江苏省南京市秦淮区2023-2024学年八年级下学期数学期中试题（原卷版+解析版）

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注意：
1．选择题答案请用2B铅笔填涂在答题卷相应位置上．
2．非选择题答案必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）
1. 下列由“花瓣”构成的图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故B符合题意；
C．是轴对称图形，是中心对称图形，故C不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意．
故选：B．
2. 下列调查中，适合用抽样调查的是（ ）
A. 订购校服时了解学生衣服尺寸B. 了解全班学生上学的交通方式
C. 了解神舟七号飞船零部件质量D. 了解我国初中生视力情况
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是普查和抽样调查的选择，调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，在有些情况下，特别重要的事件也需要普查，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
【详解】解：A、订购校服时了解学生衣服尺寸，人员少，难度不大，适合全面调查，不符合题意；
B、了解全班学生上学的交通方式，人员少，难度不大，适合全面调查，不符合题意；
C、了解神舟七号飞船零部件的质量，时间重要，需要精确，适合全面调查，不符合题意；
D、了解我国初中生视力情况，范围广，适合抽样调查，故本选项符合题意，
故选：D．
3. 下列事件中，随机事件是（ ）
A. 太阳从西方升起，东方落下B. 没有水分，种子发芽
C. 买一张电影票，座位号是偶数号D. 13个人中至少有2人生肖相同
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查随机事件，熟知随机事件是指在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件是解答的关键．随机事件是指在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、太阳从西方升起，东方落下是不可能事件，不是随机事件，故此选项不符合题意；
B、没有水分，种子发芽是不可能事件，不是随机事件，故此选项不符合题意；
C、买一张电影票，座位号是偶数号，是随机事件，故此选项符合题意；
D、13个人中至少有2人生肖相同，是必然事件，不是随机事件，故此选项不符合题意．
故选：C．
4. 为了直观反映小明家一周内各项支出占总支出的百分比，宜选用（ ）
A. 扇形统计图B. 条形统计图C. 折线统计图D. 统计表
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点，熟记它们各自特点和应用场景是解题关键．扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；统计表以表格形式，能体现很大的信息量，且有很强的分类、比较的功能．
【详解】解：根据统计图的特点可知：直观反映小明家一周内各项支出占总支出的百分比，那么应该选用扇形统计图更合适．
故选：A．
5. 2023年南京市有近万人报名参加中考．为了解这些考生的数学成绩，从中抽取3000名考生的数学成绩进行统计分析，下列说法正确的是（ ）
A. 近万名考生是总体B. 每位考生的数学成绩是个体
C. 3000名考生是总体的一个样本D. 样本容量是万
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的概念，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．根据相关的定义逐项进行判断即可．
【详解】解：A．这万名考生的数学成绩的全体是总体，此选项错误；
B．每个考生的数学成绩是个体，此选项正确；
C．3000名考生的数学成绩是总体的一个样本，此选项错误；
D．样本容量是3000，此选项错误．
故选：B．
6. 一个四边形三个内角的度数依次如下，能判定该四边形是平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握两组对比分别平行的四边形是平行四边形成为解题的关键．
先根据四边形的内角和求得第四个角，然后根据平行四边形的判定定理逐项判断即可解答即可．
【详解】解：A. ，则第四个角为，由相邻两个角的和不都为，所以一组对比平行，另一组对比不平行，该四边形不是平行四边形，不符合题意；
B. ，则第四个角为，由相邻两个角的和都不为，所以两组对边都不平行，该四边形不是平行四边形，不符合题意；
C. ，则第四个角为，由相邻两个角的和都为，所以两组对边都平行，该四边形是平行四边形，不符合题意；
D. ，则第四个角为，由相邻两个角的和都不为，所以两组对边都不平行，该四边形不是平行四边形，不符合题意．
故选C．
7. 如图，在正方形内作等边三角形，连接，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正方形、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，先根据正方形、等边三角形的性质得出，，，从而可求出的度数，然后利用等边对等角和三角形内角和定理可求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可.
【详解】解：∵在正方形内作等边三角形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A.
