2024年江苏省盐城市滨海县等两地中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年江苏省盐城市滨海县等两地中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，数轴上点A所表示的数的相反数是( )
A. 6B. −6C. 16D. −16
2.下列运算正确的是( )
A. 2a+5a=7a2B. (−2a)3=8a3
C. −8a2÷2a=−4aD. 3a2⋅a3=3a6
3.芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗.目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000 000 007毫米，将数据0.000 000 007用科学记数法表示为( )
A. 7×10−8B. 7×10−9C. 0.7×10−8D. 0.7×10−9
4.瓷器上的纹饰是中国古代传统文化的重要载体之一，如图所示的图形即为瓷器上的纹饰，该图形既为中心对称图形，又为轴对称图形，该图形对称轴有( )
A. 4条
B. 3条
C. 2条
D. 1条
5.如图，直线a/​/b，∠1=34°，∠A=28°，则∠2的度数为( )
A. 6°
B. 62°
C. 61°
D. 60°
6.关于x、y的方程组3x−y=2k−4x−3y=k的解中x−y≥5，则k的取值范围为( )
A. k≥3B. k≤3C. k≥8D. k≥9
7.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠ABC的平分线BD交AC于D，DE⊥AB于点E，若DE=2cm，则AC的长度为( )
A. 2cmB. 4cmC. 6cmD. 8cm
8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，且∠ADC=125°，则∠BEC的度数是( )
A. 25°
B. 55°
C. 45°
D. 35°
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若二次根式x+3 x−2有意义，则x的取值范围为______．
10.分解因式：mn2−m= ．
11.为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了该小区10户家庭的月用水量，结果如下：
则这10户家庭月用水量的中位数是______．
12.关于x的方程2ax=(a+1)x+6的解是x=1，现给出另一个关于x的方程2a(x−2024)=(a+1)(x−2024)+6，则它的解是x= ______．
13.已知在平面直角坐标系中，点A(m−3,1−m)关于坐标原点对称的点位于第一象限，则m的取值范围是______．
14.《墨子⋅天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形ABCD的边长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′，若A′B′：AB=2：1，则四边形A′B′C′D′的外接圆半径为______．
15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=20°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，点B的对应点B′在边AC上(不与点A、C重合)，则∠AA′B′的度数为______°.
16.如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OB在x轴正半轴上，C是AB边上一点，过A作AD/​/OB交OC的延长线于D，OC=2CD.若反比例函数y=kx(k>0)的图象经过点A，C，且△ACD的面积为1.25，则k的值是______．
三、解答题：本题共11小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：|−2|−4cs30°+(2024−π)0+ 12．
18.(本小题6分)
求不等式组x−12≤2x−132+x<−x+6的非负整数解．
19.(本小题8分)
先化简：(a+3+5a−3)÷a+22a−6，再从−2≤a<1的整数中选取一个你喜欢的a的值代入求值．
20.(本小题8分)
已知：如图，矩形ABCD．
(1)若点P为边AD上一点，且∠BPC=∠DPC，请在图中用尺规作图确定点P的位置，并将图形补充完整；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，已知线段DP=1，线段AB=5，求BC的长．
21.(本小题8分)
桌面上有4张正面分别标有数字2、4、6、7的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同，现将它们背面朝上，洗匀后平铺开．
(1)小红随机翻开一张卡片，正面数字是偶数的概率是______；
