°，
在Rt△ABC中，AC=AB⋅tan28°≈0.53AB(米)，
在Rt△ABD中，AD=AB⋅tan37°≈0.75AB(米)，
∵DC=10米，
∴AD−AC=10，
∴0.75AB−0.53AB=10，
解得：AB≈45.5，
∴桥AB的长约为45.5米．
【解析】根据题意可得：DE//CF//AB，从而可得∠ABC=∠FCB=28°，∠ABD=∠EDB=37°，然后分别在Rt△ABC和Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AC和AD的长，最后列出关于AB的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：如图，连接AC．

∵BC=CD，
∴BC=CD，
∴∠BAC=∠EAC，
∵CD=CE，
∴∠E=∠CDE，BC=CE，
∵∠B+∠ADC=180°，∠CDE+∠ADC=180°，
∴∠B=∠CDE，
∴∠B=∠E，
在△ABC与△AEC中，
∠B=∠E∠BAC=∠EACAC=AC，
∴△ABC≌△AEC(AAS)，
∴AB=AE；
(2)解：如图，连接BD．

∵∠BAD=90°，
∴BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
由(1)可得AB=AE．
∵AD=DE=2，
∴AE=AB=4．
在Rt△ABD中，BD= AB2+AD2=2 5，
在Rt△BCD中，CD=BC= 22BD= 10．
【解析】(1)根据圆的性质求出∠BAC=∠EAC，根据等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质及邻补角定义求出∠B=∠E，利用AAS证明△ABC≌△AEC，根据全等三角形的性质即可得解；
(2)根据圆周角定理求出BD是⊙O的直径，则∠BCD=90°，再根据勾股定理求解即可．
此题考查了圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．
21.【答案】200 72° 40
【解析】解：(1)参加体能测试的学生共有30÷15%=200(名)．
在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角的度数为360°×40200=72°．
∵m%=80200×100%=40%，
∴m=40．
故答案为：200；72°；40．
(2)等级B的人数为200−(30+80+40)=50(人)．
补全条形统计图如图所示．
(3)将2名男生分别记为A，B，两名女生分别记为C，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一男一女的结果有：AC，AD，BC，BD，CA，CB，DA，DB，共8种，
∴所选的学生恰好是一男一女的概率为812=23．
(1)用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得参加体能测试的学生人数；用360°乘以D等级的学生人数所占的百分比，即可得出答案；求出扇形统计图中C的百分比，即可得m的值．
(2)求出等级B的人数，补全条形统计图即可．
(3)画树状图得出所有等可能的结果数以及所选的学生恰好是一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)在y=a2x2−2a2x−3a2(a≠0)中，令y=0得：0=a2x2−2a2x−3a2，
∴a2(x−3)(x+1)=0，
解得x=3或x=−1，
∴A(−1,0)，B(3,0)；
(2)①∵直线y=ax+b经过点A(−1,0)，
∴0=−a+b，
∴b=a，
∴直线解析式为y=ax+a，
∵y=a2x2−2a2x−3a2=a2(x−1)2−4a2，
∴抛物线y=a2x2−2a2x−3a2的顶点E(1,−4a2)，
∵E(1,−4a2)在直线y=ax+a上，
∴−4a2=a+a，
解得a=0(舍去)或a=−12，
∴a的值为−12；
②设直线y=ax+a交y轴于G，抛物线在y=a2x2−2a2x−3a2的对称轴交x轴于H，如图：