8. 截止到2023年12月，南京市已经开通了两类地铁线——市区地铁线（1号，2号，3号，4号，7号，10号）和市域地铁线（S1，S3，S6，S7，S8，S9）．下图是某月连续13天两类地铁线日客运量的折线统计图．

关于这13天的描述：①在这13天中，全市两类地铁线日客运量最多的一天总人数是万人，最少的一天总人数是万人；②对同一类地铁线而言，周六、周日的日客运量不超过工作日（周一到周五）的日客运量；③市区地铁线平均日客运量是市域地铁线的倍；④市区地铁线日客运量比市域地铁线日客运量波动大．其中正确的是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了折线统计图，解决本题的关键是熟练掌握从折线统计图中获取信息．根据折线统计图提供的信息进行计算，判断即可．
【详解】解：①由统计图可知：在这13天中，全市两类地铁线日客运量最多的一天总人数是：
（万人），
最少的一天总人数是：（万人），故①正确；
②对同一类地铁线而言，周六、周日的日客运量不超过工作日（周一到周五）的日客运量，故②正确；
③市区地铁线平均日客运量不一定是市域地铁线的倍，比如9日应当是倍，故③错误；
④市区地铁线日客运量比市域地铁线日客运量波动大，故④正确；
综上分析可知，正确的是①②④．
故选：B．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
9. 日期“20240402”中，数字“4”出现的频率是_________．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】本题考查了概率公式，根据日期“20240402”中，共有8个数字，其中数字“4”出现了2次，即可求解．
【详解】解：日期“20240402”中，共有8个数字，其中数字“4”出现了2次，
数字“4”出现频率是，
故答案为：．
10. 一个不透明的袋中装有2个红球，3个黄球，4个白球，这些球除颜色外其余都相同．搅匀后从袋中摸出一个球，摸到_________球的可能性最大．
【答案】白
【解析】
【分析】本题考查了概率的计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．根据概率公式先求出摸到红球、白球和黄球的概率，再进行比较即可得出答案．
【详解】解：∵不透明的袋子中装有2个红球，3个黄球，4个白球，
∴袋子中一共有球（个），
∴从袋子中任意摸出一个球，摸到红球的概率是：，摸到黄球的概率是，摸到白球的概率是，
∴摸到白球的可能性最大．
故答案为：白．
11. 平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了关于原点对称点的坐标，掌握关于原点对称点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数成为解题的关键．
根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，据此解答即可．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是．
故答案为：．
12. 已知的周长为18，若，则的长为_________．
【答案】6
【解析】
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，利用平行四边形对边相等得出是解题关键．利用平行四边形的性质得出对边相等，进而得出答案．
【详解】解：的周长为18，，
，，，
∴，
解得：，
则，
∴．
故答案为：6．
13. 如图，绕点A逆时针旋转得到．若，则_________．
【答案】65
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质．根据旋转的性质得到，进而利用求出度数即可．
【详解】解：∵绕点A逆时针旋转得到，
∴，
∴；
故答案为：65．
14. 如图，在矩形中，O，E分别为的中点．若，则的长为_________．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，三角形的中位线定理，易得是的中位线，进而得到，矩形的性质得到，利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：∵在矩形中，O，E分别为的中点，
∴是的中位线，，
∴，
∴；
故答案为：8．
15. 如图，在菱形中，，垂足为E．若，则_________．

【答案】30
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，连接，先证明是等边三角形，得出，根据等边三角形的性质得出平分，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，

∵，，
∴，
∵在菱形中，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴平分，
∴，
故答案为：30．
16. 用反证法证明：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”.第一步应假设：______．
【答案】这两条直线不平行
【解析】
【分析】本题需先根据已知条件和反证法的特点进行证明，即可求出答案．
【详解】证明：已知两条直线都和第三条直线平行；
假设这两条直线不平行，则两条直线有交点，
因过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
因此，两条直线有交点时，它们不可能同时与第三条直线平行
因此假设与结论矛盾．故假设不成立，
即如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