(2)小红先随机翻开一张卡片并记录上面的数字，再从余下的3张卡片中随机翻开一张卡片并记录上面的数字.请用列表或画树状图的方法，求翻到的两张卡片上的数字之和为奇数的概率．
22.(本小题10分)
为了了解本市市民出行情况，某数学兴趣小组对本市市民的出行方式进行了随机抽样调查.根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
由图中给出的信息解答下列问题：
(1)求此次调查的市民总人数，并补全条形统计图．
(2)若本市某天的出行人次约为180万，则乘坐地铁或公交车这两种公共交通出行的人次约为______万；
(3)根据调查结果对市民的绿色出行提一条合理化的建议．
23.(本小题10分)
如图，已知四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，过O点的线段EF，分别交AD，BC于点E，F．
(1)求证：△AOE≌△COF；
(2)如果∠EBD=∠CBD，请判断并证明四边形BEDF的形状．
24.(本小题10分)
如图，AB=BC，以BC为直径作⊙O，AC交⊙O于点E，过点E作EG⊥AB于点F，交CB的延长线于点G．
(1)求证：EG是⊙O的切线；
(2)若GF=2 3，GB=4，求图中由弧EC与弦EC围成的阴影部分面积．
25.(本小题10分)
购物节期间，A、B两家网店分别推出了促销活动，A店活动：当购买的商品总金额在200元及以内，不享受折扣，当购买的商品总金额超过200元，超过200元的部分打a折，A店购物的实付总金额y(元)与商品总金额x(元)之间的函数关系如图所示；B店活动：所有商品直接打七折．
(1)当A店购买的商品总金额超过200元时，求出y与x之间的函数表达式；
(2)A店推出的促销活动中：a= ______；
(3)某公司计划购买某种型号的U盘，采购员发现A店的单价要比B店的单价贵1元，如果购买相同数量的U盘，在A店的实付总金额是1280元，而在B店的实付总金额是1365元，请求出A店这种型号U盘的单价．
26.(本小题12分)
【感知】如图①，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE交BC于点F.易证：△AED∽△BFE.(不需要证明)
【探究】如图②，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE交BC于点F．
(1)求证：△AED∽△BFE．
(2)若AB=10，AD=6，E为AB的中点，求BF的长．
【应用】如图③，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=4.E为AB边上一点(点E不与点A、B重合)，连结CE，过点E作∠CEF=45°交BC于点F.当△CEF为等腰三用形时，BE的长为______．
27.(本小题14分)
在坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，C(2,−3)，D(−1,−3).抛物线y=ax2−2ax+c(a>0)与x轴交于点E(−2,0)和点F．

(1)如图1，若抛物线过点C，求抛物线的表达式和点F的坐标；
(2)如图2，在(1)的条件下，连接CF，作直线CE，平移线段CF，使点C的对应点P落在直线CE上，点F的对应点Q落在抛物线上，求点Q的坐标；
(3)若抛物线y=ax2−2ax+c(a>0)与正方形ABCD恰有两个交点，直接写出a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：观察数轴得，A表示的数是6，
∴数轴上点A所表示的数的相反数是−6，
故选：B．
观察数轴得，A表示的数是6，根据相反数的定义可得数轴上点A所表示的数的相反数．
本题考查了数轴，相反数，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】C
【解析】解：2a+5a=7a，故A不正确，不符合题意；
(−2a)3=−8a3，故B不正确，不符合题意；
−8a2÷2a=−4a，故C正确，符合题意；
3a2⋅a3=3a5，故D不正确，不符合题意；
故选：C．
根据合并同类项法则、积的乘方与幂的乘方、单项式除单项式、单项式乘单项式法则逐项判断即可．
本题考查整式运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、积的乘方与幂的乘方、单项式除单项式、单项式乘单项式法则．
3.【答案】B
【解析】解：0.000 000 007=7×10−9．
故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.【答案】A
【解析】解：如图所示：
该图形对称轴的条数为4．
故选：A．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵∠1=34°，∠A=28°
∴∠CBD=∠1+∠A=62°，
∵a/​/b，
∴∠2=∠CBD=62°，