在y=ax+a中，令x=1得y=2a，令x=0得y=a，
∴E(1,2a)，G(0,a)，
∴HE=−2a，
∴S2=12AB⋅HE=12×(3+1)⋅(−2a)=−4a，
在y=a2x2−2a2x−3a2中，令x=0得y=−3a2，
∴C(0,−3a2)，
∴GC=a−(−3a2)=3a2+a，
∴S1=12GC⋅|xE−xA|=12×(3a2+a)×2=3a2+a，
∴S=−4a−(3a2+a)=−3a2−5a=−3(a+56)2+2512
∵−3<0，
∴当a=−56时，S取最大值2512；
∴S与a的函数表达式为S=−3a2−5a，S的最大值是2512．
【解析】(1)在y=a2x2−2a2x−3a2(a≠0)中，令y=0可解得A(−1,0)，B(3,0)；
(2)①直线y=ax+b经过点A(−1,0)得b=a，故y=ax+a，求出抛物线y=a2x2−2a2x−3a2的顶点E(1,−4a2)，可得−4a2=a+a，从而解得a的值为−12；
②设直线y=ax+a交y轴于G，抛物线在y=a2x2−2a2x−3a2的对称轴交x轴于H，求出E(1,2a)，G(0,a)得HE=−2a，故S2=12AB⋅HE=−4a，求出C(0,−3a2)，GC=a−(−3a2)=3a2+a，得S1=12GC⋅|xE−xA|=3a2+a，故S=−4a−(3a2+a)=−3a2−5a=−3(a+56)2+2512，根据二次函数性质可得答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及二次函数图象上点坐标的特征，三角形面积，解题的关键是用含a的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
23.【答案】解：(1)∵点B(3,0)，OB=OC，且点C在y轴负半轴，
∴点C(0,−3)．
设抛物线的解析式为y=ax2+bx−3．
将点A(−1,0)，B(3,0)代入y=ax2+bx−3，
得a−b−3=09a+3b+c=0，解得a=1b=−2，
∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3；
(2)①∵P是抛物线上位于BC下方的一动点，且点P的横坐标为t．
∴P(t,t2−2t−3)，
∵S△AOP=12AO⋅|t2−2t−3|=12(−t2+2t+3)=−12(t−1)2+2，
∴当t=1时△AOP的最大面积为2．
②∵S四边形ACPB=32S△ABC=S△ABC+S△BCP，
∴S△BCP=12S△ABC=12×12×4×3=3，
过点P作PQ⊥x轴，交BC于Q，

∵P(t,t2−2t−3)，
∴Q(t,t−3)，
∴PQ=t−3−t2+2t+3=−t2+3t，
∴S△BCP=12×3(−t2+3t)=3，
解得t=1或2，
∴存在，t的值为1或2．
【解析】(1)可求得C(0,−3)，利用待定系数法即可得抛物线的解析式．
(2)①由题意得P(t,t2−2t−3)，根据S△AOP=12AO⋅|t2−2t−3|=12(−t2+2t+3)=−12(t−1)2+2，根据二次函数的性质即可得△AOP的最大面积．
②由S四边形ACPB=32S△ABC，可得S△BCP=12S△ABC=12×12×4×3=3，过点P作PQ⊥x轴，交BC于Q，则Q(t,t−3)，根据三角形的面积公式求出t的值，即可求解．
本题是二次函数综合题，考查待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，二次函数图象的性质，掌握待定系数法是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，
∴设抛物线的顶点式为y=(x−2)2+h，
将点C(0,5)代入得4+h=5，解得h=1，
∴抛物线y=x2+bx+c的表达式为y=(x−2)2+1=x2−4x+5；
(2)①∵抛物线y=x2−4x+5，OA=t(0∴D(t,t2−4t+5)，OB=t+1，
∴E(t+1,t2−2t+2)，
设直线CE的解析式为y=kx+5，
∴(t+1)k+5=t2−2t+2，解得k=t−3，
∴直线CE的解析式为y=(t−3)x+5，
∴F(t,t2−3t+5)，
∴DF=t2−3t+5−t2+4t−5=t，
∴DF的长为t；
②∵OA=t(0∴△CDF的面积记作S1=12t2，△EDF的面积记作S2=12t，
∴S=S2−S1=12t−12t2=−12(t−12)2+18，
∴当t=12时，S有最大值，最大值为18．
【解析】(1)由抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，设抛物线的顶点式为y=(x−2)2+h，将点C(0,5)代入即可求解；
(2)①由抛物线y=x2−4x+5可得D(t,t2−4t+5)，E(t,t2−2t+2)，利用待定系数法求出直线CE的解析式为y=(t−3)x+5，则F(t,t2−3t+5)，即可得DF的长(用含t的代数式表示)；
②求出△CDF的面积记作S1=12t2，△EDF的面积记作S2=12t，则S=S2−S1=12t−12t2=−12(t−12)2+18，根据二次函数的性质即可求解．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．A
a
A
AA
Aa
a
Aa
aa