故答案为：这两条直线不平行．
【点睛】本题主要考查了反证法，在解题时要根据反证法的特点进行证明是本题的关键．
17. 如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F．若，，则的面积为_________．
【答案】48
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质证明 ，从而可得，同理可得 ，再由可得四边形是菱形；连接、过点A作于点H，证明四边形为菱形，根据菱形的性质可得，，，，利用勾股定理可得的长，进而可得长，利用菱形的面积公式计算出的长，然后可得的面积．
【详解】解：连接、过点A作于点H，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
，，
，
的平分线交于点E
，
，
，
同理：，
，
，
∴四边形是平行四边形 ，
，
四边形是菱形，
∴，，，，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：48．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质和判定，以及平行四边形的性质，勾股定理，关键是掌握邻边相等的平行四边形是菱形，菱形的面积为对角线之积的一半．
18. 如图，在四边形中，．是边上的定点，N是边上的动点，O是的中点．点N从点B运动到点C的过程中，点O运动的路径长为_________．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，确定点O运动的路径是解题关键．连接、、，分别取、的中点、，连接、，由勾股定理，求得，由三角形的中位线定理可得，，进而得到、、三点共线，即点O运动的路径为，再根据三角形中位线定理，求出的长，即可求解．
【详解】解：如图，连接、、，分别取、的中点、，连接、，
，，，
，
，，
，
、、分别为、、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，
、、三点共线，即点O运动的路径为，
是的中位线，
，
即点O运动的路径长为10，
故答案为：10．
三、解答题（本大题共8小题，共64分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤）
19. 一个不透明的盒中装有除颜色外均相同的黑球和白球共40个，小明做摸球实验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
（1）从该盒中任意摸出一个球，摸到白球的概率的估计值为_________；（精确到0.01）
（2）估计盒中白球的个数是_________；
（3）以下数学实验及结果：
①掷一枚正六面体骰子，6点朝上；
②从标有1，2，3，4，5的五张卡片中随机抽一张，抽到标有奇数的卡片；
③抛一枚硬币，正面朝上．
其中，大量重复实验后，结果出现的频率与（1）中的估计值最接近的是_________．（填序号）
【答案】（1）
（2）24 （3）②
【解析】
【分析】（1）大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率即可解答；
（2）用球的总数乘以摸到白球的概率即可解答；
（3）分别求出三个事件的概率，然后与（1）对比即可．
【小问1详解】
解：根据表中数据估计从盒中摸出一个球是白球的概率是，
故答案为：．
【小问2详解】
解：估计盒中白球的个数是．
故答案为24．
【小问3详解】
解：①掷一枚正六面体骰子，6点朝上的概率为；
②从标有1，2，3，4，5的五张卡片中随机抽一张，抽到标有奇数的卡片的概率为；
③抛一枚硬币，正面朝上，．则②符合题意．
故答案为②．
20. 如图，在中，E、F为对角线上两点，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，结合条件活用对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键．连接，交于点，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明．
【详解】如图，连接，交于点，

∵四边形是平行四边形，
，，
∵，
，
，
∵，
∴四边形是平行四边形．
21. 某校组织八年级学生参加消防知识竞赛，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计图表．
消防知识竞赛成绩的频数分布表
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）_________，并补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中“E组”所对应的圆心角度数是________；
（3）已知该年级有400名学生参加这次竞赛，若成绩在80分以上（含80分）的为合格，估计该年级成绩合格的有多少人？
【答案】（1）18，见解析；
（2）
（3）估计该年级成绩合格的有人
【解析】
【分析】本题考查了频数分布直方图和频数分布表，扇形统计图，利用样本估计总体，根据题意找出所需数据是解题关键．
（1）根据“B组”的频数和所占百分比，求出样本总人数，再用总人数减去其他四组的频数，求出的值，再补全频数分布直方图即可；
（2）用乘以“E组”的占比，即可求出圆心角；
（3）用总人数乘以样本中合格人数的占比，即可得到答案．
【小问1详解】
解：样本总人数为人，
“D组”的频数人，
故答案为：18
补全数分布直方图如下：
【小问2详解】
解：，
即扇形统计图中“E组”所对应的圆心角度数是，
故答案为：；
【小问3详解】
解：人，
即估计该年级成绩合格有人．