故选：B．
由三角形外角的性质待定∠CBD=∠1+∠A=62°，由平行线的性质推出∠2=∠CBD=62°．
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠2=∠CBD=62°．
6.【答案】C
【解析】解：由3x−y=2k−4x−3y=k得：4x−4y=3k−4，
∴x−y=34k−1，
∵x−y≥5，
∴34k−1≥5，
解得k≥8；
故选：C．
由3x−y=2k−4x−3y=k可得x−y=34k−1，故34k−1≥5，即可解得答案．
本题考查解一元一次不等式，解题的关键是用含k的代数式表示x−y，从而列出不等式．
7.【答案】C
【解析】解：∵∠ABC的平分线BD交AC于D，DE⊥AB，DC⊥BC，
∴DC=DE=2cm，
在Rt△ADE中，∵∠A=30°，
∴AD=2DE=4cm，
∴AC=AD+CD=4+2=6(cm)．
故选：C．
先利用角平分线的性质得到DC=DE=2cm，再根据含30度角的直角三角形三边的关系得到AD=4cm，然后计算AD+CD即可．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了含30度角的直角三角形三边的关系．
8.【答案】D
【解析】解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵∠ADC=125°，
∴∠ABC=180°−125°=55°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°−55°=35°，
由圆周角定理得：∠BEC=∠CAB=35°，
故选：D．
连接AC，根据圆内接四边形的性质求出∠ABC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据直角三角形的性质求出∠CAB，再根据圆周角定理计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
9.【答案】x>2
【解析】解：由题可知，
x−2>0，
解得x>2．
故答案为：x>2．
根据分母不为零且被开方数不小于零的条件进行解题即可．
本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握分母不为零且被开方数不小于零的条件是解题的关键．
10.【答案】m(n+1)(n−1)
【解析】解：mn2−m，
=m(n2−1)，
=m(n+1)(n−1)．
先提取公因式m，再利用平方差公式进行分解．平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后再利用平方差公式进行因式分解，也是难点所在．
11.【答案】14吨
【解析】解：将表中数据为从小到大排列，处在第5位、第6位的是14吨，
所以这10户家庭月用水量的中位数是14吨．
故答案为：14吨．
将一组数据从小到大依次排列，把中间数据(或中间两数据的平均数)叫做中位数．根据中位数的定义，即得答案．
本题考查了求中位数，正确理解中位数的定义是解题的关键．
12.【答案】2025
【解析】解：∵方程2ax=(a+1)x+6的解是x=1，
∴2a=a+1+6，
解得：a=7，
∴方程2a(x−2024)=(a+1)(x−2024)+6变形为：14(x−2024)=8(x−2024)+6，
解得：x=2025，
故答案为：2025．
根据方程2ax=(a+1)x+6的解是x=1，求得a的值，再把a的值代入方程2a(x−2024)=(a+1)(x−2024)+6，求解即可．
本题考查的是多项式乘多项式和一元一次方程的解，熟练掌握解方程的步骤与方法是解题的关键．
13.【答案】1【解析】解：∵点A(m−3,1−m)关于坐标原点对称的点位于第一象限，
∴点A在第三象限，由第三象限内点的坐标特点，横坐标、纵坐标都为负数，
∴m−3<01−m<0，
解得：1故答案为：1直接利用关于原点对称点的性质得出A点位置，再结合第三象限内点的坐标特点得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质以及解不等式组，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．
14.【答案】8 2
【解析】解：如图，连接A′B′，
∵正方形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形，
∴四边形A′B′C′D′是正方形，
∴∠A′B′C′=90°，
∵正方形ABCD的边长为4，A′B′：AB=2：1，
∴A′B′=8，
∴A′C′= 82+82=8 2，
∴四边形A′B′C′D′的外接圆半径为8 2，
故答案为：8 2．
连接A′B′，根据位似图形的概念得到四边形A′B′C′D′是正方形，根据题意求出A′B′，再根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是位似变换、正方形的性质，掌握位似图形的概念的解题的关键．
15.【答案】25
【解析】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，
∴AC=A′C，∠BAC=∠CA′B′，∠ACA′=90°，
∴△ACA′是等腰直角三角形，
∴∠CA′A=45°，
∵∠BAC=20°，
∴∠CA′B′=20°，
∴∠AA′B′=15°．
故答案为：25．
由旋转知AC=A′C，∠BAC=∠CA′B′，∠ACA′=90°，从而得出△ACA′是等腰直角三角形，即可解决问题．
本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质，明确旋转前后对应角相等、对应线段相等是解题的关键．
16.【答案】6
【解析】解：如图，作AE⊥x轴，垂足为E，CF⊥x轴，垂足为F，
∵AD/​/OB，
∴△ACD∽△BCO，
∵OC=2CD，
∴ACBC=12，
∴S△ACDS△BCO=14，
∵S△ACD=1.25，
∴S△BCO=4×1.25=5，
∵反比例函数y=kx(k>0)的图象经过点A，C，
∴设A(a,ka)，则OE=a，AE=ka，
∵AE/​/CF，
∴△BCF∽△BAE，
∴BFBE=CFAE=BCAB，
∴CFka=23，
∴CF=2k3a，
∴C(3a2,2k3a)，
∴EF=OF−OE=3a2−a=12a，
∴BFBF+EF=23，
∴BF=a，
∴OB=OF+FB=3a2+a=5a2，
∵12×OB×CF=S△OBC，
∴12×5a2×2k3a=5，解得k=6．
故答案为：6．
作AE⊥x轴，CF⊥x轴，利用△ACD∽△BCO得到S△BCO=5，再利用△BCF∽△BAE得到C(3a2,2k3a)，根据面积12×OB×CF=S△OBC列出方程求出k值即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键．
17.【答案】解：|−2|−4cs30°+(2024−π)0+ 12
=2−4× 32+1+2 3
=2−2 3+1+2 3
=3．
【解析】先计算绝对值、零次幂、特殊角的三角函数和二次根式，再计算乘法，最后计算加减．
此题考查了实数混合运算的能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能进行正确的计算．
18.【答案】解：x−12≤2x−13①2+x<−x+6②，
由①得：3(x−1)≤2(2x−1)，
3x−3≤4x−2，
3x−4x≤−2+3，
−x≤1，
x≥−1，
由②得：x+x<6−2，
2x<4，
x<2，
∴不等式组的解集为：−1≤x<2，
∴不等式组的非负整数解为：0，1．
【解析】根据解一元一次不等式的一般步骤，求出各个不等式的解集，然后根据判断不等式组解集的口诀“大小小大中间找”求出不等式组的解集，从而求出答案即可．
本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤．
19.【答案】解：原式=(a+3)(a−3)+5a−3÷a+22(a−3)
=a2−4a−3÷a+22(a−3)
=(a+2)(a−2)a−3×2(a−3)a+2
=2a−4，
∵−2≤a<1的范围内的整数为−2，−1，0，
又∵当a=3或−2时，分式无意义，
∴a可以取0或−1，
当a=0时，原式=−4；
或当a=−1时，原式=−6．
【解析】先根据分式的混合运算法则进行化简，再进行代入计算．
本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点P，
则∠BPC=∠BCP，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCP=∠DPC，
∴∠BPC=∠DPC，
则点P即为所求．

(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，CD=AB=5，BC=AD，∠A=90°，
∴∠BCP=∠DPC，
由(1)可知，∠BPC=∠DPC，
∴∠BPC=∠BCP，
∴BP=BC．
设BC=x，
则AD=BP=x，
∵DP=1，
∴AP=AD−DP=x−1，
在Rt△ABP中，由勾股定理得，AP2+AB2=BP2，
即(x−1)2+52=x2，
解得x=13，
∴BC的长为13．
【解析】(1)以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点P，则点P即为所求．
(2)设BC=x，根据已知条件以及矩形的性质可得∠A=90°，AD=BC=BP=x，AP=AD−DP=x−1，在Rt△ABP中，由勾股定理得，AP2+AB2=BP2，代入求出x的值，即可得出答案．
本题考查作图—复杂作图、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质、勾股定理是解答本题的关键．
21.【答案】34
【解析】解：(1)∵一共有4张卡片，其中正面数字是奇数的卡片有3张，每张卡片被翻开的概率相同，
∴随机翻开一张卡片，正面数字是奇数的概率是34，
故答案为：34；