22. 按下列要求在平面直角坐标系中画图并解答．
（1）画出关于点O对称的；
（2）若绕某点逆时针旋转后，边的对应线段为（点A与点对应）．
①补全；
②该点（旋转中心）的坐标是_________．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】
【分析】本题主要考查了作中心对称图形和旋转作图，解题的关键是作出对应点的位置．
（1）先作出点A、B、C关于点O的对称点、、，然后顺次连接即可；
（2）①根据旋转的性质，找出旋转中心，找出点C的对应点，然后顺次连接即可；
②根据图形求出旋转中心的坐标即可．
【小问1详解】
解：即为所求作的三角形，如图所示：
【小问2详解】
解：①如图，即为所求作的三角形；
②旋转中心M的坐标为．
23. 如图，E为正方形对角线上一点，且，交于点F．
（1）求证；
（2）若，则该正方形的边长为_________．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
（1）连接，根据正方形的性质，易证是等腰直角三角形，，得出，，即可证明结论；
（2）利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，
，
是等腰直角三角形，，
，
在和中，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
，，
，
即该正方形的边长为，
故答案为：．
24. 用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
如图，中，，O为的中点．
求证．
证法1：延长到点D，使，连接．
∵O为的中点，
∴_________（依据是_________）．
∵，
∴垂直平分．
∴_________．
∴．
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
【答案】方法1：；三角形中位线定理；；方法2：见解析
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线定理，垂直平分线定理，矩形的判定与性质等知识，方法1：延长到点D，使，连接，利用三角形中位线定理证明，利用线段垂直平分线证明，即可得证；
方法2：延长至点D，使得，连接、，证明四边形是矩形，利用矩形性质得出，即可得证．
【详解】证法1：延长到点D，使，连接．
∵O为的中点，
∴（依据是三角形中位线定理）．
∵，
∴垂直平分．
∴．
∴．
故答案为：；三角形中位线定理；；
方法2：
延长至点D，使得，连接、．如图所示：
∵，．
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是矩形．
∴，
又∵，
∴．
25. 如图，已知线段a，b，c，用直尺和圆规按下列要求分别作一个平行四边形（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．
（1）的一边为a，两条对角线分别为b，c；
（2）的相邻两边分别为b，c，其高为a．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了复杂作图，解题的关键是正确掌握线段垂直平分线的作法．
（1）作射线，在上截取，作的垂直平分线，交于点O，以A、C为圆心，a为半径画弧，再以点O为圆心，为半径画弧，交于点B、D，连接、、、即可．
（2）作直线，在上取一点E，过点E作，在上截取，以点A为圆心，为半径画弧，交于点B，在上截取，以点A为圆心，c为半径画弧，再以点C为圆心，b为半径画弧，两弧交于点D，连接、、即可．
【小问1详解】
解：作射线，在上截取，作的垂直平分线，交于点O，以A、C为圆心，a为半径画弧，再以点O为圆心，为半径画弧，交于点B、D，连接、、、，则四边形即为所求作的平行四边形，如图所示：
【小问2详解】
解：作直线，在上取一点E，过点E作，在上截取，以点A为圆心，为半径画弧，交于点B，在上截取，以点A为圆心，c为半径画弧，再以点C为圆心，b为半径画弧，两弧交于点D，连接、、，则四边形即为所求作的平行四边形，如图所示：
26. 数学概念
如果一个菱形的四个顶点分别在一个矩形的四条边上（不与矩形的顶点重合），那么称这个菱形是该矩形的内接菱形．
初步认识
（1）如图①，矩形中，，，，分别是，，，的中点．求证：四边形是矩形的内接菱形．
深入思考
（2）如图②，矩形中，是边上的一点．
①用直尺和圆规作矩形的内接菱形，使点，，分别在，，上；（保留作图痕迹，不写画法）
②已知，，．若矩形存在以点为顶点的内接菱形，则的取值范围是_________．
【答案】（1）证明见解析；（2）①见解析；②
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，三角形的中位线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用这些知识．
（1）连接、交于点，由矩形的性质可得，结合，，，分别是，，，的中点，可推出，即可证明；
（2）①以为圆心，的长为半径画弧交于点，再作的垂直平分线分别交、于点、，最后连接、、、即可；②当菱形的对角线经过点、时，的值最小，根据勾股定理求出此时的值即可求解．
【详解】（1）连接、交于点，
四边形是矩形，
，
，，，分别是，，，的中点，
，，，，
又，
，
四边形是矩形的内接菱形；
（2）①如图，菱形即为所求，
②由①可知，，
∴当菱形的对角线经过点、时，的值最小，
即四边形为矩形的内接菱形，
，，
，
的取值范围是．
摸球的次数n
100
200
300
500
1000
2000
3000
摸到白球的次数m
65
124
178
302
601
1198
1803
摸到白球的频率
组别
成绩x/分
频数
A
2
B
6
C
9
D
a
E
15