(2)画树状图如下：
由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中翻到的两个数字之和为奇数的结果数有6种，
∴翻到的两个数字之和为奇数的概率为612=12．
(1)根据概率计算公式求解即可；
(2)先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后根据概率计算公式求解即可．
本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
22.【答案】99
【解析】解：(1)此次调查的市民总人数：(50+20+10+40+20)÷(1−30%)=200(人)，
200−(50+20+10+40+20)=60(人)，补全的条形统计图如下：
答：此次调查的市民总人数有200人．
(2)180×(50÷200+30%)=99(万人)，
故答案为：99．
(3)希望市民出行少开车，多选择地铁、公交车等公共交通工具(答案不唯一，合理即可)．
(1)利用除公交车出行之外的人数÷(1−公交车出行人数的占比)，即可求出市民总人数，再用市民总人数−除公交车出行之外的人数，即可补全条形统计图；
(2)利用样本估计总体的方法计算求解即可；
(3)答案不唯一，合理即可．
本题考查的是条形统计图和用样本估计总体，能计算出调查的市民总人数是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCOOA=OC∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)；
(2)解：四边形BEDF是菱形，
证明：∵△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∵OB=OD，
∴四边形BFDE是平行四边形，
又∵AD/​/BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∵∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴BE=ED，
∴平行四边形BFDE是菱形．
【解析】(1)首先证明四边形ABCD是平行四边形，再利用ASA证明△AOE≌△COF；
(2)根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明．
本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】(1)证明：如图，连接OE，
∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠C，
∴∠A=∠OEC，
∴OE/​/AB，
∴AB⊥GE，
∴OE⊥EG，
∵OE是半径，
∴EG是⊙O的切线；
(2)解：∵BF⊥GE，
∴∠BFG=90°，
∵GF=2 3，GB=4，
∴BF= BG2−FG2=2，
∵sin∠G=BFBG=12，
∴∠G=30°，∠EOC=∠G+∠GEO=120°，
∵BF/​/OE，
∴△BGF∽△OGE，
∴BFOE=BGOG，
即2OE=44+OE，
解得OE=4，
即⊙O的半径为4，
∴S阴影=S扇形EOC−S△EOC
=120π×42360−12×4×2 3=16π3−4 3．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质，平行线的性质以及切线的判定方法进行解答即可；
(2)根据勾股定理，特殊锐角三角函数值，相似三角形的判定和性质以及扇形面积的计算方法进行计算即可．
本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，切线的判定方法，据勾股定理，特殊锐角三角函数值，相似三角形的判定和性质以及扇形面积的计算，掌握等腰三角形的性质，平行线的性质，切线的判定方法，据勾股定理，特殊锐角三角函数值，相似三角形的判定和性质以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键．
25.【答案】6
【解析】解：(1)根据图象设当x>0时，y与x之间的函数解析式为y=kx+b(k≠0)，
把(200,200)，(600,440)代入解析式得：200k+b=200600k+b=440，
解得k=35b=80，
∴当x>200时，y与x之间的函数解析式为y=35x+80；
(2)根据题意得：200+(600−200)×0.1a=440，
解得a=6，
故答案为：6；
(3)在A店购买：当y=800时，35x+80=800，
解得x=1200，
∴商品总金额为1200元；
在B店购买商品总金额为：8190.7=1170(元)，
∴两个商店商品总金额的差为1200−1170=30(元)，
∵A店的单价要比B店的单价贵1元，购买优盘的数量相同，
∴A店的单价为120030=40(元)．
(1)根据图象，用待定系数法求出函数解析式即可；
(2)根据图象可以求出a的值；
(3)先求出两个商店的商店金额，再作差，根据A店的单价要比B店的单价贵1元，购买优盘的数量相同，得出两个商店商店总金额的差额即为购买的优盘数，再求出A商店优盘单价即可．
本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式．
26.【答案】2 2或2
【解析】【探究】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF=90°，
∴∠BEF+∠AED=90°，
∴∠ADE=∠BEF，
又∵∠A=∠B，
∴△AED∽△BFE；
(2)解：∵E为AB的中点，
∴AE=BE=5，
由(1)知△AED∽△BFE，
∴ADBE=AEBF，
即65=5BF，
∴BF=256；
【应用】解：如果CE=CF，则∠CEF=∠CFE=45°，∠ECF=90°，则点E与点A重合，点F与点B重合，不符合题意，
②如果CE=EF，则∠ECF=∠EFC=180°−45°2=67.5°，
∵∠EFC为△BEF的外角，
∴∠EFC=∠B+∠BEF，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠BEF=∠EFC−∠B=67.5°−45°=22.5°，
∠ACE=90°−∠ECF=90°−67.5°=22.5°，
∴∠ACF=∠BEF，
又∵∠A=∠B，CE=EF，
∴△AEC≌△BFE(AAS)，
∴BE=AC，
∵∠ACB=90°，AC=BC，AB=4，
∴AC= 22AB=2 2，
∴BE=2 2；
如果CF=EF，则∠CEF=∠ECF=45°，
∴∠CFE=90°，
在△BEC中，∠B=∠BCE=45°，
∴∠BEC=90°，
∴CE⊥AB，
又∵AC=BC，
∴点E为AB的中点，
∴BE=12AB=2，
综上，BE的长为2 2或2，
故答案为：2 2或2．
【探究】(1)利用同角的余角相等得∠ADE=∠BEF，从而证明结论；
(2)由(1)知△AED∽△BFE，得ADBE=AEBF，代入计算即可；
【应用】如果CE=CF，则∠CEF=∠CFE=45°，∠ECF=90°，则点E与点A重合，点F与点B重合，不符合题意；如果CE=EF，利用AAS证明△AEC≌△BFE，得BE=AC，可得答案；如果CF=EF，则∠CEF=∠ECF=45°，则∠CFE=90°，则CE⊥AB，从而解决问题．
本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，运用分类思想是解决【应用】的关键．
27.【答案】解：(1)把E(−2,0)，C(2,−3)代入y=ax2−2ax+c得：
0=4a+4a+c−3=4a−4a+c，
得：a=38c=−3，
∴y=38x2−34x−3，
令y=0，
∴0=38x2−34x−3，
∴x2−2x−8=0，
解得：x1=−2，x2=4，
∴F(4,0)；
(2)如图所示：

设直线CE的表达式为y=kx+b过点E(−2,0)，C(2,−3)，
∴−3=2k+b0=−2k+b，
解得：k=−34b=−32，
∴y=−34x−32，
设点P(a,−34a−32)，则点Q(a+2,−34a+32)，
把点Q(a+2,−34a+32)代入y=38x2−34x−3，
∴−34a+32=38(a+2)2−34(a+2)−3，
整理得：a2+4a−12=0，
解得：a1=2，a2=−6，
∴Q(−4,6)；
(3)∵四边形ABCD是正方形，C(2,−3)，
∴BC=AB=3，OB=2，
∴OA=AB−OB=1，
∴点A和点D的横坐标为−1，点B和点C的横坐标为2，
将E(−2,0)代入y=ax2−2ax+c(a>0)，得c=−8a，
y=ax2−2ax+c=a(x−1)2−9a，
∴顶点坐标为(1,−9a)，
①如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，

∴−3<−9a<0，
0②如图，当抛物线与直线BC交点在点c下方，且与直线AD交点在点上D方时，与正方形有两个交点，

{a×22−2a×2−8a<−3a×(−1)2−2a×(−1)−8a>−3，
∴38综上所述，a的取值范围为0【解析】(1)运用待定系数法进行解二次函数的解析式，得y=38x2−34x−3，再令y=0，即可作答．
(2)运用待定系数法得到直线CE的表达式为y=−34x−32，设点P(a,−34a−32)，则点Q(a+2,−34a+32)，依题意，把点Q(a+2,−34a+32)代入y=38x2−34x−3，即可作答．
(3)分类讨论，①如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，或②如图，当抛物线与直线BC交点在点c下方，且与直线AD交点在点上D方时，与正方形有两个交点，联立不等式组，即可作答．
本题考查了二次函数的几何综合以及二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．月用水量/t
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